MARUTA AVOTIĥA, LAURA FREIJA Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā RĪGA 0
M AvotiĦa, L Freija Matemātikas sacesības 9 klasēm 00/0 mācību gadā Rīga: Latvijas Uiversitāte, 0 56 lpp Grāmatā apkopoti 00/0 mācību gadā otikušo matemātikas olimpiāžu 9 klašu uzdevumi, ieteikumi, kas palīdz patstāvīgi oākt pie atrisiājuma, u pili atrisiājumi Dota uzdevumu tematiska klasifikācija Grāmatas sākumā dots īss teorijas izklāsts, kas varētu būt epieciešams uzdevumu risiāšaā Izsakām pateicību 00/0 mācību gada Latvijas matemātikas olimpiāžu uzdevumu komplektu veidotājiem: A Ambaiim, A BērziĦam, M Opmaim, R Opmaim, R Ozolam, M Valdatam, I Veiladei, J Vihrovam Darbs iekĝauts Latvijas Islades kopprojekta LAIMA ietvaros izdotajā grāmatu sērijā Maruta AvotiĦa Laura Freija ISBN 978-9984-45-45-
SATURS IEVADS6 TEORIJA 8 BIEŽĀK SASTOPAMIE UZDEVUMU VEIDI8 ALGEBRA 8 Poliomi 9 Kvadrāttrioms u kvadrātvieādojums0 Fukcijas Fukcioālvieādojumi Klasiskās evieādības Progresijas u rekureces sakarības 4 ĂEOMETRIJA 6 Trijstūri6 RiĦėis u riħėa līija Ievilkti u apvilkti četrstūri 4 Vektori5 SKAITěU TEORIJA 6 SkaitĜu iedalījums 6 Dalāmība 6 Kogruece 8 KOMBINATORIKA 0 Vidējās vērtības metode Ivariatu metode Matemātiskās idukcijas metode UZDEVUMI S LATVIJAS SAGATAVOŠANĀS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ S9 Devītā klase S0 Desmitā klase S Viepadsmitā klase S Divpadsmitā klase 4 N LATVIJAS 6 NOVADA OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ5 N9 Devītā klase 5 N0 Desmitā klase5 N Viepadsmitā klase6 N Divpadsmitā klase6 V LATVIJAS 6 REPUBLIKAS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ7 V9 Devītā klase 7 V0 Desmitā klase7 V Viepadsmitā klase8 V Divpadsmitā klase8 A LATVIJAS 8 ATKLĀTĀ MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDE9 A9 Devītā klase 9 A0 Desmitā klase9 A Viepadsmitā klase40 A Divpadsmitā klase4 VP LATVIJAS 6 MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDES 4 KĀRTA4 IMO 5 STARPTAUTISKĀ MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDE 4
AB ATLASE KOMANDU OLIMPIĀDEI BALTIJAS CEěŠ 00 44 ABA Algebra44 ABĂ Ăeometrija44 ABK Kombiatorika 45 ABS SkaitĜu teorija45 BW STARPTAUTISKĀ MATEMĀTIKAS KOMANDU OLIMPIĀDE BALTIJAS CEěŠ 00 46 BWA Algebra46 BWK Kombiatorika46 BWĂ Ăeometrija47 BWS SkaitĜu teorija48 IETEIKUMI 49 IS LATVIJAS SAGATAVOŠANĀS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ 49 IS9 Devītā klase49 IS0 Desmitā klase49 IS Viepadsmitā klase 50 IS Divpadsmitā klase50 IN LATVIJAS 6 NOVADA OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ5 IN9 Devītā klase5 IN0 Desmitā klase 5 IN Viepadsmitā klase 5 IN Divpadsmitā klase 5 IV LATVIJAS 6 REPUBLIKAS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ5 IV9 Devītā klase5 IV0 Desmitā klase 5 IV Viepadsmitā klase 54 IV Divpadsmitā klase 54 IA LATVIJAS 8 ATKLĀTĀ MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDE55 IA9 Devītā klase55 IA0 Desmitā klase 55 IA Viepadsmitā klase 56 IA Divpadsmitā klase 56 IVP LATVIJAS 6 MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDES 4 KĀRTA 57 IIMO 5 STARPTAUTISKĀ MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDE 58 IAB ATLASE KOMANDU OLIMPIĀDEI BALTIJAS CEěŠ 00 60 IABA Algebra 60 IABĂ Ăeometrija 60 IABK Kombiatorika 6 IABS SkaitĜu teorija 6 IBW STARPTAUTISKĀ MATEMĀTIKAS KOMANDU OLIMPIĀDE BALTIJAS CEěŠ 00 6 IBWA Algebra 6 IBWK Kombiatorika 6 IBWĂ Ăeometrija 6 IBWS SkaitĜu teorija6 ATRISINĀJUMI 64 AS LATVIJAS SAGATAVOŠANĀS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ64 AS9 Devītā klase 64 AS0 Desmitā klase 66 AS Viepadsmitā klase67 AS Divpadsmitā klase 69 AN LATVIJAS 6 NOVADA OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ 7 AN9 Devītā klase 7 AN0 Desmitā klase74 AN Viepadsmitā klase79 AN Divpadsmitā klase8 4
AV LATVIJAS 6 REPUBLIKAS OLIMPIĀDE MATEMĀTIKĀ 8 AV9 Devītā klase 8 AV0 Desmitā klase85 AV Viepadsmitā klase89 AV Divpadsmitā klase9 AA LATVIJAS 8 ATKLĀTĀ MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDE 94 AA9 Devītā klase 94 AA0 Desmitā klase96 AA Viepadsmitā klase98 AA Divpadsmitā klase0 AVP LATVIJAS 6 MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDES 4 KĀRTA 05 AIMO 5 STARPTAUTISKĀ MATEMĀTIKAS OLIMPIĀDE 09 AAB ATLASE KOMANDU OLIMPIĀDEI BALTIJAS CEěŠ 00 9 AABA Algebra9 AABĂ Ăeometrija AABK Kombiatorika7 AABS SkaitĜu teorija0 ABW STARPTAUTISKĀ MATEMĀTIKAS KOMANDU OLIMPIĀDE BALTIJAS CEěŠ 00 4 ABWA Algebra4 ABWK Kombiatorika8 ABWĂ Ăeometrija4 ABWS SkaitĜu teorija46 UZDEVUMU SADALĪJUMS PA TĒMĀM5 ALGEBRA 5 ĂEOMETRIJA 5 SKAITěU TEORIJA 5 KOMBINATORIKA 5 ALGORITMIKA5 SĒRIJA LAIMA MATEMĀTIKĀ 54 SĒRIJAS LAIMA GRĀMATAS55 5
IEVADS Matemātikas olimpiāžu pirmsākumi meklējami 894 gadā Ugārijā, kur oktobrī tika rīkotas sacesības pagājušā gada ăimāziju absolvetiem Šajās sacesībās varēja lietot jebkuru literatūru, līdz ar to tās bija citādākas ekā olimpiādes, kuras orisiās pašlaik Matemātikas olimpiādes mūsdieu izpratē aizsākās 94 gadā toreizējā Padomju Savieībā, ěeħigradā Olimpiāžu sistēma pakāpeiski auga, u patlaba tā aptver lielāko pasaules daĝu Matemātikas olimpiādes paplašia skolēu redzesloku u rosia skolēus domāt par matemātikas ziātes tēmām Tās dod iespēju satikties skolēiem ar līdzīgām iteresēm u rada sacesību garu, kas ir lielisks stimuls lieliem sasiegumiem Matemātikas olimpiāžu uzdevumi attīsta abstrakto domāšau, prasmi pierādīt u rada epieciešamību pēc pierādījuma Līdz ar to olimpiādes siedz skolēiem e tikai jauas ziāšaas, bet arī veido cilvēka persoību u darba kultūru, radiot skolēus loăiski sakārtot savas domas u darboties secīgi Lai veiksmīgi piedalītos olimpiādēs, skolēiem ir epieciešams tām arī pieācīgi sagatavoties, ieguldot ga laiku, ga darbu Pirmkārt, epieciešams sistemātisks darbs matemātikas studās skolā, apgūstot matemātikas pamatziāšaas u izmatojot tās dažādu uzdevumu risiāšaā Tur skolēi iegūst vispārēju priekšstatu par matemātiku Otrkārt, Ĝoti oderīgs ir ārpusstudu darbs ga skolā (fakultatīvās odarbības u pulciħi matemātikā), ga ārpus skolas (dalība dažādos matemātikas kokursos, olimpiādēs, odarbībās, kursos uc) Ses u pārbaudīts līdzeklis dažādu ziāšau apguvē ir grāmata Šī grāmata ir paredzēta kā palīgs vidusskolas skolēiem, lai gatavotos olimpiādēm, u skolotājiem, lai veiksmīgi orgaizētu darbu ar skolēiem ārpusstudu odarbībās Šajā uzdevumu krājumā ir apskatītas tās matemātikas olimpiādes, kurās var piedalīties Latvijas 9 klašu skolēi Šāda veida mācību līdzeklis tiek izdots katru gadu, u pašlaik ir pieejami uzdevumu krājumi sākot ar 005/006 mācību gadu Šajā grāmatā apskatītas tās olimpiādes, kuras orisiājās 00/0 mācību gadā: Sagatavošaās matemātikas olimpiāde otiek kopš 987/988 mācību gada, tās rīkošaas ideja pieder Rīgas 5 vidusskolas matemātikas skolotājai Aai Gustavai Sagatavošaās olimpiāde ir lielisks veids, kā skolēiem iesākt jauo olimpiāžu gadu, tāpēc katrai skolai ovembra vidū tiek osūtīti šīs olimpiādes uzdevumu komplekti, tomēr tas ir atkarīgs o matemātikas skolotājiem, vai viħi savā skolā orgaizē šo olimpiādi Parasti šīs olimpiādes labākos risiātājus katra skola izvirza dalībai Novada olimpiādē Novada (agrāk Rajoa) matemātikas olimpiāde otiek kopš 0 gadsimta piecdesmitajiem gadiem Kopš 987/988 mācību gada tā tiek rīkota, sadarbojoties Latvijas Republikas Izglītības u Ziātes miistrijai (LR IZM) u Latvijas Uiversitātes A Liepas Neklātiees Matemātikas skolai (LU A Liepas NMS) Novada olimpiāde otiek ovada/ovadu apvieības/pilsētas mērogā Šīs olimpiādes laureāti tiek izvirzīti dalībai Valsts olimpiādē, kā to paredz Latvijas Valsts matemātikas olimpiāžu olikums Valsts matemātikas olimpiāde 9 (agrāk 8 ) klasēm, tāpat kā Novada olimpiāde, otiek kopš 0 gs piecdesmitajiem gadiem u kopš 987/988 mācību gada tā tiek rīkota, sadarbojoties LR IZM u LU A Liepas NMS Šī olimpiāde parasti otiek dieas Rīgas Valsts ăimāzijā Uz otrās dieas sacesībām tiek aiciāti tikai pirmās dieas veiksmīgākie risiātāji, lai sacestos par iekĝūšau Latvijas valsts komadā dalībai Starptautiskajā matemātikas olimpiādē Atklātā matemātikas olimpiāde otiek kopš 974 gada Tajā drīkst piedalīties jebkurš Latvijas skolēs, kas oteiktajā termiħā piesaka savu dalību Atklāto olimpiāžu ideja 6
izrādījās tik auglīga u vilioša, ka turpmākajos gados līdzīgas olimpiādes sāka rīkot citās ozarēs, kā citās valstīs Atklāto olimpiādi matemātikā rīko LU A Liepas NMS Katru gadu ap 000 skolēu piedalās šajā olimpiādē, kas ir lielākais šāda veida pasākums Latvijā Starptautiskā matemātikas olimpiāde otiek kopš 959 gada, kad tā otika Rumāijā Sākumā tajā piedalījās tikai Austrumu bloka valstis Pēdējos gados tajā piedalās ap 00 valstīm o visas pasaules Katra dalībvalsts izvirza e vairāk kā 6 skolēu komadu dalībai Olimpiādē tiek vērtēts katrs skolēs atsevišėi 00/0 mācību gadā Latvijas komadas dalībieki ieguva sudraba u brozas medaĝu, kā arī atziības rakstu Katru gadu eoficiāli tiek vērtēts arī komadas siegums Atlases sacesības olimpiādei Baltijas CeĜš tiek orgaizētas, lai izvēlētos skolēus starptautiskajai komadu olimpiādei, kas orisiās mācību gada sākumā, tāpēc tās otiek jau septembra vidū Uz atlases sacesībām tiek aiciāti skolēi, kuri iepriekšējā mācību gadā uzrādījuši labus rezultātus Valsts u Atklātajā matemātikas olimpiādē Matemātikas komadu olimpiāde Baltijas CeĜš savu osaukumu ieguvusi o masu demostrācijas, kas otika 989 gada augustā Šī olimpiāde pirmo reizi otika 990 gadā Rīgā u tajā sākotēji piedalījās tikai Baltijas valstis Tagad Baltijas CeĜā piedalās visas valstis ap Baltijas jūru u Islade Katra valsts šīm sacesībām izvirza 5 skolēu komadu, kurai olimpiādē 4,5 studu laikā kopīgi jāatrisia 0 uzdevumi 00/0 mācību gadā Latvijas komada 0 valstu kokurecē izcīīja 4 vietu Šajā uzdevumu krājumā e tikai apkopoti u izvērsti aprakstīti 00/0 mācību gada matemātikas olimpiāžu uzdevumi u atrisiājumi, kā arī iekĝautas sadaĝas Ieteikumi u Teorija SadaĜā Ieteikumi skolēi var smelties idejas uzdevuma risiāšaā, ja eizdodas uzdevumu atrisiāt patstāvīgi Skolotāji ieteikumus var izmatot, lai virzītu skolēu risiājumu uz grāmatā doto atrisiājumu Lai sasiegtu labāku rezultātu, iesakām skolēiem vispirms cesties atrisiāt uzdevumu pašu spēkiem vai risiāt to kopā ar draugiem u tikai tad meklēt palīdzību ieteikumos vai atrisiājumos SadaĜā Teorija iekĝauts miimālais teorijas apjoms, kas varētu būt epieciešams olimpiāžu uzdevumu risiāšaā Skolēi šo sadaĝu var izmatot ga meklējot palīdzību uzdevumu risiāšaā, ga gatavojoties matemātikas olimpiādēm, ga patstāvīgi apgūstot jauas ziāšaas Skolotāji šo sadaĝu var izmatot darbam matemātikas pulciħos Grāmatā apskatīto uzdevumu atrisiāšaai bieži epieciešami evis sarežăīti matemātiski pārveidojumi, bet prasme saskatīt uzdevumiem raksturīgu īpatību, o kuras ar loăiskiem vai kombiatoriskiem spriedumiem var iegūt pilīgu atrisiājumu Daudzus estadarta uzdevumus var atrisiāt, izmatojot tikai vispārīgus spriešaas paħēmieus, taču uzdevumu atrisiājumiem ir jābūt pilīgiem u skaidri pierakstītiem Grāmatā visiem uzdevumiem dots izvērsts u pilīgs atrisiājums, lai skolēiem būtu priekšstats par pareizu uzdevuma atrisiājuma pierakstu Veltiet laiku e tikai uzdevumu risiāšaai, sīki pierakstot atrisiājumus, bet arī atrisiājumu salīdziāšaai ar grāmatas piedāvātajiem Tie var saturēt jauas, Jums agrāk eziāmas idejas, u, tos lasot, var atklāties epilības Jūsu patstāvīgi veiktajos spriedumos Ja tā otiek u atrisiājumos tiek izmatoti kādi eziāmi paħēmiei, iesakām apgūt šos paħēmieus, lai varētu turpmāk tos izmatot Grāmatā piedāvājam mums ziāmos racioālākos risiājumus u risiājumus, kas satur vērtīgas idejas, taču tie av vieīgie šo uzdevumu atrisiājumi Lai darbs ar grāmatu attīsta radošumu, u ceram, ka risiāšaas gaitā iegūtās ziāšaas u pieredze palīdzēs izvirzīt u veiksmīgi sasiegt savus mērėus! Autori 7
TEORIJA BIEŽĀK SASTOPAMIE UZDEVUMU VEIDI Atrast vismazāko / vislielāko vērtību šāda veida uzdevumu risiājumam ir jāsastāv o divām daĝām: ) atrast šo vismazāko / vislielāko vērtību u uzrādīt piemēru; ) pierādīt, ka mazāka / lielāka vērtība evar būt ěoti bieži tiek aizmirsts tieši par daĝu Vai var? Uz šāda veida jautājumiem var būt vai u atbilde jā, vai atbilde ē Ja atbilde ir: jā, pietiek uzrādīt vieu piemēru, kurā visas uzdevuma prasības ir izpildītas; ē, ar atsevišėu piemēru apskatīšau epietiek, epieciešams pierādījums, kas balstās uz vispārīgiem spriedumiem Varbūt risiātājam viekārši av paveicies uziet uzdevumā prasīto piemēru, bet tāds tomēr eksistē Kāds var būt? šādos uzdevumos epietiek atrast vieu iespējamo atbildi ir jāaplūko visi iespējamie gadījumi u atbildē jāuzrāda visas atrastās dažādās vērtības ALGEBRA Saīsiātās reiziāšaas formulas: a b = ( a b)( a+ b) ; a ± b = ( a± b)( a m ab+ b ) ; ( a+ b+ c) = a + b + c + ab+ ac+ bc ; k 8 k ( a + b) = C a + C a b+ + C a b + + C b o o o 0 ± b) = a ± ab ; ( a + b ( a a b) = ( b ) ; ( a ± b ± b) = a ± ab + ab k, o kā seko Par reāla skaitĝa a moduli jeb absolūto vērtību (apzīmē a ) sauc lielāko o skaitĝiem a a, ja a 0, u a Tātad a = a, ja a< 0 ModuĜa īpašības: a 0 ; a = a a = a ; a b = b a ;
a + b a + b ; a b a b ; a b = a b ; a a =, ja b 0 b b Par skaitĝa x veselo daĝu (apzīmē [x] ) sauc lielāko veselo skaitli, kas epārsiedz x, t i, veselo skaitli m tādu, ka m x< m+ Par skaitĝa x daĝveida daĝu (apzīmē {x}) sauc skaitli x [x] Poliomi Par maiīgā x -tās pakāpes poliomu sauc algebrisku izteiksmi a x + a x + + ax+ a0, kur vesels eegatīvs skaitlis, a, a,, a, a 0 patvaĝīgi skaitĝi ( a 0) Nultās pakāpes polioms ir kostate, kas av vieāda ar ulli Nulles polioms ir kostate, kas vieāda ar ulli Saka, ka polioms P (x) dalās bez atlikuma ar poliomu S (x) Q (x), ka Q ( x) S( x) = P( x), ja eksistē tāds polioms Bezū teorēma Dalot poliomu P (x) ar biomu x a, atlikumā iegūst P (a) skaitli, kas ir polioma vērtība pie x= a, t i, Seciājums Lai maiīgā x -tās pakāpes polioms P (x) dalītos bez atlikuma ar x a, epieciešami u pietiekami, lai skaitlis a būtu šī polioma sake, t i, lai būtu spēkā vieādība P ( a) = 0 Algebras pamatteorēma Poliomam P (x) ir e vairāk kā sakes Lai poliomu P ( x) = a x + a x + + ax+ a0 sadalītu reiziātājos, bieži izmato šādas teorēmas: Katru poliomu P var sadalīt reiziātājos tā, lai katrs reiziātājs būtu pirmās vai otrās pakāpes polioms Ja x= a ir polioma P sake, tad polioms P satur reiziātāju x a Ja poliomam P ir vesela sake P dalās bez atlikuma ar biomu x= a, tad a ir brīvā locekĝa a 0 dalītājs x a jeb p Lai racioāls skaitlis (esaīsiāma daĝa ) būtu polioma sake (polioma q koeficieti ir veseli skaitĝi), epieciešami, lai p būtu brīvā locekĝa a 0 dalītājs, bet q būtu a dalītājs (t i, a 0 dalītos bez atlikuma ar p, bet a ar q) 9
Teorēma Starpība P( x) P( y) dalās ar ( x y ), kur P( x) = a x + + ax+ a0 u a i, i= 0,,,, ir veseli skaitĝi Pierādījums Apskatām starpību P( x) P( y) = a x + + ax+ a0 ( a y + + a y+ a0 ) = a ( x y ) + + a( x y) a b = ( a b) a + a b+ a b + + ab + b, kur Izmatojot formulu ( ) i i aturāls skaitlis, iegūstam, ka katrs saskaitāmais ai ( x y ), i=,,, dalās ar ( x y ) Tātad arī starpība P( x) P( y) dalās ar ( x y ), kas arī bija jāpierāda Kvadrāttrioms u kvadrātvieādojums Poliomu, kuru var pierakstīt formā ax + bx+ c, kur a, b u c reāli eulles skaitĝi, sauc par kvadrāttriomu Par kvadrātvieādojumu sauc vieādojumu ax + bx+ c= 0, kur x ir maiīgais, bet a, b, c ir reāli skaitĝi ( a 0 ) SkaitĜus a, b, c sauc par kvadrātvieādojuma koeficietiem; ax sauc par kvadrātisko locekli, bx lieāro locekli, c brīvo locekli Kvadrātvieādojuma sakħu aprēėiāšaa: b± D x, =, kur diskrimiats D= b 4ac ; a b x + x = a Vjeta teorēma: ; c x x = a Kvadrātvieādojuma sakħu skaits ir atkarīgs o diskrimiata vērtības: D= b 4ac D < 0 vieādojumam av reālu sakħu b D = 0 vieādojumam ir viea sake jeb divas vieādas sakes x= a b± D D > 0 vieādojumam ir divas dažādas sakes x, = a Kvadrāttriomu var sadalīt reiziātājos izmatojot formulu ax + bx+ c= a( x x )( x x ), kur x u x ir kvadrāttrioma sakes Par reducēto kvadrātvieādojumu sauc kvadrātvieādojumu, kuram a = Par epilo kvadrātvieādojumu sauc kvadrātvieādojumu, kuram kāds o koeficietiem (izħemot a) ir vieāds ar ulli Ir trīs veidu epilie kvadrātvieādojumi: c ja b = 0, tad iegūst epilo kvadrātvieādojumu ax + c= 0 jeb x = : a c o ja 0, tad a c x= ± ; a c o ja < 0, tad vieādojumam av reālu sakħu; a 0
ja c = 0, tad iegūst epilo kvadrātvieādojumu ax + bx= 0 jeb x ( ax+ b) = 0, b kura sakes ir x = 0 u x= ; a ja b = 0 u c = 0, tad iegūst epilo kvadrātvieādojumu ax = 0 jeb x = 0, kura sake ir x = 0 Fukcijas Fukciju y= f (x) sauc par pāra fukciju, ja katram x o šīs fukcijas defiīcijas apgabala ir pareiza vieādība f ( x) = f ( x) Pāra fukcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret y asi Fukciju y= f (x) sauc par epāra fukciju, ja katram x o šīs fukcijas defiīcijas apgabala ir pareiza vieādība f ( x) = f ( x) Nepāra fukcijas grafiks ir simetrisks attiecībā pret koordiātu sistēmas sākumpuktu, t i, puktu ( 0; 0) Fukciju sauc par augošu, ja katrām divām argumeta vērtībām, kurām x < x, ir spēkā evieādība f ( x) < f ( x ) jeb fukciju sauc par augošu, ja, palielioties argumeta vērtībām, palieliās fukcijas vērtības Fukciju sauc par dilstošu, ja katrām divām argumeta vērtībām, kurām x < x, ir spēkā evieādība f ( x) > f ( x ) jeb fukciju sauc par dilstošu, ja, palielioties argumeta vērtībām, samaziās fukcijas vērtības Ja fukcija kādā itervālā ir tikai dilstoša vai tikai augoša, tad to sauc par mootou fukciju Fukciju vispārīgās īpašības: ja fukcija f ir augoša, tad fukcija ( f ) ir dilstoša; divu augošu fukciju summa ir augoša fukcija; divu augošu fukciju kompozīcija ir augoša fukcija; divu dilstošu fukciju kompozīcija ir augoša fukcija; augošas u dilstošas fukcijas kompozīcija ir dilstoša fukcija; pāra fukciju summa (reiziājums) ir pāra fukcija; divu epāra fukciju reiziājums (dalījums) ir pāra fukcija; pāra u epāra fukcijas reiziājums (dalījums) ir epāra fukcija Fukciju f (x) u g (x) grafiku krustpuktu x koordiātas ir vieādojuma f ( x) = g( x) sakes Lieārā fukcija: f ( x) = kx+ b Lieārās fukcijas grafiks ir taise Pukts ( 0; b ) ir lieārās fukcijas krustpukts ar y asi Koeficietu k sauc par taises virziea koeficietu Ja k > 0, tad taise ir augoša; ja k < 0, tad taise ir dilstoša Lieārās fukcijas defiīcijas apgabals ir itervāls ( ; + ) u vērtību apgabals ir itervāls ( ; + ) Ja b = 0, tad lieāro fukciju sauc par tiešās proporcioalitātes fukciju k Apgrieztās proporcioalitātes fukcija: f ( x) = x Apgrieztās proporcioalitātes fukcijas grafiks ir hiperbola Apgrieztās proporcioalitātes fukcijas grafiks ekrusto e x asi, e y asi
Ja k > 0, tad fukcijas grafiks atrodas u kvadratā; ja k < 0, tad fukcijas grafiks atrodas u 4 kvadratā Ja k > 0, tad fukcija ir dilstoša; ja k < 0, tad fukcija ir augoša Apgrieztās proporcioalitātes fukcijas iversā fukcija ir apgrieztās proporcioalitātes fukcija Kvadrātfukcija: f ( x) = ax + bx+ c Ja a > 0, tad kvadrātfukcijas grafiks ir parabola, kurai zari vērsti uz augšu b Fukcijai ir vismazākā vērtība f ( x0 ) = ax0 + bx0 + c, kur x0 = ir parabolas a virsotes x koordiāta Ja a < 0, tad kvadrātfukcijas grafiks ir parabola, kurai zari vērsti uz leju b Fukcijai ir vislielākā vērtība f ( x0 ) = ax0 + bx0 + c, kur x0 = ir parabolas a virsotes x koordiāta Ja D = b 4ac< 0, tad kvadrātfukcijas grafiks ekrusto x asi Pukts ( 0; c ) ir kvadrātfukcijas grafika krustpukts ar y asi x Ekspoetfukcija: y= a Ja a >, tad ekspoetfukcijas grafiks ir augoša fukcija; ja 0 < a <, tad dilstoša fukcija Ekspoetfukcijas defiīcijas apgabals ir itervāls ( ; + ) u vērtību apgabals ir itervāls ( 0; + ) Ekspoetfukcijas iversā fukcija ir logaritmiskā fukcija Logaritmiskā fukcija: f ( x) = log x a Ja a >, tad logaritmiskās fukcijas grafiks ir augoša fukcija; ja 0 < a <, tad dilstoša fukcija Logaritmiskās fukcijas defiīcijas apgabals ir itervāls ( 0; + ) u vērtību apgabals ir itervāls ( ; + ) Logaritmiskās fukcijas iversā fukcija ir ekspoetfukcija Trigoometriskās fukcijas: f ( x) = si x, f ( x) = cos x, f ( x) = tgx, f ( x) = ctgx Siusa u kosiusa fukciju vērtību apgabals ir itervāls [ ; ], t i, šīs fukcijas ir ierobežotas Siusa u kosiusa fukciju defiīcijas apgabals ir itervāls ( ; + ) Fukcija f ( x) = tgx av defiēta, ja x= π, Z ; fukcija f ( x) = ctgx av π defiēta, ja x= + π, Z Kosiusa fukcija ir pāra fukcija, t i, cos( x) = cos x Siusa, tagesa u kotagesa fukcijas ir epāra fukcijas, t i, si( x) = si x, tg( x) = tgx u ctg( x) = ctgx Siusa u kosiusa fukcijas ir periodiskas fukcijas ar perioda garumu T = π Tagesa u kotagesa fukcijas ir periodiskas fukcijas ar perioda garumu T =π
Fukcioālvieādojumi Fukcioālvieādojumi ir vieādojumi, kas kā maiīgo satur eziāmo fukciju Risiāšaas metodes: Dažādu vērtību ievietošaa (piemēram, x = 0, x =, x = y = 0 ); Substitūciju metode (jāievēro sākotējais defiīcijas apgabals); Ekvivaletu pārveidojumu veikšaa; Neoteikto koeficietu metode Elemetārās fukcijas: Ja f ir epārtraukta fukcija, kas visiem x, y R apmieria vieādību: f ( x+ y) = f ( x) + f ( y) (Košī vieādība), tad f ( x) = Cx, kur kostate C = f () ; f ( x+ y) = f ( x) f ( y), tad f ( x) = C, kur C kostate; f ( xy) = f ( x) + f ( y), tad f ( x) = C l x, kur C kostate; f ( xy) = f ( x) f ( y), tad x+ y f ( x) + f ( y) f ( ) = C kostates C x f ( x) = x, kur C kostate; (Jesea vieādība), tad f ( x) = Cx+ C, kur C, Klasiskās evieādības Izteiksmes kvadrāts viemēr ir eegatīvs a 0 Sakarība starp vidējo aritmētisko u vidējo ăeometrisko A G : a + a + + a a a a jeb a + a + + a a a a visiem a i > 0, i=,,, Seciājumi: a b + ; b a x + x Sakarība starp vidējo aritmētisko u vidējo kvadrātisko Q A : a + a + + a a+ a + + Sakarība starp vidējo aritmētisko u vidējo harmoisko A H : a + a + + a visiem a i > 0, i=,,, + + + a a a Piezīme: H G A Q Košī-BuĦakovska evieādība: x + x + x y + y + y x y + x y + x, kur x, x,, x ( )( ) ( ) y K, y, y, K, y ir patvaĝīgi skaitĝi a
Progresijas u rekureces sakarības Virki, kurā katru ākamo locekli iegūst iepriekšējam pieskaitot vieu u to pašu skaitli, sauc par aritmētisko progresiju Šo skaitli sauc par aritmētiskās progresijas difereci u apzīmē ar d: a + = a + d Lai defiētu aritmētisko progresiju, pietiek orādīt virkes pirmo locekli u difereci Lai aprēėiātu virkes -to locekli, lieto formulu a = a + d( ) Aritmētiskās progresijas pirmo locekĝu summu aprēėia pēc formulas ( a + a ) S = Virki, kuras katru ākamo locekli iegūst, iepriekšējo locekli reiziot ar vieu u to pašu eulles skaitli, sauc par ăeometrisko progresiju Šo skaitli sauc par ăeometriskās progresijas kvocietu q: b+ = b q Lai defiētu ăeometrisko progresiju, pietiek orādīt virkes pirmo locekli u kvocietu Lai aprēėiātu virkes -to locekli, lieto formulu b = b q Ăeometriskās progresijas pirmo locekĝu summu aprēėia pēc formulas b q b S = q Ja q <, tad ăeometrisko progresiju sauc par bezgalīgi dilstošu ăeometrisko b progresiju u tās visu locekĝu summu aprēėia pēc formulas S = q Par rekuretu virki sauc skaitĝu virki u 0, u,, u,, kuras katrs loceklis ir vieādā veidā, t i, eatkarīgi o locekĝa umura, izsakāms ar oteikta skaita (piemēram, k) iepriekšējiem locekĝiem: u = f ( u, u,, u k ), kur = k, k+, Par rekureces sakarību sauc vieādojumu, kas rekursīvi defiē skaitĝu virki Ja fukcija f ir lieāra (t i, esatur reiziājumus, dalījumus u pakāpes, kas augstākas par pirmo), tad iegūstam vieādību u = a u + au + + aku k, kur a k 0, (*) ko sauc par k-tās kārtas lieāru rekuretu jeb difereču vieādojumu Piezīme: Aritmētiskā u ăeometriskā progresija arī ir rekuretas virkes Lieāro difereču vieādojumu atrisiāšaa Difereču vieādojumu (*) var apmieriāt daudzas virkes Lai k-tās kārtas lieārā difereču vieādojuma (*) atrisiājums būtu vieozīmīgi oteikta virke, jāuzdod šīs virkes pirmo k locekĝu u 0, u,, u k vērtības Tie ir sākumosacījumi, kas Ĝauj vieozīmīgi aprēėiāt turpmākos locekĝus, sākot o u k Difereču vieādojumu galveā risiāšaas metode Vispirms sastāda vieādojumam (*) atbilstošo raksturīgo jeb harakteristisko k k vieādojumu r ( t) = 0 ar maiīgo t, kur r( t) = t a t ak t ak ir k-tās pakāpes polioms 4
Ja polioma r (t) visas sakes r, r,, r k ir reālas u dažādas, vieādojuma (*) vispārīgais atrisiājums ir lieāra kombiācija o k ăeometriskām progresijām: u = C r + C r + + C r k k Kostates C, C,, C k atrod o sākumosacījumiem, izmatojot ziāmās vērtības u 0, u,, u k, t i, atrisiot k lieāru vieādojumu sistēmu i i i u ( i) = jeb C r + Cr + + Ck rk = ui, i = 0,,, k u i Ja dots otrās kārtas lieārs difereču vieādojums u = + au au, tad tā raksturīgais vieādojums ir kvadrātvieādojums formā t at a = 0 Ja kvadrātvieādojuma sakes r u r ir reālas u dažādas, tad dotā difereču vieādojuma atrisiājums ir = C r C r ; u + = r vieādas r = r, tad dotā difereču vieādojuma atrisiājums ir u = C r + C r jeb u = ( C+ C ) r Viekāršākais otrās kārtas lieārais difereču vieādojums u = + u u ar sākuma osacījumiem u 0 u u defiē virki, kuras locekĝus sauc par Fiboači 0 = skaitĝiem (apzīmē = F ) Ja uzdoti sākuma osacījumi u u u, tad veidojas skaitĝu virke, kuras locekĝus sauc par Lukasa skaitĝiem (apzīmē l ) 0 4 5 6 7 8 9 0 F 0 5 8 4 55 89 l 4 7 8 9 47 76 99 0 = = Fiboači skaitĝu īpašības: ϕ ψ + 5 5 F =, kur ϕ = u ψ = ; 5 + F = ( ) F ; F = F + F ; F = ( F + F+ ) F = (F + F ) F ; F F ; k= k = + F lim + = ϕ F 5
ĂEOMETRIJA Trijstūri Trijstūra iekšējo leħėu summa ir 80 Par trijstūra ārējo leħėi sauc trijstūra iekšējā leħėa blakusleħėi Trijstūra ārējais leħėis ir vieāds ar to divu iekšējo leħėu summu, kas av tā blakusleħėis (skat zīm) B BAD= ABC+ BCA D A zīm Pret garāku trijstūra malu atrodas lielāks trijstūra leħėis u otrādi Nogriezi, kas savieo trijstūra divu malu viduspuktus, sauc par trijstūra viduslīiju Viduslīijas īpašības: Trijstūra viduslīija ir paralēla vieai o trijstūra malām; Trijstūra viduslīijas garums ir vieāda ar pusi o tai paralēlās trijstūra malas; Trijstūra viduslīija o dotā trijstūra atšėeĝ trijstūri, kas līdzīgs dotajam trijstūrim ar līdzības koeficietu k = Par trijstūra augstumu sauc ogriezi, kas savieo trijstūra virsoti ar tai pretējo malu (vai pretējās malas pagariājumu) u ar to veido taisu leħėi Trijstūra augstumi krustojas vieā puktā Par trijstūra mediāu sauc ogriezi, kas savieo trijstūra virsoti ar tai pretējās malas viduspuktu Trijstūra mediāu īpašība Trijstūra mediāas krustojas vieā puktā, u krustpukts katru mediāu dala attiecībā :, skaitot o trijstūra virsotes, t i, AM BM CM = = =, kur M mediāu krustpukts (skat zīm) MD ME MF B C F M D A E C zīm Par bisektrisi sauc taisi, kas sadala leħėi divās vieādās daĝās Par trijstūra bisektrisi sauc trijstūra leħėa bisektrises ogriezi, kas atrodas trijstūra iekšpusē Trijstūra bisektrises krustojas vieā puktā 6
Trijstūra bisektrises īpašība Trijstūra leħėa bisektrise sadala pretējo malu ogriežħos, kuru attiecība ir vieāda ar šim leħėim atbilstošo piemalu attiecību, t i, BD AB = (skat zīm) DC AC A B D zīm Par ogriežħa vidusperpedikulu sauc taisi, kas iet caur dotā ogriežħa viduspuktu u ir perpedikulāra dotajam ogriezim Vidusperpedikula īpašība NogriežĦa vidusperpedikula jebkurš pukts atrodas vieādā attālumā o ogriežħa galapuktiem Jebkurš pukts, kas atrodas vieādā attālumā o ogriežħa galapuktiem, atrodas uz ogriežħa vidusperpedikula Trijstūra malu vidusperpedikulu krustpukts ir trijstūrim apvilktās riħėa līijas cetrs (skat 4 zīm), bet trijstūra bisektrišu krustpukts ir trijstūrī ievilktās riħėa līijas cetrs (skat 5 zīm) A O R B C B A C 4 zīm 5 zīm O r C Simsoa teorēma Ja o trijstūrim ABC apvilktās riħėa līijas pukta ovelk perpedikulus pret taisēm AB, BC, CA, tad perpedikulu pamati atrodas uz vieas taises Šo taisi sauc par Simsoa taisi Mikela teorēma Ja uz katras o trijstūra ABC malām vai to pagariājumiem ir atlikts pukts, tad trīs riħėi, kur katrs o tiem iet caur citu trijstūra ABC virsoti u abiem puktiem, kas atlikti uz attiecīgās virsotes piemalām, krustojas vieā puktā M (skat 6 zīm) Puktu M sauc par Mikela puktu u trīs riħėus sauc par Mikela riħėiem B C M A A B C 6 zīm 7
Mikela teorēmas vispāriājums četrām taisēm Ja dotas četras taises l, l, l u l 4, kur katra krustojas ar katru, u četri riħėi, kur katrs o tiem iet caur citiem trim taišħu l, l, l u l 4 krustpuktiem, tad tās krustojas puktā M Puktu M sauc par Mikela ceturto puktu u četrus riħėus sauc par Mikela riħėiem Šo četru Mikela riħėu cetri atrodas uz vieas riħėa līijas (skat 7 zīm) Γ M 7 zīm Trijstūru vieādības pazīmes: mmm divi trijstūri ir vieādi, ja viea trijstūra trīs malas ir attiecīgi vieādas ar otra trijstūra trim malām ml m divi trijstūri ir vieādi, ja viea trijstūra divas malas u leħėis starp tām ir attiecīgi vieādi ar otra trijstūra divām malām u leħėi starp tām; l ml divi trijstūri ir vieādi, ja viea trijstūra mala u tās pieleħėi ir attiecīgi vieādi ar otra trijstūra malu u tās pieleħėiem Trijstūru līdzības pazīmes: mmm divi trijstūri ir līdzīgi, ja viea trijstūra trīs malas ir attiecīgi proporcioālas ar otra trijstūra trim malām ; ml m divi trijstūri ir līdzīgi, ja viea trijstūra divas malas ir proporcioālas otra trijstūra divām malām u leħėi starp tām ir vieādi; ll divi trijstūri ir līdzīgi, ja viea trijstūra divi leħėi ir attiecīgi vieādi ar otra trijstūra diviem leħėiem Līdzīgu trijstūru perimetru attiecība ir vieāda ar atbilstošo malu attiecību (līdzības koeficietu k), bet laukumu attiecība ir vieāda ar atbilstošo trijstūra malu attiecības kvadrātu (līdzības koeficieta kvadrātu k ), t i, ja ABC A B C, tad AB P( ABC) AB S( ABC) = = k, = = k A B P( A B C ) A B S( A B C ) Līdzīgu trijstūru atbilstošo bisektrišu, mediāu, viduslīiju u citu atbilstošo ogriežħu garumu attiecība ir vieāda ar šo trijstūru līdzības koeficietu k 8
Trijstūra laukuma aprēėiāšaas formulas: ah S a = ; S = p r ; abc S = ; 4R S = ab siγ, kur γ leħėis starp malām a u b; S = p( p a)( p b)( p c) (Hēroa formula), kur a, b, c trijstūra malas, h a augstums, kas ovilkts pret malu a, p pusperimetrs, r ievilktās riħėa līijas rādiuss, R apvilktās riħėa līijas rādiuss a b c Siusu teorēma: = = = R (skat 8 zīm) siα siβ siγ Kosiusu teorēma: a = b + c bc cosα (skat 8 zīm) γ b a β α c 8 zīm Nevieādības trijstūros Trijstūra katras malas garums ir mazāks ekā pārējo divu malu garumu summa u katras trijstūra malas garums ir lielāks ekā abu pārējo divu malu garumu starpība, t i, ja a, b, c trijstūra malu garumi, kur a b c, tad a + b> c u c b< a Trijstūra mediāa ir mazāka ekā malu, starp kurām tā atrodas, pussumma, t i, b+ c m a <, kur m a mediāa, kas ovilkta pret malu a Par vieādsāu trijstūri sauc trijstūri, kura divas malas ir vieādas Vieādās trijstūra malas sauc par sāu malām, bet trešo malu par pamatu Vieādsāu trijstūrī leħėi pie pamata ir vieādi Augstums, kas ovilkts pret trijstūra pamatu, ir arī šī trijstūra mediāa u bisektrise Ja ogriezis ir trijstūra augstums u bisektrise, tad tas ir arī trijstūra mediāa u šis trijstūris ir vieādsāu Regulārs (vieādmalu) trijstūris Par regulāru (vieādmalu) trijstūri sauc trijstūri, kuram visas malas ir vieādas Regulāra trijstūra visi leħėi ir vieādi, t i, 60 lieli Vieādmalu trijstūrī katra mediāa ir arī bisektrise u augstums a Regulāra trijstūra laukums: S =, kur a ir trijstūra malas garums 4 a Regulāra trijstūra augstums: h= a Regulārā trijstūrī ievilktās riħėa līija rādiuss: r = h= 6 9
Regulāram trijstūrim apvilktās riħėa līijas rādiuss: a R = h= TaisleĦėa trijstūris Pitagora teorēma TaisleĦėa trijstūrī katešu garumu kvadrātu summa ir vieāda ar hipoteūzas garuma kvadrātu, t i, a + b = c, kur a u b ir katešu garumi u c hipoteūzas garums Trigoometriskās sakarības taisleħėa trijstūrī (skat 9 zīm): a si α= ; c b c cos α= ; c a a tg α= ; α b b a ctg α= 9 zīm b No taisleħėa trijstūra taisā leħėa virsotes ovilktais augstums h c sadala trijstūri divos taisleħėa trijstūros, kas ir līdzīgi savā starpā u ir līdzīgi dotajam trijstūrim, t i, ABC ~ ACD ~ CBD (skat 0 zīm) Ir spēkā šādas sakarības: hc = ac bc a = ac c b = b c ; c a a = b b c c ; ; a C B a c h c D b b c 0 zīm Ap taisleħėa trijstūri apvilktas riħėa līijas cetrs atrodas hipoteūzas viduspuktā, u tās rādiusa garums ir vieāds ar pusi o hipoteūzas garuma TaisleĦėa trijstūra mediāa, kas ovilkta o taisā leħėa virsotes, ir vieāda ar trijstūrim apvilktās riħėa līijas rādiusu, t i, ar pusi o hipoteūzas (skat zīm) c A A C O B zīm 0
RiĦėis u riħėa līija Par riħėa līiju sauc ir visu to plakes puktu kopu, kuri atrodas vieādā attālumā o kāda fiksēta plakes pukta Šo puktu sauc par riħėa līijas cetru, bet attiecīgo attālumu par riħėa līijas rādiusu Visi riħėa līijas rādiusi ir vieādi savā starpā Par riħėi sauc plakes daĝu, ko ierobežo riħėa līija u kurā atrodas tās cetrs Par riħėa līijas pieskari sauc taisi, kurai ar riħėa līiju ir tieši vies kopīgs pukts Par hordu sauc ogriezi, kas savieo divus riħėa līijas puktus Jo tuvāk horda atrodas riħėa līijas cetram, jo tā ir garāka Par diametru sauc hordu, kas iet caur riħėa līijas cetru Par sekati sauc taisi, kas krusto riħėa līiju divos dažādos puktos Par riħėa līijas loku sauc riħėa līijas daĝu starp diviem tās puktiem Jebkuru loku pilībā raksturo divi lielumi: loka rādiuss u leħėis Vieādas hordas balstās uz vieādiem lokiem Loki starp vieas riħėa līijas divām paralēlām hordām ir vieādi Par sektoru sauc riħėa daĝu, kas atrodas starp diviem rādiusiem Par segmetu sauc riħėa daĝu, ko o riħėa atšėeĝ horda Ar riħėi u riħėa līiju saistītās formulas: D= R, kur D diametrs u R riħėa līijas rādiuss; riħėa laukums: S = πr ; πr α sektora laukums: S sektora = ; 60 riħėa līijas garums: C = πr ; πrα riħėa līijas loka garums: l loka = 80 Caur jebkuru puktu A, kas atrodas ārpus riħėa līijas, var ovilkt tieši divas pieskares Ja pukti B u C šo pieskaru pieskaršaās pukti u O attiecīgās riħėa līijas cetrs (skat zīm), tad AB= AC ( pieskaru ogriežħi, kas ovilkti o viea pukta, ir vieādi); BAO= CAO; OB AB A B O C zīm
Metriskās sakarības riħėa līijā Hordu īpašība Pieskares sekates īpašība Sekašu īpašība D B C C A C M A D B A B D E AM MB= CM MD AB = AC AD LeĦėi riħėa līijā AB AC= AD AE Par cetra leħėi sauc leħėi, kura virsote atrodas riħėa līijas cetrā, bet malas krusto riħėa līiju Cetra leħėa lielums ir vieāds ar tā loka, uz kura tas balstās, leħėisko lielumu, t i, AOB= AmB (skat zīm) Par riħėa līijā ievilktu leħėi sauc leħėi, kura virsote atrodas uz riħėa līijas, bet malas krusto riħėa līiju Ievilktā leħėa lielums ir vieāds ar pusi o tā loka, uz kura tas balstās, leħėiskā lieluma, t i, ACB= AmB (skat zīm) Visi ievilktie leħėi, kas balstās uz viea u tā paša loka, ir vieādi, piemēram, ACB= ADB (skat zīm) LeĦėi, kas balstās uz vieas riħėa līijas vieāda garuma hordām, ir vieādi, u otrādi Ievilkts leħėis, kas balstās uz diametra, ir 90 u otrādi ja ievilkts leħėis ir taiss, tad tas balstās uz diametru A m O E B C D zīm Par hordas - pieskares leħėi sauc leħėi, kura virsote atrodas uz riħėa līijas, viea tā mala satur hordu, bet otra mala atrodas uz pieskares Hordas - pieskares leħėis ir vieāds ar pusi o tā loka leħėiskā lieluma, kuru ietver leħėa malas Par riħėa līijas ārējo leħėi sauc leħėi, kura virsote atrodas ārpus riħėa u tā malas krusto riħėa līiju vai arī viea vai abas malas pieskaras riħėa līijai Ārējā leħėa lielums ir vieāds ar pusi o to divu loku leħėisko lielumu starpības, kuri atrodas starp leħėa malām Par riħėa līijas iekšējo leħėi sauc leħėi, kura virsote atrodas riħėa iekšpusē, bet malas krusto riħėa līiju
Iekšējā leħėa lielums jeb leħėa lielums starp divām hordām ir vieāds ar to divu loku, o kuriem vies ir starp leħėa malām, bet otrs ir starp leħėa malu pagariājumiem, CD+ AmB leħėisko lielumu pussummu, t i, CED= (skat zīm) Radikālā ass u pukta pakāpe attiecībā pret riħėa līiju Ja dota riħėa līija, patvaĝīgi izvēlēts pukts P u taise, kas iet caur šo puktu P u krusto riħėa līiju puktos A u B (skat 4 zīm), tad ogriežħu garumu reiziājums PA PB av atkarīgs o taises AB izvēles Šo reiziājumu PA PB= PA PB sauc par pukta P pakāpi attiecībā pret riħėa līiju A P A B B 4 zīm Ja pukts P atrodas ārpus riħėa līijas, tad tā pakāpe attiecībā pret šo riħėa līiju ir vieāda ar o šī pukta vilktās pieskares ogriežħa garuma kvadrātu Par divu riħėa līiju radikālo asi sauc to puktu kopu, kuru pakāpes attiecībā pret šīm riħėa līijām ir vieādas Radikālā ass eksistē tad u tikai tad, ja riħėa līijas av kocetriskas Radikālā ass ir perpedikulāra taisei, kas iet caur abu riħėa līiju cetriem Puktam, kas atrodas uz divu riħėa līiju kopējās hordas, pakāpes attiecībā pret šīm riħėa līijām ir vieādas Tātad divām krustiskām riħėa līijām radikālā ass ir taise, kas iet caur šo riħėa līiju kopējiem puktiem (skat 5 zīm) Ja riħėa līijām av kopīgu puktu, tad radikālā ass ir taise, kas sastāv o visiem tiem puktiem, o kuriem vilkto pieskaru ogriežħi pret šīm riħėa līijām ir vieādi (skat 6 zīm) A P B 5 zīm 6 zīm
Ievilkti u apvilkti četrstūri Par riħėa līijā ievilktu četrstūri sauc četrstūri, kura visas virsotes atrodas uz riħėa līijas Attiecīgi, riħėa līiju sauc par četrstūrim apvilktu riħėa līiju Apvilktās riħėa līijas cetrs atrodas četrstūra malu vidusperpedikulu krustpuktā Ap četrstūri var apvilkt riħėa līiju tad u tikai tad, ja: četrstūra pretējo leħėu lielumu summa ir 80 ; izpildās vieādība ACB= BDA (skat 7 zīm); D C A 7 zīm ir spēkā vieādība AM MB= CM MD, kur M ir ogriežħu AB u CD krustpukts (skat 8 zīm) A C M 8 zīm Par riħėa līijai apvilktu četrstūri sauc četrstūri, kura visas malas pieskaras riħėa līijai Attiecīgi riħėa līiju sauc par četrstūrī ievilktu riħėa līiju Ievilktās riħėa līijas cetrs atrodas četrstūra leħėu bisektrišu krustpuktā Četrstūri var apvilkt ap riħėa līiju tad u tikai tad, ja tā pretējo malu garumu summas ir vieādas B B D Ievilkts četrstūris B Apvilkts četrstūris B A O R A O r D C A+ C= B+ D O R malu vidusperpedikulu krustpukts D C AB + CD= AD+ BC O r leħėu bisektrišu krustpukts 4
Vektori Par vektoru sauc orietētu ogriezi Par ulles vektoru sauc vektoru, kuram sakrīt sākuma pukts u beigu pukts, t i, jebkurš pukts ir ulles vektors Par eulles vektora a garumu jeb moduli sauc ogriežħa a garumu u apzīmē ar a Ja dots vektors a= a x, a ), tad ( y a a x + a y = Par eulles vektora virzieu sauc tās taises virzieu, uz kuras šis vektors atrodas Par eulles vektora vērsumu sauc stara, uz kura atrodas vektors u kura sākumpukts sakrīt ar vektora sākumpuktu, vērsumu Par kolieāriem vektoriem sauc vektorus, kas ir savstarpēji paralēli Par vieādiem vektoriem sauc kolieārus vektorus, kuriem ir vieādi garumi u vieādi vērsumi Par pretējiem vektoriem sauc divus kolieārus vektorus, kuru garumi vieādi, bet vērsumi pretēji Dotajam vektoram pretējo vektoru apzīmē, maiot dotā vektora zīmi vai maiot vietām burtus (piemēram, a pretējais vektors ir a, AB pretējais vektors ir AB jeb BA ) Par leħėi starp diviem eulles vektoriem sauc leħėi starp šo vektoru virzieiem (skat 9 zīm) a b 9 zīm Par perpedikulāriem jeb ortogoāliem vektoriem (raksta a b ) sauc divus vektorus, starp kuriem leħėis ir 90 Par divu vektoru skalāro reiziājumu sauc šo vektoru garumu reiziājumu ar kosiusu o leħėa starp vektoriem: 5 a α a b= a b cosα, kur α leħėis starp vektoriem Ja doti vektori a= a x, a ) u b= b x, b ), tad šo vektoru skalāro reiziājumu var aprēėiāt pēc formulas: ( y x x ( y a b= a b + a b y No skalārā reiziājuma defiīcijas var izteikt vektoru veidotā leħėa kosiusu: cos α = a b a b Vektora reiziājums ar skaitli ir vektors, bet divu vektoru skalārais reiziājums ir skaitlis No skalārā reiziājuma defiīcijas izriet, ka divu vieādi vērstu vektoru skalārais reiziājums ir vieāds ar to garumu reiziājumu: y b a b= a b cos 0 = a b = a b Divu vieādu u vieādi vērstu vektoru skalāro reiziājumu sauc par skalāro kvadrātu u tas ir vieāds ar vektora garuma kvadrātu: a = a Divu o ulles atšėirīgu vektoru skalārais reiziājums ir ulle tad u tikai tad, ja šie vektori ir savstarpēji perpedikulāri: a b a b= 0
SKAITěU TEORIJA SkaitĜu iedalījums N aturālie skaitĝi:,,, 4, Z veselie skaitĝi:,,, 0,,,, Q racioālie skaitĝi: visi skaitĝi, kurus var uzrakstīt formā m, kur N m Z u I iracioālie skaitĝi: bezgalīgi eperiodiski decimāldaĝskaitĝi (piemēram,, e, π ) R reālie skaitĝi: racioālie skaitĝi Q u iracioālie skaitĝi I Dalāmība Par vesela skaitĝa b dalītāju sauc veselu skaitli a, ja eksistē tāds vesels skaitlis c, ka ac= b Skaitli b sauc par skaitĝa a dalāmo jeb daudzkārti, bet a par skaitĝa b dalītāju Ja skaitlis b dalās ar skaitli a, tad to apzīmē ar a b vai bm a Dalāmības īpašības (a, b, c, d u ir veseli skaitĝi): 0 M a, a M±, am a ; ja am b u bm c, tad am c ; ja am c, tad abm c ; ja am c u bm c, tad ax+ by c jebkuriem veseliem skaitĝiem x u y; ja am b u bm a, tad a = ± b ; ja am b u cm d, tad acm bd ; ja acm bc, tad am b ; ja am b u a, b> 0, tad b a ; ja a b= c, tad cm a vai cm b ; ja divi skaitĝi a u b dod vieādus atlikumus, dalot tos ar c, tad šo skaitĝu starpība a b dalās ar c; skaitlis dalās ar = a b (a u b savstarpēji pirmskaitĝi), ja tas dalās ga ar a, ga ar b Dalāmības pazīmes: skaitlis dalās ar, ja tas beidzas ar pāra ciparu; skaitlis dalās ar, ja tā ciparu summa dalās ar ; skaitlis dalās ar 4, ja tā pēdējo divu ciparu veidotais skaitlis dalās ar 4; skaitlis dalās ar 5, ja tas beidzas ar ciparu 0 vai 5; skaitlis dalās ar 9, ja tā ciparu summa dalās ar 9; skaitlis dalās ar 0, ja tā pēdējais cipars ir 0 SkaitĜa sadalījums pirmreiziātājos Par pirmskaitli sauc aturālu skaitli, kuram ir tieši divi dalītāji: u pats skaitlis Tā kā dalās tikai ar (tam ir tikai vies dalītājs), tad av pirmskaitlis PirmskaitĜu ir bezgalīgi daudz, piemēram,,, 5, 7,,, 7, 9,, 9,, 7, 4, 4, Par saliktu skaitli sauc skaitli, kuram ir vairāk ekā divi dalītāji 6
Aritmētikas pamatteorēma Katru aturālu skaitli vieā vieīgā veidā var izteikt kā pirmskaitĝu reiziājumu (reiziātāju secību eħem vērā) k k km Naturālam skaitlim x = p p p, kur p i ir dažādi pirmskaitĝi, pavisam ir ( + m + k )( k + )( k ) dažādi dalītāji, šo dalītāju summa ir ( k k k + p + + p )(+ p + + p )(+ p + + p m ) Ja p ir pirmskaitlis u p ab, tad p a vai p b m Fermā mazā teorēma Ja p ir pirmskaitlis u a edalās ar p, tad a p dalās ar p Fermā lielā teorēma Vieādojumam x = ja > m m + y z av atrisiājuma aturālos skaitĝos, Salikta skaitĝa mazākais dalītājs epārsiedz Naturāls skaitlis > av pirmskaitlis tad u tikai tad, ja eksistē tāds skaitĝa dalītājs m >, kurš epārsiedz Seciājums Lai pierādītu, ka dotais skaitlis ir pirmskaitlis vai salikts skaitlis, jāpārbauda, vai tas dalās ar skaitĝiem o līdz ieskaitot SkaitĜa! = ( ) ( ) K īpašības: Visi aturālie skaitĝi, kas epārsiedz, ir! dalītāji Visi skaitĝa!+ aturālie dalītāji (izħemot vieiieku) ir lielāki ekā Visi skaitĝi itervālā [! + ;! + ] ir salikti skaitĝi Par divu vai vairāk veselu skaitĝu lielāko kopīgo dalītāju sauc lielāko aturālo skaitli, ar kuru katrs o dotajiem skaitĝiem dalās bez atlikuma Divu skaitĝu a u b lielāko kopīgo dalītāju apzīmē ar LKD ( a, b) SkaitĜus a u b sauc par savstarpējiem pirmskaitĝiem, ja LKD ( a, b) = Operācijai LKD piemīt šādas īpašības (a, b, c u m ir aturāli skaitĝi): LKD ( a, a) = a LKD ( a, ) = (jebkurš aturāls skaitlis ir savstarpējs pirmskaitlis ar skaitli ) LKD ( a, b) = LKD ( b, a) LKD ( a, a+ ) = (secīgi aturāli skaitĝi ir savstarpēji pirmskaitĝi) LKD ( ma, mb) = m LKD ( a, b) LKD ( a, b) = LKD ( a, ac+ b) Ja a u b dalās ar m, tad LKD ( a, b) arī dalās ar m LKD a m b, = m LKD ( a, b) m m m ( ) m LKD ( a, b ) = LKD ( a, b) x mi( x, y) LKD ( p, p ) = p y Lielāko kopīgo dalītāju var atrast ar Eiklīda algoritmu, kas balstīts uz dalīšau ar atlikumu: vispirms epili izdala lielāko skaitli ar mazāko u tad katrā ākamajā solī iepriekšējās darbības dalītāju dala ar iegūto atlikumu Lielākais kopīgais dalītājs ir pēdējais iegūtais eulles atlikums 7
Par divu vai vairāk veselu skaitĝu mazāko kopīgo dalāmo sauc mazāko aturālo skaitli, kas dalās ar katru o dotajiem skaitĝiem bez atlikuma Divu skaitĝu a u b mazāko kopīgo dalāmo apzīmē ar MKD ( a, b) Operācijai MKD piemīt šādas īpašības (a, b, c u m ir aturāli skaitĝi): MKD ( a, a) = a MKD ( a, b) = MKD ( b, a) MKD ( ma, mb) = m MKD ( a, b) Ja a vai b dalās ar m, tad MKD ( a, b) arī dalās ar m Ja ga a, ga b dalās ar m, tad m m ( ) m MKD ( a, b ) = MKD ( a, b) x max( x, y) MKD ( p, p ) = p y ab LKD ( a, b) a b MKD ( a, b) MKD, = m m m MKD ( a, b) = jeb MKD ( a, b) LKD ( a, b) = ab SkaitĜu pieraksts: abc = 00 a+ 0b+ c, kur a, b u c ir cipari; pāra skaitlis; + epāra skaitlis; skaitlis, kas dalās ar ; + skaitlis, kas, dalot ar, dod atlikumu ; 0 skaitlis, kas beidzas ar 0 No diviem pēc kārtas Ħemtiem aturāliem skaitĝiem vies oteikti dalās ar No trijiem pēc kārtas Ħemtiem aturāliem skaitĝiem vies oteikti dalās ar Piezīme No k pēc kārtas Ħemtiem skaitĝiem vies oteikti dalās ar k Kogruece Ja a u m, m 0, ir veseli skaitĝi, tad atlikums, ko iegūst, a dalot ar m, ir tāds vesels skaitlis r, ka a = q m+ r, kur q ir vesels skaitlis u 0 < r < m Šajā gadījumā iespējami divi dažādi atlikumi Ja, a dalot ar m, r ir pozitīvs atlikums u r egatīvs, tad r = r + m Ja a u m ir aturāli skaitĝi, tad atlikums, ko iegūst skaitli a dalot ar m, ir vesels skaitlis robežās o 0 līdz m Divi skaitĝi a u b ir kogrueti pēc moduĝa m (apzīmē ar pierakstu a b (mod m) ), kur m 0, tad u tikai tad, ja a b dalās ar m jeb skaitĝi a u b dod vieādu atlikumu, ja tos dala ar m Kogrueces īpašības: jebkuram m izpildās vieādība: a a (mod m) ; a b (mod m) tad u tikai tad, ja a b (mod ( m)) ; ja m =±, tad jebkuriem diviem skaitĝiem a u b izpildās vieādība a b (mod m), t i, visi veselie skaitĝi ir kogrueti pēc moduĝa ; ja m = 0, tad a b (mod m) tad u tikai tad, ja a= b ; ja mm m u a b (mod m), tad a b (mod m ) ; ja a b (mod m), tad ka kb (mod m), kur k ir vesels skaitlis; 8
ja a b (mod m) u a b (mod m), tad a + a b+ b (mod m), a a b b (mod m) u aa bb (mod m) Seciājums Ja f a, a,, a ) ir patvaĝīga vesela izteiksme u a b (mod ), ( k a b (mod ),, a k bk (mod ), tad f ( a, a,, ak ) f ( b, b,, bk ) (mod ) Tas ozīmē, ka, veicot aprēėius pēc moduĝa, jebkuru skaitli izteiksmē var aizvietot ar jebkuru citu tam kogruetu skaitli Parasti skaitli a aizvieto ar skaitĝa a atlikumu pēc moduĝa, bet atsevišėos gadījumos var Ħemt citu tam kogruetu skaitli Teorēma Virke x = a pēc moduĝa m ir periodiska Perioda garumu u tajā ietilpstošos skaitĝus var atrast, rakstot pēc kārtas skaitĝus a pēc moduĝa m Tiklīdz virkē a (mod m) parādās vieādi skaitĝi, mēs esam atraduši periodu 9
KOMBINATORIKA SaikĜu lietojums: saiklis u ozīmē, ka visām uzdevumā miētajām īpašībām vai osacījumiem jāizpildās vielaicīgi; saiklis vai ozīmē, ka jāizpildās vismaz vieai miētajai īpašībai vai osacījumam (bet vielaicīgi var izpildīties arī vairākas īpašības vai osacījumi); saiklis vai u, vai ozīmē, ka jāizpildās tieši vieai miētajai īpašībai vai osacījumam Kombiatorikas saskaitīšaas likums: Ja ir vairāku veidu objekti, pie tam katra veida objektus var izvēlēties attiecīgi,,k veidos, u ja ir jāizvēlas vai u viea, vai otra, vai trešā utt veida objekti,, tad to var izdarīt pavisam M = + + + K veidos Kombiatorikas reiziāšaas likums: Ja ir vairāku veidu objekti, pie tam katra veida objektus var izvēlēties 0,, K, veidos, u ja ir jāizvēlas pa vieam objektam o pirmā veida u otrā veida, u trešā veida utt, tad to pavisam var izdarīt N K veidos = Par permutāciju sauc visu doto elemetu sakārtojumu ridā Ja dažādi elemeti jāsakārto ridā, tad to var izdarīt P =! = ( ) ( ) K dažādos veidos Par variācijām o elemetiem pa k elemetiem katrā sauc izlases, kurās ir tieši k dotās kopas elemeti u kuras atšėiras cita o citas vai u ar elemetu sastāvu, vai to izkārtojumu izlasē Visu variāciju skaitu o elemetiem pa k elemetiem apzīmē ar simbolu skaitu aprēėia pēc formulas:! A k = = ( ) ( ) K ( k+ ) ( k)! k A Variāciju Par kombiācijām o elemetiem pa k elemetiem katrā sauc tādas izlases, kurās ir tieši k dotās kopas elemeti u kuras atšėiras cita o citas vismaz ar vieu elemetu Kombiāciju skaitu o dažādiem elemetiem pa k elemetiem apzīmē ar simbolu Kombiāciju skaitu aprēėia pēc formulām:! ( ) ( ) K ( k+ ) C k = = ; k!( k)! k ( k ) K Seciājums A C k k Kombiāciju skaita īpašības: k k C = C ; 0 C + C + C + + C = ; k k A C = P k C k
+ + = k k k C + C C+, ja 0 < k < Paskāla trijstūris: ĥūtoa bioma formula: 0 k k k ( a + b) = C a + C a b+ + C a b + + C b Vidējās vērtības metode Uzdevumu risiāšaa balstās uz kokrēti formulētām teorēmām, piemēram, Starp jebkuriem skaitĝiem ir vismaz vies skaitlis, kas av mazāks par to vidējo vērtību, u ir vismaz vies skaitlis, kas av lielāks par to vidējo vērtību Ja starp lielumiem ir kāds lielums, kas ir lielāks par visu lielumu vidējo vērtību, tad starp tiem ir arī tāds lielums, kas mazāks par visu lielumu vidējo vērtību, u otrādi Ja evies o lielumiem av mazāks (vai lielāks) par visu lielumu vidējo vērtību, tad tie visi ir vieādi ar savu vidējo aritmētisko Vies o Vidējās vērtības metodes speciālgadījumiem ir Dirihlē pricips: ja vairāk ekā truši jāizvieto būros, tad vismaz vieā būrī oāks vismaz divi truši Vispāriātais Dirihlē pricips: ja vairāk ekā m truši jāizvieto būros, tad vismaz vieā būrī oāks vismaz m + trusis Katrā uzdevumā truši u būri var būt dažādi lielumi, piemēram, truši var būt skaitĝi, cilvēki utt, būri īpašības, pēc kurām truši sadalās vairākās grupās; īpašībām jābūt tādām, ka katram trusim piemīt tieši viea o tām (katrs trusis var oākt tikai vieā būrī u evies trusis edrīkst palikt ārpus būriem)
Ivariatu metode Vārds ivariats cēlies o latīħu valodas u ozīmē emaiīgs Par ivariatiem lielumiem / īpašībām sauc lielumus / īpašības, kas kādā procesā emaiās, saglabājas Ivariatu metode bieži ir efektīvi pielietojama tādu uzdevumu risiāšaā, kuros tiek aplūkots kāds process oteiktu operāciju izpilde ar dotajiem lielumiem (tās var būt darbības ar skaitĝiem, figūru pārveidojumi utml) u ir jāpierāda, ka o sākotējiem datiem orādīto rezultātu iegūt av iespējams Tad uzdevuma risiājumā var rīkoties šādi: atrodam ivariato īpašību, t i, īpašību, kura piemīt sākumā dotajiem lielumiem u saglabājas, veicot pieĝaujamās operācijas, parādam, ka šī īpašība epiemīt lielumiem, kuri jāiegūst galarezultātā Ivariatā īpašība atkarībā o uzdevuma var būt, piemēram, elemetu skaits, summa, starpība, reiziājums, summas paritāte, dalāmība ar, 4,, utml Uzdevumos par figūru sagriešau rūtiħu plakē bieži tiek izmatota palīgmetode krāsošaa (bieži izmato figūras iekrāsošau kā šaha galdiħu), kur ivariatā īpašība ir iekrāsoto rūtiħu skaita emaiība Matemātiskās idukcijas metode Par idukciju sauc spriešaas metodi, kurā o kokrētiem piemēriem iegūst vispārīgu slēdzieu Lietojot matemātiskās idukcijas pricipu uzdevumu risiāšaā, rīkojas pēc šāda plāa: pārbauda, vai apskatāmā īpašība piemīt kopas pirmajam elemetam (iduktīvā bāze); pieħem, ka šī īpašība ir spēkā pirmajiem k elemetiem (iduktīvais pieħēmums); pierāda, ka tad tā ir patiesa arī (k+)-jam elemetam (iduktīvā pāreja) secia: tā kā o izteikuma patiesuma jebkuram elemetam = k izriet, ka tas ir patiess elemetam = k+, u tā kā izteikums ir patiess pirmajam elemetam, tad izteikums ir patiess jebkuram aturālam elemetam Pierādījuma metodi, kas balstās uz matemātiskās idukcijas pricipa, sauc par matemātiskās idukcijas metodi Matemātiskās idukcijas metode Ĝauj o atsevišėu elemetu īpašībām izdarīt spriedumus par visu kopu