SEMIR R. 4. Sistemul M/M// Caracteristici: = - intensitatea traficului - + unde Figura 4. Rerezentarea evoluţiei sistemului rin graful de tranziţii = rata medie de sosire a clienţilor în sistem (clienţi /sec) = rata medie de servire (clienţi /sec) robabilitatea ca sistemul să se afle in starea = ( ) robabilitatea ca sistemul monoserver să nu aibă nici un client numărul mediu de clienţi în sistem timul mediu de rezenţă în sistem cu T = = durata medie de serviciu Problema = n = T τ = ts + ta = = = Fie un concentrator având 4 intrări cu debitul binar de 48 bs şi o ieşire de 96 bs. Dimensiunea medie a achetului este de biţi. Fiecare din cele 4 linii are un trafic Poisson cu rata medie a sosirilor i = achete/s. Se cere:
a. Care este întârzierea medie a unui achet? b. Care este numărul mediu de achete în concentrator (inclusiv cele din server)? Rezolvare: a. Întru-cât dimensiunea unui achet este de biţi, rezultă: Rata medie de sosire este: = = 4 i = 4 = 8 achete/s Rata medie de servire este: Timul total de aştetare: τ i = 96 = 96 = 9, 6 achete/s =,6 = 9,6 8 =,6 = secunde/achet b. umărul mediu de achete în concentrator: n = 8 =,833 = 96 = 9, 6 = n Deci, în medie, în sistem există achete (inclusiv cel din server). Observaţie: Un concentrator asigură reducerea numărului de linii ornindu-se de la criterii statistice (numărul mediu de linii active), astfel încât există ericolul congestionării traficului. Există o robabilitate nenulă ca un număr mai mare de linii de intrare să dorească accesul, deăşind caacitatea concentratorului. Concentrarea traficului cu TDM static este atât o metodă de transmisie cât şi o metodă de comutaţie. Un concentrator gestionează căile de comunicaţie oate acţiona asura formatului şi debitului datelor, oate stoca temorar datele în memorie. De asemenea are rol de detecţie şi corecţie de erori şi oate oferi date statistice rivind traficul.
Problema Fie 8 terminale ce folosesc o linie de 64 bs. Fiecare sursă de semnal generează un trafic Poisson cu o medie de achete /s. Lungimea achetelor este în medie de biţi. Care din următoarele soluţii oferă un tim minim de întârziere a achetelor: a. cu canale dedicate (8 canale de 8 bs fiecare) b. cu canal artajat (64 bs) Rezolvare: a. Soluţia cu canale dedicate resuune ca fiecare canal de 8 bs oerează ca un sistem de aştetare indeendent, având rata medie a sosirilor şi rata medie a servirilor = achete / s = 8 = 4. Din acestea rezultă că timul de aştetare τ i = =, s 4 b. Soluţia cu canal artajat de 64 bs resuune: O rată medie de sosire: O rată medie a servirilor Rezultă timul mediu de aştetare ca fiind: = 8 = 6achete/s = 84 = 3achete/s τ =, 6 = 3 6 = s/achet tunci, rezultă că îmărţind un canal în ărţi fixe, timul de răsuns creşte de ori. i. Sistemul M/M// Caracteristici = = = + 3
= rata medie a intrărilor = = + = rata medie a intrărilor refuzate din cauza umlerii bufferului rata medie a intrărilor accetate (roductivitatea sistemului) γ = ( ) Problema 3 Fie un sistem de cozi de aştetare care are o intensitate a traficului de,. Ştiind că se foloseşte modelul M/M//, cu robabilitatea de blocare de., să se dimensioneze bufferul. Rezolvare: Rezultă: Bufferul sistemului monoserver este egală cu 8.. (.) =. = (.) + = 8+ = 9 3. Sistemul M/M// Caracteristici: - + Figura 4. Graful de tranziţii () = = ; cu < j= ( j+ )! () = = j= ( j+ ) j=! ( + ) Unde: = 4
Probabalitatea ca sistemul să nu aibă nici un client Probabilitatea de aştetare: = + i =!! P (, ) a = Erlang C = E! umărul mediu de clienţi care aşteată în şir: u = E (, ) Durata medie de aştetare în sistem (raortate la toate unitaţile din sistem) u T ta = = E(, ) = E(, ), unde T = ( ) Timul mediu de staţionare în sistem (inclusiv servirea) τ = ts + ta = + E(, ) = T ( + E(, )) Problema 4 Un nod de comutaţie de achete are linii de ieşire şi debitul maxim de bs. Fluxul de intrare de achet la 4 secunde se îmarte aleatoriu la cele linii. Ştiind că lungimea medie a unui achet este de biţi şi că în nod se adaugă un antet de biţi, se cere să se determine: a. Care este numărul mediu de achete în nod şi care este timul mediu de aştetare. Se va lua sistemul M/M//. b. Ce se întâmlă dacă o linie se defectează? c. Dacă sistemul este cu buffer finit (=9), care este robabilitatea de blocare în nod la unctul b? Rezolvare a. Rata medie de sosire = achet / 4s =, achete / s Lungimea totală a unui achet timul de servire 6 s = = = + = 6 biţi Intensitatea traficului entru sistemul cu servere
, ' = = =,,6 T t (, ) a = E Calculăm : E(, ) = =! + = + = + + = =!! + = E(, ) = = + + umărul mediu de achete în nod (numărul mediu de clienţi în sistem) conf. Little 4. n= τ = + E (, ) = + = + 4. =.8 unde = =. =. Timul mediu de aştetare: (.) (, ) t = a E = + = 4 = 4 (.) =.8 b. Dacă o linie de ieşire se defectează atunci rămâne doar un server şi intensitatea traficului devine: ' = =.> aare congestia c. Problema. = = = (.). 9 9 + (.) Folosind schema rocesului de naştere şi moarte calculati e baza grafului robabilităţile limită entru un sistem cu două servere ( = ) şi 3 locuri in coada de aştetare entru: =,6; =, ; = 3. Găsiţi caracteristicile sistemului de aştetare n, u, v, τ, ta. 6
Rezolvare: În acest caz avem un sistem de tiul M / M //+ 3descris de graful din figură: 3 4 Figura 4.3 Starea nici o unitate în sistem Starea - un server ocuat Starea servere ocuate Starea 3 - servere ocuate şi unitate aşteată în coadă Starea 4 - servere ocuate şi unităţi aşteată în coadă Starea - servere ocuate şi 3 unităţi aşteată în coadă Ecuatii echilibrelor locale: = = + = ( + ) = n rezultă n = n n Ecuaţia de normare este de forma: Rezultă: 3 4 + + + + 3 + 4 = =, = =,74 = =, = 3 =,6 4 = 4 =, 8 = =,37 6 3 4 7
n= = 3, 67 = 3 = u = ( 3) =,79 v = n u =, 88 Relaţia lui Little: n = τ n τ = = 6, t a u = =,98 8