Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α ΒΑΣΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ 4 Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 5 + d (988) 4 Αν I v π 4 v = εϕ d, ν Ν*, τότε: ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε ν>, ισχύει: Iv = Iv v β) Ν υπολογίσετε το Ι 5 (99) 4 Ν βρεθεί πολυωνυµική συνάρτηση f µε ικνοποιεί τις κόλουθες συνθήκες : f () = +β +γ,, β, γ, R, η οποί ) Η f είνι περιττή β) Η f προυσιάζει τοπ µέγιστο στο = γ) f ()d= (99) 44 Η συνάρτηση g έχει συνεχή πράγωγο στο [, π] κι g( ) e π π = Αν ν βρεθεί το g() 45 Αν η συνάρτηση g έχει συνεχή πράγωγο στο [, ] κι ικνοποιεί τη σχέση: π (g() + g ())e d=, (99) g ()d= 99 g()d, ν βρεθεί το g() (99) 46 Έστω συνάρτηση f ορισµένη στο R µε συνεχή δεύτερη πράγωγο στο R, η οποί προυσιάζει τοπικό κρόττο στο = κι η γρφική της πράστση διέρχετι πό το σηµείο Α(, ) 8 Αν ισχύει: [f () + f ()]d =, ν υπολογίσετε το f () (994) 47 Η συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, β] κι ισχύει ότι : f () + f ( +β c) = c, [, β],c R β +β β Ν ποδείξετε ότι: f ()d = ( β )f ( ) = [f ( ) + f ( β)] (996) 48 Θεωρούµε τη συνάρτηση f () = + +λ, λ R ) Ν υπολογίσετε την τιµή του λ ν είνι γνωστό ότι: f () lim = + β) Γι την τιµή του λ που βρήκτε πρπάνω, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ : I = d f () 7 (996)

Û Ù fi Ô 49 ίνετι η συνάρτηση ϕ (t) = t +µ, t R όπου η πράµετρος µ είνι πργµτικός ριθµός Μι επιχείρηση έχει έσοδ E(t) που δίνοντι σε εκτοµµύρι δρχµές µε τον τύπο E(t) = (t ) ϕ(t), t, όπου t συµβολίζει το χρόνο σε έτη Το κόστος λειτουργίς K(t) της επιχείρησης, δίνετι επίσης σε εκτοµµύρι ευρώ µε τον τύπο: K(t) =ϕ (t+ 4), t ) Ν βρείτε τη συνάρτηση κέρδους P(t), γι t, ότν γνωρίζουµε ότι κτά το πρώτο έτος λειτουργίς η επιχείρηση προυσίσε ζηµί δώδεκ εκτοµµύρι ευρώ β) Ποι χρονική στιγµή θ ρχίσει η επιχείρηση ν προυσιάζει κέρδη; γ) Ποιος θ είνι ο ρυθµός µετβολής της συνάρτησης κέρδους στο τέλος του δεύτερου έτους; 6 δ) Ν υπολογίσετε την τιµή του ολοκληρώµτος: I= P(t)dt (998) 4 ίνετι η συνάρτηση ) Ν δείξετε ότι: + 4 h() = (e e ),, > 4 lim h() = h() = β) Ν µελετήσετε ως προς τ κρόττ την h γ) Αν είνι ρίζ της πρώτης πργώγου κι είνι ρίζ της δεύτερης πργώγου της h, ν βρείτε τη σχέση που συνδέει τ, δ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: 4 ln M= h()d 75 ότν = 8 (998) 4 Έστω: f : R Rσυνεχής συνάρτηση κι 4 I() = [f (t) f (t) + t ]dt, R Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση I προυσιάζει ελάχιστο στο σηµείο : = 5 t f (t)dt 4 Θεωρούµε συνάρτηση f συνεχή στο R ) Ν ποδείξετε ότι: f (+ )d = f ()d 7 7 β) Έστω ότι: 4 f (+ )d = f ()d+ 4 (-ο- ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει τουλάχιστον έν ξ (, 7) τέτοιο ώστε f (ξ) = 4 (-ο- 4) 4 Η συνάρτηση f : R R έχει συνεχή πράγωγο κι ικνοποιεί τη σχέση:, β R µε <β Ν ποδείξετε ότι: ) f ( ) = f ( β ) β f () f ()e d, = β) η εξίσωση f () =, έχει µί τουλάχιστον ρίζ στο (, β) (-ο- 4) wwwstoosedugr 8 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

e 44 ίνετι η συνάρτηση f () = e +, R ) Ν δείξετε ότι η f ντιστρέφετι κι ν βρείτε την f - β) Ν δείξετε ότι η εξίσωση f - () = έχει µονδική ρίζ το γ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: f ()d (-ο-επν) 45 ίνετι η συνάρτηση ) Ν ποδείξετε ότι f () = + lim f () = + β) Ν βρείτε την πλάγι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της f, ότν το τείνει στο γ) Ν ποδείξετε ότι: f () + + f () = δ) Ν ποδείξετε ότι: d= ln( + ) (- ο -Επν) + 46 ίνετι η συνάρτηση f δυο φορές πργωγίσιµη στο R, γι την οποί υποθέτουµε ότι ισχύει f () = κι ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ (, + ) ) Ν ποδείξετε ότι γι κάθε > υπάρχει ξ (, ) τέτοιος ώστε: f () = f ( ξ ) β) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση διάστηµ (, + ) f () h() = + e, > είνι συνάρτηση «-» στο γ) Αν 5 h() = e + + ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ e I= f (+ )d (-4ο-Οµογ) 47 Θεωρούµε τη συνάρτηση f () = ln + e, (, + ) ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο διάστηµ (, + ) β) Ν βρεθούν τ όρι: ln e lim, lim, lim f () + + + γ) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση f () = 5 έχει µονδική λύση στο διάστηµ (, + ) δ) Έστω e f (e) Ν βρείτε την τιµή της πράστσης: Π ln Π= f ()d+ f ()d f () (5-4ο-Οµογ) 9

Û Ù fi Ô + e 48 ίνετι η συνάρτηση f () =, R + e + ) Ν µελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη µονοτονί στο R β) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: d f () γ) Γι κάθε < ν ποδείξετε ότι: f (5 ) + f (7 ) < f (6 ) + f (8 ) (6- ο -Επν) ηµ +λ, ν > 49 ίνετι η συνάρτηση f µε f () = µε λ, µ R ( µ ) +, ν ) Ν βρείτε την τιµή του λ, ώστε η f ν είνι συνεχής β) Ν βρείτε την τιµή του λ, ώστε η f ν είνι πργωγίσιµη στο = γ) Ν ποδείξετε ότι η f δεν είνι - δ) Γι λ = κι µ =, ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ f ()d (8-ο-ΟΕΦΕ) π wwwstoosedugr ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

ΑΝΙΣΟΤΙΚΕΣ ΣΧΕΣΕΙΣ ΒΑΣΙΚΑ ΘΕΩΡΗΜΑΤΑ ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 4 Ν ποδειχθεί ότι: ) Η συνάρτηση f () = είνι γνησίως ύξουσ β) Γι k, ν ποδειχθεί ότι: k k+ k dκι k d k (989) k 4 ) Ν υπολογιστεί το ολοκλήρωµ β) Ν βρεθεί το όριο: + t E(t) = ( ) ln d, t> E (t) lim (99) t ln t 4 Ν βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύει: t e f (t)dt= e e e f (),, R (99) 4 ίνετι η συνάρτηση f () =, > 4 + ) Ν εξετάσετε την f ως προς τη µονοτονί β) Ν υπολογίσετε το + f (t)dt (99) + lim v 44 ίνετι η συνάρτηση f () = e, R, v N * ) Ν µελετήσετε την f ως προς την µονοτονί κι ν βρείτε τ κρόττ κι τ σηµεί κµπής της β) Ν ποδείξετε ότι: v v v e v e d e (99) 45 Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f είνι συνεχής στο [, β] τότε: ) Υπάρχουν m, M R τέτοι ώστε: m( β ) f ()d M( β ) β) Υπάρχει έν τουλάχιστον ξ [, β] τέτοιο ώστε f ()d= f ( ξ)( β ) (99) β β 46 Η συνάρτηση f : R R είνι πργωγίσιµη κι ισχύει f () >, R Ν ποδείξετε ότι η β συνάρτηση F() = f ( t)dt,, β, R είνι πργωγίσιµη κι ότι ν υπάρχει R µε F ( ) = τότε F() =, R (995)

Û Ù fi Ô 47 Θεωρούµε τους πργµτικούς ριθµούς, β µε <<β, τη συνεχή συνάρτηση f : (, + ) R, β γι την οποί ισχύει f (t)dt= κι τη συνάρτηση g() = + f (t)dt, (, ) + Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον (, β) τέτοιο ώστε ν ισχύουν: ) Η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της g στο σηµείο (,g( )) ν είνι πράλληλη στον άξον β) g( ) = + f ( ) (995) 48 Αν g() = f (t)dt, όπου ) το g () u t e f (t) = du, >, t>,ν βρείτε: u β) το lim + g () (995) + π π 49 Ν βρείτε τη συνάρτηση f : (, ) R µε συνεχή δεύτερη πράγωγο, γι τη οποί ισχύουν: f () = 995,f () = κι (995) + f (t) συ vtdt=συ v + f (t) ηµ tdt 4 Ν βρεθεί η συνεχής συνάρτηση f γι την οποί ισχύει: e f ()d= f () + e, R 4 Έστω f συνάρτηση ορισµένη στο R, δυο φορές πργωγίσιµη µε f () >, R Έστω, β R µε < β Ν ποδείξετε ότι: ) f () f ( ) f ( β)( ), [, β ] (996) β) β β β + β (997) f ()d f ( )( ) f ( )( ) 4 ίνετι η συνάρτηση f συνεχής στο R µε f (), R Θεωρούµε τη συνάρτηση: 5 g() = 5+ f (t)dt, R ) Ν ποδείξετε ότι: g( )g() < β) Ν ποδείξετε ότι η εξίσωση g() = έχει µί µόνο ρίζ στο διάστηµ (-, ) (997) wwwstoosedugr ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

4 ίνετι η πργωγίσιµη συνάρτηση f : (, + ) R, γι την οποί ισχύουν: f () >, f () + f () = κι η γρφική πράστση διέρχετι πό το σηµείο Α(, ) ) Ν δείξετε ότι η πράγωγος της f είνι συνεχής στο (, + ) κι ν βρείτε την f f (t) β) Ν δείξετε ότι: f () < dt, < > t t γ) Ν ποδείξετε ότι: e e dt<, > (998) t+ 44 ίνετι η συνάρτηση: f (t) =, t [,4] t+ Α Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ: I 4 = f (t)dt 4 + Β Έστω η συνάρτηση: g() = f (t) e dt, > + t ) Ν ποδείξετε ότι: 4 e e e, t [, 4] κι > β) Ν υπολογίσετε το lim g() + (999-4ο- ) 45 Έστω h :[, + ) R συνεχής συνάρτηση που ικνοποιεί τη h(t) σχέση: h() = 999( ) + dt, Ν ποδείξετε ότι: t ) h() = 999 ln, β) Η h είνι γνησίως ύξουσ στο [, + ) (999-4ο- ) 46 Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση f : R R, που ικνοποιεί τη σχέση: (+ t )f (t)dt= + 6(t + t)dt, R + 5 ) Ν ποδείξετε ότι: f () = + β) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της C f στο σηµείο A(, f ()) (-ο- 4)

Û Ù fi Ô 47 Έστω µί πργµτική συνάρτηση f συνεχής στο σύνολο των πργµτικών ριθµών γι την οποί ισχύουν οι σχέσεις: Α f (), R Β f () = tf (t)dt, R Έστω κόµη g η συνάρτηση που ορίζετι πό τον τύπο g() =, R f () ) Ν δείξετε ότι ισχύει: f () = f () β) Ν δείξετε ότι η συνάρτηση g είνι στθερή γ) Ν δείξετε ότι ο τύπος της συνάρτησης f είνι: f () = + δ) Ν βρείτε το όριο lim (f () ηµ ) (- 4ο) + 48 ίνετι η συνάρτηση f πργωγίσιµη στο R, µε f () = κι τέτοι ώστε ν ισχύει: A(, f ()) f (t)dt e, R Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της C f στο σηµείο 49 ίνετι η συνάρτηση g() = συvtdt, R ) Ν ποδείξετε ότι: g () = συv ηµ, R (-4ο- ) β) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της συνάρτησης g, στο π π σηµείο A(,g( )) (-4ο- 4) 44 ίνετι συνάρτηση f µε συνεχή δεύτερη πράγωγο στο R, που ικνοποιεί τη σχέση: f ()f () + (f ()) = f ()f (), R κι f () = f () = ) Ν βρείτε την f β) Αν g συνεχής συνάρτηση µε πεδίο ορισµού κι σύνολο τιµών το διάστηµ [, ] ν δείξετε g(t) ότι η εξίσωση dt= έχει µονδική λύση στο [, ] (-4ο-Επν) + f (t) wwwstoosedugr 4 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

44 Έστω η πργωγίσιµη συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύουν f () = κι f () f () =, (, + ) f () ) Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση h() = είνι γνησίως ύξουσ στο (, + ) β) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f γ) Ν βρείτε το f (t)dt (-4ο-Οµογ) lim (ln ) 44 ίνετι η συνάρτηση g() = e f (), όπου f πργωγίσιµη στο R µε f () = f ( ) = ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (, ), τέτοιο ώστε: f ( ξ ) = f ( ξ ) β) Αν f () = ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ I( ) = g()d, R γ) Ν βρείτε το όριο lim I( ) (4-ο ) 44 Έστω η συνεχής συνάρτηση f :[, + ) R τέτοι ώστε ) Ν ποδείξετε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο (, + ) β) Ν ποδείξετε ότι f () = e (+ ) γ) Ν ποδείξετε ότι η f () έχει µονδική ρίζ στο [, + ) f () = f (t)dt + δ) Ν βρείτε τ όρι: lim f () κι lim f () (4-4 ο -Επν) + 444 ίνετι συνάρτηση f πργωγίσιµη στο R τέτοι ώστε ν ισχύει f () = f () f () = e, R κι + e ) Ν δειχθεί ότι: f () = ln( ) β) Ν βρεθεί το lim f ( t)dt ηµ γ) ίνοντι οι συνρτήσεις h() = g(), R 7 5 h() = t f (t)dt κι g() = είξτε ότι 7 δ) είξτε ότι η εξίσωση 5 t f (t)dt=, έχει κριβώς µί λύση στο (, ) 8 (5-4ο) 5

Û Ù fi Ô 445 ίνετι η συνεχής συνάρτηση f : R R, γι την οποί ισχύει: Α Ν δείξετε ότι: ) f () =, β) f () = f () lim 5 = Β Ν βρείτε το λ R έτσι ώστε: +λ(f ()) lim = + (f ()) Γ Αν επιπλέον η f είνι πργωγίσιµη µε συνεχή πράγωγο στο R κι f () > f (), R, ν δείξετε ότι: ) f () >, β) f ()d < f () (5-4 ο -Επν) 446 ίνετι η συνάρτηση f πργωγίσιµη στο R γι την οποί ισχύουν e [f () + f '()] + ηµ= f '() γι κάθε R f () = κι συν ) Ν ποδείξετε ότι ο τύπος της f είνι f () =, R κι ότι ισχύει + e f () + f ( ) = συν γι κάθε R, β) Ν βρείτε το lim f (), + γ) Ν υπολογίσετε το ολοκλήρωµ δ) Ν ποδείξετε ότι: I π / = f ()d, π / π 4 π/ (5-4ο-ΟΕΦΕ) f ()d 447 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο R µε f () > κι έστω Ν ποδείξετε ότι: i g() = t f (t)dt ά γι κ θε iiη g είνι συνεχής στο = iii g() < f (t)dt γι κάθε > ivν t f (t)dt = t f (t)dt τότε υπάρχει ένς τουλάχιστον (, ) g( ξ ) = f ( ξ ) R g() = t f (t)dt, t, ξ τέτοιος ώστε: (6-4ο-ΟΕΦΕ) wwwstoosedugr 6 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

448 Έστω f µι συνεχής κι γνησίως ύξουσ συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει f () > ίνετι επίσης συνάρτηση g συνεχής στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει g() > γι κάθε [, ] Ορίζουµε τις συνρτήσεις G() = g(t)dt, [,] ) Ν δειχθεί ότι F() > γι κάθε στο διάστηµ (, ] β) Ν ποδειχθεί ότι f () G() > F() γι κάθε στο διάστηµ (, ] F() = f (t)g(t)dt, [,] γ) Ν ποδειχθεί ότι ισχύει F() F() γι κάθε στο διάστηµ (, ] G() G() δ) Ν βρεθεί το όριο ( f (t)g(t)dt) ( ηµ t dt) lim + 5 ( g(t)d(t)) (7-4 ο ) 449 Οι συνρτήσεις f,g : R R είνι συνεχείς κι γι κάθε πργµτικό ριθµό ισχύουν : f (t)dt = g(t)dt () κι g() () Ν ποδείξετε ότι : ) Η f είνι πργωγίσιµη στο = κι f () = g() β) g() < γι κάθε R γ) f (t)dt f (t)dt γι κάθε R δ) Η εξίσωση f () = g() + έχει τουλάχιστον µί ρίζ στο διάστηµ (, ) (8-4 ο -ΟΕΦΕ) 45 Έστω f µί συνεχής συνάρτηση στο διάστηµ [, ] γι την οποί ισχύει (t )f (t)dt = Ορίζουµε τις συνρτήσεις H() = tf (t)dt, [, ], H() f (t)dt, (, ] + G() = t 6lim, = t t Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι συνεχής στο διάστηµ [, ] β Ν ποδείξετε ότι η συνάρτηση G είνι πργωγίσιµη στο διάστηµ (, ) κι ότι ισχύει H() G () =,< < γ Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει Η()= δ Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ένς ριθµός ξ (, ) τέτοιος ώστε ν ισχύει ξ tf (t)dt f (t)dt (9-4 ο ) =ξ 7

Û Ù fi Ô 45 ίνετι η συνάρτηση ΕΜΒΑ ΟΝ ΧΩΡΙΟΥ f () = + + + ) Ν βρείτε τ διστήµτ µονοτονίς κι τ κρόττ της f β) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον κι τις ευθείες =, = 5 (988) 45 ίνετι η συνάρτηση f () = + ) Ν βρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f β) Ν υπολογίσετε το εµβδόν Ε() του χωρίου που περικλείετε µετξύ της C f, της ευθείς µε εξίσωση y = κι των ευθειών = κι =, µε > γ) Ν υπολογίσετε το όριο του εµβδού Ε() του νωτέρου χωρίου, ότν το τείνει στο άπειρο (99) 45 ) Έστω µι συνάρτηση f συνεχής σε έν διάστηµ κι, β R, µε < β Αν η F είνι µί πράγουσ της f στο [, β] τότε ν ποδείξετε ότι: f ()d= F( β) F( ) β) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι µετξύ της γρφικής πράστσης της f, µε f () = e, του άξον κι των ευθειών = κι = (99) β 454 ίνετι η συνάρτηση ln f () =, > ) Ν βρείτε τ διστήµτ µονοτονίς της f β) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου, το οποίο περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον κι τις ευθείες µε εξισώσεις = κι = 4 (99) e e, < 455 ίνετι η συνάρτηση f () = ln Ν δείξετε ότι η f είνι συνεχής κι ν, υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου το οποίο περικλείετι πό τη C f, τον κι τις ευθείες = κι = e (99) 456 ίνετι η συνάρτηση f () = (+ 4)e, R Ν υπολογιστεί το εµβδόν του χωρίου, που ορίζετι πό τ σηµεί (, y) µε κι y f () (99) wwwstoosedugr 8 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

457 ίνετι η συνάρτηση f () =, R ) Αν η εφπτοµένη της C f στο σηµείο Μ(,8 ), >, ν βρείτε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, την ευθεί ε κι τον άξον y y β) Έστω θ η γωνί που σχηµτίζει η ε µε την ευθεί ΜΟ όπου Ο η ρχή των ξόνων Ν εκφράσετε την εφθ, ως συνάρτηση του κι ν βρείτε τη µέγιστη τιµή της εφθ, ότν το µετβάλλετι (994) 458 ) ίνετι η συνάρτηση g συνεχής στο R κι f () = ( t)g(t)dt Ν ποδείξετε ότι η f είνι δυο φορές πρ/µη κι ν µελετήσετε την f ως προς τ κοίλ ότν g(), R β) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων g() = κι f () = κι την ευθεί = (996) 459 Αν οι συνρτήσεις f, g είνι δυο φορές πργωγίσιµες στο R κι ισχύουν: f () g () = 4, R f () = g () κι f () = g() ) Ν βρείτε τη συνάρτηση: t() = f () g(), R β) Ν βρείτε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f, g (997) 46 ίνετι η συνάρτηση f () = 6 + 9+, R ) Ν µελετήσετε την g ως προς τη µονοτονί κι ν ποδείξετε ότι: f () > R β) Ν βρείτε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό την C f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (999) 46 ίνετι η συνάρτηση f () = ln, > ) Ν ποδείξετε ότι υπάρχει έν µόνο σηµείο της C f στο οποίο η εφπτοµένη είνι πράλληλη στον άξον β) Ν βρείτε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τηc f, τον άξον κι την ευθεί = όπου είνι η θέση του τοπικού κρόττου της f (-ο- ) 4 46 Έστω η συνάρτηση f () = +, > ) Ν ποδείξετε ότι το εµβδόν Ε(λ) του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες =λ κι =λ+, λ> είνι: E( λ ) = λ+ + 4ln( + ) λ β) Ν προσδιορίσετε την τιµή του λ γι την οποί το εµβ Ε(λ) γίνετι ελάχιστο (-4ο- 4) 9

, 46 Έστω f µι πργµτική συνάρτηση µε τύπο: f () = e, > ) Αν η f είνι συνεχής ν ποδείξετε ότι = 9 Û Ù fi Ô β) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης C f της συνάρτησης f στο σηµείο A(4, f (4)) γ) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (-ο) 464 Έστω συνάρτηση f συνεχής στο (, + ), γι την οποί ισχύει: ) Ν δείξετε ότι η f είνι πργωγίσιµη στο (, + ) tf (t) f () = + dt, > β) Ν δείξετε ότι ο τύπος της f είνι: + ln f () =, > γ) Ν βρείτε το σύνολο τιµών της f δ) Ν βρείτε τις σύµπτωτες της C f ε) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τηc f, τον άξον κι τις ευθείες = κι =e (-4ο-Επν) 465 ίνοντι οι πργωγίσιµες στο R συνρτήσεις f, g τέτοιες ώστε ν ισχύει: f (t)dt + g(t)dt = +, γι κάθε R, κι έστω f, C g C οι γρφικές τους πρστάσεις Έστω ότι η εξίσωση f () = έχει δύο λύσεις ρ, ρ µε ρ < < ρ Ν ποδείξετε ότι: i η εξίσωση g () = έχει τουλάχιστον µί λύση στο διάστηµ ( ρ, ρ ) ii υπάρχει έν τουλάχιστον ξ (ρ, ρ ) τέτοιο ώστε g'(ξ) = β Αν η συνάρτηση g είνι κυρτή στο R, ν ποδείξετε ότι: i η συνάρτηση f είνι κυρτή στο R iiη f έχει µόνο έν ελάχιστο στο R, το οποίο προυσιάζετι στο σηµείο = ξ του ερωτ ii γ Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις C f,c g κι τον y y (-4ο-ΟΕΦΕ) wwwstoosedugr 4 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

466 Α Έστω δύο συνρτήσεις h, g συνεχείς στο [, β] Ν ποδείξετε ότι ν β h() > g(), [, β ], τότε κι g()d Β ίνετι η πργωγίσιµη στο R συνάρτηση f, που ικνοποιεί τις σχέσεις: f () f () e =, R κι f () = ) Ν εκφρστεί η f ως συνάρτηση της f β) Ν δείξετε ότι < f () < f (), > γ) Αν Ε είνι το εµβδόν του χωρίου Ω που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f, τις ευθείες =, = κι τον άξον ν δείξετε ότι: < E< f () (-4ο) 4 467 ίνετι η συνάρτηση f () = + 4 + + 4 ) Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο που τέµνει τον άξον y y β) Ν βρείτε τις σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της συνάρτησης f γ) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση τηςf, τον άξον κι τις ευθείες =, = (-ο-οµογ) 468 ίνετι η συνάρτηση f : R R µε f () = κι έστω οι F, G µε + f (t) F() = f (t)dt, G() = dt, /e > /e t Ν ποδείξετε ότι: i Είνι f ( ) = f () γι κάθε R * ii f () γι κάθε R 8 β Γι τους πργµτικούς ριθµούς, β µε < < β ισχύει: f ( ) f ( ) β β γ Ο τύπος της συνάρτησης g µε g () = F() + G(), > είνι g () = ln +, > π δ Αν η συνάρτηση h είνι συνεχής στ σηµεί =, = κι π π h () = F(εφ()) + G(σφ()) µε < <, τότε είνι στθερή στο διάστηµ = [, ] Ν βρεθεί η τιµή της h ε Το εµβδόν του χωρίου που ορίζετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f (), h() κι την ευθεί = είνι ίσο µε (-4 ο -ΟΕΦΕ) 4

469 Έστω η συνάρτηση 5 f () = + + ) Ν µελετήσετε την f ως προς την µονοτονί κι τ κοίλ κι ν ποδείξετε ότι η f έχει ντίστροφη συνάρτηση β) Ν ποδείξετε ότι f (e ) f (+ ), R Û Ù fi Ô γ) Ν ποδείξετε ότι η εφπτοµένη της γρφικής πράστσης της f, στο σηµείο (, ) είνι ο άξονς συµµετρίς των γρφικών πρστάσεων της f κι της f - δ) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f -, τον άξον κι την ευθεί µε εξίσωση = (-ο) 47 ίνετι η συνάρτηση f µε f ''() συνεχή στο R τέτοι ώστε ν ισχύουν: (t + ) f ''(t)dt = tf '(t)dt 4 t f ()dt γι κάθε R, µε () f = κι f '() = Ν ποδείξετε ότι ο τύπος της είνι f () = +, R β Έστω E () το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, τον άξον ' κι τις ευθείες = κι = > Αν το µετβάλλετι µε ρυθµό cm / sec, ν βρείτε το ρυθµό µετβολής του εµβδού E (), τη χρονική στιγµή κτά την οποί = cm γ Θεωρούµε συνεχή συνάρτηση g γι την οποί ισχύει: g() + f () γι κάθε R i Ν ποδείξετε ότι η ευθεί y = + είνι σύµπτωτη της γρφικής πράστσης της g ότν + ii Αν Ε είνι το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της g, την πλάγι σύµπτωτη της στο + κι τις ευθείες = κι =, ν ποδείξετε ότι: E ln 5 (-4 ο -ΟΕΦΕ) 47 Θεωρούµε τη συνάρτηση f : R R, µε ) Ν βρείτε το m ώστε f (), R f () = + m 4 5, m, R,m> β) Αν m= ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C f, τον άξον κι τις ευθείες = κι = (4-ο-Επν) 47 ίνετι η συνεχής συνάρτηση f µε πεδίο ορισµού το διάστηµ = (, + ), γι την οποί ισχύει: f () = + f (t)dt, + ) Ν υπολογίσετε το f () β) Ν ποδείξετε ότι: f () = γ) Ν βρείτε τον τύπο της συνάρτησης f δ) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες = κι =4 (4-4ο-Οµογ) wwwstoosedugr 4 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

47 Οι συνρτήσεις f, g είνι ορισµένες κι πργωγίσιµες στο R µε g () = κι f '() = g (), f () + g () = γι κάθε R Ν ποδείξετε ότι: i g '() = g() f (), R ii Η g είνι γνησίως µονότονη σε κθέν πό τ διστήµτ (,],[, + ) κι έχει κρόττο το β i Ν µελετήσετε την συνάρτηση f ως προς την κυρτότητ κι ν βρείτε τ σηµεί κµπής της ii Ν γράψετε την εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της f στο σηµείο O (,) γ Αν Ε είνι το εµβδόν του χωρίο, που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f κι τις ευθείες y =, =, ν δείξετε, ότι E = + ln[g()] (4-4 ο -ΟΕΦΕ) + e, 474 Θεωρούµε τη συνάρτηση f () =, όπου R ln, > ΑΝ υπολογίσετε τον πργµτικό ριθµό ώστε η συνάρτηση ν είνι συνεχής στο = ΒΑν γι τον πργµτικό ριθµό ισχύει =-: )Ν εξετάσετε ν η f είνι πργωγίσιµη στο = β)ν βρείτε τ διστήµτ µονοτονίς της f γ)ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f, τον άξον κι τις ευθείες = κι =e (5-ο-Οµογ) λ 475 ίνετι η συνάρτηση f () = e, λ> ) είξτε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ β) είξτε ότι η εξίσωση της εφπτοµένης της C f, η οποί διέρχετι πό την ρχή των ξόνων, είνι y=λe Βρείτε τις συντετγµένες του σηµείου επφής Μ γ) είξτε ότι το εµβδόν Ε(λ) του χωρίου, το οποίο περικλείετι µετξύ της C f, της e εφπτοµένης στο Μ κι του άξον y y είνι E( λ ) = λ λ E( λ) δ) Υπολογίστε το lim λ + +ηµλ (5-ο) 4

Û Ù fi Ô 476 Έστω η συνάρτηση f () = (ln ), > ln ) Ν ποδείξετε ότι: f '() =, > β) Ν βρείτε το lim f '() + γ) Ν µελετήσετε τ κοίλ της f κι ν βρείτε το σηµείο της κµπής της δ) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της ln g() =, τον άξον ' κι τις ευθείες = κι = e (5-ο-ΟΕΦΕ) e 477 Θεωρούµε τη συνάρτηση Α Ν ποδείξετε ότι η f είνι «-» f () = + ( ), Β Ν ποδείξετε ότι υπάρχει ντίστροφη συνάρτηση f - της f κι ν βρείτε τον τύπο της Γ ) Ν βρείτε τ κοινά σηµεί των γρφικών πρστάσεων των συνρτήσεων f κι f -, µε την ευθεί y = β) Ν υπολογίσετε το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τις γρφικές πρστάσεις των συνρτήσεων f κι f - (6-ο) 478 ίνετι η συνάρτηση f () = e όπου > iν βρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πράστσης της f στο σηµείο (,f ()) iiν ποδείξετε ότι η f προυσιάζει ελάχιστο το οποίο είνι ρνητικό iii Έστω Ε( ) το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της f, την εφπτοµένη της στο (,f ()) κι τη ευθεί => Ν ποδείξετε ότι: Ε( ) = e β Ν βρείτε το lim E( ) + (6-ο-ΟΕΦΕ) 479 ίνετι η συνάρτηση π f () = ηµ θ όπου θ R µι στθερά µε θ κπ+, κ Z ) Ν ποδειχθεί ότι η f προυσιάζει έν τοπικό µέγιστο, έν τοπικό ελάχιστο κι έν σηµείο κµπής β) Ν ποδειχθεί ότι η εξίσωση f()= έχει κριβώς τρεις πργµτικές ρίζες γ) Αν, είνι οι θέσεις των τοπικών κροτάτων κι η θέση του σηµείου κµπής της f, ν ποδειχθεί ότι τ σηµεί A ( f ( )), B( f ( )), κι Γ ( f ( )), βρίσκοντι στην ευθεί y= ηµ θ,,, δ) Ν υπολογισθεί το εµβδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση της συνάρτησης f κι την ευθεί y = ηµ θ (7-ο) wwwstoosedugr 44 ΘΕΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ -ΟΕΦΕ

48 ίνετι η συνάρτηση g() = dt όπου t, R + t ) Ν µελετήσετε ως προς τ κοίλ τη συνάρτηση g β) Ν ποδείξετε ότι : g() + γι κάθε γ) Ν ποδείξετε ότι : g()+g(-)= γι κάθε R δ) Νδο το εµβδόν Ε του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφπράστση της g, τον άξον κι τις ευθείες =, = είνι E= g() ln τµ (7-4 ο -ΟΕΦΕ) 48 ίνετι η συνάρτηση f µε f () = e, R Α ) Ν την µελετήσετε ως προς τη µονοτονί e e β) Ν ποδείξετε ότι f () = (e ) e +, ν µελετήσετε την f ως προς την κυρτότητ κι ν βρείτε το σηµείο κµπής της γρφικής της πράστσης Β Ν βρείτε τις οριζόντιες σύµπτωτες της γρφικής πράστσης της f Γ Ν πρστήσετε γρφική την f Ν βρείτε το εµβδόν του χωρίου που ορίζετι πό τη γρφική πράστση της f (), τους άξονες, y y κι την ευθεί = ln (8- ο -ΟΕΦΕ) 48 Έστω συνάρτηση f ορισµένη κι πργωγίσιµη στο (, + ) γι την οποί ισχύουν οι σχέσεις : + f ( ) = κι f () = e e Α Ν δείξετε ότι f () = e / Β Ν βρείτε την εξίσωση της εφπτοµένης της γρφικής πράστσης της f() στο σηµείο µε τετµηµένη = Ν δείξετε ότι f ()d> e f () Γ Αν g() =, ν βρείτε το εµβδόν E(t) του χωρίου που περικλείετι πό τη Cg, τον κι τις ευθείες = κι = t µε t> Ν βρείτε το lim E(t) (9-4 ο -ΟΕΦΕ) t + 45