qwertyuiopasdfghjklzcvbnmq wertyuiopasdfghjklzcvbnmqw ertyuiopasdfghjklzcvbnmqwer tyuiopasdfghjklzcvbnmqwerty ΘΕΩΡΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ uiopasdfghjklzcvbnmqwertyui ΟΛΟΚΛΗΡΩΤ ΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ opasdfghjklzcvbnmqwertyuiop 8/1/2017 Δ.Ε.ΚΟΝΤΟΚΩΣΤΑΣ Ψηφική Επιμέλει: Μ.Ι.ΣΤΡΟΥΜΠΟΥΛΗ asdfghjklzcvbnmqwertyuiopas dfghjklzcvbnmqwertyuiopasdf ghjklzcvbnmqwertyuiopasdfgh jklzcvbnmqwertyuiopasdfghjkl zcvbnmqwertyuiopasdfghjklz cvbnmqwertyuiopasdfghjklzcv bnmqwertyuiopasdfghjklzcvbn mqwertyuiopasdfghjklzcvbnm qwertyuiopasdfghjklzcvbnmq wertyuiopasdfghjklzcvbnmqw
Τελευτί ενημέρωση 8/1/17 ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 1
ΕΡΩΤΗΣΗ 1 η Tι ονομάζουμε Αρχική συνάρτηση ή Πράγουσ της f στο Δ; Έστω f μί συνάρτηση ορισμένη σ έν διάστημ. Αρχική συνάρτηση ή πράγουσ της f στο Δ, ονομάζετι κάθε συνάρτηση F, που είνι πργωγίσιμη στο Δ κι ισχύει : (2011 επν.) F () = f(), γι κάθε χ Δ Α2 (5Μον.) ΕΡΩΤΗΣΗ 2 η Ν ποδειχθεί το θεώρημ : <<Έστω f μί συνάρτηση ορισμένη σ έν διάστημ Δ. Αν F είνι μί πράγουσ της f στο Δ, τότε : Όλες οι συνρτήσεις της μορφής G()=F()+c, c R είνι πράγουσες της f στο Δ κι Κάθε άλλη πράγουσ G της f στο Δ πίρνει τη μορφή G()=F()+c, c R >> Απόδειξη Θ δείξουμε ότι ν G()=F()+c, c R τότε είνι πράγουσ της f δηλ. G (χ) = f(). Πράγμτι : G()=F()+c G (χ) = [F() + c] G (χ) = F () G (χ) = f(). Aν G μί πράγουσ της f στο Δ, θ δείξουμε ότι G()=F()+c, c R. Πράγμτι : Αφού G: πράγουσ της f τότε G (χ) = f() Αφού F: πράγουσ της f τότε F (χ) = f() } G (χ) = F (χ) πό τη συνέπει του Θ.Μ.Τ. έχουμε G()=F()+c. 2015 (επν)- 2010 κι 2003 (επν) A1 (7-6Μον.) www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 2
Σημείωση: Συνέπει του Θ.Μ.Τ.: Έστω f,g: συνρτήσεις σε έν διάστημ Δ. Αν: f,g συνεχείς στο Δ κι f () = g () γι κάθε εσωτερικό σημείο του Δ τότε υπάρχει στθερά c τέτοιο ώστε γι κάθε εδ ν ισχύει: f() = g() + c. ΕΡΩΤΗΣΗ 3 η Ν γρφτεί ο πίνκς των πργουσών μερικών σικών συνρτήσεων. Συνάρτηση f()= 0 f()= 1 f()= 1 f()= a, 1 f()= συνχ f()= ημχ f()= f()= 1 συν 2 χ 1 ημ 2 χ f()= e f()= a f()= 1 2 Πράγουσ G()= c, c R G()= + c, c R G()= ln + c, c R G()= χ+1 +c, c R +1 G()= ημχ + c, c R G()= -συνχ + c, c R G()= εφχ + c, c R G()= -σφχ + c, c R G()= e +c, c R G()= a +c, c R lna G()= 1 + c, c R f()= 1 G()= 2 χ + c, c R χ Οι πρπάνω συνρτήσεις νφέροντι γι τ χ, στ οποί ορίζοντι. Σημείωση : Αν οι συνρτήσεις F κι G είνι πράγουσες των f κι g ντιστοίχως κι ο λ είνι ένς πργμτικός ριθμός, τότε : i. Η συνάρτηση F+G είνι μί πράγουσ της συνάρτησης f+g κι ii. Η συνάρτηση λf είνι μί πράγουσ της συνάρτησης λf. www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 3
ΕΡΩΤΗΣΗ 4 η Έστω f: συνεχής συνάρτηση στο [,]. Τι ονομάζουμε εμδό χωρίου Ω, Ε(Ω), που ορίζετι πό την γρφική πράστση της f, C f,τον άξον χ χ κι τις ευθείες χ=, χ=. Γι ν ορίσουμε το Ε(Ω) εργζόμστε ως εξής: Χωρίζουμε το [,] σε ισομήκη υποδιστήμτ μήκους Δ χ = με =χ 0 < χ 1 < χ 2 < < χ ν =. Σε κάθε υποδιάστημ [χ κ 1, χ κ ] επιλέγουμε υθίρετ έν σημείο ξ κ κι σχημτίζουμε τ ορθογώνι με άση Δ χ κι ύψους f(ξ κ ). ν Θέτουμε S ν = f(ξ 1 ). Δ χ +f(ξ 2 ). Δ χ + +f(ξ κ ). Δ χ = κ=1 f(ξ κ ). Δ χ. Υπολογίζουμε το lim ν + S ν = lim ν + ν κ=1 f(ξ κ ). Δ χ. Το τελευτίο όριο ονομάζετι εμδόν του επίπεδου χωρίου Ω κι συμολίζετι με Ε(Ω). Ε(Ω) = lim f(ξ κ). Δ χ ν + ν κ=1 ν www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 4
ΕΡΩΤΗΣΗ 5 η Τι ονομάζουμε ορισμένο ολοκλήρωμ συνεχούς συνάρτησης f πό το στο. ν Το όριο lim κ=1 f(ξ κ ). Δ χ το οποίο είνι νεξάρτητο πό την ν + επιλογή των ενδιάμεσων σημείων ξ κ ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ της συνεχούς συνάρτησης f πό το στο κι συμολίζετι με : Δηλ. f()d = f()d lim ν + ν κ=1 f(ξ κ ). Δ χ με Δ χ = ν. ΕΡΩΤΗΣΗ 6 η Ποιες οι ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώμτος: f()d Στο f()d η μετλητή χ μπορεί ν ντικτστθεί με οποιδήποτε μετλητή, π.χ. t δηλ. f()d f()d = f(t)dt = 0 f()d. = f(t)dt www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 5
Αν f() 0 γι κάθε χ [, ] τότε f()d 0 με Ε(Ω) = f()d Όπου Ε(Ω) το εμδό του χωρίου, που περικλείετι πό την γρφική πράστση C f της f, τον χ χ κι τις ευθείες χ=, χ=. 2016(επν), 2010(επν),2007 (2009) (2002 επν) (2008 επν) Προφνώς ν f() 0 γι κάθε χ [, ] τότε f()d 0. Οπότε ν μί συνάρτηση f δεν έχει στθερό πρόσημο στο [,] το f()d εκφράζει το άθροισμ των εμδών που ρίσκοντι πάνω πό τον χ χ μείον το άθροισμ των εμδών που ρίσκοντι κάτω πό των χ χ.( Αλγερικό Άθροισμ) Προσοχή : ν f()d 0 τότε δεν είνι πρίτητο ότι κι f() 0 γι κάθε χ [, ] φού το ολοκλήρωμ είνι το λγερικό άθροισμ των εμδών των χωρίων. Αν f,g συνεχείς συνρτήσεις στο [,] κι λ, μ R τότε ισχύουν : λ. f()d = λ. f()d [f() + g()]d = f()d + g()d κι γενικά : [λ. f() + μ. g()]d = λ. f()d + μ. g()d www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 6 (2005 επν)
Αν f: συνεχής σ έν διάστημ Δ με,,γ Δ τότε ισχύει : f()d γ = f()d + f()d γ (2008-2014) Αν f() 0 με <γ< τότε η πρπάνω ιδιότητ έχει γεωμετρική ερμηνεί : E(Ω) = Ε(Ω 1 )+Ε(Ω 2 ) γ γ f()d = f()d+ f()d. Προφνώς η ιδιότητ ισχύει κι στην περίπτωση που <<γ ή γ<<. Έστω f: συνεχής συνάρτηση στο [,]. Αν f() 0 γι κάθε [, ] με την f ν μην είνι πντού 0 στο [,] τότε Εφρμογή f()d > 0. (2015) Αν f,g συνεχής στο [,] με f() g() γι κάθε [, ] ν δειχτεί ότι f()d g()d. Πράγμτι ΘΕΜΑ 4 Ο (2002) Α (2Μον.) Αφού f() g() f() g() 0. Θέτω h() = f() g() άρ h() 0 γι κάθε ϵ[, ] οπότε a h()d 0 f() g()d 0 f()d g()d 0 f()d g()d. Προφνώς, ν επιπλέον η συνάρτηση f δεν είνι ίση με την g στο [,] τότε f()d > g()d www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 7
ΕΡΩΤΗΣΗ 7 η Η Συνάρτηση F()= f(t)d a Ν διτυπωθεί το ερώτημ που εξσφλίζει την ύπρξη μις πράγουσς συνεχούς συνάρτησης f. Το θεώρημ που μς εξσφλίζει την ύπρξη πράγουσς μις συνεχούς συνάρτησης f σ έν διάστημ Δ είνι: <<Αν f είνι μί συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ Δ κι Δ, τότε η συνάρτηση: F()= f(t)dt, Δ είνι μι πράγουσ της f στο Δ, δηλδή ( f(t)dt) = f(), γι κάθε εδ. (2005 κι 2007επν) Απόδειξη (σκιγράφηση) +h +h f() h = f(t)dt = f(t)dt f(t)dt = F( + h) F() f() h = F( + h) F() f() = F(+h) F() Ε(Ω) h 0+ με h 0 + άρ f() = lim h 0 + F(+h) F() h f() = F () f() = ( f(t )dt). h www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 8
ΕΡΩΤΗΣΗ 8 η Ν διτυπωθεί κι ν ποδειχθεί το θεμελιώδες θεώρημ του ολοκληρωτικού λογισμού. Το ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ είνι: <<Έστω f μι συνεχής συνάρτηση σ έν διάστημ [,]. Αν G είνι μι πράγουσ της f στο [,] τότε, Απόδειξη f(t)dt = G() G() >> Γνωρίζουμε ότι η F()= f(t)dt (1), είνι μι πράγουσ της f στο [,],λλά κι η G με G()=F()+c, cϵr, είνι μι πράγουσ της f στο [,]. Άρ G()=F()+c (1) G()= f(t)dt + c 2016,2015(επν), 2012(επν), 2006,2004 γι χ = έχουμε G() = f(t)dt + c G() = c (2) γι χ = έχουμε, G() = f(t)dt + c (2) { G() = f(t)dt + G(), G() G() = f(t)dt f(t)dt = [G(t)] = G() G() 2002 κι 2008 (επν) Α1 (12 κι 10 Μον.) Σημείωση Προφνώς f(t) dt = [f(t)] = f() f() πράγουσ της f. φού η f είνι η (2003 κι 2009 επάν) Α1 (12Μον.) www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 9
ΕΡΩΤΗΣΗ 9 η ) Ν γρφεί ο τύπος της ολοκλήρωσης κτά πράγοντες γι το ορισμένο ολοκλήρωμ. ) Ν γρφεί ο τύπος ολοκλήρωσης με λλγή μετλητής γι το ορισμένο ολοκλήρωμ. ) f() g ()d = [f() g()] f, g συνεχείς συνρτήσεις στο [,]. f ()g()d ) f(g()) g ()d (1) θέτω u=g() du = dg() d d du =g () du=g ()d d με u 1 = g(), u 2 = g(), άρ (1) f(g()) g () = Εφρμογή: u 1 u 1 f(u)du. (2012, 2007επν,2006,2003επάν ) f()d = 1. f()d = (). f()d = = [. f()]. (f()) d (2002) www.commonmaths.weebly.com Σελίδ 10