Σειρά Προβλημάτων 4 Λύσεις Άσκηση 1 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. {entry} 0 1 {active} 2 {active, request} 3 {active, response} Να διατυπώσετε τις πιο κάτω προτάσεις στην LTL (αν αυτό είναι εφικτό) και να αποφασίσετε κατά πόσο ικανοποιούνται από τη δομή. (α) Η ατομική πρόταση active ικανοποιείται απείρως συχνά. (β) Η ατομική πρόταση entry ικανοποιείται απείρως συχνά. (γ) Είναι πάντα δυνατή η ικανοποίηση της ατομικής πρότασης entry. (δ) Κάθε αίτημα (request) ακολουθείται από μια ανταπόκριση (response). (ε) Αν από κάποια στιγμή και μετά δεν υπάρξει καινούριο request, τότε θα ικανοποιηθεί απείρως συχνά η ατομική πρόταση entry. (ζ) Η ατομική πρόταση response ικανοποιείται μόνο εφόσον έχει προηγηθεί ικανοποίηση της ατομικής πρότασης request. Λύση: (α) H ατομική πρόταση active ικανοποιείται απείρως συχνά. G F active Η πρόταση ικανοποιείται από την αρχική κατάσταση της δομής αφού κάθε μονοπάτι θα πρέπει να περάσει απείρως συχνά από τουλάχιστον την κατάσταση 1. (β) (γ) (δ) (ε) H ατομική πρόταση entry ικανοποιείται απείρως συχνά. G F entry Η πρόταση δεν ικανοποιείται από την αρχική κατάσταση της δομής. Για παράδειγμα, το μονοπάτι 0123123123123 είναι τέτοιο ώστε η πρόταση entry να ικανοποιείται μόνο από την αρχική κατάσταση. Είναι πάντα δυνατή η ικανοποίηση της ατομικής πρότασης entry. Η πρόταση δεν μπορεί να διατυπωθεί στην LTL Κάθε αίτημα ακολουθείται από μια ανταπόκριση. G (request F response) Η πρόταση ικανοποιείται από την αρχική κατάσταση της δομής αφού σε κάθε μονοπάτι η κατάσταση 2 (ύπαρξη αιτήματος) ακολουθείται από την κατάσταση 3 (ύπαρξη ανταπόκρισης). Αν από κάποια στιγμή και μετά δεν υπάρξει καινούργιο request, τότε θα ικανοποιηθεί απείρως συχνά η ατομική πρόταση entry. FG request GF entry Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 1 από 7
Η πρόταση ικανοποιείται από την αρχική κατάσταση της δομής αφού στα μονοπάτια στα οποία ικανοποιείται η πρόταση FG request (δηλαδή τα μονοπάτια που οδηγούνται στον κύκλο 010101...) ικανοποιείται απείρως συχνά η ατομική πρόταση entry. (ζ) Η ατομική πρόταση response ικανοποιείται μόνο εφόσον έχει προηγηθεί ικανοποίηση της ατομικής πρότασης request. G response G( response U request) Η πρόταση ικανοποιείται από την αρχική κατάσταση της δομής αφού σε κάθε μονοπάτι η κατάσταση 3 (ύπαρξη ανταπόκρισης) ακολουθεί την κατάσταση 2 (ύπαρξη αιτήματος). Άσκηση 2 Να ελέγξετε ποιες από τις πιο κάτω ιδιότητες αποτελούν ταυτολογίες χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία της LTL δίνοντας είτε απόδειξη της συνεπαγωγής είτε κάποιο αντιπαράδειγμα δομής Kripke στην οποία να ικανοποιείται η μία ιδιότητα αλλά όχι η άλλη. i. X (a F a) F a ii. F a X (a F a) iii. GF p FG q FG (F p q) iv. (GF p FG q) FG (F p q) Λύση: i. Χ (a F a) F a Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s και μονοπάτι w που ξεκινά από την s. Έχουμε ότι: ω Χ (a F a) ω 1 a F a ω 1 a ή ω 1 F a ω 1 a ή j 0, τ.ω. (ω 1 ) j a ω 1 a ή j 1, τ.ω. ω j a j 1, τ.ω. ω j a τότε Μ, s F a ii. Από την πιο πάνω απόδειξη παρατηρούμε ότι το αντίστροφο δεν θα ισχύει εάν το a αληθεύει στην αρχική κατάσταση και δεν το βρίσκουμε στη συνέχεια. Αντιπαράδειγμα: a b iii. GF p FG q FG (F p q) Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s και μονοπάτι w που ξεκινά από την s. Έχουμε ότι: Αν w GF p FG q ω GF p και ω FG q (1) i 0, j 0, τέτοιο ώστε (ω i ) j p και (2) k 0, τέτοιο ώστε, m 0 (ω k ) m q Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 2 από 7
(1) i 0, j i, τέτοιο ώστε ω j p και (2) k 0, τέτοιο ώστε, m k ω m q τότε k 0, τέτοιο ώστε, m k, ω m q τότε k 0, τ.ω. m k, ω m F p q k 0, τ.ω. m 0, (ω k ) m F p q w FG (F p q) iv. GF p FG q FG (F p q) Αντιπαράδειγμα όπου ισχύει το αριστερό μέλος (GF p FG q ) αλλά όχι το δεξί FG (F p q). { } q Άσκηση 3 Θεωρήστε την ακόλουθη δομή Kripke. {a} s1 {b} s2 {c} s4 s3 s5 {b, c} {a, b, c} Να αποφασίσετε κατά πόσο οι πιο κάτω CTL ιδιότητες ικανοποιούνται από τη δομή. Να εξηγήσετε τις απαντήσεις σας χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο μοντελοελέγχου της CTL. i. Ε G [(b c) EF AG b] ii. [a EG EX A (b U c)] [a A X A(a U b)] Λύση: Αρχικά μετασχηματίζουμε την ιδιότητα σε μια ισοδύναμη όπου εμφανίζονται μόνο οι τελεστές του αλγόριθμου μοντελοελέγχου και στη συνέχεια δημιουργούμε το δέντρο που αντιστοιχεί στην ιδιότητα. Τέλος, χρησιμοποιώντας τον αλγόριθμο μοντελοελέγχου της CTL υπολογίζουμε τις καταστάσεις στις οποίες ικανοποιείται η ιδιότητα ξεκινώντας από τα φύλλα του δέντρου και προχωρώντας προς τα πάνω. i. EG [(b c) EF AG b] EG [(b c) EF ( EF b)] EG [(b c) E (true U ( E (true U b))] AF [(b c) E (true U ( E (true U b))] Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 3 από 7
{} AF { s1,s2, s3, s4, s5} { s1, s2, s3, s4, s5} {} {s2, s3, s4, s5} EU {} {s3, s4, s5} b c {s2, s3, s5} true {} {s1, s2, s3, s4, s5} {s1, s2, s3, s4, s5} EU true {s1, s2} {s1, s2, s3, s4, s5} {s3,s4, s5} b Η δομή δεν ικανοποιεί την ιδιότητα αφού οι αρχικές της καταστάσεις δεν την ικανοποιούν. ii. [a EG EX A (b U c)] [α ΑΧ Α(aUb)] [ a EG EX A (b U c)] [a EΧ Α (aub)] [ a EG EX ( E[ c U ( b c)] EG c)] [a EΧ (E[ b U ( a b)] EG b)] [ a EG EX ( E[ c U ( b c)] AF c)] [a EΧ (E[ b U( a b)] EG b)] [ a AF (EX (E[ c U ( b c)] AF c))] [a EΧ (E[ b U ( a b)] AF b)] Στο δέντρο που ακολουθεί παρουσιάζονται τα αποτελέσματα του αλγορίθμου για το πρώτο κομμάτι της ιδιότητας ([a EG EX A (b U c)]). Δεδομένου ότι αυτό ικανοποιείται σε όλες τις καταστάσεις και ακολουθεί το λογικό, ο αλγόριθμος θα επιστρέψει όλες τις καταστάσεις Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 4 από 7
{s1, s2, s3, s4, s5} {s1, s2, s3, s4, s5} {s2, s3, s4} {s1, s2, s3, s4, s5} a {s1, s5} AF {} {} EX {s1, s2, s3, s4, s5} {s2, s3, s4, s5} {s1} EU {s1} {} {s1, s4} {s1} {s1, s2, s3, s4, s5} AF {s2, s3, s5} c {s1, s2} {s1, s4} {s2, s3, s5} c {s3, s4, s5} b c {s2, s3, s5} Όλες οι καταστάσεις της δομής ικανοποιούν την ιδιότητα άρα και η δομή ικανοποιεί την ιδιότητα. Άσκηση 4 Δύο ιδιότητες φ και ψ είναι ισοδύναμες μεταξύ τους, φ ψ, αν, για κάθε δομή Kripke M, M φ M ψ. Να αποφασίσετε ποια από τα πιο κάτω ζεύγη προτάσεων περιέχουν ισοδύναμες προτάσεις. Αν δύο προτάσεις είναι ισοδύναμες να δώσετε απόδειξη χρησιμοποιώντας τη σημασιολογία, διαφορετικά, να παρουσιάσετε δομή Kripke στην οποία να ικανοποιείται η μία ιδιότητα αλλά όχι η άλλη. i. EG p EF q (EG p) E(p U q) Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 5 από 7
Λύση ii. AG p AF q (AG p) A(p U q) iii. A (p U q) q [p A X A(p U q)] i. Οι ιδιότητες δεν είναι ισοδύναμες και αυτό φαίνεται από το πιο κάτω αντιπαράδειγμα. Σε αυτό ικανοποιείται το αριστερό μέλος αλλά όχι και το δεξί. {p} {p} {p} {} {q} ii. iii. H ισοδυναμία ισχύει. Ακολουθεί η απόδειξη. Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s, τότε Μ, s AG p AF q Μ, s AG p και Μ, s AF q σε κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s ισχύει ότι Μ, w G p και Μ, w F q σε κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, για κάθε i 0, Μ,w[i] p και υπάρχει j 0 τ.ω. Μ, w[j] q σε κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, για κάθε i 0, Μ,w[i] p και για κάθε i 0 Μ, w[i] p και υπάρχει j 0 τ.ω. Μ, w[j] q σε κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, για κάθε i 0, Μ,w[i] p και υπάρχει j 0 Μ, w[j] q και για κάθε 0 < i j Μ, w[i] p σε κάθε μονοπάτι w που ξεκινά από την s, Μ, w G p και Μ, w p U q Μ, s AG p και Μ, s A (p U q) Μ, s AG p A (p U q) H ισοδυναμία ισχύει. Ακολουθεί η απόδειξη. Έστω δομή Μ με αρχική κατάσταση s, τότε Αν Μ, s A (p U q) για κάθε μονοπάτι w, M,w p U q για κάθε μονοπάτι w, j 0 τέτοιο ώστε M,w[i] q και i, 0 i < j, M,w[i] p για κάθε μονοπάτι w, είτε M,w[0] q, είτε M,w[0] p και j 1 τέτοιο ώστε M,w[i] q και i, 1 i < j, M,w[i] p είτε M,s q, είτε Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 6 από 7
s p και για κάθε μονοπάτι w, j 1 τέτοιο ώστε M,w[i] q και i, 1 i < j, M,w[i] p είτε M,s q, είτε M,s p και για κάθε μονοπάτι w, M,w 1 p U q είτε M,s q, είτε M,s p και για κάθε μονοπάτι w, M,w[1] A(p U q) είτε s q, είτε M,s p και για κάθε μονοπάτι w, M,w AX A(p U q) M,s q [p AXA(p U q)] Σειρά Προβλημάτων 4 Χειμερινό Εξάμηνο 2017 Σελίδα 7 από 7