Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler

ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 1 Κίνηση πλανητών Νόµοι του Kepler q Τρεις οι νόµοι του Kepler: Ø Oι πλανήτες κινούνται σε ελλειπτικές τροχιές µε τον ήλιο σε µια εστία τους. Ø Η επιβατική ακτίνα ενός πλανήτη διαγράφει ίσα εµβαδά σε ίσους χρόνους Ø Το τετράγωνο της περιόδου ενός πλανήτη είναι ανάλογο του κύβου του µέγιστου ηµιάξονα της ελλειπτικής τροχιάς του µε µια σταθερά αναλογίας που δεν εξαρτάται από την µάζα του πλανήτη: T 2 = 4π 2 GM a3

ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 2 Σχετικά µε ελλείψεις Ø F 1 και F 2 είναι οι εστίες της έλλειψης Είναι σε απόσταση c από το κέντρο Ø Η µεγαλύτερη απόσταση διαµέσου του κέντρου ονοµάζεται κύριος άξονας της έλλειψης Ο α είναι ο µεγάλος ηµιάξονας. Ø Η µικρότερη απόσταση διαµέσου του κέντρου ονοµάζεται δευτερεύων άξονας της έλλειψης Ο b είναι ο µικρός ηµιάξονας. Ø Η εκκεντρότητα της έλλειψης ορίζεται ως: Για κυκλική τροχιά: e = 0 e = Η εκκεντρότητα παίρνει τιµές στο διάστηµα: 0 < e < 1 Ø Η εκκεντρότητα µιας παραβολικής τροχιάς (Ε = 0) είναι: e = 1 Ø Η εκκεντρότητα µιας υπερβολικής τροχιάς (E > 0) είναι: e > 1 c a

ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 3 Σχετικά µε ελλειπτικές τροχιές πλανητών Ø Ο ήλιος είναι σε µια εστία της έλλειψης Η άλλη εστία είναι κενή Ø Αφήλιο ονοµάζεται το πιο αποµακρυσµένο από τον ήλιο σηµείο της έλλειψης. Η απόσταση του αφηλίου είναι: α + c Για µια τροχιά γύρω από την γη το σηµείο αυτό ονοµάζεται απόγειο. περιήλιο ήλιος αφήλιο Ø Περιήλιο ονοµάζεται το πιο κοντινό στον ήλιο σηµείο της έλλειψης Η απόσταση του περιηλίου είναι: α - c Για µια τροχιά γύρω από το γη το σηµείο αυτό ονοµάζεται περίγειο

ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 4 Ο 1 ος νόµος του Kepler Ø Μια κυκλική τροχιά είναι ειδική περίπτωση της γενικής ελλειπτικής τροχιάς. Ø Είναι αποτέλεσµα της εξάρτησης από το r -2 της βαρυτικής δύναµης Ø Ελλειπτικές (και κυκλικές) τροχιές επιτρέπονται για δέσµια σώµατα Ένα σώµα είναι δέσµιο όταν περιφέρεται γύρω από το κέντρο έλξης Ένα σώµα µη δέσµιο θα περάσει αλλά δε θα επιστρέψει Αυτά τα σώµατα θα έχουν τροχιές που είναι παραβολές (e = 1) ή υπερβολές (e > 1) κύκλος έλλειψη παραβολή υπερβολή

ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 5 Ο 2 ος Νόµος του Kepler q Είναι αποτέλεσµα της διατήρησης της στροφορµής q Η βαρυτική έλξη δεν προκαλεί ροπή è L = σταθ. Ηλιος q Μπορούµε να τον αποδείξουµε εύκολα: Ήλιος κινείται πιό αργά εδώ Σε χρόνο dt, η ακτίνα σαρώνει το εµβαδό da! που είναι το µισό του παραλληλογράµµου: r d r! Αλλά d! r =! υdt = rdθ da = 1 2 r( rdθ ) da dt = 1 2 r dθ 2 dt da dt = 1 2 r 2!θ = mr 2!θ 2m = L 2m da L = σταθ. dt = σταθ. κινείται πιο γρήγορα εδώ εµβαδική ταχύτητα = σταθ. Ο 2 ος νόµος του Κepler ισχύει για οποιαδήποτε κεντρική δύναµη ανεξάρτητα από το αν ακολουθεί το νόµο r -2.

ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 6 Ο 3 ος Νόµος του Kepler q Μπορεί να προβλεφθεί από το νόµο της παγκόσµιας έλξης και το 2 ο νόµο του Newton: G M m Hλιου πλανητη υ 2 = m r 2 πλανητη r υποθέτοντας κυκλική τροχιά q Η βαρυτική δύναµη προκαλεί κεντροµόλο δύναµη και εποµένως q Λύνοντας ως προς Τ θα έχουµε: T 2 = 4π 2 GM Hλιου r 3 = K H r 3 υ = 2πr T Η σταθερά Κ Η εξαρτάται από τη µάζα του ήλιου και όχι του πλανήτη q Τα παραπάνω µπορούν να επεκταθούν και για ελλειπτικές τροχιές αντικαθιστώντας r µε α (το µεγάλο ηµιάξονα της έλλειψης) T 2 = 4π 2 GM Hλιου a3 = K H a 3 Ø Από την απόσταση ήλιου-γης και την περίοδο της γης βρίσκουµε Μ ήλιου

Παράδειγµα Ένας πλανήτης κινείται σε ελλειπτική τροχιά γύρω από τον ήλιο. Εάν γνωρίζετε την ταχύτητά του στο σηµείο του περιήλιου, υ π, υπολογίστε την ταχύτητά του στο σηµείο του αφήλιου, υ α. ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 7 περιήλιο ήλιος αφήλιο Η στροφορµή του πλανήτη σε σχέση µε τον ήλιο διατηρείται. Η στροφορµή δίνεται από τη σχέση L = m πλανητη r υ Στα σηµεία του περιηλίου και αφηλίου η ακτίνα είναι κάθετη στην ταχύτητα: L π = m πλανητη r π υ π L α = m πλανητη r α υ α L π = L α m πλανητη r π υ π = m πλανητη r α υ α υ α = r π r α υ π

Μελανές Οπές Black Holes ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 8 q Μελανή οπή είναι το αποµεινάρι ενός αστέρα που συνεθλίβει κάτω από το δικό του βαρυτικό πεδίο q Είδαµε ότι η ταχύτητα διαφυγής δίνεται από την σχέση: v 0 = 2GM R Ø Η ταχύτητα διαφυγής για την περίπτωση µιας µελανής οπής είναι πολύ µεγάλη εξαιτίας της µεγάλης συγκέντρωσης µάζας µέσα σε µια σφαίρα πολύ µικρής ακτίνας. Αν η ταχύτητα διαφυγής ξεπεράσει την ταχύτητα του φωτός τότε ακτινοβολία δεν µπορεί να διαφύγει και εµφανίζεται σα µελανό σώµα. Ø Από στη σχέση της ταχύτητας διαφυγής αντικαταστήσουµε όπου v 0 = c τότε παίρνουµε: R S = 2GM c 2 ακτίνα Schwarzchild (1916) Για Μ ~ 3M Ήλιου ένας αστέρας µπορεί να γίνει µελανή οπή. Στην περίπτωση αυτή R s = 9 km Η πυκνότητα αυτής της µελανής οπής είναι: σ = 2M Hλιου = 2M Hλιου V 4π 3 R 3 S σ = 6 10 17 kgr /m 3

Μελανές οπές και Γαλαξίες ΦΥΣ 111 - Διαλ.29 9 Υπάρχουν ενδείξεις ότι µελανές οπές πολύ µεγάλης µάζας υπάρχουν στο κέντρο των γαλαξιών Η θεωρία προβλέπει ότι πίδακες ύλης (jets) πρέπει να είναι ανιχνεύσιµοι κατά µήκος του άξονα περιστροφής της µελανής οπής Φωτογραφία του γαλαξία Μ87 από το τηλεσκόπιο Hubble. Ο πίδακας ύλης θεωρείται σαν ένδειξη ότι υπάρχει µια πολύ µεγάλης µάζας µελανή οπή Να σηµειώσουµε εδώ ότι οι σχέσεις που βρήκαµε στηρίζονται στους νόµους του Newton που δεν έχουν εφαρµογή σε ταχύτητες κοντά στην ταχύτητα του φωτός. Ωστόσο είναι από τις λίγες περιπτώσεις που τα αποτελέσµατα της σχετικιστικής δυναµικής συµφωνούν µε αυτά της κλασικής

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 10 Quiz Ø Γράψτε σε μια σελίδα το όνομά σας και τον αριθμό ταυτότητάς σας Έτοιµοι;

Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά Θεωρήστε µιά χάντρα η οποία κινείται σε µια κυκλική περιφέρεια. ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 11 Διαγράφει µια γωνιακή µετατόπιση θ σε χρόνο t. Η χάντρα διαγράφει την απόσταση S S t = rθ t = ωr Μέση γωνιακή ταχύτητα Μέση εφαπτοµενική ταχύτητα ω θ t v = ω r Μπορούµε ακόµα να πούµε ότι ω = Δθ Δt lim Δθ Δt 0 Δt = dθ dt Εποµένως ορίζουµε την στιγµιαία γωνιακή ταχύτητα ω = dθ dt Και εποµένως στιγµιαία εφαπτοµενική ταχύτητα v = ωr για r = σταθ

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 12 Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά q Παίρνοντας την προηγούµενη σχέση, v = ωr γράφουµε: ds dt = r dθ d 2 S dt dt 2 = r d 2 θ dt dv 2 dt = r dω dt a εφ = rα Eφαπτομενική επιτάχυνση Γωνιακή επιτάχυνση Ξέρουµε ότι σε σώµα που κινείται σε κυκλική τροχιά ενεργεί η κεντροµόλος επιτάχυνση η οποία έχει φορά ΠΑΝΤΑ προς το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και ευθύνεται για την αλλαγή της διεύθυνσης της ταχύτητας: a r = v2 r = (ωr)2 r a r = ω 2 r

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 13 Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά q Η ολική γραµµική επιτάχυνση ενός σώµατος που εκτελεί περιστροφική κίνηση είναι: a = a εφ + a r a = a 2 εφ + a 2 r = r 2 α 2 + ω 4 r 2 a = r α 2 + ω 4 q Συνοψίζοντας, στη περιστροφική κίνηση έχουµε εξισώσεις κίνησης για σταθερή γωνιακή επιτάχυνση και σταθερή εφαπτοµενική επιτάχυνση: v = v 0 + a εφ t v 2 = v 0 2 + 2a εφ l ωr = ω 0 r + rαt ω = ω 0 + αt θ = θ 0 + ω 0 t + 1 2 αt 2 ω 2 = ω 0 2 + 2α(θ θ 0 )

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 14 Περιστροφή στερεού σώµατος - Εισαγωγικά q Υπάρχει εποµένως µια πλήρης αντιστοιχία µεταξύ των εξισώσεων της ευθύγραµµης κίνησης µε σταθερή γραµµική επιτάχυνση και της περιστροφικής µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση Ευθύγραµµη κίνηση µε σταθερή γραµµική επιτάχυνση α = σταθ. v = v 0 + αt Περιστροφική κίνηση γύρω από σταθερό άξονα µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση α = σταθ ω = ω 0 + α t x = x 0 + v 0 t + ½ αt 2 θ = θ 0 + ω 0 t + ½ α t 2 v 2 = v 0 2 + 2α(x-x 0 ) ω 2 = ω 0 2 + 2 α (θ-θ 0 ) x - x 0 = ½ (v+v 0 )t θ - θ 0 = ½ (ω+ω 0 )t

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 15 Περιστροφική κίνηση στερεών - Εισαγωγικά q Η απόδειξη των εξισώσεων κίνησης για την στροφική κίνηση είναι απλή: α = dω dt αdt = dω α dt = dω αt = ω ω 0 q Aν ολοκληρώσουµε και πάλι την τελευταία σχέση ω = dθ dt dθ = ωdt dθ = ωdt = (ω 0 + αt)dt θ θ 0 = ω 0 t + 1 2 αt 2

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 16 Περιστροφική κίνηση στερεών - Εισαγωγικά q Το µέγεθος ω είναι διανυσµατικό όταν η γωνία θ µετριέται σε ακτίνια. Η διεύθυνσή του είναι παράλληλη προς τον άξονα περιστροφής και η φορά του ορίζεται σύµφωνα µε τον κανόνα του δεξιόστροφου κοχλία ή χεριού: Ο δείκτης του χεριού ακολουθεί την φορά του θ ο αντίχειρας δείχνει τη φορά του ω q Όταν εξετάσαµε τη κυκλική κίνηση είδαµε ότι η διεύθυνση του ω ορίζεται από την διανυσµατική εξίσωση v = ω r q H γωνιακή επιτάχυνση α έχει την ίδια διεύθυνση µε αυτή του ω Αν η φορά της είναι ίδια µε της ω, η περιστροφή αυξάνει ενώ στην αντίθετη περίπτωση επιβραδύνεται.

Περιστροφική κίνηση στερεού - Εισαγωγικά q Στην περίπτωση περιστροφής γύρω από σταθερό άξονα επειδή η γωνία θ που σαρώνεται είναι ίδια για όλα τα σηµεία, έπεται ότι: Ø Όλα τα σηµεία του στερεού περιστρέφονται µε την ίδια γωνιακή ταχύτητα και γωνιακή επιτάχυνση Ø Η γραµµική τους ταχύτητα δεν είναι ίδια αφού βρίσκονται σε διαφορετικές αποστάσεις από τον άξονα περιστροφής. ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 17 Σώμα επιταχύνεται α παρ/λη προς ω Σώμα επιβραδύνεται α αντι-παρ/λη προς ω

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 18 Παράδειγµα Γωνιακή ταχύτητα CD player: Η µουσική είναι γραµµένη σε αύλακα κατά µήκος µιας σπειροειδούς διαδροµής 5.4km. To laser παρακολουθεί την αύλακα µε σταθερή γραµµική ταχύτητα v = 1.2m/s. H τροχιά ξεκινά σε ακτίνα r = 2.3cm και τελειώνει σε ακτίνα r = 5.9cm. Ποια είναι η αρχική και τελική γωνιακή ταχύτητα? Ø Για να κρατήσουµε την γραµµική ταχύτητα σταθερή σηµαίνει ότι η γωνιακή ταχύτητα ω µεταβάλλεται παλιοµοδίτικο ω i = v r i = 52.2rad /s ω f = v r f = 20.3rad /s

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 19 Παράδειγµα Γωνιακή επιτάχυνση q Αγωνιστικό αυτοκίνητο κάνει µια στροφή ακτίνας 50m µε γωνιακή ταχύτητα ω = 0.6rad/s και γωνιακή επιτάχυνση α = 0.20rad/s 2. Ποιες οι τιµές της γραµµικής ταχύτητα v, α r, α εφ, και ολικής γραµµικής επιτάχυνσης α? α r α α εφ ω α v = ωr = 30m / s a r = v2 r a = = 18m / s2 a εφ = rα = 10m / s 2 a 2 2 r + a εφ = 21m / s 2 tanθ = a r aεφ θ = tan 1 a r a εφ = 61 0

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 20 Παράδειγμα Ρίψη δίσκου Ένας δισκοβόλος στρέφεται µε γωνιακή επιτάχυνση α =50rad/s 2, κινώντας το δίσκο σε κύκλο ακτίνας 0.80cm. Θεωρούµε το χέρι του σα στερεό σώµα κι έτσι η ακτίνα είναι σταθερή. Ποια η εφαπτοµενική και ακτινική επιτάχυνση του δίσκου και ποιο το µέγεθος της επιτάχυνσης τη στιγµή που η γωνιακή ταχύτητα είναι 10 rad/s. Από τη στιγµή που ο δίσκος κινείται σε κυκλική τροχιά η εφαπτοµενική επιτάχυνση θα είναι a εφ = rα = (50rad / s 2 )(0.8rad) = 40m / s 2 a r = ω 2 r = (10rad / s) 2 (0.8rad) = 80m / s 2 α = a 2 2 r + a εφ = 89m / s 2

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 21 Παράδειγµα Προπέλα αεροπλάνου Λύση Μετατρέπουμε πρώτα τα rpm σε rad/s. ω = 2400rpm = 2400 rev 2π min 1 rev 1min 60s = 251rad / s Σχεδιασμός της προπέλας ενός αεροπλάνου: Θέλετε να κινείται με 2400rpm. H ταχύτητα του αεροπλάνου προς τα εμπρός πρέπει να είναι 75m/s, ενώ η ταχύτητα των άκρων της προπέλας δεν πρέπει να ξεπερνούν τα 270m/s Ποια η μέγιστη ακτίνα που θα πρέπει να έχει η προπέλα? (β) με αυτή την ακτίνα ποια είναι η επιτάχυνση των άκρων της προπέλας? v Α H εφαπτομενική ταχύτητα των άκρων της προπέλας, v P, είναι κάθετη στην εμπρόσθια ταχύτητα του αεροπλάνου, v A v ολ = v p + v A v ολ = ω 2 r 2 + v 2 A r = v 2 2 ολ v A = 2702 75 2 = 1.03m ω 2 251 2 v π vολ =270m/s Η γωνιακή ταχύτητα της προπέλας είναι σταθερή, επομένως υπάρχει μόνο κεντρομόλος επιτάχυνση: a r = ω 2 r = 6.5 10 4 m /s 2 F = 6.5 10 4 N

ΦΥΣ 111 - Διαλ.30 22 Παράδειγµα Δίσκοι ταχυτήτων ποδηλάτου Πως σχετίζονται τα «δόντια» των δίσκων των ταχυτήτων του ποδηλάτου με τις γωνιακές ταχύτητες των δίσκων Επομένως: υ = ω ε r ε = ω π r π ω π ω ε = r ε r π Η αλυσίδα δεν γλιστρά και δεν επιμηκύνεται πάνω στους δίσκους και επομένως έχει την ίδια εφαπτομενική ταχύτητα (1) Τα δόντια είναι ισοκατανεµηµένα στην περιφέρεια των δίσκων έτσι ώστε η αλυσίδα να κουµπώνει το ίδιο σε κάθε δίσκο: 2πr π N π = 2πr ε N ε r π N π = r ε N ε r ε r π = N ε N π (2) Από (1) και (2) έχουµε: ω π ω ε = N ε N π Εποµένως για συγκεκριµένη γωνιακή ταχύτητα µε την οποία κάνουµε pedal, ω ε, ο πίσω δίσκος έχει τη µέγιστη γωνιακή ταχύτητα όταν ο λόγος Ν ε /Ν π είναι µέγιστος, δηλαδή όταν χρησιµοποιούµε µπροστά το δίσκο µε το µεγαλύτερο αριθµό «δοντιών» και πίσω το δίσκο µε το µικρότερο αριθµό «δοντιών»