IV. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ.Ελαστικότητα.Χαρακτηρισμός ελαστικότητας 3.Σχετικά διαφορικά 4.Ελαστικότητα αντίστροφης 5.Ομογενείς συναρτήσεις 6.Λογισμός ρυθμών και διαφορικών 7.Λογαριθμική κλίμακα. 8.Σχετικός ρυθμός- Ρυθμός ανάπτυξης 9.Ημιλογαριθμική κλίμακα ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ελαστικότητα Θεωρούμε δύο μεταβλητές που συνδέονται μεταξύ τους με κάποια εξίσωση, οπότε αντίστοιχα θα συνδέονται και οι μεταβολές {Δ,Δ} από κάποιες αρχικές τιμές {,}. Σε πολλές εφαρμογές, αντί των μεταβολών χρησιμοποιούμε τις σχετικές μεταβολές, ή ισοδύναμα τις ποσοστιαίες μεταβολές: Δ Δ Δ Δ,, %Δ= 00,%Δ= 00 Παίρνοντας το όριο Δ 0, βρίσκουμε τα παρακάτω μεγέθη: Παίρνοντας τον λόγο των μεταβολών βρίσκουμε τον (οριακό) ρυθμό μεταβολής του ως προς, που είναι η γνωστή παράγωγο του ως προς : Δ d = Παριστάνεται και με m= D Δ d Μετράει την μεταβολή του για αύξηση του κατά, οριακά. Παίρνοντας τον λόγο των σχετικών ή ισοδύναμα των ποσοστιαίων μεταβολών, βρίσκουμε την ελαστικότητα του ως προς. %Δ Δ / d = = Παριστάνεται και με ε= E %Δ Δ / d Μετράει την ποσοστιαία μεταβολή του για αύξηση του κατά %, οριακά Παράδειγμα. = + m= =, ε= / = /+. Π.χ. στο = : m() = 4, ε() = 8 / 5=.6 Με αντίστοιχο τρόπο ορίζονται τα παραπάνω δύο μεγέθη και για συναρτήσεις f(): f () m= Df() = f (), ε= Ef() = f() Διαπιστώνουμε ότι: Οι γραμμικές = m+ β, έχουν σταθερό ρυθμό m. Π.χ. = + β m= = Οι δυνάμεις ε = c, έχουν σταθερή ελαστικότητα ε. Π.χ. c = ε= / = /. Χαρακτηρισμός ελαστικότητας Στις παραγώγους μας ενδιαφέρει καταρχήν το πρόσημο που καθορίζει και τις ιδιότητες μονοτονίας της συνάρτησης. Στην ελαστικότητα μας ενδιαφέρει κυρίως το απόλυτο μέγεθος. Εξάλλου, για θετικές τιμές των μεταβλητών το πρόσημο της ελαστικότητας συμπίπτει με αυτό της παραγώγου, οπότε δεν μας δίνει κάτι καινούργιο. Μάλιστα, σε πολλές εφαρμογές η ελαστικότητα ορίζεται ως το μέτρο: ε = /, και έτσι είναι πάντοτε θετική. Σε κάθε περίπτωση, λέμε ότι η εξάρτηση του από το είναι: ελαστική αν E >, ανελαστική αν E <, ισοελαστική αν E = Έτσι, είναι: ελαστική αν μια ποσοστιαία μεταβολή του προκαλεί γνήσια μεγαλύτερη ποσοστιαία μεταβολή του σε απόλυτες τιμές, οριακά ανελαστική αν μια ποσοστιαία μεταβολή του προκαλεί γνήσια μικρότερη ποσοστιαία μεταβολή του σε απόλυτες τιμές, οριακά. ισοελαστική αν μια ποσοστιαία μεταβολή του προκαλεί ίση ποσοστιαία μεταβολή του σε απόλυτες τιμές, οριακά. Για μια εναλλακτική διατύπωση των παραπάνω χαρακτηρισμών θεωρούμε την παράσταση του μέτρου της ελαστικότητας στη μορφή:
d d / d οριακός ρυθμός κλίση εφαπτομένης ε = d = / = μέση τιμή = κλίση ακτίνας Έτσι, στο τυχόν σημείο (,) της καμπύλης του γραφήματος, η εξάρτηση του από το είναι: ελαστική αν ο οριακός ρυθμός είναι μεγαλύτερος από την μέση τιμή ως απόλυτα μεγέθη, δηλαδή η εφαπτόμενη είναι περισσότερο απότομη από την ακτίνα. ανελαστική αν ο οριακός ρυθμός είναι μικρότερος από την μέση τιμή ως απόλυτα μεγέθη, δηλαδή η εφαπτομένη είναι λιγότερο απότομη από την ακτίνα. ισοελαστική αν ο οριακός ρυθμός συμπίπτει με την μέση τιμή, ως απόλυτα μεγέθη, δηλαδή η εφαπτομένη είναι το ίδιο απότομη με την ακτίνα. Τα τμήματα ελαστικότητας και ανελαστικότητας χωρίζονται από τα σημεία ισοελαστικότητας: ε = / =±. ή από ασυνέχειες της ελαστικότητας. Αν δεν υπάρχουν τότε έχουμε παντού ελαστικότητα ή ανελαστικότητα. Παράδειγμα. Θα εξετάσουμε τις ελαστικότητες των παρακάτω συναρτήσεων στη θετική περιοχή.. = για 0 0. Είναι φθίνουσα συνάρτηση, με ( ) ε= = < 0 < ισοελαστική για ε= = / 3. 3. ανελαστική για < ε< 0 0 < / 3 ελαστική για ε< / 3 < = e για 0. Είναι αύξουσα συνάρτηση, με ε= e / e = > 0 ισοελαστική για ε= = ανελαστική για 0 ε< 0 < ελαστική για ε> > =, για. Είναι αύξουσα συνάρτηση, με ε = = > 0 ισοελαστική για ε= =, δεν έχει λύση. Είναι παντού ελαστική. 4. =, είναι παντού ισοελαστική: ε. Γενικότερα, παντού ισοελαστικές είναι οι συναρτήσεις: = m 3.Σχετικά διαφορικά Σε αντιστοιχία με τα διαφορικά ορίζονται και τα σχετικά διαφορικά ή ισοδύναμα τα ποσοστιαία διαφορικά ως εκτιμήσεις των αντίστοιχων σχετικών ή ποσοστιαίων μεταβολών: d d d d, ή %d = 00, %d= 00 Από τον ορισμό τους διαπιστώνουμε ότι όπως η παράγωγος ισούται με το λόγο των διαφορικών, έτσι και η ελαστικότητα ισούται με το λόγο των σχετικών ή ισοδύναμα των ποσοστιαίων διαφορικών, οπότε έχουμε: d= md m= D= όπου: %d= ε(%d) ε= E= / Παράδειγμα. Η συνάρτηση = +, έχει παράγωγο και ελαστικότητα, αντίστοιχα: m= =, ε= / = /(+ ) Π.χ. στο (=, = 5), βρίσκουμε: m() = 4 (d) = 4(d), ε() = 8 / 5 (%d) = (8 / 5)(%d) 4. Ελαστικότητα αντίστροφης Η ελαστικότητα του ως προς είναι το ανάστροφο της ελαστικότητας του ως προς, στα ίδια (,), διότι έχουμε: () F(,) = c E= = = () E > < > >
Επομένως: μεταξύ των αντίστροφων συναρτήσεων {= (), = ()}, έχουμε ισοελαστικότητα στα ίδια σημεία, ενώ εναλλάσσονται τα τμήματα ελαστικότητας και ανελαστικότητας, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων. Παράδειγμα. Η = έχει E=, ως δύναμη βαθμού και είναι ελαστική. / Οι αντίστροφες =± έχουν E= /, ως δυνάμεις βαθμού /, και είναι ανελαστικές Παράδειγμα. Θεωρούμε τη γραμμική εξίσωση: = + 4, = E= / = / E E + = 4 = 0.5+, = 0.5 E= / = / 0 < > Έτσι οι δύο ελαστικότητες είναι ανάστροφες μεταξύ τους. Στο γράφημα δίνουμε τα σημεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και > < ανελαστικότητας, καθώς και τα σημεία όπου η ελαστικότητα είναι μηδενική ή άπειρη. 0 Παρατήρηση. Αναφέρουμε ειδικά τις γραμμικές σχέσεις που εκφράζονται με οριζόντιες ή κατακόρυφες ευθείες. Λέμε ότι η εξάρτηση του από το είναι: πλήρως ανελαστική αν = c E= 0, πλήρως ελαστική αν = c E= /Ε= / 0= Αντίστοιχη ορολογία χρησιμοποιούμε για την εξάρτηση του από το. 5. Ομογενείς συναρτήσεις μιας μεταβλητής, καλούνται οι συναρτήσεις δυνάμεις: κ f() = c Έχουν σταθερή ελαστικότητα ίση με τη δύναμη: ε= κ, οπότε έχουμε και την σχέση: %df = κ(%d) Η ελαστικότητα ομογενούς συνάρτησης καλείται και βαθμός ομογένειας. Ειδικά: ομογενείς βαθμού είναι οι γραμμικές ομογενείς:α, και ομογενείς βαθμού 0 είναι οι σταθερές συναρτήσεις: c Λέμε ότι η ομογενής συνάρτηση έχει απόδοση κλίμακας: αύξουσα αν κ >, φθίνουσα αν κ <, σταθερή αν κ = Παράδειγμα. Η = 0 3/ είναι αύξουσας απόδοσης κλίμακας. Αν το αυξηθεί κατά % από οιαδήποτε αρχική τιμή, το θα μεταβληθεί οριακά κατά: %Δ %d= ε(%d) = ( 3 / )% Σε απόλυτες τιμές η ποσοστιαία μεταβολή του είναι μεγαλύτερη από του, οριακά. 6. Λογισμός ρυθμών και διαφορικών. Θεωρούμε δύο συναρτήσεις της ίδιας μεταβλητής: {u= u(),v = v()}. H παράγωγος έχει απλές ιδιότητες ως προς γραμμικούς συνδυασμούς των συναρτήσεων, όπου προκύπτει ως ο αντίστοιχος γραμμικός συνδυασμός των επιμέρους παραγώγων: D(αu) = αdu, D(u+ v) = Du+ Dv, D(u v) = Du Dv Η ελαστικότητα έχει απλές ιδιότητες ως προς το γινόμενο και το πηλίκο των συναρτήσεων, όπου προστίθενται και αφαιρούνται οι αντίστοιχες ελαστικότητες: E(αu) = E(u), E(uv) = Eu+ Ev, E(u / v) = Eu Ev Ο πρώτος τύπος μπορεί να ειδωθεί και ως ειδική περίπτωση του δεύτερου, διότι: Εα= 0. Στη σύνθεση συναρτήσεων, η παράγωγος και η ελαστικότητα προκύπτουν πολλαπλασιάζοντας τις επιμέρους παραγώγους και ελαστικότητες αντίστοιχα: Du = (Dvu)(Dv) {u= u(v), v= v()} u= u() με Eu = (Evu)(E v) Απόδειξη. Για την ελαστικότητα του γινομένου βρίσκουμε: (uv) (u v+ uv ) u v Ε (uv) = = = + = Eu+ Ev uv uv u v 3
Αντίστοιχα για το γινόμενο με σταθερά και για το πηλίκο συναρτήσεων. Ομοίως, για την ελαστικότητα της σύνθεσης, βρίσκουμε: %du %du %dv Εu = = = (Evu)(E v) %d %dv %d Παρατήρηση. Οι παραπάνω κανόνες για την ελαστικότητα μπορούν να ειδωθούν ως γενικεύσεις των αντίστοιχων κανόνων που αφορούν δυνάμεις: κ λ κ κ λ κ+ λ κ λ κ λ {u=, v= } {αu= α, uv= =, u / v= / =, για γινόμενο και πηλίκο κ λ κ λ κ κλ {u= v, v= } u= v = ( ) =, για σύνθεση Αντίστοιχο λογισμό έχουν και τα διαφορικά, δηλαδή οι οριακές μεταβολές που χρησιμοποιούνται ως εκτιμήσεις των πραγματικών μεταβολών όταν αυτές είναι σχετικά μικρές : d(αu± βv) = αdu± βdv, %d(αu) = %du, %d(uv) = %du + %dv, %d(u / v) = %du %dv Απόδειξη. Για το ποσοστιαίο διαφορικό γινομένου, βρίσκουμε: %d(uv) = E (uv)(%d) = [Eu+ Ev](%d) = Eu(%d) + Ev(%d) = %du + %dv Αντίστοιχα για το γινόμενο με σταθερά και για το πηλίκο συναρτήσεων. Σε αντίθεση, οι ίδιες οι μεταβολές και οι αντίστοιχες ποσοστιαίες μεταβολές έχουν πολύπλοκες ιδιότητες. 7. Λογαριθμική κλίμακα Θεωρούμε μια συνάρτηση = f(). Ως γνωστό, σε κάθε σημείο της η παράγωγος παριστάνεται γραφικά με την κλίση της καμπύλης στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων: O. Αντίστοιχα η ελαστικότητα παριστάνεται με την κλίση της καμπύλης στο λογαριθμικό σύστημα συντεταγμένων Ouv, όπου: du {u= log, v = log } = dv Δηλαδή στους δύο άξονες τοποθετούμε τους λογαρίθμους των μεταβλητών, αντί των ίδιων των μεταβλητών. Απόδειξη. Οι κανόνες σύνθεσης και αντιστροφής, μας δίνουν: du du d d = = u () () E dv d d dv = v () = / =. Παράδειγμα. Στη λογαριθμική κλίμακα οι ομογενείς συναρτήσεις γίνονται γραμμικές με κλίση ίση με την ελαστικότητα: ε ε c c = = ln = ln c + ε ln v= εu+ ln c 8. Σχετικός ρυθμός-ρυθμός ανάπτυξης Θεωρούμε δύο μεταβλητές {,} που συνδέονται μεταξύ τους με κάποια εξίσωση. Ορίσαμε παραπάνω τον ρυθμό μεταβολής και την ελαστικότητα παίρνοντας τον λόγο των μεταβολών και των σχετικών μεταβολών αντίστοιχα: d d / %d m= D=, ε= E= = d d / %d Οι σχετικές μεταβολές είναι χρήσιμες στις εφαρμογές και διότι είναι ανεξάρτητες της μονάδας μέτρησης. Αλλά για ορισμένα μεγέθη, π.χ. τον χρόνο δεν μετρούμε σχετικές μεταβολές. Έτσι αν μια συνάρτηση μετράει την εξέλιξη ενός μεγέθους στον χρόνο, τότε αντί των παραπάνω παίρνουμε τον λόγο της σχετικής μεταβολής του προς την μεταβολή του. Στο όριο Δ 0, βρίσκουμε τον (οριακό) σχετικό ρυθμό μεταβολής του ως προς. Χρησιμοποιώντας διαφορικά, βρίσκουμε στο όριο την παράσταση: Δ/ d / d = = Παριστάνεται και με r= R Δ d d Μετράει την σχετική μεταβολή του για μεταβολή του κατά, οριακά. Αν πολλαπλασιάσουμε το παραπάνω με 00, βρίσκουμε τον (οριακό) ποσοστιαίο ρυθμό μεταβολής. Μετράει την ποσοστιαία μεταβολή του για μεταβολή του κατά, οριακά: %d = 00. Παριστάνεται και με %r = 00r d 4
Στα οικονομικά καλείται ρυθμός ανάπτυξης του, και αφορά ένα μέγεθος το οποίο εξελίσσεται στο χρόνο. Ο σχετικός ρυθμός ορίζεται και για συναρτήσεις f(), στη μορφή: f () f () r = Rf() =, %r = 00r = 00 f() f() Διαπιστώσαμε προηγουμένως ότι οι γραμμικές συναρτήσεις έχουν σταθερό ρυθμό και οι ομογενείς έχουν σταθερή ελαστικότητα. Αντίστοιχα βρίσκουμε τώρα ότι: οι εκθετικές συναρτήσεις έχουν σταθερό σχετικό επομένως και ποσοστιαίο ρυθμό μεταβολής: r = ce R = / r, %r = 00r Π.χ. = ce 0.0 r = 0.0, %r = %, ελαττώνεται % ετησίως αν το μετράει χρόνο σε έτη Παράδειγμα. = + m= =, ε= / = /+, r= / = /+ Π.χ. στο = : m() = 4, ε() = 8 / 5=.6, r() = 4 / 5= 0.8, %r() = 00r = 80% Επομένως οι μεταβολές και οι ποσοστιαίες μεταβολές συνδέονται οριακά με τις σχέσεις: (d) = 4(d), (%d) = (8 / 5)(%d), (d / ) = 0.8(d), (%d) = 80(d) Θεωρούμε τώρα τον λογισμό του σχετικού η ποσοστιαίου ρυθμού μεταβολής ως προς τις διάφορες πράξεις μεταξύ συναρτήσεων, και βρίσκουμε τα εξής: Ως προς τις αλγεβρικές πράξεις ο σχετικός ρυθμός έχει ίδιες ιδιότητες με την ελαστικότητα: {u = u(), v = v()} R(αu) = R(u), R(uv) = Ru+ Rv, R(u / v) = Ru Rv Ως προς την σύνθεση συναρτήσεων, ο σχετικός ρυθμός της σύνθεσης βρίσκεται πολλαπλασιάζοντας την ελαστικότητα και τον σχετικό ρυθμό των επιμέρους συναρτήσεων: {u= u(v), v= v()} u= u() με Ru = (Evu)(R v) Απόδειξη. Για τον ποσοστιαίο ρυθμό του γινομένου συναρτήσεων, βρίσκουμε: %d(uv) %du + %dv %du %dv %R (uv) = = = + = %R u + %R v d d d d Αντίστοιχα για το γινόμενο με σταθερά και για το πηλίκο συναρτήσεων. Για την σύνθεση, βρίσκουμε: %du %du %dv %R u = = = (Evu)(%R v) d %dv d Παρατήρηση. Οι παραπάνω ιδιότητες είναι γενικεύσεις των αντίστοιχων ιδιοτήτων των εκθετικών συναρτήσεων: κ λ κ κ λ (κ+ λ) κ λ (κ λ) {u= e, v= e } {αu= αe, uv= e e = e, u / v= e / e = e } κ λ κ λ κ κλ {u= v, v= e } u= v = (e ) = e 9. Ημιλογαριθμική κλίμακα Τέλος, όσον αφορά την γραφική παράσταση, υπενθυμίζουμε ότι η παράγωγος της = f() παριστάνεται με την κλίση της καμπύλης στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, και η ελαστικότητα με την κλίση της καμπύλης στο λογαριθμικό σύστημα συντεταγμένων: {,}, {u= log, w = log }. αντίστοιχα. Παρατηρούμε τώρα ότι ο σχετικός ρυθμός παριστάνεται με την κλίση της καμπύλης στο ημιλογαριθμικό σύστημα συντεταγμένων: dv dv d {,v = ln } = =. d d d Εξάλλου στην ημιλογαριθμική κλίμακα οι εκθετικές γίνονται γραμμικές με κλίση r ίση με τον σχετικό ρυθμό: r r = ce = c e ln = ln c + r w = r+ ln c 5
IV. ΕΛΑΣΤΙΚΟΤΗΤΑ-ΡΥΘΜΟΣ ΑΝΑΠΤΥΞΗΣ Ασκήσεις. Θεωρούμε τη συνάρτηση f() = +. Να βρεθεί η ελαστικότητά της όταν = 4. Επίσης: α) Να εκτιμηθεί η ποσοστιαία μεταβολή στην τιμή της αν το μεταβληθεί από την αρχική τιμή = 4 κατά: {%Δ = %}, {%Δ = 5%}. Να συγκριθεί με την πραγματική ποσοστιαία μεταβολή.. Να βρεθεί συνάρτηση = () σταθερής ελαστικότητας: ε= / 3, με τιμή 0 = 4 όταν 0 = 3. 3 / 3. Δίνεται η εξίσωση =. Να εκτιμηθεί σε τι ποσοστό πρέπει να μεταβληθεί το από την τιμή = 00 ώστε το να ελαττωθεί κατά %. 4. Για κάθε μια από τις παρακάτω συναρτήσεις f() να γίνει το γράφημα στη θετική περιοχή, και να βρεθούν γραφικά και αναλυτικά τα σημεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και ανελαστικότητας. / +,,, +, 0,, 5. Για κάθε μια από τις παρακάτω εξισώσεις να γίνει το γράφημα στη θετική περιοχή και να βρεθούν γραφικά και αναλυτικά τα σημεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και ανελαστικότητας του προς, καθώς και του ως προς, στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων O. / 4 3 / 4 3 3 / 3 / 3 + 3= 8, 3= 4, =, =, + = 9, + = 3 6. Για κάθε μία από τις συναρτήσεις f() με τα παρακάτω γραφήματα, να βρεθούν τα σημεία ισοελαστικότητας, ελαστικότητας και ανελαστικότητας. Επίσης να γίνουν τα γραφήματα στο ίδιο σύστημα συντεταγμένων, της μέσης τιμής και του οριακού ρυθμού: Af() = f() /, Mf() = f () 7. Αν τα {,} αυξάνουν ετησίως με σχετικούς ρυθμούς {3%, %} αντίστοιχα, να βρεθεί πώς μεταβάλλονται ετησίως τα μεγέθη: {z=, u= / } 8. Τα μεγέθη {,} συνδέονται με μια εξίσωση και εξελίσσονται στο χρόνο t. Αν το αυξάνει 3% ετησίως, και η ελαστικότητα του ως προς είναι, να βρεθούν: α) Η ελαστικότητα των {z=, u= / } ως προς. β) Ο ετήσιος ρυθμός μεταβολής των {, z, u} 9. Το έχει σημερινή τιμή = 0. Να βρεθεί η τιμή του μετά από 50 έτη αν έχει ετήσιο (ποσοστιαίο) ρυθμό αύξησης: %r = {%,.5%, %, 4%}. Σε κάθε περίπτωση να βρεθεί και ο (οριακός) ρυθμός αύξησης m στην αρχή και στο τέλος της πεντηκονταετίας. 0. Το μέγεθος έχει τις τιμές {= 40, = 46} κατά τα έτη {t= 000, t = 004} αντίστοιχα. Να εκτιμηθεί ο ετήσιος σχετικός και ποσοστιαίος ρυθμός μεταβολής.. Το έχει τιμές {= 8, = 9} όταν το έχει τιμές {=, =.} αντίστοιχα. Να εκτιμηθεί η ελαστικότητα.. Να βρεθούν οι τύποι για τις μεταβολές καθώς και για τις ποσοστιαίες μεταβολές γινομένου και πηλίκου, και να συγκριθούν με τους αντίστοιχους τύπους για τα διαφορικά και για τα ποσοστιαία διαφορικά. 6