ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η μεταβλητή ε t (διαταρακτικός όρος) είναι τυχαία μεταβλητή με μέσο όρο μηδέν. για t = 1,2,3,.,n H διακύμανση της τυχαίας μεταβλητής (διαταρακτικού όρου) ε t είναι σταθερή για όλες τις τιμές της ανεξάρτητης μεταβλητής X t για t = 1,2,3,,n Η υπόθεση αυτή λέγεται υπόθεση της ομοσκεδαστικότητας.

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στους διαταρακτικούς όρους. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές των διαταρακτικών όρων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους ή ότι η συνδυακύμανση δύο διαφορετικών παρατηρήσεων του διαταρακτικού όρου είναι μηδέν. για t s Δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ της ανεξάρτητης μεταβλητής Xt (η οποία δεν είναι τυχαία) και του διαταρακτικού όρου εt για t = 1,2,3,,n

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Το υπόδειγμα της παλινδρόμησης είναι σωστά εξειδικευμένο (η μορφή της συνάρτησης είναι σωστή). Η μαθηματική (προσδιοριστική) σχέση μεταξύ των μεταβλητών Y t και X t είναι γραμμική (linear). Η τυχαία μεταβλητή (διαταρακτικός όρος) ε t ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο μηδέν και σταθερή διακύμανση. Η υπόθεση αυτή ελέγχεται με το test των Jarque-Bera

Υποθέσεις του Απλού γραμμικού υποδείγματος της Παλινδρόμησης Η εξαρτημένη μεταβλητή ακολουθεί την κανονική κατανομή με μέσο και διακύμανση σταθερή.

Θεώρημα των Gauss - Markov Το θεώρημα των Gauss-Markov (Gauss-Markov Theorem) αναφέρει ότι δεδομένου ότι ισχύουν οι υποθέσεις του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης οι εκτιμητές και αποτελούν τους καλύτερους γραμμικούς αμερόληπτους εκτιμητές (Best Linear Unbiased Estimators, BLUE). Πιο συγκεκριμένα σύμφωνα με το θεώρημα των Gauss-Markov οι εκτιμητές και

Θεώρημα των Gauss - Markov 1) Είναι γραμμικές συναρτήσεις των παρατηρήσεων της εξαρτημένης μεταβλητής. 2) Είναι αμερόληπτοι (unbiased). Ένας εκτιμητής είναι αμερόληπτος όταν η αναμενόμενη τιμή του είναι ίση με την τιμή της υπό εκτίμηση άγνωστης τιμής του συντελεστή του πληθυσμού. Επομένως θα έχουμε:

Θεώρημα των Gauss - Markov Είναι αποτελεσματικοί (efficient).μεταξύ όλων των γραμμικών αμερόληπτων εκτιμητών έχουν τη μικρότερη διακύμανση. Είναι συνεπείς (consistent) που σημαίνει ότι με μια μεγάλη αύξηση του δείγματος οι εκτιμητές και συγκλίνουν στους συντελεστές της παλινδρόμησης του πληθυσμού β 0 και β 1.

Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 Είδαμε ότι με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων εκτιμούμε τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος και βρίσκουμε αν οι εκτιμητές και είναι BLUE (άριστοι, γραμμικοί, αμερόληπτοι εκτιμητές). Επίσης, με τη γραμμή παλινδρόμησης του δείγματος προσπαθούμε να ερμηνεύσουμε τη μεταβλητότητα (variation) της μεταβλητής Y που εξηγείται από τις μεταβολές στις τιμές της μεταβλητής της X. Το μέρος της εξαρτημένης μεταβλητής Y που δεν ερμηνεύεται από την ανεξάρτητη μεταβλητή X ερμηνεύεται από τα κατάλοιπα.

Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 Δηλαδή από τη γραμμή της παλινδρόμησης το ερώτημα που τίθεται είναι πόση είναι η μεταβλητότητα της Y που εξηγείται από την παλινδρόμηση και πόση μένει ανεξήγητη, δηλαδή οφείλεται στους τυχαίους παράγοντες. Την αναλογία (ή ποσοστό) της μεταβλητότητας της εξαρτημένης μεταβλητής που ερμηνεύεται από την παλινδρόμηση ονομάζουμε συντελεστή προσδιορισμού (coefficient of determination) και συμβολίζεται με R 2.

Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 Ο συντελεστής προσδιορισμού δεν μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές ή μεγαλύτερες από τη μονάδα, δηλαδή: 0 < R 2 <1 Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του συντελεστή R 2 τόσο καλύτερη είναι η προσαρμογή της γραμμής παλινδρόμησης του δείγματος στα στοιχεία και αντίστροφα.

Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R2

Ο Συντελεστής Προσδιορισμού R 2 Στο παραπάνω σχήμα δίνεται η γραμμή παλινδρόμησης ενός δείγματος που εκτιμήθηκε με τη μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (OLS). Από το σχήμα αυτό παρατηρούμε ότι η απόκλιση της Y από τη μέση τιμή Y του δείγματος, δηλαδή Y - Y αποτελείται από δύο μέρη το και το. Το μέρος αποτελεί το ανερμήνευτο τμήμα της συνολικής μεταβλητότητας της που οφείλεται στα κατάλοιπα. Το άλλο μέρος αποτελεί το τμήμα της μεταβλητότητας της που ερμηνεύεται από την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Η συνολική μεταβλητότητα θα είναι: Για να μετρήσουμε τη συνολική ερμηνευτική ικανότητα της Y υψώνουμε την παραπάνω σχέση στο τετράγωνο αφού πρώτα πάρουμε τα αθροίσματα των παρατηρήσεων του δείγματος οπότε θα έχουμε:

TSS= RSS+ ESS όπου TSS = Συνολικό Άθροισμα των Τετραγώνων (Total Sum of Squares). RSS = Άθροισμα των Τετραγώνων της Παλινδρόμησης (Regression Sum of Squares). ESS = Άθροισμα των Τετραγώνων των Καταλοίπων (Error Sum of Squares).

Ο συντελεστής συσχέτισης(correlation coefficient) Ο συντελεστής συσχέτισης r xy δείχνει τον βαθμό της ταυτόχρονης μεταβολής των μεταβλητών Υ και Χ του απλού γραμμικού υποδείγματος του πληθυσμού και παίρνει τιμές από -1 εώς +1. Ο συντελεστής συσχέτισης r xy ορίζεται από τη σχέση

Ο συντελεστής συσχέτισης(correlation coefficient) Ο συντελεστής r είναι μια άγνωστη παράμετρος του πληθυσμού και σαν εκτιμητής του r χρησιμοποιείται ο συντελεστής συσχέτισης του δείγματος ρ που ορίζεται ως εξής:

Ο συντελεστής συσχέτισης(correlation coefficient) Στο απλό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης του δείγματος, ο συντελεστής συσχέτισης προκύπτει από την τετραγωνική ρίζα του συντελεστή προσδιορισμού R 2

Ποια η διαφορά στην ερμηνεία μεταξύ ρ και R 2 Ο συντελεστής συσχέτισης του δείγματος (ρ) είναι ένας εκτιμητής του συντελεστή συσχέτισης του πληθυσμού (r), ενώ ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 αναφέρεται στο ποσοστό της μεταβλητότητας της Y t που ερμηνεύει η μεταβλητή X t η οποία υποθέτουμε ότι δεν είναι τυχαία. Επιπλέον ο συντελεστής συσχέτισης του δείγματος (ρ) είναι μέτρο της γραμμικής συσχέτισης μεταξύ δύο μεταβλητών, ενώ ο συντελεστής προσδιορισμού μπορεί να αναφέρεται και σε περισσότερες από δύο μεταβλητές. (Gujarati 2003).

Έλεγχος Υποθέσεων Ο στατιστικός έλεγχος των συντελεστών του πληθυσμού β 0 και β 1 προϋποθέτει την ύπαρξη της μηδενικής υπόθεσης (null hypothesis) και της εναλλακτικής υπόθεσης (alternative hypothesis). Άρα οι υποθέσεις που θέλουμε να ελέγξουμε για τους συντελεστές β 0 και β 1 είναι:

Έλεγχος Υποθέσεων Όπου Η 0 συμβολίζει τη μηδενική υπόθεση, και Η 1 την εναλλακτική υπόθεση. Η υπόθεση Η 0 συνήθως υποδηλώνει ότι κάποιο αποτέλεσμα δεν ισχύει. Αν η υπόθεση Η 0 απορρίπτεται τότε γίνεται αποδεκτή η εναλλακτική υπόθεση Η 1. Στην διαδικασία του στατιστικού ελέγχου υπάρχουν τα λάθη τύπου Ι και τύπου ΙΙ. Η κατηγορία τύπου Ι αφορά την πιθανότητα κατά την οποία μετά τη διαδικασία του στατιστικού ελέγχου απορρίπτεται μία αληθής μηδενική υπόθεση. Η κατηγορία λάθους τύπου ΙΙ αναφέρεται στην πιθανότητα μετά το στατιστικό έλεγχο να γίνει αποδεκτή μία ψευδής μηδενική υπόθεση.

Έλεγχος Υποθέσεων Για τον έλεγχο των παραπάνω υποθέσεων χρησιμοποιούμε τη στατιστική t η τιμή της οποίας ορίζεται από τους παρακάτω τύπους: Για α επίπεδο σημαντικότητας η μηδενική υπόθεση απορρίπτεται αν:

Έλεγχος Υποθέσεων Απόρριψη των παραπάνω μηδενικών υποθέσεων σημαίνει ότι οι συντελεστές του πληθυσμού β 0 και β 1 είναι διάφοροι από το μηδέν (στατιστικά σημαντικοί), η γραμμή παλινδρόμησης του πληθυσμού δεν περνάει από την αρχή των αξόνων, και ότι υπάρχει σχέση ανάμεσα στις μεταβλητές Y και Χ.

Δίπλευρος Έλεγχος με την Κατανομή t

Εκτίμηση της Συνάρτησης της Εθνικής Ιδιωτικής Κατανάλωσης