SEMINAR NR Variabile aleatorii. Notaţii, definiţii, concepte de bază

Transcript

1 Modelare si simulare Seminar SEMINAR NR.. Variabile aleatorii. Notaţii, definiţii, concete de bază Variabila aleatorie este o funcţie fiă şi deterministă care alocă (reartizează, distribuie) un număr real (ξ ) fiecărei realizări ξ din saţiul de eşantionare S al unui eeriment aleatoriu, E. Saţiul de eşantionare ale varialiei aleatoare se notează cu S.. Funcţia de distribuţie Funcţia de distribuţie F a variabilei aleatoare este robabilitatea aariţiei evenimentului { }: F = P[{ }] entru < <. Prorietăţile funcţiei de distribuţie (rezultate din aiomele robabilităţilor) sunt: i). 0 F ii). lim F = iii). li m F = 0 iv). v). F ( a) < F ( b), a< b (monoton crescătoare) not F ( b) = lim F ( b+ h) = F ( b + )(continuitate la dreata) h 0 h > 0 vi). Pa [ < b] = F( b) F( a) vii). P [ = b] = F( b) F( b), P [ = b] =0 dacă este continuă în b; viii). Pa [ b] = F( b) F( a ) i). Pa [ < < b] = F ( b ) F ( a) O variabilă aleatoare este variabilă aleatoare continuă dacă funcţia sa de distribuţie F este continuă este tot şi dacă oate fi scrisă ca o integrală dintr-o funcţie ozitivă f ( ): ( ) () F = f t dt O variabilă aleatoare este o variabilă aleatoare discretă dacă funcţia sa de distribuţie F este sub formă de scară, continuă la dreata, având o mulţime măsurabilă (finită sau infinită) de uncte de salt 0,,,... aceste uncte rerezentând saţiul de eşantionare. S Funcţia de distribuţie a unei variabile aleatoare discrete se oate erima ca o sumă onderată de funcţii treată unitate.

2 Modelare si simulare Seminar ( ) ( ) ( ) F = u unde: ( ) = P[ = ] este robabilitatea elementară de aariţie a evenimentului = }. { O variabilă aleatoare este variabilă aleatoare mită dacă funcţia sa de distribuţie F are, e lângă o mulţime de salturi în unctele 0,,,..., cel uţin un interval e care evoluează continuu. Astfel de variabile aleatorii se ot genera în cadrul unor eerimente secvenţiale deendente, în trete: o încercare Bernoulli este urmată de generarea variabilelor aleatorii conform distribuţiei alese a sub-eerimentului recedent.. Funcţia densitate de robabilitate Funcţia de densitate de robabilitate f ( ) a variabilei aleatoare, dacă eistă, este df derivata funcţiei F : f =. d Funcţia f ( ) rerezintă o densitate de robabilitate intrucât robabilitatea ca variabila aleatoare sa aara in vecinătatea (, + d) a unui unct, este data de relaţia ) vezi figura.: [ < + d] f ( ) d f ( ) + d Fig.. Secificarea robabilitatii unui interval infinitezimal rin intermediul functiei densitate de robabilitate În cazul variabilei aleatoare discrete, cu funcţii de distribuţii discontinue în unctele 0,,,..., funcţia de densitate de robabilitate va conţine funcţii delta coresunzătoare unctelor de discontinuitate: f = ( ) δ ( ), unde: ( ) = P[ = ]. Funcţia de distribuţie coresunzătoare are eresia: t F = f ( t) dt = ( ) δ ( ) dt = ( ) u( ) Pentru variabile aleatorii mite, funcţia densitate de robabilitate va conţine atât funcţii delta, cât şi funcţii continue coresunzătoare.

3 Modelare si simulare Seminar Princialele rorietăţi ale funcţiei densitate de robabilitate sunt: i). f 0 Alicaţia ii). Pa [ b] = f ( d ) iii). F = f( t) dt iv). b a f ( d ) = (condiţia de normare) Timul de transmisie al unui mesaj într-un sistem de comutaţie urmează o lege de robabilitate eonenţială de arametrii λ, de forma: λ [ > ] = e, > 0 Să se determine: i). funcţia de distribuţie şi funcţia de densitate de robabilitate ii). [ T < T ], unde T = λ Rezolvar e: i). F = P[ ] = P[ > ], deci: F F 0, entru < 0 = λ e, entru 0 ( ) fiind o funcţie continuă df ( ) 0,. 0 t < f = = λ d λe, t. 0 ii). Rezolvarea rin mai multe abordări: λ λ λ λ e = e e M. PT [ < T] = PT [ < ] P[ T< ] = e 0, 33 M. PT [ < T] = F ( T) F ( T) = e + e = e e 0,33 M3. T [ < λ T ] = ( ) = T = 0,33 T PT T f d e e e Alicaţia Timul de aştetare W al unui client într-un sistem este zero dacă găseşte sistemul liber şi distribuit eonenţial dacă găseşte sistemul ocuat. Probabilităţile de a găsi sistemul liber sau ocuat sunt şi resectiv. Găsiţi: i). Funcţia de distribuţie a variabilei aleatorie W ii). Funcţia densitate de robabilitate 3

4 Modelare si simulare Seminar Rezolvare: F ( ) [ W = P W ] = P[ W sistemul _ liber] + P[ W sistemul _ este _ ocuat] ( ) (s-a utilizat teorema robabilităţii totale) Deoarece : 0, entru _ < 0 ( nu _ oate _ eista _ tim _ de _ astetare _ negativ) P[ W sistemul _ e _ liber] =, entru _ 0 ( W = 0 ) şi [ W sistemul _ e _ ocuat] = e λ rezultă: F W 0, entru _ 0 = < + ( )( λ e ), entru_ 0 Funcţia de distribuţie condiţionată de un eveniment A, a variabilei aleatorie este: P[{ }& A] F ( A) =, daca _ P [ A ] > 0 PA [ ] Funcţia de densitate de robabilitate condiţionată de un eveniment A, a variabilei aleatorie este (dacă derivatele eistă!) : Alicaţia 3 df f ( A ) = d ( A) Timul de servire, al unui client urmează o funcţie de distribuţie continuă F. Determinaţi funcţia de distribuţie condiţionată şi funcţia de densitate de robabilitate condiţionată relativ la evenimentul A = {clientul este încă în servire la momentul t}. Particularizaţi în cazul unei distribuţii eonenţiale a lui. Rezolvare: E venimentul A={clientul este încă în servire la momentul t} = { > t} 0, entru _ < t P[{ }&{ > t}] F ( A) = P[ > t] = = Pt [ < ] P [{ > t }], entru _ t P [ t] F ( A ) = 0 entru < t deoarece clientul nu mai oate fi în servire la momentul t dacă ână la momentul s-a încheiat servirea lui. Înlocuind robabilităţile cu eresii ce conţin funcţia de distribuţie, obţinem: 4

5 Modelare si simulare Seminar Alicaţia 4 0, entru _ < t F ( A) = F F( t), entru _ t F ( t) 0, entru _ < t df ( A) f ( A) = = f d, entru _ t F ( t) Să se demonstreze că entru n suficient de mare şi entru Distribuţia Poisson aroimează distribuţia lui nomială. suficient de mic, Rezolvare Notând α = n (media numărului de succese). Probabilităţile generate de distribuţia binominlă au eresia: n n n n! = ( ), =,,..., n; = Cn, cu Cn =!( n )! Relaţia de recurenţă care leagă aceste robabilităţi este: n + n ( ) ( ) + α + = =... = n n α n ( ) ( + ) ( ) n Când n : + α =, deci, 0,,... + = α + + = n Pentru a utea folosi aceasta relaţie de recurentă trebuie să determinăm una din robabilităţile. n α n α In cazul de faţă: o = ( ) = ( ) = e n n Cu ajutorul relaţiei de secvenţă obţinem: α = e α α, = e α,.., α = e α ceea ce coresunde unei distribuţii Poisson.!! Interretare: O secvenţă de n încercări Bernoulli se oate desfăşura în saţiu sau tim. În ultimul caz ea oate fi rerezentata conform figurii de mai jos: 0 T/n * * * *.. * * * t T Fig.. desfasurarea in tim a unei secvente de n incercari Bernoulli unde [0,T] este intervalul in care au loc cele n încercări (durata dintre două încercări succesive se resuune constantă) 5

6 Modelare si simulare Seminar * este un simbol ce marchează aariţia succesului încercării Distribuţia binomială ce descrie acest eeriment oferă media numărului de succese n n în intervaul T. În acest caz, raortul oate fi interretat ca o rată medie de T aariţie (sosire) a roceselor: n α λ = = T T Variabilele aleatorii N, ce rerezintă numărul de succese obţinute în n încercări Bernoulli desfăşurate în intervalul [0,T] urmează o distribuţie binomială de arametrii n şi, atunci când n şi 0, N devine o variabilă aleatorie Poisson de α arametru λ =. T Alicaţie 5 Fie numărul de surse active dintr-un număr de N surse indeendente ce generează blocuri informaţionale. Sistemul de transmisii accetă maimul M transferuri simultane de blocuri informaţionale e unitatea de tim. Dacă limita e deăşită, un număr Y = M de blocuri informaţionale (alese aleatoriu) sunt eliminate. Să se determine modelul robabilistic ce descrie variabila aleatorie Y. Rezolvare: Sy = {0,,,..., N M} M P[ Y = 0] = P[{ = 0} sau{ = },... sau{ = M}] = j= 0 PY [ = ] = P[ = M+ ] = M+, 0< N M N j N j unde: j = [ = j] =... = ( ) j. Distribuţiile uzuale de variabile aleatorii. Distribuţia Bernoulli Se resuune că: variabila aleatorie este funcţie indicator ( I A ) entru un eveniment A: _ daca _ evenimentul _ A _ aare = 0_ in _ caz _ contrar Parametrii: -robabilitatea de aariţie a evenimentului A, ( 0 ) Probabilităţi elementare: = P [ = ] = ; 0 = [ = 0] = ; Media: E[ ] = j 6

7 Modelare si simulare Seminar Varianţa: VAR[ ] = ( ) Alicatie: modelarea mecanismului fundamental de generare a aleatorului. Distribuţia binomială Se resuune că variabila aleatorie rerezintă numărul succeselor unui eveniment înregistrate în n subeerimente (reetări) indeendente (este o sumă de n variabile aleatorii indeendente, identic distribuite duă legea Bernoulli). Probabilitatea succesului în cadrul unei reetări este : Saţiile realizărilor: S = {0,,,... n} Parametrii: n (n>0), ( 0 ). n n Probabilităţi elementare: ( ) = [ = ] = ( ), = 0, n n n! = (combinări de n luate câte )!( n )! Media : [ ] = n Varianţa: VAR[ ] = n ( ) Alicaţii: numărul de biţi eronaţi într-un bloc de n biţi transmişi rintr-un canal fără zgomot, numărul de nume active dintr-un număr de n surse în servire, etc...3 Distribuţia geometrică Versiunea I : Variabila aleatorie rerezintă numărul eşecurilor unui eveniment în inregistrat e arcursul unei secvenţe de subeerimente indeendente, ti Bernoulli, ână la aariţia rimului succes. Probabilitatea succesului în cazul unei reetări este. Saţiile realizărilor: S = {0,,,...} Parametrii: ( 0 ) Probabilităţi elementare: ( ) [ ] ( ) = P = =, = 0,,, Media : E[]= E [ ] = Varianţa: VAR[ ] = Versiunea II: Se resuune ca variabila aleatoare ' este numărul de reetări ână ce aare rimul succes într-o secvenţă de subeerimente indeendente ti Bernoulli. Saţiile realizărilor: S ' = {,,...} Probabilităţi elementare: ( ) = ( ), =,,... ' 7

8 Modelare si simulare Seminar Media : E [ '] = Varianţa: VAR[ '] = Observaţii: ' = + Este singura variabilă aleatoare discretă ce deţine rorietatea de lisă de memorie Alicaţii: numărul de aeluri reetate ână la ocuarea unei surse; numărul de retransmisii într-un canal cu zgomot ână la rima receţionare corectă ; etc..4 Distribuţia Poisson Se resuune că : i). Variabila aleatorie este numărul de aariţii ale unei anumite realizări e arcursul unui interval ΔT de tim ii). Momentele aariţiilor sunt distincte ; iii). Orice interval finit conţine un număr finit de aariţii; iv). Orice interval infinit conţine un număr infinit de aariţii; v). Evenimentele nu aar la momente redeterminate ; vi). Numărul aariţiilor dintr-un interval este indeendent de numărul aariţiilor dintr-un alt interval disjunct. Saţiile realizărilor: S = {0,,,...} Parametrii: α > 0 (numărul mediu de evenimente ce aar în intervalul dat) α α Probabilităţi elementare: ( ) = e! Media : E[ ] = α Varianţa: VAR[ ] = α Observatii: aroimeaza distributia binomiala entru mic si n mare, considerand: n =α timii între două aariţii succesive sunt variabile aleatorii indeendente, identic distribuite duă o lege eonenţială de arametru: α λ =. Δ T Alicaţii: - numărul mesajelor sosite într-un sistem de comunicaţii, numărul cererilor de coneiuni într-o reţea de comunicaţie, numărul defectelor dintr-un disozitiv electronic, etc. 8

9 Modelare si simulare Seminar.5 Distribuţia uniformă discretă Se resuune că variabila aleatorie ia valori într-un interval finit {,,...n} de numere naturale. Toate valorile sunt echirobabile. Saţiile realizărilor: S = {0,,,... n} Parametrii: n Probabilităţi elementare: ( ) = P[ = ] =, =,,... n n n + Media : E [ ] = n Varianţa: VAR[ ] = Alicaţii: Evaluarea raortului semnal-zgomot introdus de rocesul de cuantizare..6 Distribuţia uniformă continuă Se resuune că variabila aleatorie ia valori reale în intervalul [a,b]. Probabilitatea ca variabila aleatoare să ia o valoare într-un subinterval este roorţională cu lungimea intervalului. Saţiile realizărilor: S = [ a, b] Parametrii: asibcu ( a< b), a b Funcţia densitatea de robabilitate: f ( n) = b a 0, in _ rest 0, entru < a Funcţia de distribuţie: a F =, entru a b b a, entru > b a+ b Media : E [ ] = ( b a) Variaţia: VAR[ ] = Alicaţii: Valori distribuite uniform în [0,] sunt utilizate entru a genera numere ce coresund altor distribuţii..7 Distribuţia eonenţială Nu se fac resuuneri Saţiul realizărilor: [0, ) Parametrii: λ > 0 Funcţia densitate de robabilitate: f = λ e Funcţia de distribuţie: F = e λ λ 9

10 Modelare si simulare Seminar Media : E [ ] = λ Varianţa: VAR[ ] = λ Observaţii: rerezintă forma limită a distribuţiei geometrice; este unica distribuţie ce deţine rorietatea de lisă memorie. Alicaţii: lungimea mesajelor şi timul între două aariţii succesive de evenimente (cereri de serviciu) în sistemele de comunicaţii; timul de funcţionare (fiabilitatea sistemelor şi comonentelor).8 Distribuţia Gamma Nu se fac resuuneri Saţiile realizărilor: (0, ) Parametrii: α > 0 λ > 0 Densitatea de robabilitate: f λ = α ( λ ) Γ( α) y unde: Γ ( α ) = y α e dy cu rorietăţile i). Media : [ ] E = α λ 0 e λ Γ = ii). Γ ( α + ) = α Γ ( α) iii). Γ ( α) = ( α )!, t. α N Varianţa: VAR[ ] = α λ Alicaţii: Distributia gamma, rin intermediul arametrilor α şi λ oate genera o varietate de curbe rin care se ot modela diverse eerimente. O serie de distributii sunt cazuri articulare ale distribuţiei gama. Astfel: - entru α = se obtine distributia eonentiala; - entru λ = / si α = / cu N se obtine distribuţia χ ; - entru α = m, m Nse obtine distribuţia m- Erlang..9 Distribuţia m-erlang Saţiile realizărilor: S = (0, ) * Parametrii: m N şi λ > 0 Funcţia densitatede robabilitate: Funcţia de distribuţie: m ( λ ) F = e! f = 0 λ λe ( λ ) = ( m )! λ m. π 0

11 Modelare si simulare Seminar m Media : E [ ] = λ m Varianţa: VAR[ ] = λ Alicaţii: O variabilă aleatoare m-erlang se obţine adunând m variabile aleatorii eonenţiale indeendente, identic distribuite, de arametru λ. De aceea, ea este un model general a timilor de aştetare în sistemele cu aştetare, a timilor de viaţă în studiile de fiabilitate, etc..