Ορισμός της Πιθανότητας (Ι)

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός Πιθανότητα ενδεχομένου Α ( ) N( ) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του δ.χ. Ω Περιορισμοί: - μόνο για διακριτούς χώρους, - υποθέτει ισοπίθανα αποτελέσματα Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( )

Ορισμός της Πιθανότητας (Ι) Κλασσικός Ορισμός N( ) ( ) N ( ) Παραδείγματα - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος, δ.χ. Ω={Κ, Γ}, Α= Κορώνα, ={K} () = N()/N(Ω) = /2 - Πείραμα: Ρίψη νομίσματος 2 φορές, δ.χ. Ω={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ,ΓΓ} Α= τουλάχ. Κορώνα ={ΚΚ,ΚΓ,ΓΚ} ()=N()/N(Ω)=3/4 - Πείραμα: Ρίψη ζαριού, δ.χ. Ω={, 2, 3, 4, 5, 6}, Α= αριθμός > 4 ={5, 6}, () = N()/N(Ω) = 2/6 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )

Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙ) Στατιστικός Ορισμός Βασίζεται στην έννοια της σχετικής συχνότητας που υπολογίζεται μετά από n επαναλήψεις. Δηλ. Εκτελούμε το πείραμα n φορές και υπολογίζουμε: - f n () πλήθος εμφανίσεων (συχνότητα) του ενδεχ. Α - f n ()/n : η σχετική συχνότητα τότε: ( ) lm n ( ) Περιορισμοί: υψηλό υπολογιστικό κόστος (ικανός αριθμός επαναλήψεων), εμπειρικός κανόνας (όχι αυστηρά μαθηματικός) f n n Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 6 )

Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 7 )

Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( )

Ορισμός της Πιθανότητας (ΙΙΙ) Αξιωματικός Ορισμός (Kolmogorov 933) Θεμελιώδης ορισμός της έννοιας πιθανότητας Μέτρο πιθανότητας: ένας κανόνας (μία συνάρτηση) που καθορίζει σε κάθε ενδεχόμενο Α ενός δ.χ. Ω έναν αριθμό () που ονομάζεται πιθανότητα για την οποία ισχύουν τα επόμενα 3 βασικά αξιώματα: (Ι). () 0 (πιθανότητα μη αρνητικός αριθμός) (II). (Ω) = (πιθανότητα του δ.χ. Ω σταθερή και ίση με ) (III). ( B)=()+(B) αν B = δηλ αν Α, Β ασυμβίβαστα (ανάλογο: ενδεχόμενα ως αντικείμενα με φυσική μάζα που καθορίζεται από την πιθανότητά του) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π) ( )=-() Απόδειξη: καθώς Α, Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχ. (Α Α =) από αξίωμα ΙΙΙ έχουμε ( )=()+( ) Αλλά, Α Α =Ω. Έτσι από αξίωμα ΙΙ παίρνουμε: =(Ω)=( )=()+( ) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 3 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π) ( )=-() Απόδειξη: καθώς Α, Α είναι ασυμβίβαστα ενδεχ. (Α Α =) από αξίωμα ΙΙΙ έχουμε ( )=()+( ) Αλλά, Α Α =Ω. Έτσι από αξίωμα ΙΙ παίρνουμε: =(Ω)=( )=()+( ) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 4 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π2) () Απόδειξη: από το Π έχουμε () = -( ), καθώς ( ) 0 (αξίωμα Ι) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 5 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π2) () Απόδειξη: από το Π έχουμε () = -( ), καθώς ( ) 0 (αξίωμα Ι) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 6 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π3) ()=0 Απόδειξη: καθώς Ω= από Π έχουμε ()=-( )=-(Ω)=-=0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 7 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (Π3) ()=0 Απόδειξη: καθώς Ω= από Π έχουμε ()=-( )=-(Ω)=-=0 Σημαντικό: Επομένως η πιθανότητα φράσσεται στο [0, ] 0 () Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 8 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π4) Για n ενδεχόμενα ανά δύο ασυμβίβαστα, δηλ. j =,j ισχύει Απόδειξη: Για n=2 ισχύει από τον αξιωματικό ορισμό ( 3 ο αξίωμα). Έστω ότι ισχύει για n= ασυμβίβαστα: Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για n=+: Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα καθώς Επομένως ισχύει: n n n n 2 2 Πιθανότητες & Στατιστική 206 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 9 ) 2, 2

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π4) Για n ενδεχόμενα ανά δύο ασυμβίβαστα, δηλ. j =,j ισχύει Απόδειξη: Για n=2 ισχύει από τον αξιωματικό ορισμό ( αξίωμα III). Έστω ότι ισχύει για n= ασυμβίβαστα: Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για n=+: Τα ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα καθώς Επομένως ισχύει: n n n n 2 2 Πιθανότητες & Στατιστική 206 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 20 ) 2, 2

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π5) (B) = () + (B) - (B) Απόδειξη: Επειδή Α = (B) ( B ) ένωση ασυμβίβαστων ενδεχομένων έχουμε () = (B ) + ( B) Παρόμοια (B) = ( B) + ( B) και (B) = (B ) + ( B) + ( B) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 2 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π5) (B) = () + (B) - (B) Απόδειξη: Επειδή Α = (B) ( B ) ένωση ασυμβίβαστων ενδεχομένων έχουμε () = (B ) + ( B) Παρόμοια (B) = ( B) + ( B) και (B) = (B ) + ( B) + ( B) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 22 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π6) Γενίκευση του Π5 για n ενδεχόμενα Για n=3 ενδεχόμενα, B, C έχουμε n n j j n j j n... ) (... 2 C B C B C B C B C B Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 23 )

Πορίσματα του Αξιωματικού ορισμού (συν.) (Π7). Αν B τότε () (B) Απόδειξη (B) = ( B) + () () Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 24 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) Έστω δ.χ. Ω={a,a 2,, a n ) αποτελούμενος από n (ασυμβίβαστα) αποτελέσματα, δηλ. (a a j ) = ( ) = 0 Για ένα ενδεχόμενο ={α, α 2,,α ) αποτελούμενο από αποτελέσματα του Ω. Τότε (από αξίωμα ΙΙΙ) () = (α α 2 α ) = (α )+(α 2 )+ +(α ) Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε ισοπίθανα αποτελέσματα, δηλ. ( a )=/n, τότε: όπου Ν(Α): πλήθος αποτελεσμάτων του ενδεχ. Α. Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 25 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) Έστω δ.χ. Ω={a,a 2,, a n ) αποτελούμενος από n (ασυμβίβαστα) αποτελέσματα, δηλ. (a a j ) = ( ) = 0 Για ένα ενδεχόμενο ={α, α 2,,α ) αποτελούμενο από αποτελέσματα του Ω. Τότε (από αξίωμα ΙΙΙ) () = (α α 2 α ) = (α )+(α 2 )+ +(α ) Στην ειδική περίπτωση όπου έχουμε ισοπίθανα αποτελέσματα, δηλ. ( a )=/n, τότε: n όπου Ν(Α): πλήθος αποτελεσμάτων του ενδεχομένου Α. N N Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 26 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 27 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) N N B N B N N N Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 28 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) N N 5 0 B N B N 3 0 N N 4 0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 29 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε διακριτούς δ.χ (dscrete sample spaces) (συν.) Παράδειγμα Έστω δοχείο με 0 αριθμημένες σφαίρες {0,,2,,9}. Ορίζουμε τα ενδεχόμενα: Α = αριθμός σφαίρας περιττός = {, 3, 5,7, 9} B = αριθμός σφαίρας πολλαπλάσιο του 3 = {3, 6, 9} Γ = αριθμός σφαίρας μεγαλύτερο του 5 = {6, 7, 8, 9} Υπολογισμός πιθανοτήτων: (), (B), (Γ), (B) N N 5 0 B,3,5,6,7,9 ή B N B N 6 0 B B 3 0 5 0 3 0 2 0 6 0 N N 4 0 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 30 )

Υπολογισμός της Πιθανότητας Σε συνεχείς δ.χ. (contnuous sample spaces) Υπάρχουν άπειρα αποτελέσματα. Τα ενδεχόμενα είναι συνεχής περιοχές του δ.χ. Ω. Η πιθανότητα είναι ανάλογη του όγκου (volume) που καταλαμβάνει μια περιοχή στον δ.χ. Ω. vol vol Παραδείγματα (). Επιλογή αριθμού στο [0,2], ενδεχόμενο Α={x: 0.2<x<0.5} ()=vol() / vol(ω) = 0.3 / 2 = 0.5 (2). Επιλογή σημείου στο [0, 2] x [0, 2], ενδεχόμενο ={(x,y): 0<x<y<} ()= vol() / vol(ω) = /8 Πιθανότητες & Στατιστική 207 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ2 ( 3 )