Nhưng... Resultant, Discriminant, Galois resolvent, Tschirnhaus s transformations, Bring and Jerrard s

Một số lớp phương trình bậc co giải được nhờ phương trình bậc và phương trình bậc 3 Nguyễn Quản Bá Hồng Sinh viên kho toán tin, Trường Kho Học Tự Nhiên TP HCM Emil: Nguyenqunbhong@gmil.com 09.05.015 Tóm tắt nội dung Bài viết này xoy qunh 3 chủ đề su: i. Nhắc lại phương pháp giải phương trình bậc, bậc 3, bậc 4 dạng tổng quát. ii. Tìm hiểu một số dạng phương trình bậc 3, bậc 4 có cách giải đặc biệt. iii. Xây dựng một số "lớp" phương trình bậc co giải được nhờ phương trình bậc và 3. 1 Lời giới thiệu Có lẽ phần tôi cảm thấy thích đầu tiên khi học toán ở Trung học cơ sở đó là phương trình không phải do viết bài viết về phương trình nên mới nói như vậy đâu nhé). Có khá nhiều lý do vì điều đó, để tôi kể vài lý do củ tôi thử. Lý do thứ nhất là tiện: chỉ cần giấy, viết, là có thể làm phương trình ở mọi lúc mọi nơi rồi, nếu có thêm một cái máy Csio thì càng ngon nữ - không như hình học, tôi đã quá mệt mỏi với việc phải mu thước mới, comps mới su mỗi tuần học :[. Lý do thứ hi là không có quá nhiều sự lự chọn, vì ở cấp chư có những thứ hấp dẫn như số học, tổ hợp, phương trình hàm,... chỉ có hình với đại số thôi, mà hình thì các bạn biết rồi đấy, cho nên tôi chọn ngy đại số, và trong đại số thì tôi chọn phương trình. Lý do tiếp theo để bo biện sự lự chọn củ tôi), đó là vẻ đẹp đơn giản ở hình thức củ nó: chỉ cần một dòng công thức thôi là đã đủ cho tất cả. Thêm một lý do nữ, đó là thương thầy cô, tôi không muốn ngủ gật trong lớp làm thầy cô buồn, nên đành phải kiếm gì đó để làm trong giờ học. Ngoài môn toán r thì các môn khác tôi cảm thấy khá tẻ nhạt, còn môn hình, nếu cầm comps thì dễ bị phát hiện quá. Nên cuối cùng, tôi đành chọn phương trình làm "công ăn chuyện làm" trong những giờ học trên lớp củ mình. Và tôi đã tìm được những niềm vui nho nhỏ trong chủ đề đó. :) Nhưng... Hôm ny, tôi mới bắt đầu đánh những dòng chữ này. Có lẽ khá trễ phải không? Một phần là do điều kiện cá nhân và phần còn lại ki là do một khoảng thời gin tôi mất niềm tin vào niềm đm mê củ mình. Điều đó thật ngu ngốc! Tôi hy vọng bài viết này sẽ là một cột mốc, một khởi đầu cho các bài viết tiếp theo được r đời. :) Về nội dung, bài viết bo gồm những ghi chép nhỏ củ tôi hồi lớp 9, và bổ sung vào một số kiến thức tôi học được ở Trung học phổ thông để hoàn thiện. Nên bạn sẽ thấy bài viết này hoàn toàn sơ cấp. Chỉ đơn giản là biến đổi tương đương, biệt thức Delt, có nghiệm, vô nghiệm,... trong toàn bộ bài viết. Hoàn toàn thiết vắng sự có mặt củ các công cụ cực kỳ mạnh mẽ như Resultnt, Discriminnt, Glois resolvent, Tschirnhus s trnsformtions, Bring nd Jerrrd s 1

trnsformtions,... Hy vọng bạn sẽ thích bài viết này. L A TEX Sơ lược về nội dung bài viết Tiếp theo, bỏ qu những suy nghĩ cá nhân nhằng nhịt. Tôi sẽ giới thiệu chung về bài viết. Trước hết là những thứ chung chung như định nghĩ phương trình, lịch sử phát triển củ phương trình trong toán học, những nhà toán học có công,... Nhưng khon, tôi đã nghĩ lại! Điều đó không cần thiết ở đây lắm. Vì nếu bạn yêu toán, chắc hẳn bạn cũng sẽ thích đọc lịch sử toán học. Việc nhân loại đã giải phương trình bậc, bậc 3, bậc 4 như thế nào, mất bo nhiêu lâu,... chắc hẳn đã quá rõ ràng. Và những tên tuổi gắn liền với lịch sử khởi tạo, phát triển đối tượng đó như Niccolo Trtgli, Gerolmo Crdno, Lodovico Ferrri, Niel Henrik Abel, Évriste Glois,... lại càng rõ ràng hơn nữ! Cho nên: chúng t nên bỏ qu các yếu tố mng tính sử thi và bắt ty ngy vào bài viết. Có một số điểm su: 1. Bài viết sẽ trình bày theo mạch ý tưởng. Nhiều thứ đơn giản - hiển nhiên vẫn được trình bày, và lặp đi lặp lại để kết nối các phần với nhu nhằm tránh "Tại so lại nghĩ được như vậy". Bài viết sẽ hoàn chỉnh hơn.. Bài viết này thiên về tính lý thuyết hơn là kỹ thuật. Sẽ không có một ví dụ cụ thể nào để minh họ cho phần mới trình bày. Bởi vì các "lớp" hàm đ thức trong bài viết phụ thuộc vào các thm số, nên việc tự cho ví dụ là quá dễ dàng. Hơn nữ, tôi cho rằng lớp các hàm đ thức bậc n đã quá rộng so với các dạng đ thức bậc n nào đó rồi, nếu cho ví dụ có số cụ thể sẽ làm yếu đi tiêu đề bài viết rất nhiều phải không? :p 3. Một điều khác là Điều kiện cần - điều kiện đủ đôi khi không được trình bày rạch rồi song song với nhu lắm trong bài viết này. Vì sự tương đương củ các phép biến đổi đại số trên đ thức không làm ảnh hưởng tới điều đó cho lắm, hơn nữ, mục đích củ phần chính là tìm, là xây dựng, nên tôi cho rằng chỉ cần một chiều là đủ, phần còn lại xin nhờ bạn đọc kiểm tr lại giúp. Cuối cùng, do lý do thời gin và hạn chế về kiến thức, nên bài viết đầu tiên này không thể tránh khỏi si sót chắc là khá nhiều). Mọi ý kiến đóng góp xin gửi đến hộp thư Nguyenqunbhong@gmil.com. Remrk: Bài viết xin lược bỏ lý thuyết về phương trình bậc quen thuộc. thật r là để số mục bằng với số bậc cho đẹp ). Su đây, chúng t cùng bắt ty ngy vào phương trình bậc 3 cho nóng.

3 Phương trình bậc 3 Phần này chủ yếu đề cập tới phương trình bậc 3 với hệ số trên trường R. Lưu ý rằng các tính chất trong phần này có thể mở rộng qu trường số C Xét phương trình bậc 3 dạng tổng quát: 0 x 3 + b 0 x + c 0 x + d 0 = 0 1) Với, b, c, d R và 0 0. Chúng t có thể chi vế củ phương trình cho 0 để thu được dạng chính tắc: x 3 + Ax + Bx + C = 0 ) Tiếp theo, chúng t sẽ nghiên cứu một số dạng đặc biệt củ phương trình ). 3.1 Khi biết 1 nghiệm Problem 1: Giải phương trình bậc 3 khi biết 1 nghiệm củ nó. Phương trình bậc 3 mà đã biết 1 nghiệm thì chẳng qu chỉ là phương trình bậc thôi, t có thể xử lý như su: Giả sử bằng cách nào đó bấm máy tính chẳng hạn), t biết được một nghiệm x 0 củ phương trình ). Khi đó, sử dụng sơ đồ Horner quen thuộc để viết lại ) thành: x x 0 )[x + x 0 + A)x + x 0 + Ax 0 + B)] = 0 3) Ngoài nghiệm x = x 0, ) còn có nghiệm phức nữ là nghiệm củ phương trình bậc : Xét phương trình 4) có = A 4B 3x 0 x 0: x + x 0 + A)x + x 0 + Ax 0 + B) = 0 4) Nếu A 4B < 3x 0 + x 0 thì 4) vô nghiệm trên R, suy r ) có nghiệm x 0 duy nhất. Nếu A 4B = 3x 0 + x 0 thì 4) có nghiệm kép x 1 = A+x 0, suy r ) có nghiệm là x 0, x 1 = A+x 0. Nếu A 4B > 3x 0 +x 0 thì 4) có nghiệm x 1, = 1 A x 0 ± A 4B 3x 0 x 0), suy r ) có đủ 3 nghiệm thực là x 0, x 1, = 1 A x 0 ± A 4B 3x 0 x 0) Remrk: Nghiệm x 0 ở trên không phải lúc nào cũng dự đoán được, nhất là trong trường hợp tổng quát. Cho nên, cần xét các dạng phương trình mạnh hơn. Trước khi đến với công thức Crdno để giải phương trình bậc 3 tổng quát, t sẽ xét một số bài toán khá thú vị su liên qun đến phương trình bậc 3. 3

3. Phương trình bậc 3 có nghiệm bội Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có nghiệm bội thực. Trường hợp ) có nghiệm thực bội 3 là : fx) = x + ) 3 = x 3 + 3x + 3 x + 3 5) Đồng nhất hệ số củ 5) với ): A = 3, B = 3, C = 3 Dễ dàng suy r A B 3 = 3 = 3 C 6) Remrk: 1. T có điều kiện cần và đủ để phương trình ) có nghiệm thực bội 3 là: A B 3 = 3 = 3 C AC 0. Một cách tiếp cận khác cho trường hợp này là sử dụng f ) = f ) = f ) = 0, cũng cho kết quả tương tự. Trường hợp ) có nghiệm kép là, nghiệm còn lại là b: T có: { f ) = f ) = 0 { f ) 0 3 + A + B + C = 3 + A + B = 0 A 3 T sẽ tìm mối qun hệ củ A, B, C thông qu 8). Xét phương trình bậc : Nếu A < 3B thì 9) vô nghiệm trên R. Nếu A = 3B thì = A 3, mâu thuẫn với 8). Nếu A > 3B thì 9) có nghiệm thực phân biệt là 1, = 1 3 nghiệm này khác A 3 ). 7) 8) 3 + A + B = 0 9) A ± ) A 3B rõ ràng Thy nghiệm này vào phương trình bậc 3 3 + A + B + C = 0. Khi đó 8): A > 3B 1 7 A 3 A 3B) + A 9 A + A 3B) + B 3 A ) A 3B + C = 0 1 7 A + 3 A 3B) + A 9 A + A 3B) + B 3 A + ) A 3B + C = 0 [ A > 3B 7 A3 AB 3 + C + A 3B 7 A 9 B) = 0 7 A3 AB 3 + C A 3B 7 A 9 B) = 0 10) Điều kiện 10) có thể viết gọn lại thành A > 3B ) C = C 1 ) C = C )), với C 1, = AB 3 A3 7 ± A 3B 7 A ) 9 B 4 11)

Dễ thấy C 1, C là nghiệm củ phương trình bậc : 7C + 4A 3 18AB ) C + 4B 3 A B = 0 1) Do đó, điều kiện 8) { A > 3B 7C + 4A 3 18AB ) C + 4B 3 A B = 0 13) Remrk: 1. 13) chính là điều kiện để ) có nghiệm kép thực.. Tuy 13) có dạng tương đối cồng kềnh, chỉ dễ sử dụng khi biết các giá trị cụ thể củ A, B, C. T nên qun tâm hơn đến một dạng yếu hơn củ 13), nhưng lại có giá trị thực hành co hơn: "Nếu A 3B thì ) không thể có nghiệm kép". Điều này khiến t không cần qun tâm đến hệ số tự do, và có thể thoải mái sáng tạo các bài toán chứng minh phương trình bậc 3 không có nghiệm bội cho riêng mình. Problem : Với bất đẳng thức có dạng A 3B 14) Chứng minh phương trình bậc 3 x 3 + Ax + Bx + C = 0 không thể có nghiệm kép. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có các nghiệm bội phức. 3.3 Phương trình bậc 3 có các nghiệm thực phân biệt Sử dụng các kết quả vừ thiết lập được ở phần trước, t tiếp tục xét bài toán su như một hệ quả. Problem 3: Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có các nghiệm thực phân biệt. Trong phần 3., t đã tìm được điều kiện để phương trình ) có nghiệm bội và 3. Nên việc tìm điều kiện để ) có 3 nghiệm phân biệt khá đơn giản. Có nhiều cách để xử lý điều này. Chẳng hạn: Solution 1: Điều kiện để ) có các nghiệm phân biệt tương đương với: ) chỉ có 1 nghiệm thực duy nhất: Câu trả lời nằm ở mục 3.1. ) có đủ 3 nghiệm thực phân biệt: Phủ định điều kiện 7) và 13). Solution : Su đây là một cách nữ, mà từ cách này, chúng t sẽ thu được một số điều thú vị. Chúng t sẽ tập trung giải quyết trường hợp thứ ở lời giải thứ nhất: Tìm điều kiện để ) có 3 nghiệm thực phân biệt: Về điều kiện để ) có đủ 3 nghiệm thực, thm khảo phần giải phương trình bậc 3 tổng quát. Giả sử ) đã có đủ 3 nghiệm thực rồi. Giả sử 3 nghiệm đó là m, n, p. T sẽ tìm điều kiện để m, n, p phân biệt đôi một với nhu. Xét biểu thức su s = m n) n p) p m) 15) Muốn m, n, p phân biệt đôi một thì chỉ cần s 0. Việc còn lại là biểu diễn s theo các hệ số A, B, C củ ). Điều này dễ dàng thực hiện nhờ áp dụng hệ thức Viète cho ): Dễ dàng thu được: s = m n) n p) p m) = A B + 18ABC 7C 4B 3 4A 3 16) C 5

Khi đó, điều kiện s 0 tương đương với: 7C + 4A 3 18AB ) C + 4B 3 A B 0 17) Remrk: 1. 17) là phủ định củ điều kiện 7) 13).. Đại lượng s trên đây đóng vi trò rất qun trọng trong chứng minh các bất đẳng thức hoán vị. Việc xét s, s giúp đối xứng hó biểu thức cần xét, rất có lợi trong nhiều phương pháp chứng minh bất đẳng thức, đặc biệt là phương pháp pqr. Chúng t sẽ gặp lại đại lượng này ở các phần su. 3. More info Định lý: Mọi biểu thức hoán vị củ 3 biến, b, c đều có thể biểu diễn được thông qu 4 biểu thức bc,, b, b cyc 3.4 cos 3x = m Problem : Tìm các lớp phương trình bậc 3 giải được nhờ phương trình lượng giác cos 3x = m Phương trình lượng giác này có gì đặc biệt? Xét phương trình bậc 3 có dạng trong đó m R Chúng t sẽ giải phương trình 18) trong trường hợp su: m 1. Đặt m = cos α giải r x 1 = cos α 3, x,3 = cos α±π 3. 4x 3 3x = m 18) m > 1. Với x 1 thì V T 18) 1 < m nên phương trình 18) vô nghiệm. Nên x > 1. Đặt x = 1 ) + 1 được m = 1 3 + 1 ). suy r 3 = 3 m ± m 1, x = 1 3 m + ) m 1 1 + 3 m + 19) m 1 Tiếp theo, t sẽ chứng minh 18) có nghiệm duy nhất trong trường hợp này. Giả sử 18)có nghiệm x 0 thì x 0 / [ 1, 1]. Do đó x 0 > 1. Khi đó 18) Vậy 18) có nghiệm duy nhất x = 1 Remrk: 4x 3 3x [ = 4x 3 0 3x 0 x x 0 ) x + x 0 ) + 3 x 0 1)] = 0 0) x = x 0 3 m + m 1 + 3 m ) m 1 Trong lời giải trên, các đại lượng + 1, n + 1 n, 4x 3 3x,... có liên qun đến các khái niệm và định lý su: Đ thức Chebyshev loại 1: các đ thức được xác định như su { T 0 x) = 1, T 1 x) = x, n > 1 1) T n+1 x) = xt n x) T n 1 x) 6

Đ thức Chebyshev loại : các đ thức được xác định như su { U 0 x) = 0, U 1 x) = 1, n > 1 ) U n+1 x) = xu n x) U n 1 x) Về các tính chất củ đ thức Chebyshev, các bạn có thể thm khảo trong [7]. Định lý: Với T n x) là đ thức Chebyshev bậc n: 1 T n + 1 )) = 1 n + 1 ) n 3) Problem : Mở rộng cho phương trình cos 3f x) = m Solution : Với m 1 giải được f x) = cos rccos m + kπ, k {0, ±1} 4) 3 Nếu thì phương trình trên giải được. Trường hợp m > 1 tương tự. g x) = f x) cos rccos m + kπ 3 Sol, 3) 5) 3.5 sin 3x = m Problem :Tìm các lớp phương trình bậc 3 giải được nhờ phương trình lượng giác Giải phương trình 4x 3 + 3x = m: 4x 3 + 3x = m 6) Nếu x 0 là nghiệm củ 6) thì đó cũng là nghiệm duy nhất do VT6) là hàm đồng biến và liên tục. Đặt x = 1 ) 1 với 0 được m = 1 3 1 ) 3 suy r = m ± m + 1 3 Vậy phương trình 6) có nghiệm duy nhất x = 1 3 m + m + 1 + 3 m ) m + 1 7) Remrk: Tương tự phần trước, các đại lượng 1, n 1 n, 4x 3 + 3x,... có liên qun đến định lý su đây: Định lý:giả sử sin k + 1) = P k+1 sin t), trong đó P k+1 x) là đ thức đại số bậc k + 1. Ký hiệu Q k+1 x) là đ thức đại số bậc k + 1 sinh bởi P k+1 x) bằng cách giữ nguyên những hệ số ứng với lũy thừ 1 mod4) và đổi dấu những hệ số ứng với lũy thừ 3 mod4). Khi đó: 1 Q k+1 1 )) = 1 k+1 1 ) k+1 Problem : Mở rộng cho phương trình sin 3f x) = m. 8) 7

3.6 Phương trình bậc 3 tổng quát Problem : Giải phương trình bậc 3 dạng tổng quát. Giải phương trình ): Đặt x = y A 3, ) trở thành: ) A y 3 3 B y C + Đặt p = A 3 B, q = C + AB 3 A3 7. Xét các trường hợp su: ) AB3 A3 = 0 9) 7 Nếu A = 3B thì 9) có nghiệm duy nhất y = 3 q. Suy r ) có nghiệm duy nhất x = 3 A3 7 + AB 3 + C A 3 30) Nếu A > 3B. Đặt y = p 3t, 9) trở thành 4t 3 3t = m 31) trong đó m = 3 3q p p = 3 3 A 3 + 9AB + 7C A 3B) 3 Nếu m 1. Đặt m = cos α, theo phần trước thì 31) có 3 nghiệm t 1 = cos α 3, t,3 = cos α ± π 3 3) 33) Suy r các nghiệm củ ) là x = 3 A 3B. cos α + kπ 3 A 3 34) trong đó k {0, ±}, α = rccos 3 3 ) A 3 + 9AB + 7C A 3B) 3 Nếu m > 1. Đặt m = 1 d 3 + 1 ) d thì 31) có nghiệm duy nhất 3 t = 1 d + 1 ) = 1 m + m d + 1 + m ) m + 1 35) 36) Suy r ) có nghiệm duy nhất là x = 1 A 3 3B m + m + 1 + m ) m + 1 A 3 37) trong đó m = 3 3 A 3 + 9AB + 7C A 3B) 3 38) Nếu A < 3B. Đặt y = p 3.t thì 9) trở thành 4t 3 + 3t = m 39) 8

Theo phần, phương trình 39) này có nghiệm duy nhất t = 1 3 m + m 1 + 3 m ) m 1 Suy r ) có nghiệm duy nhất x = 3 1 A 3 3B m + m 1 + 3 m ) m 1 A 3 40) 41) Giải và biện luận phương trình bậc 3 dạng tổng quát hoàn tất. Problem : Giải phương trình bậc 3 trên C. 3.7 Công thức Crdno Su đây là một lời giải khác cho phương trình bậc 3 dạng tổng quát. Cho phương trình ). Gán x := x A 3, được trong đó x 3 + px + q = 0 4) p = B A3 3, q = 7 A3 AB 3 + C 43) Tìm u, v so cho q = u 3 + v 3, p = 3uv. Khi đó: Có x = u v hoặc là nghiệm củ phương trình bậc Có u 3, v 3 là nghiệm củ phương trình bậc Nếu = q 4 + p 7 x 3 + u 3 + v 3 3uvx = 0 44) x u + v) x + u + v uv = 0 45) 0 giải được x = u v = 3 Đây chính là công thức Crdno. X qx p3 7 = 0 46) q q 4 + p 7 + 3 q q + 4 + p 7 Với phương trình 45), có = 3u v), nên 45) chỉ có nghiệm thực khi u = v. cũng suy r được cho trường hợp nghiệm phức) Vậy với u = v thì 44) có các nghiệm thực u, u, u với u là nghiệm kép củ 45). Với u v thì 44) chỉ có nghiệm 47) Nếu < 0. Đặt x = Có 4p 3 được nên phương trình có 3 nghiệm thực. cos 3t = 3q p < 0 3q p 4p 3 4p 3 47) 48) < 1 49) 9

3.8 Thêm nghiệm để giải phương trình Problem Giải phương trình bậc 3 nhờ các phương trình bậc co hơn?. Phần này đề cập đến một ý tưởng khá mới. Ý tưởng này hoàn toàn đối lập với phần Giải phương trình khi biết một nghiệm củ nó. Chúng t sẽ thảo luận kỹ hơn về mối liên hệ củ chúng ở phần Tổng quát. Su đây là ý tưởng Đối với phương trình bậc 3 dạng chuẩn tắc, t nhân vào vế phương trình nhân tử x + m) thu được x + m) x 3 + Ax + Bx + C ) = 0 50) Phương trình trên là một phương trình bậc 4. Nếu phương trình này giải được thì phương trình củ chúng t đng xét cũng sẽ giải được. Xét các hệ số củ phương trình thu được, lần lượt là 1, A + m, B + Am, C + Bm, Cm 51) Đến đây, chắc các bạn đã biết phải làm gì tiếp theo rồi. Chúng t sẽ cố gắng điều chỉnh m để các hệ số trên trở thành các hệ số củ một phương trình bậc 4 giải được. Mà các điều kiện, biểu thức ràng buộc về hệ số đã được thể hiện rõ ở phần tiếp theo. Như vậy, chúng t cần giải một phương trình ẩn m. Phương trình đó không rõ bậc là bo nhiêu, có nghiệm thực hy phức còn tùy thuộc vào loại điều kiện mà bạn lự chọn ở phần tiếp theo nữ). Nhưng chúng t chỉ cần số m, nên có thể Shift solve và mong chờ một kết quả đẹp. Remrk: Nhìn chung, phương pháp này khá mạo hiểm. Ý tưởng thêm nghiệm củ chúng t đng làm gi tăng bậc củ phương trình cần giải. Thế lợi ích củ nó là gì? Đó là tùy vào trường hợp đng xét, chư chắc phương trình có hệ số cụ thể) bậc thấp hơn sẽ dễ dàng giải được hơn. Một trường hợp khá hiệu quả mà bạn sẽ thấy trong nhận xét ở phần tổng quát. Lợi ích củ việc thêm nghiệm để giải một phương trình không nằm ở bậc co - bậc thấp, mà là ở bậc chẵn - bậc lẻ, bậc nguyên tố - bậc hợp số. Chẳng hạn như bạn đng cố gắng giải một phương trình bậc 3 có các nghiệm là ± 3, + 5. Với các nghiệm như vậy thì đương nhiên là hệ số củ phương trình sẽ không đẹp. Và việc dự đoán các nghiệm cũng trở nên khó khăn. Nhưng nếu bạn thêm vào nghiệm 5 thì phương trình bậc 4 thu được sẽ dễ giải hơn rất nhiều. Nghiệm mới bạn vừ thêm vào chính là mảnh ghép còn thiếu trong lời giải củ bạn. Thiếu nó, bạn sẽ bị nhiều thứ khác cản trở tầm nhìn và khó có thể tìm r lời giải được. Có nó, bạn sẽ thấy mọi thứ thật dễ dàng. Nhưng việc để có được nó đương nhiên sẽ lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố. :) Có thể thêm nhiều nghiệm hơn để liên kết phần này với các phần tiếp theo. Go on next section? 3.9 Problems re coming... Problem : Khảo sát hàm đ thức bậc 3. Problem : Biện luận số nghiệm củ phương trình bậc 3 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có nghiệm bội. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có các nghiệm phân biệt. Problem : Khảo sát nghiệm âm, nghiệm dương củ phương trình bậc 3 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm tạo thành cấp số cộng. 10

Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có 3 nghiệm tạo thành cấp số nhân. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 3 có các nghiệm thực là các số: i. nguyên dương. ii. nguyên. iii. hữu tỷ. iv. vô tỷ. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương trình tn 3x = m, tnh 3x = m, cot 3x = m, coth 3x = m. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho trường C. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho các trường khác. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình nói chung) giải được nhờ các lớp phương trình trong phần này. 11

4 Phương trình bậc 4 Phần này chủ yếu đề cập tới phương trình bậc 4 với hệ số trên trường R. Lưu ý rằng các tính chất trong phần này có thể mở rộng qu trường số C Xét phương trình bậc 4 dạng chính tắc: x 4 + Ax 3 + Bx + Cx + D = 0 5) Trước khi đến với công thức Ferrri, chúng t cùng tìm hiểu một số trường hợp đặc biệt củ phương trình này. 4.1 Khi biết 1 nghiệm Problem : Giải phương trình bậc 4 khi biết một nghiệm củ nó. Tương tự phần trước, giả sử đã biết 1 nghiệm x 0 sử dụng sơ đồ Horner để phân tích x x 0 ) [ x 3 + x 0 + A) x + x 0 + Ax 0 + B ) x + x 3 0 + Ax 0 + Bx 0 + C )] = 0 53) Ngoài nghiệm x 0, 5) còn có các nghiệm là nghiệm củ phương trình bậc 3: x 3 + x 0 + A) x + x 0 + Ax 0 + B ) x + x 3 0 + Ax 0 + Bx 0 + C ) = 0 54) Để giải 54), t quy lại phần 3. Remrk: Trường hợp khi viết 1 nghiệm củ phương trình đã cho sẽ tương tự cho các phần su. Qu trường hơp này cho phương trình bậc 3 và phương trình bậc 4, chắc hẳn i cũng đã đoán được quy luật. Trường hợp tổng quát được ghi rõ ở phần tổng quát. Su đây, chúng t sẽ tìm hiểu một số dạng phương trình bậc 4 quen thuộc. 4. Phương trình trùng phương Problem :Giải và biện luận phương trình trùng phương có dạng: x 4 + Ax + B = 0 55) Đặt t = x 0 rồi giải phương trình bậc thu được. 4.3 Quy về phương trình bậc Problem :Tìm các lớp phương trình bậc 4 giải được bằng cách giải lần phương trình bậc Có lẽ đây là phần thường dùng nhất trong thực hành. Đơn giản vì 4 =.. Điều đơn giản đó sẽ được thể hiện bằng cách xét phương trình bậc 4 có dạng su đây: trong đó, b, c, d R f x) = x + x + b ) + c x + x + b ) + d = 0 56) Để giải 56), đặt t = x + x + b b 4 được t + ct + d = 0. Giải phương trình bậc này, giả sử được các nghiệm phức t 1, t, su đó giải các phương trình x + x + b = t 1 x + x + b = t 57) 1

Tiếp theo, t sẽ tìm điều kiện củ A, B, C, D để phương trình chính tắc có thể biểu diễn được dưới dạng 56). Khi triển 56) được x 4 + x 3 + + b + c ) x + b + c) x + b + bc + d ) = 0 58) Đồng nhất hệ số với 5) được A = B = + b + c C = b + c D = b + bc + d 59) Biểu diễn, b, c, d theo A, B, C, D được [ = A b + c = B A 4 = C = 0 60) 0, b + c = C A b + bc + d = D Nếu = 0 thì A = C = 0, 5) trở thành phương trình trùng phương, quy lại phần trước. Xét 0 thì A 0, C 0. Từ hệ 60) suy r đẳng thức b + c = B A 4 = C A 61) Qun tâm đến A, B, C, D được A 3 + 8C = 4AB 6) Remrk: 6) chính là điều kiện để 5) có thể biểu diễn dưới dạng 56). Problem : Chứng minh 6) chính là điều kiện cần và đủ để 5) có thể biểu diễn được dưới dạng 56) Proof: T chứng minh lần lượt: Điều kiện cần Thu được từ phần trên. Điều kiện đủ Giả sử 5) có các hệ số thỏ mãn điều kiện 6), t sẽ chứng minh 5) có thể biểu diễn được dưới dạng 56). Nếu A = 0 C = 0, hiển nhiên 5) có dạng 56). Xét A 0, t viết 5) dưới dạng x + A ) x + b + c x + A ) x + b + d = 0 63) T cần chỉ r tồn tại các số b, c, d như vậy. Khi triển 63) và đồng nhất hệ số với 5), được { b + c = B A 4 = C A b + bc + d = D 64) Thy c = C A b vào phương trình thứ hi củ hệ, thu được phương trình bậc theo b b C A b + D d = 0 65) 13

có b = C D + d. Tới đây, có thể lự chọn d để A b 0, nên 65) có nghiệm. Chứng tỏ, tồn tại bộ số b, c, d). Hoàn tất chứng minh. Remrk: Ngoài r, t còn có thể formt bộ b, c, d). Tức là điều chỉnh d so cho 65) có nghiệm nguyên, hoặc nghiệm đẹp nào đó để thuận tiện việc tính toán. Nếu chọn d = D C thì A b = 0 thì phương trình có nghiệm b = C A, suy r c = 0. C Như vậy, b, c, d) =, 0, D là 1 bộ thỏ mãn 64). C A A ) Điều kiện 6) chỉ phụ thuộc vào A, B, C mà không phụ thuộc vào D. Tại so? Lớp hàm chúng t thu được trong phần này có các hệ số thuộc ) } 4AB A3 {A, B,, D : A, B, D R, 66) 8 Su đây là một số hệ quả - những kết quả rất quen thuộc. Corollry : Giải phương trình bậc 4 có dạng x + ) x + b) x + c) x + d) = m với +b = c+d Tại so đây chỉ là một hệ quả củ 56)?. Chúng t thử dùng điều kiện 6) để kiểm chứng Khi triển phương trình thành x 4 + ) x 3 + Đồng nhất hệ số với 5) được ) ) b x + bc x + bcd m = 0 67) A =, B = b, C = bc, D = bcd m 68) Sử dụng giả thiết, đặt + b = c + d = z thì b = z, d = z c. Khi đó Kiểm tr A = z, B = z + + c) z + c ), C = + c) z + c ) z 69) A 3 + 8C 4AB = 8z 3 + 8 + c) z 8 + c ) z 8z [ z + + c) z + c )] = 0 70) Vậy, đây chính là hệ quả củ 56). Để giải phương trình này, t biểu diễn về dạng 56) 0 = x + zx + b ) x + zx + cd ) m = x + zx + b ) b cd) x + zx + b ) m 71) Tiếp theo là một hệ quả quen thuộc khác. Corollry : Giải phương trình bậc 4 dạng x + ) 4 + x + b) 4 = m. Tương tự hệ quả trước, đầu tiên t sẽ chứng minh x + ) 4 + x + b) 4 = m 7) là một hệ quả củ 56). Thật vậy. khi triển x 4 + + b) x 3 + 3 + b ) x + 3 + b 3) x + 4 + b 4 m = 0 73) 14

Đồng nhất hệ số với 5), được A = + b), B = 3 + b ), C = 3 + b 3), D = 4 + b 4 m 74) Kiểm tr A 3 + 8C 4AB = 8 + b) 3 + 16 3 + b 3) 4 + b) + b ) = 0 75) Như vậy, đây cũng là một hệ quả củ 56). Để giải phương trình này, có thể giải theo cách tổng quát cho 56), hoặc có thể đặt t = x + +b, rồi quy về phương trình trùng phương theo t để giải. 4.4 Một kết quả tương tự Với ý tưởng củ Corollry ở phần trước, t xét một biến thể củ nó có dạng x + ) x + b) x + c) x + d) = mx 3 + n 76) với b = cd = n m Tổng quát hơn x + ) x + b) x + c) x + d) = mx 4 + nx 3 + px + qx + r 77) với b = cd = q n, r m = q ) n Problem : Giải và biện luận các phương trình trên. Su đây, t sẽ giải 76). Solution : Đặt z = b = cd = n m. 76) trở thành [ x + + b) x + z ] [ x + c + d) x + z ] = mx 3 + mzx 78) Nếu z = 0, trường hợp này dễ. Xét z 0 thì x = 0 không là nghiệm củ 76), chi vế củ 76) cho x. Đặt t = x + z x được t + + b) t + c + d) = mt 79) Giải và biện luận phương trình bậc này là xong. Solution : Tiếp theo, t giải dạng tổng quát hơn 77), hoàn toàn tương tự t + + b) t + c + d) = p + nt + m t z ) 80) 4.5 Phương trình có hệ số phản hồi Xét phương trình bậc 4 tổng quát thỏ mãn e = ) d b Nếu xét dạng chính tắc thì xét Problem : Giải phương trình trên. Chúng t giải 8) như su x 4 + bx 3 + cx + dx + e = 0 81) x 4 + Ax 3 + Bx + Cx + D = 0, D = ) C 8) A 15

Nếu e = 0 dễ dàng. Nếu e 0, chi vế củ 8) cho x. Đặt α = d b, y = x + α x được y + by + c α = 0 83) Giải phương trình bậc này nữ là xong. Ngoài r α = 1: phương trình đối xứng. α = 1: phương trình nử đối xứng. 4.6 Dạng tổng các bình phương Problem : Tìm các lớp đ thức bậc 4 biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương. Chúng t xét các hàm đ thức monic P x) R [x], deg P = 4 thỏ P x) 0, x R 84) Nếu đồ thị củ hàm P x) không cắt trục hoành thì phương trình bậc 4 tương ứng vô nghiệm. Khi đó, t nghĩ đ thức này có thể là tổng củ các bình phương nào đó - Ý tưởng này rất dễ thấy ở phương trình bậc. Các định lý nổi tiếng su đây sẽ giúp t làm sáng tỏ ý tưởng đó. Định lý Hilbert 1: Nếu đ thức F 1,,..., n ) thuần nhất và không âm trong miền D, tức là F 1,,..., n ) 0, 1,,..., n D thì có thể biểu diễn F 1,,..., n ) = p 1 + p +... + p m 85) với p k Q [x] Định lý Hilbert : Nếu đ thức F 1,,..., n ) không thuần nhất và không âm trong miền n 1 0, 0,..., 1 0, i 1 thì i=1 F 1,,..., n ) = c k α 1 1 α...αn n 1 1... n ) α n+1 86) trong đó α i, i = 1, n + 1 là các số nguyên không âm và c k > 0 Định lý trên chỉ giúp t củng cố niềm tin rằng tồn tại cách biểu diễn như vậy, đó là giá trị về lý thuyết. Còn về thực hành, việc xây dựng dạng biểu diễn đó đòi hỏi một số kỹ thuật phân tích nhất định. Su đây, t sẽ xét một số dạng phương trình bậc 4 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương, nhằm thuận tiện trong việc giải phương trình hy đặc biệt hơn là chứng minh phương trình vô nghiệm thực. Su đây là một số lớp phương trình như vậy. f x) = n i x ) + b i x + c i = 0 i=1 f x) = n i x ) m + b i x + c i + d j x + e j ) = 0 i=1 j=1 f x) = n i x ) m + b i x + c i + d j x + e j ) + l fk = 0 i=1 j=1 k=1 87) 16

Remrk: Để chứng minh một đ thức monic luôn không âm, ngoài cách biểu diễn đ thức đó dưới dạng tổng các bình phương, t cũng có thể sử dụng các bất đẳng thức quen thuộc như AM-GM, Cuchy - Schwrz,... hoặc phân hoạch R thành các miền, và đánh giá thích hợp trên từng miền đó. Phương pháp sử dụng đạo hàm để khảo sát hàm số cũng là một công cụ rất mạnh để giải phương trình. Chúng t sẽ xét ý tưởng này ở các phần su. 4.7 Quy về hệ phương trình đối xứng Problem : Tìm các lớp phương trình bậc 4 giải được nhờ hệ phương trình đối xứng. Các ý tưởng trong phần này sẽ giúp chúng t liên kết mảng rất gần nhu, đó là phương trình và hệ phương trình. Khi giải hệ phương trình, chắc hẳn nhiều lần các bạn đã cố gắng rút tất cả về 1 ẩn và lo vào giải một phương trình bậc co. Ý tưởng này khá trực tiếp, tư tưởng đơn giản. Nhưng mấu chốt lại nằm ở phương trình cuối cùng. Liệu nó có dễ giải không? Nếu có thêm một cái máy tính Csio chắc bạn phần nào tự tin hơn, vì chức năng shift solve sẽ giúp t tìm r các nghiệm đặc biệt để hạ bậc. Còn các nghiệm ngoại li ki, đòi hỏi t cần đến một số kỹ thuật khác để loại bỏ. Nói chung, cách giải đó khá 50:50 và không có điều gì đặc biệt về tư tưởng để chúng t học hỏi. Thôi việc lội ngược dòng vất vả và không liên qun, chúng t hãy xét chiều ngược lại - ý tưởng chính củ phần này: Giải phương trình bằng hệ phương trình. Trong phần này chỉ xét hệ phương đối xứng. Cách giải phương trình này đã quá quen thuộc. T sẽ bắt đầu ý tưởng này từ 4 =.. Xét hệ phương trình đối xứng ẩn x, y có dạng { x = y + by + c với, b, c R, 0 Hệ này dễ dàng giải được. Tiếp theo là y = x + bx + c Problem : Những phương trình bậc 4 nào giải được nhờ hệ phương trình 88)? 88) Rút y = 1 x + bx + c ) từ phương trình thứ và vào phương trình thứ nhất củ hệ 88),được x 4 + bx 3 + b + b + c ) x + bc + b 3) x + bc + c c ) = 0 89) Đồng nhất hệ số với 5) A = b, B = b + b + c, C = bc + b 3, D = bc + c c 90) Tiếp theo, chúng t sẽ tìm mối qun hệ củ các hệ số A, B, C, D. Tính : có Bb C = 3 + b 3 lại có b = A, nên = 3 AB C A3 8 = 0 91) Tiếp theo, có c = 1 B A 4 A ) 3 AB C A3 8 c A 0 c + D 0 c = 0 9) 17

Xét phương trình bậc ) c A0 + 0 c + D = 0 93) có c = A 0 + ) 0 4D Chúng t cần c 0 hy A 0 + 0) 4D. Khi đó, 93) có nghiệm là c 1, = 1 A A0 ) 0 + 0 ± + 0 4D 94) Như vậy, có hy tương đương 1 1 A0 + 0) 4D ) B A 4 A 0 = c 1 95) ) B A 4 A 0 = c A0 + 0) 4D B A 4 A 0 = A 0 + 0 + A0 + 0) 4D 96) B A 4 A 0 = A 0 + 0 A0 ) + 0 4D A0 + 0) 4D ) B A 4 A 0 0 = 0 + A ) 0 97) 4D trong đó 0 = 3 AB C A3 8 Điều kiện 97) chính là tiêu chuẩn để 5) có thể biểu diễn được dưới dạng 89). Remrk: Chúng t hãy xem các trường hợp đơn giản Với b = 0 97) trở thành { 98) A = 0 B + 4D = B 3 C 99) Với c = 0 thì 89) có nghiệm x = 0, 97) trở thành { D = 0 4B A ) 3 + 8C = A 4B A) 100) 4.8 Quy về hệ phương trình giải được Problem : Tìm các lớp phương trình bậc 4 giải được bằng hệ phương trình. Trong phần này, chúng t sẽ tiếp tục ý tưởng và mở rộng cho phần trước. Cụ thể là, nếu phần trước chỉ xét hệ phương trình đối xứng với biến x, y thì trong phần này t sẽ xét các hệ phương trình không đối xứng, nhưng "giải được". Còn định nghĩ "giải được" như thế nào, chúng t sẽ tìm hiểu ngy su đây. Bắt đầu bằng Xét hàm biến x, y bậc có dạng P x, y) = x + b y + c x + d y + e = 0 101) 18

trong đó 0, b 0,, b, c, d, e R Chi vế củ 101) cho thu được f x, y) = x + y + bx + cy + d = 0 10) Điều mà chúng t mong muốn ở đây là 10) có thể biểu diễn được dưới dạng x + my + n) x + py + q) = 0 103) Nếu 10) có thể biểu diễn như vậy, thì t có thể giải 10) dễ dàng. Đó là định nghĩ giải được trong phần này. Tiếp theo, khi triển 103) x + m + p) xy + mpy + n + q) x + mq + np) y + nq = 0 104) Để 104) giống 10) cần m + p triệt tiêu, tức m = p. Khi đó 10) trở thành x m y + n + q) x + m q n) y + nq = 0 105) Đồng nhất hệ số 105) với 10) được = m, b = n + q, c = m q n), d = nq 106) Giải tiếp hệ này, t sẽ thu được điều kiện để 10) có thể biểu diễn được dưới dạng 103) Cụ thể là m = ±, q n = ± c 107) Xét trường hợp Nếu m = thu được hệ { n + q = b q n = c 108) Giải hệ được Suy r d = nq = 1 4 ) b + c n = 1 b b + q = 1 ) c ) 109) c Nếu m = thu được hệ { n + q = b q n = c 110) Giải hệ được n = 1 b + b ) c q = 1 ) Suy r d = nq = 1 4 b + c Điều kiện để 10) có thể biểu diễn được dưới dạng 103) là ) 111) c 4d = b + c 11) 19

Câu hỏi ở đây là fx, y) dùng để làm gì? Câu trả lời nằm ở hệ phương trình có dạng su { x = y + cy + e by = x + dx + f 113) với, b, c, d, e, f R T muốn hệ này giải được theo một nghĩ nào đó. Định nghĩ mà tôi muốn sử dụng ở đây là 113) giải được nhờ 10). Cụ thể, với A là một số thực khác 0. Lấy phương trình thứ trong hệ trừ cho phương trình thứ nhất nhân cho A, được x A y ) + d + A ) x A c + b ) y + f A e ) = 0 114) Như đã thiết lập ở trên, muốn 114) giải được cần 4 f A e ) = d + A ) + A c + b ) A 115) hy 4A f A e ) = A d + A ) A c + b ) 116) Đặt A = T > 0, 114) trở thành T 3 + d c + 4e ) T + d 4f bc ) T b = 0 117) Nếu = 0 giải tiếp phương trình bậc. Với 0. Nếu b = 0 117) là một phương trình bậc 3 có 1 nghiệm bằng 0, quy lại phần 3.1. Với b 0 117) là một phương trình bậc 3 theo T. Điều kiện để có số A như vậy để hệ giải được là 117) có ít nhất một nghiệm dương. Về điều này, quy lại phần 3. Remrk: Tuy nhiên, nếu xét bài toán này trên trường C thì mọi chuyện sẽ dễ dàng và ít điều kiện ràng buộc hơn. 4.9 cos 4x = m Problem : Biểu diễn cos 4x thành đ thức củ cos x Problem : Giải phương trình bậc 4 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình cos 4x = m và cosh 4x = m 4.10 sin 4x = m Problem : Biểu diễn sin 4x thành đ thức củ sin x Problem : Giải phương trình bậc 4 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 4x = m và sinh 4x = m 0

4.11 Phương trình x 4 = x + bx + c, b = 4 + ) c + 1) Problem : Giải phương trình x 4 = x + bx + c 118) với b = 4 + ) c + 1) Solution : 118) tương đương x + 1 ) = + ) x + bx + c + 1 119) Trường hợp b = 0 dễ. Trường hợp b 0: nếu < thì V T > 0 V F nên 119) vô nghiệm. Xét > thì x + 1 ) = + x ± c + 1 ) 10) Giải tiếp các phương trình bậc x + 1 = ± + x ± c + 1 ) 11) Remrk: Phần này và phần kế tiếp là Pre-solution cho phương trình bậc 4 tổng quát. 4.1 Phương trình x 4 = x + bx + c Problem : Giải phương trình x 4 = x + bx + c 1) Solution : Nếu b = 0 thì 1) trở thành phương trình trùng phương. Xét b 0. Gọi α R thỏ 13) là một phương trình bậc 3 nên luôn có nghiệm thực. b = 4 + α) c + α ) 13) Tiếp theo f x) := + α) x + bx + c + α ) có nghiệm kép và [ b, + α) x + f x) = +α)] if : + α 0 c + α, if : + α = 0 14) Có 1) x + α ) = f x). Nếu + α < 0 1) vô nghiệm. Nếu + α > 0 giải tiếp các phương trình x + α = ± + α [ ] b x + α) 15) 4.13 Giải phương trình bậc 4 tổng quát Problem : Giải phương trình bậc 4 tổng quát. Từ dạng tổng quát, t có dạng chính tắc, nhưng dạng này vẫn còn bất tiện để giải. Đặt x = y A 4 được trong đó Quy lại phần trước. = 3 8 A B x 4 = x + bx + c 16) b = 1 8 A3 + 1 AB C c = 1 16 3A 4 16BA + 64AB 56D ) 17) 1

4.14 Một cách khác giải phương trình bậc 4 tổng quát Chúng t sẽ giải phương trình bậc 4 dạng chính tắc. Đổi biến tương tự được x 4 + x + bx + c = 0 18) Ý chính củ lời giải này là tìm p, q, r so cho x 4 + x + bx + c = x + px + q ) x px + r ) 19) Đồng nhất hệ số, được = q + r p, b = p r q), c = qr 130) Biểu diễn theo p Thy vào hy r = p + + b p, q = p + b p p + ) b 131) = 4c 13) p p 6 + p 4 + 4c ) p b = 0 133) Đặt t = p rồi giải phương trình bậc 3 là xong. 4.15 Thêm nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm một nghiệm để giải phương trình. Problem : Thêm nhiều nghiệm để giải phương trình. Go on next section? 4.16 Problems re coming... Problem : Với phương trình bậc 4 hệ số thực tổng quát. Chứng minh tồn tại số thực k để phép thế x = y + k sẽ giúp đư phương trình dạng tổng quát về dạng phương trình với hệ số phản hồi Problem : Khảo sát hàm đ thức bậc 4. Problem : Biện luận số nghiệm củ phương trình bậc 4 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 4 có nghiệm bội. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 4 có các nghiệm phân biệt. Problem : Khảo sát nghiệm âm, nghiệm dương củ phương trình bậc 4 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 4 có một số nghiệm tạo thành cấp số cộng. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 4 có một số nghiệm tạo thành cấp số nhân. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 4 có các nghiệm thực là các số: i. nguyên dương. ii. nguyên. iii. hữu tỷ. iv. vô tỷ. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương trình tn 4x = m, tnh 4x = m, cot 4x = m, coth 4x = m.

Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho trường C. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho các trường khác. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình nói chung) giải được nhờ các lớp phương trình trong phần này. 3

5 Phương trình bậc 5 Xét phương trình bậc 5 dạng chuẩn tắc: x 5 + Ax 4 + Bx 3 + Cx + Dx + E = 0 134) 5.1 Khi biết 1 nghiệm Sử dụng lược đồ Horner để phân tích và quy lại phần 4. 5. Sử dụng phương trình bậc có Delt bình phương Problem : Tìm các lớp phương trình bậc 5 giải được nhờ sử dụng phương trình bậc có Delt bình phương Su đây là ý tưởng Delt bình phương Xét phương trình bậc 5 có dạng x + c) x + x + b ) + x + x + b ) dx + e) + fx + g = 0 135) với, b, c, d, e, f, g R Đặt t = x + x + b 135) trở thành x + c) t + dx + e) t + fx + g = 0 136) Nếu x = c là một nghiệm củ 136) thì c c + b ) e cd) + g fc = 0 137) Khi đó, t giải tiếp nhân tử bậc 4 còn lại. Trong trường hợp này 137) là điều kiện để 135) giải được. Nếu x = c không là nghiệm củ 136) thì c c + b ) e cd) + g fc 0 138) và 136) là một phương trình bậc theo biến t. Việc còn lại là tìm điều kiện củ, b, c, d, e, f, g để phương trình bậc này có thể giải đẹp. 136) có biệt thức t = d 4f ) x + de 4g 4cf) x + e 4cg 139) Điều mà chúng t mong muốn ở đây là biệt thức 139) có dạng bình phương, tức t = mx + n). Điều này tương đương với { d > 4f x = de g cf) d 4f ) e 4cg ) = 0 140) tương đương { d > 4f g + c f + d cg + e f = cfg + dge + cdef 141) Như vậy t đã thu được điều kiện để 139) có dạng bình phương, nên 136) có các nghiệm "đẹp" - không chứ căn thức chứ x. 4

Tiếp theo, với những điều kiện thích hợp đó t = d 4fx + ) de g 4cf 14) d 4f Suy r 136) có nghiệm là t 1, = 1 x + c) [ dx + e) ± d 4fx + )] de g 4cf d 4f 143) Giải tiếp các phương trình bậc 3 su khi quy đồng) là xong x + x + b = t 1, 144) Tiếp theo là Problem : Những lớp phương trình bậc 5 nào có thể biểu diễn được dưới dạng trên? Tìm tiêu chuẩn đối với các hệ số củ phương trình để điều đó có thể thực hiện được Tiếp theo là một số dạng biểu diễn tổng quát hơn x + c) x + x + b ) + x + x + b ) dx + ex + f ) + gx 3 + hx + ix + j ) = 0 145) Problem : Tìm điều kiện để Delt củ phương trình trên có dạng bình phương. Problem : Giải phương trình bậc 5 nói trên. Tìm điều kiện củ các hệ số để phương trình bậc 5 dạng chuẩn tắc có thể biểu diễn dưới dạng trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương trình trên. 5.3 cos 5x = m Problem : Biểu diễn cos 5x thành đ thức củ cos x Problem : Giải phương trình bậc 5 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình cos 5x = m và cosh 5x = m 5.4 sin 5x = m Problem : Biểu diễn sin 5x thành đ thức củ sin x Problem : Giải phương trình bậc 5 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 5x = m và sinh 5x = m 5.5 Thêm nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm một nghiệm để giải phương trình. Problem : Thêm nhiều nghiệm để giải phương trình. Go on next section? 5.6 Problems re coming... Problem : Khảo sát hàm đ thức bậc 5. Problem : Biện luận số nghiệm củ phương trình bậc 5 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 5 có nghiệm bội. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 5 có các nghiệm phân biệt. 5

Problem : Khảo sát nghiệm âm, nghiệm dương củ phương trình bậc 5 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 5 có một số nghiệm tạo thành cấp số cộng. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 5 có một số nghiệm tạo thành cấp số nhân. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 5 có các nghiệm thực là các số: i. nguyên dương. ii. nguyên. iii. hữu tỷ. iv. vô tỷ. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương trình tn 5x = m, tnh 5x = m, cot 5x = m, coth 5x = m. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho trường C. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho các trường khác. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình nói chung) giải được nhờ các lớp phương trình trong phần này. 6

6 Phương trình bậc 6 Xét phương trình bậc 6 dạng chuẩn tắc: x 6 + Ax 5 + Bx 4 + Cx 3 + Dx + Ex + F = 0 146) 6.1 Khi biết 1 nghiệm Sử dụng lược đồ Horner để phân tích và quy lại phần 5. 6. 6 =.3 = 3. 6 = 3) phương trình có dạng x 6 + x 3 + b = 0 147) Problem : Giải phương trình trên. Su đó tìm hiểu các lớp phương trình bậc 6 giải được nhờ phương trình trên Tiếp theo, 6 = 3) xét phương trình có dạng x 6 + x 4 + bx + c = 0 148) Problem : Giải phương trình trên. Tìm hiểu các lớp phương trình bậc 6 giải được nhờ phương trình trên Problem : Tìm hiểu các phương trình nói chung) giải được nhờ các phương trình trên 6.3 Phương trình bậc 6 hệ số phản hồi Xét dạng chính tắc với các hệ số thỏ mãn ) E 3 F = = A ) D 6 149) B Problem : Giải phương trình với điều kiện vừ cho. Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình đó 6.4 x + x + b 1 ) x + x + b ) x + x + b 3 ) = g x + x) 6 = + + Xét phương trình bậc 6 có dạng x + x + b 1 ) x + x + b ) x + x + b 3 ) = g x + x ) 150) trong đó g R [x], deg g 3. Problem : Giải phương trình trên. Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình đó. 6.5 x + z + ) x 1 x + z + ) x x + z + ) ) x 3 = g x + z x Xét phương trình có dạng tại so lại có phân thức) x + z ) x + 1 x + z ) x + x + z ) x + 3 trong đó g R [x], deg g 3. = g x + z ) x 151) Problem : Giải phương trình trên. Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình này. 7

6.6 x 3 + x + bx + c 1 ) x 3 + x + bx + c ) = g x 3 + x + bx) 6 = 3 + 3 Xét phương trình bậc 6 có dạng x 3 + x + bx + c 1 ) x 3 + x + bx + c ) = g x 3 + x + bx ) 15) trong đó g R [x], deg g. Problem : Giải phương trình trên. Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình này. 6.7 x + x + b + c ) x 1 x + x + b + c ) x = g x + x + x) b Xét phương trình có dạng x + x + b ) x + c 1 x + x + b ) x + c = g x + x + b ) x 153) trong đó g R [x], deg g. Problem : Giải phương trình trên. Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình này. 6.8 x + x + b x + c 1 ) x + x + b x + c ) = g x + x + b x ) Xét phương trình có dạng x + x + b ) x + c 1 x + x + b ) x + c = g x + x + b ) x 154) trong đó g R [x], deg g 1. Problem : Giải phương trình trên. Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình này. 6.9 Sử dụng phương trình bậc có Delt bình phương Problem : Sử dụng ý tưởng phương trình bậc có Delt bình phương để tìm hiểu các lớp phương trình bậc 6 nào giải được. 6.10 cos 6x = m Problem : Biểu diễn cos 6x thành đ thức củ cos x Problem : Giải phương trình bậc 6 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình cos 6x = m và cosh 6x = m 6.11 sin 6x = m Problem : Biểu diễn sin 6x thành đ thức củ sin x Problem : Giải phương trình bậc 6 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 6x = m và sinh 6x = m 6.1 Dạng tổng các bình phương Problem : Tìm các lớp phương trình bậc 6 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương 8

6.13 Thêm nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm một nghiệm để giải phương trình. Problem : Thêm nhiều nghiệm để giải phương trình. Go on next section? 6.14 Problems re coming... Problem : Khảo sát hàm đ thức bậc 6. Problem : Biện luận số nghiệm củ phương trình bậc 6 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có nghiệm bội. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có các nghiệm phân biệt. Problem : Khảo sát nghiệm âm, nghiệm dương củ phương trình bậc 6 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có một số nghiệm tạo thành cấp số cộng. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có một số nghiệm tạo thành cấp số nhân. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 6 có các nghiệm thực là các số: i. nguyên dương. ii. nguyên. iii. hữu tỷ. iv. vô tỷ. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương trình tn 6x = m, tnh 6x = m, cot 6x = m, coth 6x = m. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho trường C. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho các trường khác. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình nói chung) giải được nhờ các lớp phương trình trong phần này. 9

7 Phương trình bậc 7 Xét phương trình bậc 7 dạng chuẩn tắc: x 7 + Ax 6 + Bx 5 + Cx 4 + Dx 3 + Ex + F x + G = 0 155) 7.1 Khi biết 1 nghiệm Sử dụng lược đồ Horner để phân tích và quy lại phần 6. 7. Sử dụng phương trình bậc có Delt bình phương Problem : Sử dụng ý tưởng phương trình bậc có Delt bình phương để tìm hiểu các lớp phương trình bậc 7 nào giải được. 7.3 cos 7x = m Problem : Biểu diễn cos 7x thành đ thức củ cos x Problem : Giải phương trình bậc 7 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình cos 7x = m và cosh 7x = m 7.4 sin 7x = m Problem : Biểu diễn sin 7x thành đ thức củ sin x Problem : Giải phương trình bậc 7 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 7x = m và sinh 7x = m 7.5 Thêm nghiệm để giải phương trình Problem : Thêm một nghiệm để giải phương trình. Problem : Thêm nhiều nghiệm để giải phương trình. Go on next section? 7.6 Problems re coming... Problem : Khảo sát hàm đ thức bậc 7. Problem : Biện luận số nghiệm củ phương trình bậc 7 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 7 có nghiệm bội. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 7 có các nghiệm phân biệt. Problem : Khảo sát nghiệm âm, nghiệm dương củ phương trình bậc 7 thông qu các hệ số củ nó. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 7 có một số nghiệm tạo thành cấp số cộng. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 7 có một số nghiệm tạo thành cấp số nhân. Problem : Tìm điều kiện để phương trình bậc 7 có các nghiệm thực là các số: i. nguyên dương. ii. nguyên. iii. hữu tỷ. iv. vô tỷ. 30

Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương trình tn 7x = m, tnh7x = m, cot 7x = m, coth 7x = m. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho trường C. Problem : Mở rộng tất cả tính chất trong phần này cho các trường khác. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình nói chung) giải được nhờ các lớp phương trình trong phần này. 31

8 Phương trình bậc 8 Xét phương trình bậc 8 dạng chuẩn tắc: x 8 + Ax 7 + Bx 6 + Cx 5 + Dx 4 + Ex 3 + F x + Gx + H = 0 156) 8.1 Khi biết 1 nghiệm Sử dụng lược đồ Horner để phân tích và quy lại phần 7. 8. 8 = 3 =.4 = 4. Từ phân tích r thừ số nguyên tố củ số 8, chúng t sẽ xét các phương trình su Đây là phương trình 4) x 8 + Ax 4 + B = 0 157) Đây là phương trình 4) x 8 + Ax 6 + Bx 4 + Cx + D = 0 158) Đây là phương trình.. x 4 + x + b ) + A x 4 + x + b ) + B = 0 159) Problem : Giải các phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình bậc 8 giải được nhờ các phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ các phương trình trên. 8.3 8 x + i ) = m, 1 + = 3 + 4 = 5 + 6 = 7 + 8 i=1 Xét phương trình bậc 8 có dạng 8 x + i ) = m 160) i=1 với 1 + = 3 + 4 = 5 + 6 = 7 + 8 Problem : Giải phương trình bậc 8 trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. Tổng quát hơn, xét phương trình 8 x + i ) = g x + αx ) 161) i=1 với 1 + = 3 + 4 = 5 + 6 = 7 + 8 = α. Problem : Giải phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 8.4 x + x + b 1 ) x + x + b ) x + x + b 3 ) x + x + b 4 ) = g x + x) Xét phương trình x + x + b 1 ) x + x + b ) x + x + b 3 ) x + x + b 4 ) = g x + x ) 16) trong đó g R [x], deg g 4 Problem : Giải phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 3

8.5 x 4 + x 3 + bx + cx + d 1 ) x 4 + x 3 + bx + cx + d ) = g x 4 + x 3 + bx + cx) Xét phương trình x 4 + x 3 + bx + cx + d 1 ) x 4 + x 3 + bx + cx + d ) = g x 4 + x 3 + bx + cx ) 163) trong đó g R [x], deg g Problem : Giải phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 8.6 x + + b ) x 1 x + + b ) x x + + b ) x 3 x + + b ) ) x 4 = g x + x Xét phương trình x + ) x + b 1 x + ) x + b x + ) x + b 3 x + ) x + b 4 = g x + ) x 164) trong đó g R [x], deg g 4 Problem : Giải phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 8.7 x 3 + x + bx + c + d ) x 1 x 3 + x + bx + c + d ) x = g x 3 + x + bx + x) c Xét phương trình x 3 + x + bx + c ) x + d 1 x 3 + x + bx + c ) x + d = g x 3 + x + bx + c ) x trong đó g R [x], deg g Problem : Giải phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 8.8 x + x + b x + c x + d 1 ) x + x + b x + c x + d ) = g x + x + b x + c x ) Xét phương trình x + x + b x + c ) x + d 1 x + x + b x + c ) x + d = g x + x + b x + c ) x trong đó g R [x], deg g Problem : Giải phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 8.9 x + x + b x + c x 3 + d 1 ) x + x + b x + c x 3 + d ) = g x + x + b x + c x 3 ) Xét phương trình x + x + b x + c ) x 3 + d 1 x + x + b x + c ) x 3 + d = g x + x + b x + c ) x 3 165) 166) 167) trong đó g R [x], deg g Problem : Giải phương trình trên. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 33

8.10 Phương trình hệ số phản hồi Xét phương trình x 8 + Ax 7 + Bx 6 + Cx 5 + Dx 4 + Ex 3 + F x + Gx + H = 0 168) thỏ mãn { Problem : Giải phương trình trên. ) 4 H = ) F B = E C G A = ) E 3 169) C Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. 8.11 Sử dụng phương trình bậc có Delt bình phương Problem : Sử dụng ý tưởng phương trình bậc có Delt bình phương để tìm hiểu các lớp phương trình bậc 8 nào giải được. 8.1 cos 8x = m Problem : Biểu diễn cos 8x thành đ thức củ cos x Problem : Giải phương trình bậc 8 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình cos 8x = m và cosh 8x = m 8.13 sin 8x = m Problem : Biểu diễn sin 8x thành đ thức củ sin x Problem : Giải phương trình bậc 8 vừ thu được Problem : Tìm các lớp phương trình giải được nhờ phương trình sin 8x = m và sinh 8x = m 8.14 Dạng tổng các bình phương Problem : Tìm các lớp phương trình bậc 8 có thể biểu diễn được dưới dạng tổng các bình phương. 8.15 Quy về hệ phương trình hoán vị Xét hệ phương trình x = y + by + c y = z + bz + c z = x + bx + c 170) Dễ thấy tự hệ phương trình hoán vị 3 biến nói trên, nếu rút biến bất kỳ về biến còn lại thì t sẽ thu được một phương trình bậc 8. Điều đó xảy r do 8 = 3?. Phương trình tương ứng sẽ giải được khi hệ phương trình này giải được. Vậy công việc chính củ t trong phần này là Problem : Tìm điều kiện củ các hệ số để hệ phương trình trên giải được. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ hệ phương trình hoán vị trên. Remrk : Chúng t sẽ xem xét một vài ý tưởng giúp hệ hoán vị trên giải được như su Nếu trong 3 biến x, y, z có biến bằng nhu thì phương trình bậc tương ứng với biến đó giải 34

được, nên hệ trên cũng giải được. Giả sử trong tất cả các nghiệm củ hệ hoán vị trên, không có nghiệm nào mà có phần tử bằng nhu. Khi đó, trừ tương ứng vế theo vế các phương trình và nhân lại, được x y) y z) z x) [ 3 b + y + z) b + z + x) b + x + y) ] = 0 171) do x y) y z) z x) 0 nên 3 = b + y + z) b + z + x) b + x + y) 17) Tuy nhiên đến đây, t lại thu được một phương trình khá rắc rối. Rắc rối ở chỗ nếu quy 3 biến về biến thì phương trình này là một phương trình bậc 8. Khó lòng để giải được. Cho nên, có một ý tưởng ở đây là làm cho phương trình trên vô nghiệm! Vô nghiệm bằng cách nào? 8 là số chẵn, nên t sẽ nghĩ tới các thứ liên qun đến từ không âm hy vô nghiệm như tổng các bình phương, sử dụng các bất đẳng thức,... Ở đây, chúng t sẽ sử dụng bất đẳng thức. Cụ thể: Trường hợp > 0: dự vào các phương trình củ hệ bn đầu, t có đánh giá cơ bản x = 1 y + by + c ) = 1 y + b ) 4c b 4c b + 4 4 tương tự, thu được x, y, z 4c b 4 Tiếp theo, sử dụng phương trình trên. Chúng t cần các nhân tử ở vế phải là các số dương 4c b b +. 4 173) 174) > 0 175) hy b + 4c > b. Với điều kiện này, t có cả vế củ phương trình trên đều là các số dương. Tiếp theo, t cần vế phải lớn hơn hẳn vế trái để phương trình vô nghiệm tương đương ) b + 4c b 3 V F > 3 = V T 176) b + 4c > + b 177) Do đó, với các điều kiện vừ thiết lập thì hệ phương trình hoán vị trên giải được. Trường hợp < 0 hoàn toàn tương tự. Hãy tìm các ý tưởng khác để hệ trên giải được. 8.16 Quy về hề giải được Xét hệ phương trình 3 biến x = y + by + c dy = z + ez + f fz = x + gx + h 178) Problem : Tìm điều kiện để hệ phương trình trên giải được. Problem : Tìm hiểu các lớp phương trình giải được nhờ phương trình trên. Tiếp theo, t xét một hệ phương trình nữ { x = y 4 + by 3 + cy + dy + e fy = x 179) + gx + h 35