close index close index Μάθημα : Mη-στάσιμη χρονοσειρά, έλεγχος μοναδιαίας ρίζας και έλεγχος ανεξαρτησίας Σταθεροποίηση διασποράς Απαλοιφή τάσης και περιοδικότητας / εποχικότητας Έλεγχοι μοναδιαίας ρίζας Έλεγχος ανεξαρτησίας Ασκήσεις 6 ASE index, period 7-4 ASE index: firs differences, period 7-5 4 3 - -4 7 8 9-6 8
y, y,, yn Σταθεροποίηση διασποράς Μετασχηματισμός Χ =T(Υ ) που σταθεροποιεί τη διασπορά της Υ? Var[ X ] cons Απλή λύση: X log( Y) x, x,, xn Μετασχηματισμός δύναμης (Box-Cox): Y X Υπόθεση: Var[Υ ] αλλάζει ως συνάρτηση της τάσης μ λ Χ Var[y ] - -.5 Y Y 4 c 3 c log( Y ) c.5 Y c Άλλος μετασχηματισμός?
y, y,, yn X log( Y) X F ( Y ) Y?
close index close index Απαλοιφή τάσης Y X. Καθοριστική τάση : γνωστή ή εκτιμώμενη συνάρτηση του χρόνου μ = f() Παράδειγμα: πολυώνυμο βαθμού p p f () a a a p μ : μέση τιμή ως συνάρτηση του (αργά μεταβαλλόμενο μέσο επίπεδο τιμών) X Y {X } στάσιμη Δείκτης συναλλαγών Χρηματιστηρίου Αξιών Αθηνών (ΧΑΑ) 7 6 5 orig ASE index, period 985-7 6 5 orig local linear, breakpoins polynomial,p= ASE index, period 985-4 3 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8 4 3-86 88 9 9 94 96 98 4 6 8
. Στοχαστική τάση close index α. Εξομάλυνση με φίλτρο κινούμενου μέσου Απλό φίλτρο: Κινούμενος μέσος όρος ˆ q y q jq q 3 ˆ y y y 3 3 3 j "q " 4? Γενικό φίλτρο: Σταθμισμένος κινούμενος μέσος όρος 7 6 5 orig MA(3) MA(5) Δείκτης ΧΑΑ ASE index, period 985 - q ˆ ay a j j jq q jq Απλός κινούμενος μέσος: a j, j q,, q q j 4 3 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8
close index b. Απαλοιφή τάσης με χρήση διαφορών (differencing) Τελεστής διαφοράς πρώτης τάξης (one lag difference or firs difference) Y Y Y ( B) Y B: τελεστής υστέρησης (lag operaor) BY Y Τελεστής διαφοράς δεύτερης τάξης Y ( Y ) ( B)( B) Y ( B B ) Y Y Y Y Αν η τάση είναι τοπικά γραμμική, απαλείφεται με τις πρώτες διαφορές: Y Y Y X X a a a a a a ( ) a «σταθερή τάση»! p Y? p Y p! c X Αν η τάση είναι τοπικά πολυώνυμο βαθμού p, απαλείφεται με χρήση του Δείκτης ΧΑΑ ASE index: firs differences, period 7-4 [δείξτε ότι ] - -4-6 86 88 9 9 94 96 98 4 6 8
close index close index close index close index close index Ποια μέθοδος απαλοιφής τάσης είναι καλύτερη? 6 5 4 orig local linear, breakpoins polynomial,p= ASE index, period 7-5 ASE index derended, period 7 - local linear, breakpoins polynomial,p= 3 5-5 - 8 8 6 5 4 orig MA(3) MA(5) ASE index, period 7-5 ASE index derended, period 7 - MA(3) MA(5) 3 5-5 - 8 8 Εκτίμηση της τάσης 5 ASE index: firs differences, period 7-5 -5-8
number of sunspos number of sunspos Απαλοιφή περιοδικότητας Y s X 5 5 Annual sunspos, period 7-7 75 8 85 9 95 Περίοδος d και κατάλληλη συνάρτηση s Ετήσιες ηλιακές κηλίδες. γνωστή ή εκτιμώμενη περιοδική συνάρτηση s = f() 8 6 4 8 6 4 s : περιοδική συνάρτηση του με περίοδο d (περιλαμβάνει την εποχικότητα) Annual sunspos, period 9-9 9 94 96 98 X Y s {X } στάσιμη a. Εκτίμηση της s i i=,,d από μέσους όρους των στοιχείων της Περίοδος d γνωστή k n / d sˆ k y i i jd k j b. Απαλοιφή περιοδικότητας με χρήση διαφορών (d-differencing) Y Y Y ( B d ) Y d d
year cycle of GICP residual GICP GICP derended GICP Απαλοιφή τάσης και περιοδικότητας Y s X. Απαλοιφή τάσης Y Y s X Πρώτα απαλοιφή περιοδικότητας. Απαλοιφή περιοδικότητας X Y s Y s και μετά τάσης? {Χ }: χρονοσειρά υπολοίπων (residual) 5 General Index of Comsumer GICP: Linear Prices, fiperiod /-8/5 3 GICP: Residual of linear fi 5-5 - 3 4 5 6 year -3 3 4 5 6 3 GICP: Year cycle esimae 3 GICP: derended and deseasoned - - - - -3 3 4 5 6 year μη-στάσιμη y y y στάσιμη,,, n -3 3 4 5 6 year x, x,, x Υπάρχει πληροφορία n στα υπόλοιπα?
r() Έλεγχος ανεξαρτησίας παρατηρούμενη στάσιμη χρονοσειρά χρονοσειρά υπολοίπων από απαλοιφή τάσης και/ή περιοδικότητας x, x,, xn Η :,,, n x, x,, xn Έλεγχος σημαντικότητας αυτοσυσχέτισης Υποθέσεις Είναι iid? Η Υπάρχουν συσχετίσεις? x x x είναι iid Η : είναι λευκός θόρυβος H : H : x, x,, xn r R r z / n z a n Aπορριπτική περιοχή: / Ζώνη μη-σημαντικής αυτοσυσχέτισης: /.3.. GICP residual: auocorrelaion λευκός θόρυβος r Η για στάθμη σημαντικότητας για =.5 Έλεγχος σημαντικότητας για κάθε τ χωριστά n N(, ) n -. -. -.3 -.4 5 5 Σε επίπεδο σημαντικότητας =.5, απορρίπτεται η Η για τ= Υπάρχουν συσχετίσεις στη χρονοσειρά GICP?
r() Έλεγχος ανεξαρτησίας Pormaneau Q(k) Ένας έλεγχος για,,, k H :,,, k Στατιστικό ελέγχου Q: ~ k Qn k r ( k ) / ( ) Box-Pierce Qn n r n j Q απορριπτική περιοχή R Q k; a Ljung-Box.3. GICP residual: auocorrelaion k 35 3 GICP residual: Pormaneau (Ljung-Box). -. Q 4.6 k ;a 8.3 5 5 -. -.3 -.4 5 5 H για τ= απορρίπτεται 5 5 5 k
x() r() x() r() random ime series. random ime series: auocorrelaion.8..6.4 -.. -. 3 4 5 6 7 8 9 logisic ime series -.3 4 6 8 logisic ime series: auocorrelaion..8.5..6.5.4 -.5. -. -.5 3 4 5 6 7 8 9 κατάλληλος έλεγχος ανεξαρτησίας? -. 4 6 8
Άσκηση: Υπάρχουν συσχετίσεις στις αποδόσεις του δείκτη ΧΑΑ (περίοδος 7-)? Κατάλληλη στάσιμη χρονοσειρά: πρώτες διαφορές ή αποδόσεις? Υπάρχουν συσχετίσεις? πρώτες διαφορές x y y μη γραμμικές? X X E αποδόσεις x ln y ln y τετράγωνο αποδόσεων x ln y ln y x ( x)
Άσκηση: Υπάρχουν συσχετίσεις στις αποδόσεις του δείκτη ΧΑΑ (περίοδος 7-)? Κατάλληλη στάσιμη χρονοσειρά: πρώτες διαφορές ή αποδόσεις? Υπάρχουν συσχετίσεις? τετράγωνο αποδόσεων x ln y ln y x ( x) μη γραμμικές? X X E Gaussian μετασχηματισμός αποδόσεων x ln y ln y x ( F ( x)) X ' Η αυτοσυσχέτιση στη χρονοσειρά τετραγώνων των αποδόσεων δεν είναι λόγω της μη-κανονικής κατανομής των τιμών της
Έλεγχος μοναδιαίας ρίζας τυχαίος περίπατος [random walk, RW] Y Y X γενίκευση της στάθμισης στην προηγούμενη κατάσταση Y Y X X ~ WN(,σ ) στάσιμη? Ναι στάσιμη? Όχι στάσιμη? Όχι ασταθής
Y Y X Y Y X ( ) Y X Χαρακτηριστικό πολυώνυμο Μπορεί να έχει ρίζα? Έλεγχος μοναδιαίας ρίζας (uni roo es) H : H : Απλή προσέγγιση: Y Y X ( Y X ) έλεγχος για την παράμετρο κλίσης σε απλή γραμμική παλινδρόμηση αλλά ο έλεγχος (suden) δεν είναι κατάλληλος (μεροληψία) Έλεγχος Dickey-Fuller Y Y X Y Y Y Y X Y ( ) Y X Y Y X X ~ WN(,σ ) H : H : Y Y X έλεγχος για την παράμετρο κλίσης δ στην απλή γραμμική παλινδρόμηση ( Y X ) ˆ Δεν ακολουθεί κατανομή suden Στατιστικό ελέγχου se( ˆ ) αλλά προτείνονται άλλες κρίσιμες τιμές για την απόφαση ελέγχου Έλεγχος Dickey-Fuller με σταθερό όρο και τάση Y a a Y X Y a a Y X Ο έλεγχος γίνεται πάλι για H : Έλεγχος augmened Dickey-Fuller