ΠEΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Από το Γυμνάσιο στο Λύκειο................................................ 7 1. Το Λεξιλόγιο της Λογικής.............................................. 11. Σύνολα.............................................................. 19 Παράσταση συνόλων Σύμβολα, Πράξεις συνόλων..................... 6 3. Δειγματικός χώρος Ενδεχόμενα........................................ 4 Εύρεση δειγματικού χώρου.............................................. 46 4. Η έννοια της πιθανότητας.............................................. 53 Κλασικός ορισμός Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας........................ 57 Λογισμός πιθανοτήτων................................................. 66 1ο Κριτήριο Αξιολόγησης.............................................. 84 Φύλλο εργασίας στους πραγματικούς αριθμούς και στις πράξεις τους............. 86 5. Πραγματικοί αριθμοί: Πράξεις Ιδιότητες Αναλογίες Δυνάμεις........... 9 Πράξεις πραγματικών αριθμών.......................................... 100 Αντίθετοι Αντίστροφοι............................................... 105 Αναλογίες........................................................... 107 Δυνάμεις............................................................ 110 Οι ιδιότητες αβ = 0 και αβ 0........................................... 113 6. Πραγματικοί αριθμοί: Ταυτότητες Μέθοδοι απόδειξης Παραγοντοποίηση................................................... 117 Χρήση ταυτοτήτων................................................... 119 Μέθοδοι απόδειξης................................................... 14 Παραγοντοποίηση.................................................... 131 ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 145 7. Διάταξη πραγματικών αριθμών........................................ 147 Ιδιότητες διάταξης.................................................... 154 Αποδεικτικές ασκήσεις................................................ 161 Σύγκριση αριθμών.................................................... 167 Διάστημα........................................................... 170 3ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 177 Φύλλο εργασίας στις απόλυτες τιμές........................................ 179 8. Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού.................................... 18 Απαλοιφή απολύτων με χρήση του ορισμού................................ 187 Χρήση ιδιοτήτων σε απλοποίηση παραστάσεων και σε αποδείξεις σχέσεων με απόλυτα.................................... 194 3
Περιεχόμενα Χρήση της ιδιότητας α β α+ β α + β στην εύρεση διαστήματος των τιμών που μπορεί να πάρει μια παράσταση με απόλυτα καθώς και σε αποδείξεις ανισοτικών σχέσεων..................... 01 Επίλυση εξισώσεων με απόλυτες τιμές.................................... 08 Επίλυση ανισώσεων................................................... 19 Γεωμετρική αξιοποίηση της απόλυτης τιμής................................ 4 4ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 50 Φύλλο εργασίας στις ρίζες πραγματικών αριθμών............................. 5 9. Ρίζες πραγματικών αριθμών........................................... 58 Πράξεις ριζών ίδιας τάξης Απλοποίηση ριζών Γινόμενο ρητού - ρίζας......... 64 Περιορισμοί μεταβλητών σε παραστάσεις με ριζικά.......................... 75 Πράξεις ριζών διαφορετικής τάξης....................................... 79 Σύγκριση ποσοτήτων με ρίζες........................................... 8 Απλοποίηση παραστάσεων της μορφής α± β γ........................... 86 Ρητοποίηση παρονομαστή.............................................. 88 Μέγιστη και ελάχιστη τιμή παράστασης με ριζικά........................... 94 5ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 306 10. Επαναληπτικές Ασκήσεις............................................. 307 1ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα.......................................... 311 Φύλλο εργασίας στις εξισώσεις............................................ 313 11. Εξισώσεις 1ου βαθμού................................................ 316 Επίλυση εξίσωσης Αδύνατη Ταυτότητα................................ 317 Παραμετρικές εξισώσεις............................................... 31 Εξισώσεις που ανάγονται σε πρωτοβάθμιες εξισώσεις........................ 330 Σύνθετες εξισώσεις απόλυτων τιμών και εξισώσεις με ρίζες................... 334 Επίλυση τύπου....................................................... 340 Προβλήματα......................................................... 34 6ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 349 1. H εξίσωση x v = α..................................................... 350 Εξισώσεις νιοστού βαθμού που ανάγονται στη μορφή x v = α................... 350 13. Εξισώσεις ου βαθμού................................................ 355 Επίλυση εξίσωσης ου βαθμού.......................................... 358 Εξίσωση της μορφής αx + βx + γ = 0 με παράμετρο......................... 364 Εξισώσεις που ανάγονται σε ου βαθμού εξίσωση (Κλασματικές εξισώσεις Εξισώσεις που λύνονται με αντικατάσταση).......... 37 Φύλλο εργασίας στο άθροισμα και γινόμενο ριζών εξίσωσης ου βαθμού.......... 384 14. Άθροισμα και γινόμενο ριζών εξίσωσης ου βαθμού....................... 386 Χρήση S και P στην εύρεση ριζών δευτεροβάθμιας εξίσωσης και στον υπολογισμό παραστάσεων.............................................. 388 4
Περιεχόμενα Υπολογισμός παραμέτρων δευτεροβάθμιας εξίσωσης με συνθήκη το είδος των ριζών της εξίσωσης................................................ 394 Κατασκευή εξίσωσης ου βαθμού........................................ 400 7ο Κριτήριο Αξιολόγησης............................................. 407 15. Επαναληπτικές Ασκήσεις............................................. 409 ο Επαναληπτικό Διαγώνισμα.......................................... 41 Παράρτημα Α: Αποδείξεις θεωρημάτων και προτάσεων σχολικού βιβλίου......... 414 Ενδεικτικές Λύσεις Απαντήσεις........................................... 41 Λύσεις των ασκήσεων του σχολικού βιβλίου.................................. 547 5
ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΤΙΣ ΑΠΟΛΥΤΕΣ ΤΙΜΕΣ ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ Σε ένα υπό κατασκευή κτίριο, ύψους 50 μέτρων από την επιφάνεια του εδάφους, με υπόγεια βάθους 0 μέτρων από την επιφάνεια του εδάφους, οι εργάτες μετακινούνται με δύο πλατφόρμες επιβίβασης αποβίβασης, μία γκρι και μία κόκκινη. Προκειμένου οι εργάτες να γνωρίζουν σε ποιο σημείο βρίσκονται, σε κάθε πλατφόρμα υπάρχει ηλεκτρονική ένδειξη για το ύψος σε μέτρα σε σχέση με την επιφάνεια του εδάφους, θετική όταν βρίσκονται πάνω από αυτή και αρνητική όταν βρίσκονται κάτω από αυτή. 1) Ποια είναι η απόσταση της πλατφόρμας από την επιφάνεια του εδάφους όταν η ένδειξη είναι 3 και ποια όταν είναι 3; Απ.:... Με τον ίδιο τρόπο να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Ύψος πλατφόρμας 5 7,3 13 15,7 Απόσταση πλατφόρμας από την επιφάνεια του εδάφους 179
Φύλλο εργασίας στις απόλυτες τιμές ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ ) Η ένδειξη στην γκρι πλατφόρμα είναι και στην κόκκινη 3. Ποια είναι η μεταξύ τους απόσταση; Απ.:... Να συμπληρωθεί ο παρακάτω πίνακας: Θέση γκρι Θέση κόκκινης πλατφόρμας πλατφόρμας 3 5 8 3,5 7,3 0 8,7 9,1 4 Απόσταση κόκκινης από γκρι πλατφόρμα Απόσταση γκρι από κόκκινη πλατφόρμα Γενικά, αν θεωρήσουμε ότι η κόκκινη πλατφόρμα βρίσκεται σε ύψος α και η γκρι πλατφόρμα σε ύψος β, τότε η απόσταση της κόκκινης πλατφόρμας από την γκρι συμβολίζεται με α β, οπότε η απόσταση της γκρι πλατφόρμας από την κόκκινη είναι β α και άρα προκύπτει ότι α β... β α. Σύμφωνα με τον παραπάνω συμβολισμό, όταν η γκρι πλατφόρμα βρίσκεται στο ισόγειο (ύψος 0) και η κόκκινη σε άγνωστη θέση, έστω x, η απόσταση ανάμεσα στις δύο πλατφόρμες συμβολίζεται:... Άρα, σε οποιοδήποτε ύψος x και αν βρίσκεται η κάθε πλατφόρμα, η απόστασή της από την επιφάνεια του εδάφους είναι:... 3) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα βρίσκεται πάνω από την επιφάνεια του εδάφους και το ύψος της είναι x μέτρα, ποια είναι η απόστασή της από αυτή; Απ.:... 4) Αν γνωρίζουμε ότι η κόκκινη πλατφόρμα βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια του εδάφους και το ύψος της είναι x μέτρα, ποια είναι η απόστασή της από αυτή; Απ.:... (Επαληθεύστε τη σχέση που βρήκατε βάζοντας συγκεκριμένες τιμές στο x, θετικές για την γκρι και αρνητικές για την κόκκινη πλατφόρμα.)!!! Συνδυάζοντας τις απαντήσεις στα ερωτήματα 3 και 4 καθώς και τον συμβολισμό 180 της απόστασης, προκύπτει ότι x = x, όταν x... 0, και x =..., όταν x < 0. 5) Αν γνωρίζουμε ότι και οι δύο πλατφόρμες απέχουν 6m από την επιφάνεια του εδάφους, ποια είναι τα πιθανά ύψη στα οποία μπορεί να βρίσκονται και ποιοι οι δυνατοί συνδυασμοί των υψών τους; Απ.:......
Φύλλο εργασίας στις απόλυτες τιμές 6) Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι τα δύο ύψη είναι είτε... μεταξύ τους είτε... 7) Γενικά, κάνοντας χρήση του συμβολισμού αν x = α, τότε x =... ή x =... 8) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα είναι σε ύψος m και η κόκκινη σε άγνωστο ύψος, έστω x, να εκφραστεί η απόσταση της κόκκινης από την γκρι πλατφόρμα. Απ.:... ΦΥΛΛΟ ΕΡΓΑΣΙΑΣ 9) Να απαντηθεί το παραπάνω ερώτημα, αν το ύψος της γκρι πλατφόρμας είναι 1. Απ.:... 10) Αν η γκρι πλατφόρμα βρίσκεται σε ύψος 3 m, ποιες είναι οι πιθανές τιμές του x, αν γνωρίζουμε ότι η απόσταση της κόκκινης πλατφόρμας από την γκρι είναι 5 m; Απ.:...... 11) Για ποιες τιμές του x οι αποστάσεις των ερωτημάτων 8 και 9 είναι ίσες μεταξύ τους; Απ.:......... (Υπόδειξη: Να λυθεί κάνοντας χρήση της σχέσης του ερωτήματος 7.) 1) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μικρότερη από 5 m, μεταξύ ποιων υψών κινείται; Απ.:... Γενικεύοντας, ισχύει ότι, αν x < θ, με θ > 0, τότε θ... x <... 13) Αν γνωρίζουμε ότι η γκρι πλατφόρμα απέχει από την επιφάνεια του εδάφους απόσταση μεγαλύτερη από 7 m, ποια είναι τα επιτρεπτά ύψη κίνησης της πλατφόρμας; Απ.:... Γενικεύοντας, ισχύει ότι, αν x > θ, με θ > 0, τότε x... θ ή x >... 181
8 Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Αν οι αριθμοί α και β παριστάνονται από τα σημεία Α και Β του άξονα των πραγματικών αριθμών, ορίζουμε ως απόλυτη τιμή της διαφοράς α β το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ, το οποίο λέγεται απόσταση των αριθμών α και β και συμβολίζεται με d (α, β): α β = d( α, β) Ειδικότερα, αν ως σημείο Β επιλέξουμε την αρχή Ο(0) του άξονα, έχουμε ότι d( α, O) = α 0 = α. Επομένως έχουμε τον ακόλουθο ορισμό: Απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α, που παριστάνεται στον άξονα των πραγματικών από το σημείο Α, ονομάζεται η απόσταση του σημείου Α από το Ο(0), συμβολίζεται με α και ορίζεται από τον τύπο: 18
=, >0, και α =0, αν α=0, μπορούν να συμπτυ- Επειδή οι περιπτώσεις χθούν στη μορφή α α αν α α, αν α>0 α = 0, αν α=0 α, αν α <0 α = α, αν α 0, ο παραπάνω τύπος μπορεί να γραφεί ως εξής: α α, αν α 0 = α, αν α <0 Από τον παραπάνω ορισμό προκύπτει ότι: α β, αν α> β α β = 0, αν α= β β α, αν α < β ή α β, αν α β α β = β α, αν α < β Από τον ορισμό προκύπτουν οι εξής ιδιότητες για την απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α: α 0 Η απόλυτη τιμή του α είναι μη αρνητικός αριθμός. α α Η απόλυτη τιμή του α είναι πάντα μεγαλύτερη ή ίση και του α και του α α αντίθετού του ( α). α = α Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α ισούται με την απόλυτη τιμή του αντίθετού του. ΣΧΟΛΙΟ Η κατανόηση των παραπάνω ιδιοτήτων διευκολύνεται αν στις παραπάνω, αυστηρά μαθηματικές, διατυπώσεις αναλογιστούμε την απόλυτη τιμή σαν απόσταση του αριθμού α από το 0. 183
Ερωτήσεις εννοιολογικού περιεχομένου 1. Αν 5 =x, τότε ο x ισούται με: Α. 5 Β. 5 Γ. 5 ή 5 Δ. δεν μπορούμε να ξέρουμε την τιμή του x, αφού ο x είναι άγνωστος. Αν 5 = x, τότε ο x ισούται με: Α. 5 Β. 5 Γ. 5 ή 5 Δ. δεν μπορούμε να ξέρουμε την τιμή του x, αφού ο x είναι άγνωστος 3. Αν x = α, τότε για τον α μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. θετικός αριθμός Β. ομόσημος του x Γ. μη αρνητικός αριθμός Δ. οποιοσδήποτε αριθμός 4. Αν x = α, τότε για τον x μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. θετικός αριθμός Β. ομόσημος του α Γ. μη αρνητικός αριθμός Δ. οποιοσδήποτε αριθμός 5. Αν x = α, τότε για τον x μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. θετικός αριθμός Β. ομόσημος του α Γ. μη αρνητικός αριθμός Δ. οποιοσδήποτε αριθμός 6. Αν x = α, τότε για τον x μπορούμε να συμπεράνουμε ότι είναι: Α. αρνητικός αριθμός Β. μικρότερος ή ίσος του μηδενός Γ. οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός Δ. θετικός, αφού είναι μέσα σε απόλυτο 7. Αν x = α, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Α. ο α είναι αρνητικός αριθμός Β. α 0 Γ. α 0 Δ. ο α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 8. Αν α = α, τότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι: Α. ο α είναι αρνητικός αριθμός Β. α 0 Γ. α 0 Δ. ο α είναι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός 184
9. Nα επιλέξετε σε κάθε περίπτωση ποια από τις σχέσεις x = x ή x = x θα χρησιμοποιήσετε και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα βρίσκοντας την x : x 3,1,3 5 1,9 4,4 x x, αν x 0 Θυμηθείτε ότι x = x και x =. αν x, x <0 α, αν α 0 10. Σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής α = α, αν α. <0 «Αν για έναν αριθμό α γνωρίζουμε ότι α + α = 0, τότε, σύμφωνα με τον ορισμό της απόλυτης τιμής, α < 0». Είναι σωστός ο παραπάνω ισχυρισμός; 11. Έστω α <0. Τότε από τον ορισμό της απόλυτης τιμής έχουμε α = α. Επίσης α >0, δηλαδή η απόλυτη τιμή του α είναι θετικός αριθμός. α ( α) <0 ΑΦΟΥ ( + )( ) = Άρα έχουμε: 1 α ( 1) α ( α) 0 α ( α) <0 = < α<0 == α>0 α α Μπορείτε να εντοπίσετε πού είναι το λάθος στον παραπάνω συλλογισμό; Συνηθισμένα λάθη Όταν μας δίνεται η α, συμπεραίνουμε ότι ο α είναι θετικός αριθμός. Λάθος. Ο α μπορεί να είναι είτε θετικός είτε αρνητικός αριθμός είτε και μηδέν. Αυτό που ξέρουμε είναι ότι η απόλυτη τιμή είναι πάντα μη αρνητικός αριθμός. α+ β = α + β Λάθος. Η ισότητα αυτή δεν ισχύει πάντα, π.χ. για α = 5 και β = : 5 = 3 =3, ενώ 5+ =5+=7. α = α Λάθος. Ο α δεν είναι πάντα θετικός αριθμός, π.χ. για α = 3 ισχύει 3 ( ) =3=3 3. 185
α, α 0 α = α, α <0 α 0 α α α α και α α = α Ιδιότητες απολύτων Βασική Ιδιότητα Βασική Ιδιότητα Βασική Ιδιότητα Βασική Ιδιότητα = α (Ι.1) α β = α β (Ι.) α β α =, για β 0 (Ι.3) β α α α (Ι.4) α β α+ β α + β (Ι.5) Αν θ > 0, τότε x = θ x = θ ή x = θ Αν α, τότε x = α x = α ή x = α Αν θ > 0, τότε x < θ θ < x < θ Αν x 0 και ρ > 0, τότε x x 0 < ρ x 0 ρ < x < x 0 + ρ Αν θ > 0, τότε x > θ x > θ ή x < θ Αν x 0 και ρ > 0, τότε x x 0 > ρ x < x 0 ρ ή x > x 0 + ρ (Ι.6) (Ι.7) (Ι.8) (Ι.9) 186
Μ.1 Απαλοιφή απολύτων με χρήση του ορισμού ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ 1 Η απαλοιφή απολύτων πραγματοποιείται κάνοντας χρήση του ορισμού της απόλυτης τιμής ( α = α, αν α 0, ή α = α, αν α < 0) και άρα πρέπει να γνωρίζουμε τα πρόσημα των παραστάσεων που βρίσκονται μέσα στο απόλυτο: [Μ.1.1] Aν η παράσταση δεν περιέχει μεταβλητές, βρίσκουμε το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα με τη βοήθεια της ισοδυναμίας: α > β α β > 0. [M.1.] Aν η παράσταση περιέχει μεν μεταβλητές αλλά δε μας δίνεται κάποια συνθήκη γι' αυτές, τότε το πρόσημο των παραστάσεων είτε θα είναι προφανές (άθροισμα θετικών αριθμών, π.χ. x + 4, ή άθροισμα αρνητικών αριθμών, π.χ. x 5), είτε θα προκύπτει μετά από στοιχειώδεις μετασχηματισμούς, π.χ. x + x 1 = (x x + 1) = (x 1), είτε θα βρίσκεται με τη βοήθεια της ιδιότητας α α και α α. [M.1.3] Aν η παράσταση περιέχει μεταβλητές αλλά μας δίνεται συνθήκη για τις μεταβλητές αυτές, τότε, κάνοντας χρήση της συνθήκης αυτής και της ισοδυναμίας α > β α β > 0, βρίσκουμε τα πρόσημα των παραστάσεων μέσα στα απόλυτα. [M.1.4] Αν η παράσταση περιέχει μεταβλητές, χωρίς όμως να δίνεται συνθήκη γι αυτές και το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στις απόλυτες τιμές δεν είναι προφανές και δεν μπορεί να προκύψει με μετασχηματισμούς, τότε κάνουμε χρήση του ορισμού ή του πίνακα προσήμων. Εν συνεχεία, αν η παράσταση που βρίσκεται μέσα στο απόλυτο είναι θετική, απλά βγάζουμε το απόλυτο βάζοντας παρένθεση στη θέση του ( α = α), ενώ, αν η παράσταση είναι αρνητική, τότε βάζουμε πάλι παρένθεση στη θέση του απολύτου και είτε γράφουμε τον αντίθετο της παράστασης μέσα στην παρένθεση είτε αφήνουμε την παράσταση ως έχει και αλλάζουμε το πρόσημο που υπάρχει μπροστά από την παρένθεση ( α = α, αν α < 0). Η περίπτωση που η τιμή της παράστασης του απολύτου ισούται με 0 είναι τετριμμένη και προφανώς τη θέση της απόλυτης τιμής παίρνει το 0. 187
n Λυμένα Θέματα 8.1 Να γραφούν οι παρακάτω παραστάσεις χωρίς τα απόλυτα: α. Α = 5 π 3 + π 5 + 1 Λύση β. B = x + 3 + x 4x+ 4 x x x 1x+ 19 5x [M.1.1] α. Βρίσκουμε το πρόσημο των ποσοτήτων που είναι μέσα σε απόλυτα: 5 > 5 > 5 >0, άρα 5 = 5 π >3 π 3>0, άρα π 3 = π 3 π > 5, αφού π >3= 9 > 5 π 5 >0, άρα π 5 = π 5 1< 1< 1<, άρα 1 = ( 1 ) = 1+ = 1 Άρα: Α= 5 π 3 + π 5 + 1 ( π ) ( π ) ( ) A = 5 3 + 5 + 1 A = 5 π+3+ π 5+ 1 A = 5 5+ + π π+3 1 A = [M.1.] β. Για κάθε x ισχύει: +3 x 0 = x +3 3 x +3>0, άρα x +3 = x +3 x 4 x+4= x x + = ( x ) 0, άρα x 4 x +4 = x 4x + 4 x x x x x x x 0, άρα x x = x+ x x x x x ( x x ) = ( x x 3+3 ) +1=( x 3 ) +1>0, 1 +19 = 1 +18 +1 = 6 + 9 +1 = άρα x 1 x+9 = (x 3) + 1 188
Άρα: B = x +3 + x 4 x+4 x x x 1 x+19 5x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) B = x +3+ x x+ x x 3 1 5x B = x +3+ x + x x x 3 1 5x B = x x + x x 3 +3+ x 1 5x B = x x 3 4 x+ ( ) ( ) ( ) ( ) B = x x 3 x + x 3 4 x+ B =( x x+3)( x + x 3) 4 x+ B =( x 5) 4 x+ B =4x 10 4 x+ B = 8 ΣΧΟΛΙΟ Αν A = 0, τότε Α = 0 = 0. Αν A < 0, τότε Α = Α. Η τελευταία ισότητα επαληθεύεται και για Α =0. Άρα, για πρακτικούς λόγους, μπορούμε να γράψουμε κατευθείαν: Α 0 Α = Α 8. Αν 1< α <, να απλοποιηθεί η παράσταση: Γ = α+ 1 + α + α 3 + α Λύση [M.1.3] +1 1< α< = 0< α+1<3 α+1>0, άρα α+1 = α+1 + ( ) 1< α< == 3< α <0 α <0, άρα α = ( α ) = α+ + 3 ( ) 1< α< == 4< α 3< 1 α 3<0, άρα α 3 = α+3 Άρα: Γ = α+1 + α + α 3 + α Γ = α+1+ ( α+ ) + ( α+3 ) + α Γ = α+1 α+ α+3+ α Γ =6 189
8.3 Να γραφεί η παρακάτω παράσταση χωρίς το απόλυτο: Κ = x 1 + Λύση [Μ.1.4] Ισχύει x 1 0 x 1(και x 1< 0 x <1). Δηλαδή: αν x 1, είναι x 1 0, άρα x 1 = x 1 και Κ = x 1+ K = x+1. αν x <1, είναι x 1< 0, άρα x 1 = ( x 1) x 1 = x+1 και Κ = x+1+ K = x+3. Συνοπτικά γράφουμε: x+1, αν x 1 K = x +3, αν x <1 8.4 Να απλοποιηθεί η παράσταση: Λύση Λ = x+ 3 + x [Μ.1.4] Βρίσκουμε το πρόσημο των παραστάσεων μέσα στo απόλυτo με τη βοήθεια του πίνακα προσήμων: x +3 0 x 3 x 0 x Αυτό σημαίνει ότι: +3<0, άρα +3 = 3 Αν x (, 3 ), τότε x x x x <0, άρα x = x +. Άρα Λ = x 3 x+= x 1. x+3 0, άρα x+3 = x+3 x <0, άρα x = x. + Άρα Λ = x+3 x+=5. Αν x 3, [, ) τότε 190
x+3>0, άρα x+3 = x+3 Αν x +, [, ) τότε x 0, άρα x = x. Άρα Λ = x+3+ x = x+1. Συνοπτικά γράφουμε: x 1, αν x (, 3) Λ = 5, αν x [ 3, ) x +1, αν x [, + ) Παρατήρηση Στο παραπάνω λυμένο θέμα, τα άκρα των διαστημάτων επιλέχθηκαν έτσι ώστε α, α 0 να είμαστε συνεπείς με τον ορισμό α =. Σε όποιο διάστημα όμως και α, α <0 να επιλέξουμε να συμπεριλάβουμε την κάθε ρίζα, το αποτελέσμα δε θα αλλάξει. Προτεινόμενες Ασκήσεις για λύση 8.5 Να υπολογίσετε την τιμή των παρακάτω παραστάσεων: α. Α= π + π 3 β. Β = 1 π π γ. Γ =4 π + π 4 δ. Δ=3 π + π 3 ε. Ε =9 π +1+ π +4 π στ. Ζ =π 8 1+ π 4 ζ. Η =π 18+ π 1+4π η. Θ =3π 7+ + θ. Ι =1 3+ π 4+ 3 π 8.6 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α = x +1 + 3x β. 4 4 B = x + x + 1 x γ. Γ = x 6 x+9 + x + x+1 δ. Δ = x +6 x +9 + x +7 x + ε. E = x x +1 x +4 x +4 στ. Z = x +4 x+4 + x x+1 x +4 ζ. H = x +1 x +1 η. Θ =3 x + x +5 x θ. I = x + 3 x 8.7 Να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α= x + π + π 4 x 3 1 β. Β = x + + x + x+ 4 x + x + x + π + π 4 γ. Γ = x +3 x +1 x δ. Δ = x 4 x+4 x x+1 3 x 191
ε. Ε = x 4 x+5 + x +4 x+5 x +3 στ. Ζ = x x+ x x+3+1 8.8 Αν x < 4, να απλοποιήσετε τις παραστάσεις: α. Α = x+3 +7 x+ x 6 x+9 x β. Β = x+ + ( x 4 )( x+4) x 8.9 Αν ισχύει 3 < x < 4, να απλοποιήσετε τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α = 7 4 x β. Β = x+3 x+8 γ. Γ = x 5 + x+8 7 δ. Δ = 4 x x 6 + 8.10 Αν 3 < λ <5, να αποδείξετε ότι η παράσταση Α=3λ 5+ λ+3+ λ+4 είναι ανεξάρτητη του λ. 8.11 Αν < λ <8, να αποδείξετε ότι η παράσταση Α= 3+ λ + λ+ + λ 8 είναι ανεξάρτητη του λ. 8.1 Αν < λ <0, να αποδείξετε ότι η παράσταση: Α= λ+ 3 + λ + λ+ 5 + λ +1 3 λ είναι ανεξάρτητη του λ. 8.13 Να αποδείξετε ότι η παράσταση: Α=3λ +3+ λ + λ λ 1 3λ 6 είναι ανεξάρτητη του λ. 8.14 Αν 3 α 0, να δείξετε ότι η παράσταση: Α= α α+1+ α+4 + α + α 3 α+5 είναι ανεξάρτητη του α. 8.15 Αν α <1< β, να αποδείξετε ότι: α. 1 α + 1 β = α β β. α + β α β = 8.16 Αν x << y, να αποδείξετε ότι: α. y +x 4= y x +4 x β. y + x = y x + y γ. y x+1 + x y 3 =3 y x+1 +1 8.17 Αν y <0< x <1, να αποδείξετε ότι: α. x + y = x y β. x y + 1 x = 1 y 8.18 Αν z < w <0< x < y, να αποδείξετε ότι: α. x+ y + z+ w = x z + y w β. x y + z w = x w + y z 8.19 Αν α < και 0 < β <, να αποδείξετε ότι: α. β α+ + α + β = 4 β. α+ β = α β 8.0 Αν y >1και 1< x <0, να αποδείξετε ότι: α. x + x+1 + y 1 + y = y β. x y + x+ y = y γ. x + x+1 + y 1 + y = x y + x+ y 8.1 Αν Α= λ + λ λ+1 λ+1, να αποδείξετε ότι Α 0. Για ποιες τιμές του λ ισχύει Α = 0; 8. Αν: Β = λ 6 λ+9 1+ λ 3 λ 4 λ+5 να αποδείξετε ότι Β 0. Για ποιες τιμές του λ ισχύει Β = 0; 19
8.3 Έστω 1< x <1, 1< y <και x x+1 x + x+1 Α =, x 1 x +1 ( y 4 y+4) Β =. y α. Να απλοποιήσετε την παράσταση Α. β. Να απλοποιήσετε την παράσταση Β. γ. Αν επιπλέον A + B <0, να υπολογίσετε την τιμή της παράστασης: Γ = x+ y 3 + x+ y 8.4 Να γράψετε χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής, για τις διάφορες τιμές του x, τις παρακάτω παραστάσεις: α. Α = x 3 + β. B = x 3 + 1 x 8.5 Δίνεται η παράσταση: Κ = λ+ + λ 3 α. Να απλοποιηθεί η παράσταση Κ. β. Να βρεθούν οι τιμές του πραγματικού αριθμού λ, ώστε K = 5. 8.7 Δίνονται οι παραστάσεις: Α = x+ y x y+1 Β = Α 1 + Α+1 με 0 x 1και < y <3. α. Να αποδείξετε ότι η παράσταση Α είναι ανεξάρτητη του y. β. Ποια είναι η μέγιστη και ποια η ελάχιστη τιμή του Α και για ποια x η Α παίρνει αυτές τις τιμές; γ. Να απoδείξετε ότι η παράσταση Β είναι ανεξάρτητη του x. 8.8 Δίνονται οι παραστάσεις: x 1 + x +1 Α = x x + x 1 Β = +1 x x 1 για x. α. Να αποδείξετε ότι Α =. β. Να αποδείξετε ότι Β = x. γ. Ποια είναι η ελάχιστη τιμή του Β και για ποιον x παίρνει αυτή την τιμή; 8.6 Δίνονται οι παραστάσεις: K = y 3 + y+ και Λ = y 4 + y 8 για y R. α. Να γραφτούν οι Κ και Λ χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. β. Να βρεθεί η παράσταση Μ = Κ + Λ. 8.9 Δίνονται οι παραστάσεις: 3 Α= λ +1 + λ λ 1 και Β = λλ 1 λ+ για 1 λ 1. α. Να γράψετε τις Α και Β χωρίς το σύμβολο της απόλυτης τιμής. β. Να αποδείξετε ότι Α B = AB. 193
8.137 Αν d ( 4 x, x+1 ) = d( x 1, 3 ), να αποδείξετε ότι η απόσταση του x από το 1 είναι ίση με. 8.138 Να λυθούν οι ανισώσεις: α. d ( x, 4 ) < β. d ( x, 4 ) >6 γ. d ( 3, x) 10 δ. d ( 4, 3x) 11 ε. d ( x, 3 ) > d( x, 5) στ. d ( x, 3 ) < d( x, 7) ζ. d ( x, 1) d( x, 3) d( x, 1) d( x, ) η. 1 θ. 1> 0 d( x, 7) d( x, 4) ι. 1 < d( x, 3 ) < 4 ια. d( x, 4 ) <6 ιβ. 3 < d( 3x, 1) 9 8.139 Αν για τους πραγματικούς αριθμούς α και β ισχύει d ( α, β) > d ( β, α), να αποδείξετε ότι α < β. 8.140 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί α, β και γ. α. Να δείξετε ότι: d ( α, β) d( α, γ) + d( γ, β) β. Αν, επιπλέον, η απόσταση των αριθμών α και β είναι 3 και η απόσταση των α και γ είναι, ποια είναι η ελάχιστη απόσταση που μπορεί να έχουν οι β και γ; 8.141 Στον άξονα των πραγματικών αριθμών xx τα σημεία Α και Β αντιστοιχούν στους αριθμούς 1 και 3. Να βρεθούν οι αριθμοί x που αντιστοιχούν στα σημεία Μ του άξονα με την ιδιότητα ( ΜΑ ). ( ΜΒ ) = 8.14 Να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα όπως φαίνεται στις πρώτες γραμμές του: Απόλυτη τιμή Απόσταση Διάστημα x 3 d ( x, ) 3 [ 1, 5] x + <3 d ( x, ) < 3 ( 5, 1) x +3 4 d ( x, 3) 4 (, 7] [ 1, + ) x 6 3 x <1 x 4 >3 d ( x, ) > d ( x, 3) d ( x, 1 ) <8 d ( x, 1 ) >0 ( 4, 4) (, 1] [ 3, + ) [ 08, ] Γενικές Ασκήσεις 8.143 Να απλοποιηθεί η παράσταση: x+ x 3 Α = + x+4 3x 9 για x {, 3}. 8.144 Να διατάξετε από τη μικρότερη στη μεγαλύτερη τις παρακάτω ποσότητες: x, x, x, x + 1, x, x 45
8.145 Να βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: x 4 > και x 1 <1 Στη συνέχεια, να γραφεί χωρίς απόλυτα η παράσταση Β = ( 4 x)( x 3 ), αν ο πραγματικός αριθμός x είναι κοινή λύση των παραπάνω ανισώσεων. 8.146 Να απλοποιηθεί η παράσταση 3 Γ =7x x x+7 για εκείνες τις τιμές του x για τις οποίες x x 1 και x 4 >3. 8.147 Να λυθεί η εξίσωση: x+4 + x +4 x+4 + ( x+)( x 3 ) + + x+ x + x+7 =0 ( )( ) 8.148 Αν η εξίσωση x 1 = λ, όπου λ, έχει δύο ετερόσημες λύσεις, τότε να δείξετε ότι λ 1+. (, ) 8.149 Να βρεθούν τα x και y σε κάθε περίπτωση για τα οποία ισχύει ότι: α. x + x y =0 β. xy = x γ. xy = x 8.150 Δίνεται η παράσταση: x y z A = + + x y z * όπου x, y, z. Να δείξετε ότι: α. Αν xyz >0, τότε 1 Α 3. β. Αν xyz <0, τότε 3 Α 1. γ. Αν x+ y+ z =0, τότε 1 Α 1. δ. Ισχύει το αντίστροφο του ερωτήματος (γ); 8.151 Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί x, y για τους οποίους: y 10 y+ 5 + x y+ 7 = 0 8.15 Να απλοποιηθεί η παράσταση: Α= α+1 3 4+ α για 1< α < 8.153 Αν α πραγματικός αριθμός, να δείξετε ότι: α +4 α+5 3= α α +6α 8.154 Να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η παρακάτω ανίσωση: x 1 3 + x+ 4 0 8.155 Έστω α, β. Να βρεθεί το διάστημα στο οποίο παίρνει τιμές ο πραγματικός αριθμός x, αν ισχύει: β α > β x α x 8.156 Για ποιες τιμές των α και β ισχύει η ισότητα α+ β = α + β ; 8.157 Να βρεθούν οι τιμές των πραγματικών αριθμών α και β για τους οποίους: α. α β = α+ β β. α β = α + β γ. Γνωρίζοντας ότι οι αριθμοί x, y είναι ετερόσημοι και κάνοντας χρήση των (α) και x y x y (β), να δείξετε ότι + =. x+ y x + y 8.158 Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α, β. α. Να αποδείξετε ότι α β α + β. β. Πότε (για ποιες τιμές των α και β) ισχύει η ισότητα; 46
γ. Αν γνωρίζετε ότι αβ >0 και βγ <0, να δείξετε ότι: α β α γ =0 α β α + γ 8.159 Έστω οι πραγματικοί αριθμοί α και β. Αν γνωρίζετε ότι αβ <0 και α+ β α β + α β ( α + β ) =50, να αποδείξετε ότι υπάρχει ορθογώνιο τρίγωνο με μήκη πλευρών α, β και 5. 8.160 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: 013 013 α. ( 5 x ) = ( x 1) 0101 β. ( 5 x ) = ( x 1) ν γ. ( 5 x ) = ( x 1 ) ν για τις διάφορες τιμές * του ν 8.161 Να απλοποιηθεί η παράσταση: 9 5 4 x + x x + x K = 7 3 x + x x +1 8.16 Έστω x, y και x 1, y 1. Για τις διάφορες τιμές των x, y να απλοποιηθεί η x 1 y 1 παράσταση Α = + x 1 y 1. 8.163 Για τους πραγματικούς αριθμούς α, β και γ δίνεται η σχέση β < α < γ. Να δείξετε ότι α < ( αγ β ). 4 3 8.164 Δίνονται οι πραγματικοί αριθμοί x, y και z. Αν ισχύει η σχέση 3 z < x <4 y, 1 να αποδείξετε ότι 3z 4 y < x. 3 * 8.165 Αν για τους α, β ισχύει η σχέση =, να δείξετε ότι: α β 1+ α 1+ β α. α, β ομόσημοι β. α = β 8.166 Αν αβ+ βα =, να αποδείξετε ότι α, β αντίστροφοι πραγματικοί αριθμοί. 8.167 Δίνονται οι θετικοί αριθμοί α, β, γ, δ. α β γ Αν ισχύει = = = λ, να δείξετε ότι β γ δ α δ 3 β γ. 8.168 Να λυθούν οι παρακάτω εξισώσεις: α. x = λ +1 β. x 3 x+1 =1 γ. x 9 + x 3 x =0 δ. x 7 x+11 =1 ε. x+ x 4 = 3x 6 8.169 Αν x <, να λυθεί η εξίσωση: x +4 + x x 5 =0 8.170 Αν x < 3, να λυθεί η εξίσωση: x 3 4 x + x 6 =3 8.171 Να αποδείξετε ότι: α β = α + β αβ α. ( ) β. 9 x +1 6 x α+3 β +8 α β α + β = 3 α+ β γ. ( )( ) δ. Αν x+3 = x +3, τότε x 0. ε. Αν α β = α+ β, τότε α, β ετερόσημοι. στ. Αν 3 α+ β = 3 α + β, τότε α, β ομόσημοι. 47
4ο Κριτήριο Αξιολόγησης Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού Προτεινόμενη διάρκεια: 1 διδακτική ώρα Θέμα Α 1. i. Να διατυπώσετε τον ορισμό της απόλυτης τιμής ενός πραγματικού αριθμού α. Πώς εκφράζεται η απόσταση δύο πραγματικών αριθμών α και β μέσω της απόλυτης τιμής; ii. Τι ονομάζουμε κέντρο και τι ακτίνα του διαστήματος ( α, β ), όπου α και β πραγματικοί αριθμοί;. i. Να αποδείξετε ότι για α, β R ισχύει α+ β α + β. ii. Πότε ισχύει η ισότητα στη σχέση που αποδείξατε στο (i); 3. Να χαρακτηρίσετε ως σωστή (Σ) ή λάθος (Λ) καθεμία από τις παρακάτω προτάσεις: i. α = α για κάθε α R. ii. Για α, β R ισχύει η ισοδυναμία αβ = αβ α, β ομόσημοι. iii. Για x, y R ισχύει d( x, y) = x y. iv. x + y + z =0 x = y = z =0. Θέμα Β Δίνεται η παράσταση Κ = x +1 +, όπου x R. 1. Να γράψετε την παράσταση Κ χωρίς απόλυτο.. Να βρείτε την τιμή του Κ, αν η απόσταση του x από το είναι ίση με 4. Θέμα Γ β R ισχύει η σχέση ( ) * Για τους α και α β = α + β. 1. Να αποδείξετε ότι οι α και β είναι ετερόσημοι. α β α β. Αν επιπλέον + + =1, να αποδείξετε ότι ο α είναι θετικός και ο β α β α β αρνητικός αριθμός. 50
4ο Κριτήριο Αξιολόγησης Θέμα Δ Δίνονται οι ακόλουθες παραστάσεις: Α = x 4+ x +4 x+4 x + x+3, x R 1 B = x+3 3, x R 1. Να αποδείξετε ότι Α =.. Να βρείτε τις τιμές του x, ώστε Α Β Α, και να εκφράσετε το αποτέλεσμα γεωμετρικά. 51