Ιαν. 9 Αριθµητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Είδαµε στο κεφάλαιο της παρεµβολής συναρτήσεων πώς να προσεγγίζουµε µια (συνεχή) συνάρτηση f από ένα πολυώνυµο, όταν γνωρίζουµε + σηµεία του γραφήµατος της συνάρτησης: (, f,, f,,, f ). Τι γίνεται όταν, µε τα ίδια δεδοµένα, ζητούµε την τιµή της παραγώγου της συνάρτησης σε κάποιο σηµείο ή το ολοκλήρωµά της στο διάστηµα που θεωρούµε; Η απάντηση είναι τόσο απλή, που µας κάνει καταρχήν να αναρωτηθούµε αν αξίζει να ασχοληθούµε περαιτέρω µε αυτά τα προβλήµατα: Γνωρίζουµε πώς να βρίσκουµε ένα πολυώνυµο (βαθµού ) τέτοιο ώστε f P στο θεωρούµενο διάστηµα. P ( ) Αρκεί λοιπόν να παραγωγίσουµε / ολοκληρώσουµε, αντί της (γενικά άγνωστης) (γνωστό) πολυώνυµο αυτό. P, το. Και, φυσικά, γνωρίζουµε ήδη πολύ καλά πώς να το κάνουµε Η παραπάνω απάντηση µας καλύπτει στη γενική περίπτωση. Αυτό που θα δούµε παρακάτω είναι πώς, ακολουθώντας αυτή τη διαδικασία, µπορούµε να καταλήγουµε σε τύπους προσέγγισης παραγώγου / ολοκληρώµατος που εφαρµόζονται απευθείας στα δοσµένα σηµεία της f, χωρίς να εµπλέκουν ρητά το πολυώνυµο. Πολυώνυµο παρεµβολής Newton µε ανιούσες διαφορές Για το σκοπό αυτό, θα γράφουµε στο εξής το πολυώνυµο σε µια νέα µορφή, ισοδύναµη µε αυτές που ήδη γνωρίζουµε. Ας υποθέσουµε πρώτα-πρώτα ότι οι τιµές του στις οποίες γνωρίζουµε τη συνάρτηση,,,,,, είναι ισαπέχουσες κατά, δηλαδή i = + i, i =,,,,. Επιπλέον, ας εκφράσουµε οποιοδήποτε συναρτήσει της απόστασής του από το ο σηµείο,, σε µονάδες : = + s () Έτσι, για = έχουµε s =, για = έχουµε s =,, για = i έχουµε s = i, ενώ π.χ. για = + έχουµε s =.5. Ισοδύναµα έχουµε: / s = () Ορίζουµε επίσης τις λεγόµενες ανιούσες (forward) διαφορές της f ως εξής. Η ανιούσα διαφορά τάξης στο n είναι fn fn+ fn. Η ανιούσα διαφορά ης τάξης ορίζεται ως η διαφορά ης τάξης της διαφοράς ης τάξης, δηλαδή: fn ( fn) = fn+ fn = ( fn+ fn+ ) ( fn+ f n ) = f f + f Έτσι, για παράδειγµα, f = f f και n+ n+ n f = f f+ f. f /8
Ιαν. 9 Ξεκινώντας από το πολυώνυµο Newton µε διαιρεµένες διαφορές κι εκφράζοντας τις τελευταίες µε τη βοήθεια των ανιουσών διαφορών, µπορούµε να καταλήξουµε στην ακόλουθη ισοδύναµη µορφή του: s s s P ( + s) = f + f + f + + f () όπου s s! s( s )( s ) ( s n+) = n n! ( s n)! n! είναι οι γνωστοί µας διωνυµικοί συντελεστές. Για παράδειγµα: s s s = s ( s ) s s, = ( s )( s ), =. 6 Αν θεωρήσουµε τις τιµές της συνάρτησης ως ανιούσες διαφορές µηδενικής τάξης και s θυµηθούµε ότι =, τότε µπορούµε να γράψουµε το πολυώνυµο µε τον ακόλουθο πιο συµπαγή τρόπο: s n P ( + s) = f n= n Αριθµητική παραγώγιση Αν ζητείται η f για µια παραγωγίσιµη συνάρτηση f, µπορούµε, όπως αναφέραµε παραπάνω, να την προσεγγίσουµε από την αντίστοιχη P + s. Έτσι, χρησιµοποιώντας και τον κανόνα της σύνθετης παραγώγισης (βλ. και ()), παίρνουµε το γενικό τύπο: d d ds d f P ( + s) = P ( + s) = P ( + s) (4) d ds d ds Ας δούµε τώρα τι µας δίνει αυτός ο τύπος σε ειδικές, αλλά σηµαντικές περιπτώσεις: ) Έστω =, δηλαδή διαθέτουµε δύο σηµεία για τη συνάρτηση. Τότε η () γίνεται P + s = f + s f και ο τύπος (4) δίνει: f f f f = (5) Αξίζει να παρατηρήσουµε ότι αυτή η τιµή για την παράγωγο της συνάρτησης είναι ανεξάρτητη του (δηλαδή του s ) και ισούται µε την κλίση της ευθείας που συνδέει τα δύο δοσµένα σηµεία (, f),(, f ). Είναι κατανοητό ότι για αρκετά µικρό αυτή η ευθεία θα είναι σχεδόν παράλληλη µε την εφαπτόµενη στην καµπύλη της f, δηλαδή την παράγωγό της. ) Με τρία σηµεία, δηλαδή =, έχουµε /8
Ιαν. 9 ( ) s s P( + s) = f + s f + f, άρα f f s + f. (6) Για =, δηλαδή το κεντρικό από τα δοσµένα σηµεία, έχουµε s = και ο τελευταίος τύπος δίνει f f f ( f f) ( f f f) + + =. (7) Παρατηρούµε ότι η παραπάνω τιµή είναι ανεξάρτητη της f (!) και ισούται µε την κλίση της ευθείας που συνδέει το ο µε το ο σηµείο. Με παρόµοιο τρόπο παίρνουµε και τους τύπους που προσεγγίζουν την παράγωγο στα ακραία σηµεία: f + 4f f f f f = f 4f+ f f f + f = ουλεύοντας έτσι, µπορούµε να καταλήξουµε σε τύπους για την προσέγγιση της παραγώγου σε οποιοδήποτε, µε οσαδήποτε δοσµένα σηµεία. Παράγωγοι υψηλότερων τάξεων Μπορεί να δειχτεί ότι η παράγωγος τάξης µε + δοσµένα σηµεία προσεγγίζεται από τον τύπο: ( ) f f (8) και είναι ανεξάρτητη του. Για παράδειγµα, µε σηµεία, δηλαδή =, η η παράγωγος υπολογίζεται από τον τύπο: f f f+ f f = (9) Η σταθερά αυτή λαµβάνεται συνήθως ως η τιµή της ης παραγώγου στο κεντρικό σηµείο,. Άσκηση. Μετρούµε την απόσταση (σε m) που έχει διανύσει ένα όχηµα σε συγκεκριµένες χρονικές στιγµές (σε sec) και παίρνουµε τον ακόλουθο πίνακα: Χρόνος 6 Απόσταση 5 8 Εκτιµήστε την ταχύτητα (σε m/sec) του οχήµατος τη χρονική στιγµή sec. Απάντηση: Μας δίνονται τρία σηµεία της συνάρτησης απόστασης και µας ζητείται η ταχύτητα, δηλαδή η παράγωγός της, στο κεντρικό σηµείο. Αφού τα σηµεία ισαπέχουν κατά =, εφαρµόζεται ο τύπος (7) για να µας δώσει: /8
Ιαν. 9 8 Ταχύτητα 6.8 m/sec. Άσκηση. Ποια η επιτάχυνση (σε m/sec ) τη χρονική στιγµή sec; Απάντηση: Ζητείται τώρα η προσέγγιση της ης παραγώγου της απόστασης, στο κεντρικό σηµείο. Εφαρµόζουµε τον τύπο (9) και παίρνουµε 8 5 + Επιτάχυνση 7.44 m/sec. Παρατήρηση: Είναι αναµενόµενο η επιτάχυνση να είναι αρνητική αφού, όπως µπορούµε να δούµε στον πίνακα χρόνου / απόστασης, η απόσταση που διανύθηκε στα δεύτερα sec είναι µικρότερη απ ό,τι στα πρώτα sec, εποµένως το όχηµα επιβραδύνθηκε. Άσκηση. Θεωρείστε τον ακόλουθο πίνακα τιµών της συνάρτησης f = : Εκτιµήστε από τον πίνακα την f f (.5).5.5..8.6667 και συγκρίνετε µε την ακριβή τιµή της. Απάντηση: Τα σηµεία ισαπέχουν κατά =.5 κι εφαρµόζεται ο τύπος (7):.6667 f (.5).6667..5 Γνωρίζουµε ότι f f.5 =.64. Αριθµητική ολοκλήρωση =, άρα Ας δούµε τώρα πώς µπορούµε να χρησιµοποιήσουµε το πολυώνυµο () για να προσεγγίσουµε το ολοκλήρωµα I f d. Ολοκληρώνουµε απλώς αντί της f το πολυώνυµο, αλλάζοντας κατά τα γνωστά τη µεταβλητή ολοκλήρωσης σε s (βλ. ()): Για διάφορες τιµές του ) Τύπος ορθογωνίου ( = ) ( ) () I P + s ds, προκύπτουν οι ακόλουθοι τύποι ολοκλήρωσης: Απλός ιαθέτοντας µόνο ένα σηµείο, το αντίστοιχο πολυώνυµο είναι µηδενικού βαθµού, δηλαδή σταθερό και ίσο µε f. Έχουµε λοιπόν: 4/8
Ιαν. 9 + I = f d fds f = () Το παραπάνω δεν είναι τίποτε άλλο από το εµβαδό ενός ορθογωνίου παραλληλογράµµου µε πλάτος και ύψος f. Σύνθετος ιαιρώντας το διάστηµα ολοκλήρωσης σε n υποδιαστήµατα πλάτους το καθένα,,,,,,,, µπορούµε να εφαρµόσουµε τον απλό τύπο ορθογωνίου σε ( n n) καθένα απ αυτά για να πάρουµε το σύνθετο τύπο: ) Τύπος τραπεζίου ( =) I f + f + f + + f = f + f + f + + f () n n Απλός Με δύο σηµεία, το πολυώνυµο είναι ου βαθµού, δηλαδή ευθεία και το ολοκλήρωµα υπολογίζεται ως το εµβαδό του τραπεζίου που σχηµατίζεται. Πράγµατι, εφαρµόζοντας τον τύπο () µε =, παίρνουµε I ( f + s f) ds = ( f + f ), () που ισούται µε το εµβαδό τραπεζίου µε ύψος και βάσεις, f f. Σύνθετος Εφαρµογή του παραπάνω κανόνα σε καθένα από τα n υποδιαστήµατα πλάτους δίνει: n I ( f + f) + ( f+ f) + + ( fn + fn) = f fi fn + + i= (4) ) Τύπος Simpson ( = ) Απλός Το πολυώνυµο είναι πλέον παραβολή και η ολοκλήρωσή του δίνει (βλ. ()): s( s ) I f + s f + f ds= ( f + 4 f+ f ) (5) Σύνθετος ιαιρώντας το διάστηµα ολοκλήρωσης σε n υποδιαστήµατα πλάτους το καθένα κι εφαρµόζοντας σε κάθε δύο υποδιαστήµατα (-άδα σηµείων) τον παραπάνω τύπο, παίρνουµε το σύνθετο τύπο Simpson: Προς τιµή του Βρετανού µαθηµατικού Tomas Simpson (7 76). Ας σηµειωθεί πάντως ότι ο κανόνας αυτός είχε ήδη χρησιµοποιηθεί χρόνια νωρίτερα από τον Kepler. 5/8
Ιαν. 9 I ( f + 4f+ f) + ( f + 4f + f4) + + ( fn + 4fn + fn) δηλαδή I f + 4( f+ f + f5 + + fn ) + ( f + f4 + f6 + + fn ) + fn (!6) Τύπος /8 ( = ) Με πολυώνυµο ου βαθµού, ο τύπος () γίνεται: I ( f + f + f + f ) (7) 8 Ο σύνθετος τύπος µπορεί να προκύψει διαιρώντας το διάστηµα ολοκλήρωσης σε n υποδιαστήµατα ίσου πλάτους κι εφαρµόζοντας τον παραπάνω τύπο σε κάθε τρία υποδιαστήµατα (4-άδα σηµείων). Τύπος Newton-Cotes τάξης Εφαρµόζοντας τον τύπο () για διάφορες τιµές του, παίρνουµε µια οικογένεια τύπων ολοκλήρωσης γνωστής µε το όνοµα Newton-Cotes. Έτσι, ο τύπος ορθογωνίου είναι ο τύπος Newton-Cotes τάξης, ο τύπος τραπεζίου είναι ο Newton-Cotes τάξης, κ.ο.κ. Αν και αυξάνοντας το παίρνουµε γενικά πιο ακριβές αποτέλεσµα, πρέπει να σηµειωθεί ότι ο ( σύνθετος) τύπος του Simpson (Newton-Cotes τάξης ) είναι αυτός που χρησιµοποιείται συχνότερα. Ας σηµειωθεί επίσης ότι οι τύποι Newton-Cotes υψηλής τάξης µπορεί να υποφέρουν από το πρόβληµα ανακρίβειας γνωστό ως φαινόµενο Runge. 4 Αυτό αντιµετωπίζεται αίροντας τον περιορισµό ότι τα σηµεία είναι ισαπέχοντα. Οδηγούµαστε τότε σε µεθόδους αριθµητικής ολοκλήρωσης όπως π.χ. η Gauss quadrature. Άσκηση 4. Ένα όχηµα διανύει µια απόσταση σε sec. Η ταχύτητά του µετράται κάθε 6 sec και δίνεται στον παρακάτω πίνακα (σε m/sec): Χρόνος 6 Ταχύτητα 4 4 56 Ποια απόσταση διανύθηκε σ αυτά τα sec; Απάντηση: Η ζητούµενη απόσταση µπορεί να υπολογιστεί ολοκληρώνοντας την ταχύτητα. Η τελευταία δίνεται σε χρονικές στιγµές που ισαπέχουν κατά = 6. Με τρία σηµεία µπορούµε να εφαρµόσουµε: (α) σύνθετο τύπο ορθογωνίου (β) σύνθετο τύπο τραπεζίου, και (γ) απλό τύπο Simpson. (α) f f Απόσταση + = 6 4 + 4 = 548 m Είναι γνωστός και ως τύπος /8 του Simpson. Roger Cotes (68 76 (!)). 4 Carl Runge (856 97). 6/8
Ιαν. 9 6 6 Απόσταση + + + = 4 + 4 + 4 + 56 = 644 m 6 Απόσταση f + 4 f + f = 4 + 4 4 + 56 = 6 m. (β) ( f f ) ( f f ) (γ) Άσκηση 5. Να εφαρµοστούν οι τύποι α) τραπεζίου, β) Simpson, και γ) /8 για να προσεγγιστούν τα ολοκληρώµατα ) I. = + d ) I Απάντηση:. ) I d = d. = + = + =.46 α) =. =.. I f + f (.) =.44 β) = (. ) / =.5.5 I f + 4 f (.5) + f (.).46 γ) = (. ) / =.. I f + f + f + f (.).46 8. ) I 4 = 4 = = 4.75 α) = = I f f + = =.5 = /=.5 β).5 I f + 4 f (.5) + f =.6958 = /= γ) I f + f + f + f =.76 8. Άσκηση 6. Να εφαρµοστεί ο σύνθετος τύπος τραπεζίου, µε n = 6, για την προσέγγιση του παρακάτω ολοκληρώµατος: 7/8
Ιαν. 9 I = + d Απάντηση: Η ακριβής τιµή του ολοκληρώµατος είναι: Αφού.76 ( ) I = + =. 6, διαιρούµε το διάστηµα [,] σε 6 υποδιαστήµατα πλάτους n = = 6=.5 το καθένα και κατόπιν εφαρµόζουµε τον απλό τύπο τραπεζίου σε καθένα απ αυτά: I ( ) ( ) ( ) f + f + f + f + f + f + + f + f 5 για να πάρουµε I.. Άσκηση 7. Να προσεγγιστεί το I.5 e d = µε τον τύπο των /8. Απάντηση: Έχουµε = (.5 ) =.5, άρα ο τύπος δίνει: I.5 f ( ) + f + f ( ) + f (.5 ) = 4.775 8. Ας σηµειωθεί ότι για τη συνάρτηση e δεν υπάρχει γνωστός τύπος που να δίνει το (αόριστο) ολοκλήρωµά της. Να λοιπόν ένα παράδειγµα συνάρτησης που παρόλο που ξέρουµε τον τύπο της δεν έχουµε άλλη επιλογή για τον υπολογισµό του ολοκληρώµατός της από τους τρόπους που µας δίνει η Αριθµητική Ανάλυση. 8/8