Για κάθε πίνακα Α ορίζουμε μία τιμή που λέγεται ορίζουσα και συμβολίζεται deta ή Α Ο ορισμός γίνεται επαγωγικά για = 2, 3, 4, και ισχύουν τα εξής: a b Για 22 πίνακα Α = c d, ορίζουμε deta = ad bc a 1 b 1 c 1 Για 33 πίνακα A = [ a 2 b 2 c 2 ], ορίζουμε a 3 b 3 c 3 deta = a 1 det [ b 2 c 2 b 3 c 3 ] c 1 det [ a 2 c 2 a 3 c 3 ] + c 1 det [ a 2 b 2 a 3 b 3 ] Για πίνακα Α, με 3, ισχύει ότι ( Παραλείπεται) i deta = ( 1) ai det Ai, για κάθε, και deta = i1 i ( 1) ai det Ai, για κάθε i Ένας πίνακας Α είναι αντιστρέψιμος τότε και μόνο αν deta 0 1 Ασκήσεις 1) Βρείτε μια βάση και την διάσταση του υπόχωρου S(A), όπου Α = {(1, 2, 2, 1), (1, 3, 1, 4), (0, 1, 1, 1), (3, 9, 8, 12) } x y 0 7 9 2) Εξετάστε για ποια x, y ο πίνακας xy x y 7 είναι αντιστρέψιμος 1 1 0 Αν Α, Β πίνακες, και Ι ταυτοτικός, τότε det(ab) = det(a)det(b), deti = 1 a i Αν [ ] πίνακας m, [ x ] πίνακας 1 και [ b i ] πίνακας m 1, τότε η εξίσωση [ a i ] [ x ] = [ b i ], δηλ η x1 a11 a12 a 1 x 2 b1 a21 a22 a 2 b 2, am1 am2 a m b m x
είναι ισοδύναμη με το σύστημα εξισώσεων: a11x1 a12x2 a1 x b1 a21x1 a22x2 a2x b 2 am 1x1 am2x2 amx b m Με Μ m θα συμβολίζουμε το σύνολο όλων των m πινάκων Αν Α Μ m, τότε ο πίνακας Α ορίζει μια απεικόνιση f A : Μ r Μ mr ως εξής: f A (X) = ΑΧ, για κάθε Χ Μ r Μία απεικόνιση f : R m R λέγεται γραμμική αν έχει τις ιδιότητες: α) f (a + b) = f (a ) + f ( b) β) f (λa) = λ f (a ) για κάθε a, b R m και λ R Χωρίς βλάβη μπορούμε να ταυτίζουμε τους πίνακες 1 με τα διανύσματα του R (δηλ Μ 1 = R ), ως εξής: α 1 α 2 α 3 = (α 1, α 2, α 3,, α ) = a, [ α ] Έστω A πίνακας m, τότε η απεικόνιση f A : R R m με x1 f A ( x 1, x2,, x ) = A x2 Μ m1 = R m x
είναι γραμμική, και αντίστροφα: για κάθε γραμμική φ: R R m υπάρχει πίνακας A ώστε φ = f A Έστω Α = [ai] Μm, και b Μm,1 = R m, τότε ορίζουμε τον επαυξημένο πίνακα a11 a12 a1 b1 a21 a22 a2 b 2 [Α b] = am1 am2 am b m Προφανώς, ο πίνακας [Α b] είναι m ( + 1) Έστω ότι ο πίνακας [Α b] μετά από στοιχειώδεις πράξεις γίνεται [Α b ], τότε οι εξισώσεις Αx = b και Α x = b είναι ισοδύναμες H εξίσωση Αx = b, όπου Α m πίνακας, b R m, έχει λύση ως προς x R τότε και μόνο όταν raka = rak[α b] Έχει μοναδική λύση τότε και μόνο όταν raka = rak[α b] = Έχει άπειρες λύσεις αν raka = rak[α: b] < Αν xμ είναι μία (μερική) λύση της εξίσωσης Αx = b, τότε κάθε λύση της είναι της μορφής x0 + xμ, όπου x0 λύση της (αντίστοιχης ομογενούς) Αx = 0 Το σύνολο των λύσεων x R της εξίσωσης Αx = 0, όπου ΑΜm, και 0 το μηδενικό διάνυσμα του R m, είναι υπόχωρος του R Έχει μοναδική λύση η εξίσωση Αx = 0 (τη μηδενική) τότε και μόνο όταν raka = Ένας πίνακας Α έχει αντίστροφο τότε και μόνο όταν raka = Ασκήσεις 1) Εξετάστε για τις διάφορες τιμές του λ τις λύσεις του συστήματος x y z 1 x 2y z 2 x 3y z w 1 x y z w
2) Ποια είναι η διάσταση του χώρου των λύσεων του συστήματος x1 2x2 x3 x4 0 x1 x2 3x3 x5 0 x x 7x 2x 3x 0 4 5 3) Δείξτε, χωρίς τη χρήση Θεωρήματος, ότι αν ο πίνακας [Α b] είναι κλιμακωτός τότε για να έχει λύση η εξίσωση Αx = b πρέπει και αρκεί να ισχύει raka = rak[α b] IX Οι Ευκλείδειοι χώροι R 2 και R 3 Πρώτα δίνουμε δύο ορισμούς που ισχύουν γενικότερα για τους R : Μέτρο του διανύσματος α R λέμε την τιμή όπου α = ( 1, 2,, ) 2 2 α = 2, 1 2 Ορίζουμε ως εσωτερικό γινόμενο των α, β R την τιμή α β = α1β1 + α2β2 + α3β3 + + αβ, όταν α = (α1, α2,, α), β = (β1, β2,, β) Έστω α, β R 3 ή R 2 μη μηδενικά, τότε α β = α β συνθ, όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα α, β Πόρισμα i) α β = 0 ή κάποιο από τα α, β είναι μηδέν ή τα α, β είναι κάθετα ii) α α = α 2 Μια ευθεία στο R 3 (αντίστοιχα στο R 2 ) είναι το σύνολο των σημείων (x, y, z) της μορφής {ta + b: tr} όπου a, b διανύσματα του R 3 (αντίστοιχα του R 2 ) με a 0 Αυτός ο τρόπος παράστασης της ευθείας λέγετε παραμετρικός Η ευθεία {ta + b: tr} είναι παράλληλη προς το διάνυσμα a και περνά από το σημείο b Ένα επίπεδο στο R 3 είναι το σύνολο των σημείων (x, y, z) της μορφής {ta + sb + c: t, sr}, όπου a, b, c διανύσματα του R 3, τα a, b διάφορα του 0 και μη παράλληλα
Αυτός ο τρόπος παράστασης του επιπέδου λέγετε παραμετρικός Το επίπεδο {ta + sb + c: t, sr} είναι παράλληλο προς τα διανύσματα a, b και περνά από το σημείο c Μία ευθεία στο R 2 αποτελείται από σημεία (x, y) που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής ax + by = c, όπου a, b, c R σταθερές με a + b 0 Το διάνυσμα ( a, b) είναι κάθετο στην ευθεία Ένα επίπεδο αποτελείται από σημεία (x, y, z) που ικανοποιούν μια εξίσωση της μορφής ax + by + cz = d, όπου a, b, c, d R σταθερές με a + b + c 0 Το διάνυσμα a = (a, b, c) είναι κάθετο στο επίπεδo Εξωτερικό γινόμενο στο R 3 Ορίζουμε ως εξωτερικό γινόμενο των α, β R 3 την τιμή α2 α3 α1 α3 α1 α2 αβ = (, -, 2 3 1 3 1 2 ), e 1 e 2 e 3 όταν α = (α1, α2, α3), β = (β1, β2, β3) Συμβολικά: αβ = α 1 α 2 β 1 β 2 α 3 β 3 Όπου e 1 = (1,0,0), e 1 = (0,1,0), e 1 = (0,0,1) Έστω α, β R 3 μη μηδενικά, τότε: i) Το αβ είναι κάθετο στα α, β ii) αβ = α β ημθ, όπου θ η γωνία που σχηματίζουν τα α, β Πόρισμα i) Το αβ ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου που έχει τα α, β πλευρές γ γ γ ii) Το (αβ) γ = α α α ισούται με το όγκο του παραλληλεπιπέδου που έχει τα α, β, γ ακμές iii) i) αβ = 0 ή κάποιο από τα α, β είναι μηδέν ή τα α, β είναι παράλληλα