Ch : HÀM S LIÊN TC Ch bám sát (lp ban CB) Biên son: THANH HÂN - - - - - - - - A/ MC TIÊU: - Cung cp cho hc sinh mt s dng bài tp th ng gp có liên quan n s liên tc cu hàm s và phng pháp gii các dng bài ó - Rèn k nng bin i, din t cht ch - Góp phn ây dng nng lc t duy lôgic, t duy c lp sáng to B/ THI LNG: tit C/ NI DUNG: Ch gm có phn: - Phn A: Tóm tt lí thuyt - Phn B: Các dng bài tp th ng gp - Phn C: Câu hi trc nghim D/ CHÚ THÍCH V MC YÊU CU: - Ch này thuc loi ch bám sát, nhm h thng mt s dng bài tp c bn và k nng gii các dng bài ó, giúp nâng cao kh nng t hc ca hc sinh di s hng dn ca giáo viên - ây là tài liu t hc có hng dn nhm t c mc tiêu nh ã nêu trên - Có b sung mt s ít bài tp nâng cao giúp các em hc sinh khá có thêm tài liu tham kho - - - - - - - - - - - - - Hàm s liên tc
A/ TÓM TT LÍ THUYT: I nh ngha hàm s liên tc: ) nh ngha : Gi s! hàm s ( ) ác "nh trên khong ( a; b ) và ( a; b) Hàm s c gi là liên tc ti i#m nu lim = ( ) Hàm s không liên tc ti i#m c gi là gián on ti ) nh ngha : Hàm s liên tc trên khong ( a; b ) nu nó liên tc ti mi i#m thuc khong ó Hàm s liên tc trên on [ a; b ] nu nó liên tc trên khong ( a; b ) và lim = ( a), lim = ( b) + a b II Mt s nh lí c bn v hàm s liên tc: ) nh lí : a) Hàm a th$c liên tc trên tp R b) Hàm phân th$c h%u t& và các hàm s l ng giác liên tc trên t'ng khong cu tp ác "nh ca chúng ) nh lí : Gi s! y = và y = g ( ) là hai hàm s liên tc ti i#m Khi ó: a) Các hàm s y = + g ( ), y = g ( ), y = g ( ) liên tc ti i#m b) Hàm s y = liên tc ti i#m nu g ( ) g ( ) ) nh lí : Nu hàm s y = liên tc trên on [ a; b ] và ( a) ( b ) <, thì tn ti ít nht mt i#m c ( a; b) sao cho ( c ) = Nói cách khác: Nu hàm s y = liên tc trên on [ a; b ] và ( a) ( b ) <, thì phng trình ( ) = có ít nht m t nghim ( a b) ; Hàm s liên tc
B/ CÁC DNG BÀI TP THNG GP: Dng: Xét tính liên tc ca hàm s ti im Phng pháp gii: Tính ( ) Tìm lim và áp dng "nh ngha ) Ví d : Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m = 8 ( ) = = = Ta có ( ) ( )( + + ) 8 + + lim = lim = lim = lim = = + + ( )( ) Vy hàm s liên tc ti i#m = Ví d : Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m = Ta có ( ) = = = lim = lim = lim = lim = + ( )( + ) ( ) Vy hàm s không liên tc ti i#m = Ví d : Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m = > = 5 Ta có ( ) = ( )( + ) ( ) lim = lim = lim = lim ( + ) = + + + + ( ) Hàm s liên tc
( ) ( ) lim = lim 5 = Suy ra lim = ( ) Vy hàm s liên tc ti i#m = Bài tp t gii: a) Xét tính liên tc ca hàm s sau ti i#m 9 ( ) = ( = ) = b) ( ) + = = ( = ) c) ( ) 5 > 5 = ( 5) + 5 ( = 5) - - Dng: nh ( ) hàm s liên tc ti im Phng pháp gii Tìm lim và ly ( ) = lim Ví d : "nh ( ) # hàm s sau liên tc ti = = ( ) ( ) lim = lim = lim = lim = + Ta có ( + ) = + = a = Vy hàm s ã cho liên tc ti = ( ) Ví d : Cho hàm s "nh a # hàm s ã cho liên tc ti = Hàm s liên tc
Ta có ( ) = a + ( + ) lim = lim = lim = lim = ( ) + + + + ( ) Vy hàm s ã cho liên tc ti = a = Bài tp t gii: a) "nh ( 9) # hàm s sau liên tc ti = 9 9 ( ) = ( ) 9 b) Cho hàm s + + = a = "nh a # hàm s ã cho liên tc ti = - - Dng : Xét tính liên tc ca hàm s trên khong, on Phng pháp gii: Dùng "nh ngha Dùng "nh lí c bn Ví d : Ch$ng minh hàm s = 8 liên tc trên on [ ] Hàm s = 8 ác "nh trên on [ ; ] ( ;) ta có lim = lim 8 = 8 = ( ) Vy hàm s ã cho liên tc trên khong ( ) ; Mt khác: lim = lim 8 = = ( ) + + ( ) ( ) lim ( ) = lim 8 = = ( ) Do ó hàm s ã cho liên tc trên on [ ; ] ; Hàm s liên tc 5
Ví d : Ch$ng minh hàm s Hàm s ác "nh trên R + Nu thì ( ) = = = liên tc trên R Do ( ) là hàm phân th$c có tp ác "nh ( ;) ( ; ) ( ) liên tc trên các khong ( ;);( ; + ) + Nu = thì ( ) = Suy ra ( ) liên tc ti lim lim lim = D = + nên ( ) = = ( + + ) = = ( ) T' hai kt qu trên ta có ( ) liên tc trên R Bài tp t gii: a) Ch$ng minh hàm s = liên tc trên khong( ;) + b) Ch$ng minh hàm s ( ) = liên tc trên R = c) Ch$ng minh hàm s = + liên tc trên khong[; + ) d) Cho hàm s = + a "nh a # hàm s ã cho liên tc trên R = - Dng : Chng minh mt phng trình có nghim Phng pháp gii: S! dng kt qu: Nu hàm s y = liên tc trên on [ a; b ] và ( a) ( b ) <, thì phng trình ( ) = có ít nht m t nghim ( a b) ; Hàm s liên tc 6
7 5 Ví d : Ch$ng minh rng phng trình + = có ít nht mt nghim 7 5 Xét hàm s = + Ta có ( ) liên tc trên R ( ) Và = < ( ) ( ) ( ) < = > Nên phng trình ( ) = có ít nht mt nghim ( ;), vy bài toán c ch$ng minh Ví d : Ch$ng minh phng trình sin + cos + = có ít nht mt nghim ( ; π ) Ta có hàm s = sin + cos + liên tc trên R ( ) Và = > ( ) ( π ) ( π ) < = π + < Nên phng trình ( ) = có ít nht mt nghim ( ; π ) (pcm) Ví d : Ch$ng minh phng trình m( ) ( ) + = luôn có nghim vi mi giá tr" ca m Ta có hàm s = m( ) ( ) + liên tc trên R ( ) = < Và ( ) ( ) < m R ( ) = > Nên phng trình m( ) ( ) + = luôn có nghim vi mi giá tr" ca m (pcm) Ví d : Ch$ng minh phng trình sin + msin + = luôn có nghim vi mi giá tr" ca m Ta có hàm s = sin + msin + liên tc trên R Và π = > π π < m R π = < Hàm s liên tc 7
Nên phng trình sin + msin + = luôn có nghim vi mi giá tr" ca m (pcm) Bài tp t gii: ) Ch$ng minh phng trình + = có nghim phân bit ) Ch$ng minh phng trình = có nghim ( ; ) và 7 > ) Ch$ng minh vi mi giá tr" ca m, các phng trình sau luôn có nghim: a) m( ) ( + ) + + = b) + m m = c) cos + m cos = Chú ý: Nu iu kin liên tc ca hàm s trên on [ a; b ] không còn thì không th# kt lun v s tn ti nghim ca phng trình ( ) = trên khong ( a; b ) Ví d: Hàm s = có ( ) ( ) = <, nhng phng trình vô nghim = C/ CÂU HI TRC NGHIM: + ) Cho hàm s = ( ) Hàm s ó liên tc ti = ( ) có giá tr" là: A - B C D = + Hàm s ó liên tc ti m = = m có giá tr" là: A - B - C D ) Cho hàm s ( ) < ) Cho hàm s = Hàm s ó liên tc ti = + a a có giá tr" là: A - B - C D Hàm s liên tc 8
) Hàm s nào trong các hàm s sau ây không liên tc trên R? A = + B = sin + cos = = C ( ) D ( ) = + = 5) Hàm s nào trong các hàm s sau ây gián on ti =? A = cot B ( ) = < C + = = D ( ) + = = 6) Tìm kh(ng "nh sai trong các kh(ng "nh sau: A Phng trình sin + mcos = có nghim m R B Phng trình + a + b = có nghim a, b R C Hàm s = + liên tc trên khong [ ; + ) D Nu hàm s ( ) có ( a) ( b ) <, thì phng trình ( ) = có ít nht mt nghim ( a b) ; 7) Cho phng trình + =, kh(ng "nh nào sau ây sai? A Hàm s = + liên tc trên R B Phng trình + = luôn có ít nht mt nghim C Phng trình + = có nghim ( ;) D Phng trình + = có nghim ( ;) 8) Cho hàm s = + m, kh(ng "nh nào sau ây sai? A Hàm s ( ) liên tc trên R B Phng trình ( ) = có nghim m R C Phng trình ( ) = có ít nht hai nghim m R D Tn ti m R sao cho phng trình ( ) = vô nghim - - - - - - - - - - H)T - - - - - - - - - Hàm s liên tc 9