Ø ÔØÓÑ Ò ½ Á ÒÓÙ ÖÓÙ ¾¼¼ Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =x +lnx. Να βρεθεί η εφαπτομένη της C f στοσημείομετετμημένηe. Η εξίσωση της τυχούσας εφαπτομένης της C f είναι y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 Εδώ x 0 = e και f (x 0 )=e +lne = e +. Επίσης f (x) =+ x και επομένως f (x 0 )=f (e) =+ e. Αντικαθιστούμε στη σχέση y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) x 0 βρίσκουμε ότι η εξίσωση εφαπτομένης είναι: y = e + x e Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =x x+. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της C f οι οποίες είναι παράλληλες στον x x. À Ü Û Ø Ö Ø C f ØÓ Ñ Ó Ø P (x 0,f(x 0) Ò y = f (x 0) x + f (x 0) f (x 0) x 0 ÐÐ ô y = αx + β Ñ α = f (x 0) f (x 0)=αx 0 + β Θα πρέπει να βρούμε τα x 0 D f γιαταοποίαείναιf (x 0 )=0.ΕδώD f = R και f (x) =x. Επομένως τα x 0 που ψάχνουμε θα είναι λύσεις της εξίσωσης x 0 =0. Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε ότι είναι x 0 = και x0 =. Επειδή θα είναι f (x 0 )=0η εξίσωση της εφαπτομένης σε αυτά τα x 0 είναι y = f (x 0 ) πράγμα αναμενόμενο διότι μία ευθεία που διέρχεται από ένα σημείο της γραφικής παράστασης της f και είναι παράλληλη προς τον άξονα x x θα έχει εξίσωση της μορφής y = f(τετμημένης αυτού του σημείου) Αρα οι ζητούμενες εφαπτομένες είναι ( ) y = f και y = f ( ) Αντικαθιστώντας στην f και κάνοντας λίγες πράξεις βρίσκουμε: y = 9 +, y = + 9
Ø ÔØÓÑ Ò Å Ñ Ø ÄÙ ÓÙ Ασκηση Δίνεται η συνάρτηση f (x) =ln((x ) (x ) (x )). Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της C f οι οποίες είναι παράλληλες στον x x. Θα πρέπει να βρούμε τα x 0 D f γιαταοποίαείναιf (x 0 )=0.Γιαναβρούμετο D f πρέπει να λύσουμε την ανίσωση (x ) (x ) (x ) > 0. Εύκολαβρίσκουμε ότι οι λύσεις της είναι τα x με <x< και τα x με <xκαι επομένως το πεδίο ορισμού είναι το (, ) (, + ). Είναι f (x) = και οι αριθμοί που μηδενίζουν την f θα πρέπει να μηδενίζουν τον αριθμητή του κλάσματος x x+ (x )(x )(x ) δηλαδή τον x x +. Λύνοντας την εξίσωση x x + = 0 βρίσκουμε τις τιμές x =+ και x =. Επειδή το Df δεν x x+ (x )(x )(x ) είναι όλο το R πρέπει να ελέγξουμε αν αυτές ανήκουν στο D f. Βλέπουμε ότι ητιμήx = ανήκει στο πεδίο ορισμού ενώ η τιμή x =+ όχι. Επομένως θα έχουμε μία οριζόντια εφαπτομένη που θα είναι η y = f ( ) δηλαδή η y =ln ( ( ) ( )) πουμετάτιςπράξειγίνεταιy = ln ln. Ασκηση 4 Δίνεται η συνάρτηση f (x) = 4 x x. Να βρεθούν οι εφαπτόμενες της C f οι οποίες είναι σχηματίζουν με τον x x γωνία 5. Το πεδίο ορισμού της συνάρτησης είναι το R. Ξέρουμε ότι η εφαπτομένη της γωνίας ω που σχηματίζει η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο με τετμημένη x 0 με τον x x είναι ίση με f (x 0 ). Δηλαδή εϕω = f (x 0 ) Εδώ ω = 5 και επομένως εϕω = εϕ5 =. Άρα ζητάμε τις εφαπτομένες τα σημεία με τετμημένη x 0 τέτοια ώστε f (x 0 )= ή ισοδύναμα 4 x 0 x 0 = Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση βρίσκουμε τις τιμές x 0 = και x 0 =.Αντικαθιστώντας στην γενική εξίσωση της εφαπτομένης y = f (x 0 ) x+f (x 0 ) x 0 f (x 0 ) τις τιμές f (x 0 )= και μία φορά το f ( ) = 0 και μία το f ( ) = 8 7 και βρίσκουμε τις εφαπτομένες: y = x y = x 8 8 Ασκηση 5 Να βρεθεί εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f (x) = x+ x που διέρχεται από το σημείο P (8, ) Η συνάρτηση ορίζεται σε όλα τα x εκτός του. Η τυχούσα εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f είναι y = f (x 0 ) x+f (x 0 ) f (x 0 ) x 0.Εδώf (x 0 )= x 0+ x και f 0 (x 0 )= επομένως η τυχούσα εφαπτομένη είναι (x 0 ) y = (x 0 ) x + x 0 + x 0 + (x 0 ) x 0
Å Ñ Ø ÄÙ ÓÙ Ø ÔØÓÑ Ò Θέλουμε η ευθεία αυτή να διέρχεται από το σημείο P (8, ) επομένως θα πρέπει οι συντεταγμένες του P να την επαληθεύουν. Άρα πρέπει αν αντικαταστήσουμε όπου x το 8 και όπου y το να προκύπτει ισότητα δηλαδή να ισχύει: = (x 0 ) 8+x 0 + x 0 + (x 0 ) x 0 Λύνοντας την παραπάνω εξίσωση βρίσκουμε x 0 =5το οποίο είναι μία δεκτή τιμή αφού ανήκει στο πεδίο ορισμού. Αντικαθιστώντας στην γενική εξίσωση της εφαπτομένης βρίσκουμε ότι η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η y = x + Ασκηση 6 Εστω η συνάρτηση f (x) =e x. Να βρεθεί εφαπτομένη της γραφικής της παράστασης η οποία να είναι κάθετη στην ευθεία y = e x +. Η ζητούμενη εφαπτομένη θα είναι της μορφής y = f (x 0 ) x + f (x 0 ) f (x 0 ) x 0 και για να είναι κάθετη στην ευθεία y = e x +θα πρέπει f (x 0 ) ( ) e = δηλαδή f (x 0 )=e. Αλλά f (x) =e x και επομένως f (x 0 )=e x0. Θέλουμε λοιπόν να είναι e x0 = e και επομένως x 0 =.Άραf (x 0 )=e και f (x 0 )=e και αντικάθιστώντας στον γενικό τύπο της εφαπτομένης βρίσκουμε ότι η ζητούμενη εφαπτομένη είναι η y = ex. Ασκηση 7 Να εξετασθεί αν η ευθεία y =6x+ είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f (x) = ( x + ) (x ). Η f ορίζεται σε όλους τους πραγματικούς αριθμούς. Είναι f (x) = ( x + ) (x ) και f (x) = ( x + ) (x ) οπότε f (x 0 )=x 0 x 0 + x 0 και f (x 0 )= x 0 x 0 +. Αντικαθιστώντας στον τύπο της εξίσωσης εφαπτομένης βρίσκουμε ότι η γενική εξίσωση της εφαπτομένης της C f είναι: y = ( x 0 x 0 + ) x x 0 + x 0 ( ) Για να είναι η y =6x + ( ) εφαπτομένη πρέπει να είναι κάποια από τις ευθείες ( ) με άλλα λόγια θα πρέπει να υπάρχει x 0 από το πεδίο ορισμού της f, πουεδώείναιτοr, ώστε οι ευθείες ( ) και ( ) να συμπίπτουν. Αυτό θα ισχύει μόνο αν οι αντίστοιχοι συντελεστές στα δεύτερα μέλη των δύο εξισώσεων είναι ίσοι δηλαδή αν: x 0 x 0 +=6 () x 0 + x 0 = () Λύνοντας την εξίσωση () βρίσκουμε τις τιμές x 0 = και x 0 = 5. Οι τιμές αυτές ανήκουν στο πεδίο ορισμού της συνάρτησης. Αντικαθιστώντας μία-μία αυτές τις τιμές στην εξίσωση () βλέπουμε ότι η πρώτη την επαληθεύει ενώ η δεύτερη όχι. Συμπεραίνουμε ότι πράγματι η δοθείσα ευθεία είναι εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της C f στοσημείοτηςπουέχειτετμημένηx 0 =.
4 Ø ÔØÓÑ Ò Å Ñ Ø ÄÙ ÓÙ Ασκηση 8 Να αποδείξετε ότι η ευθεία y =x είναι κοινή εφαπτομένη των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f (x) =x και g (x) = x +x. Και οι δύο συναρτήσεις έχουν πεδίο ορισμού το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Εδώ πρέπει να ελέγξουμε δύο πράγματα ότι η δοθείσα ευθεια εφάπτεται στην γραφική παράσταση της f και ότι εφάπτεται στην γραφική παράσταση της g Εχουμε λοιπόν: Η y = x εφάπτεται στην C f Η τυχούσα εφαπτομένη της C f είναι y = x 0 x x 0.Ηy =x θα είναι εφαπτομένη αν το σύστημα: x 0 = = x 0 έχει λύση. Εύκολα βρίσκουμε ότι το σύστημα έχει μοναδική λύση x 0 = και επομένως η ευθεία εφάπτεται στη γραφική παράσταση της f στο σημείο με τετμημένη. Η y = x εφάπτεται στην C g Η γενική εξίσωση της εφαπτομένης της C g είναι y =( x 0 +)x + x 0 και για να είναι η Η y =x εφαπτομένη θα πρέπει το σύστημα: x 0 += x 0 = να έχει λύση. Πράγματι έχει μοναδική λύση το x 0 =0και επομένως η ευθεία εφάπτεται και στην γραφική παράσταση της g στοσημείομετετμημένη0.
Å Ñ Ø ÄÙ ÓÙ Ø ÔØÓÑ Ò 5 Ασκηση 9 Δίνονται οι συναρτήσεις f (x) = x+7 x και g (x) = x+.ναβρεθούνοι κοινές εφαπτομένες των γραφικών τους παραστάσεων. Η f ορίζεται σε κάθε πραγματικό αριθμό εκτός του 0 ένώ η g σε όλους εκτός του -. Θέλουμε να βρούμε τις κοινές εφαπτομένες των C f,καιc g. Αναζητούμε λοιπόν ευθείες που συμβαίνει να είναι εφαπτομένες και της C f και της C g.γιανα τις βρούμε θα αναζητήσουμε τις εφαπτομένες της C f που είναι εφαπτομένες και της C g. ΗτυχούσαεφαπτομένητηςC f είναι ενώ της C g είναι y = f (x ) x + f (x ) f (x ) x y = g (x ) x + g (x ) g (x ) x Χρησιμοποιήσαμε αυτή τη φορά όχι ένα γράμμα x 0 για την τετμημένη του σημείου επαφής αλλά δύο δηλαδή x και x γιατί χρειαζόμαστε να περιγράψουμε εφαπτομένες δύο διαφορετικών γραφικών παραστάσεων όπου τα σημεία επαφής ενδέχεται να είναι διαφορετικά. Υπολογίζοντας και τις παραγώγους βρίσκουμε ότι η τυχούσα εφαπτομένη της C f είναι: y = x x + x () ενώ της C g είναι: 4 y = (x +) x + x +4x + (x +) (4) Ζητάμε τα x,x για τα οποία οι ευθείες (), (4) συμπίπτουν δηλαδή για τα οποία ισχύει: 4 x = (x +) = x +4x + x (x +) Πρέπει να λύσουμε το σύστημα των δύο παραπάνω εξισώσεων. Εχουμε διαδοχικά για x 0,x τις ισοδυναμίες: = 4 x (x +) (λύνουμε την πρώτη εξίσωση) x = x +4x+ (x +) x = x ή x = x + x = x +4x+ (x +) (αντικαθιστούμε στην δεύτερη εξίσωση) x = x ή x = x + = x x +4x+ ή (x +) x+ = x +4x+ (x +)..πράξεις.. x = x ή x = x + x +8x +=0 ή x +0x +9=0 (λύνουμε τις δύο δευτεροβάθμιες)
6 Ø ÔØÓÑ Ò Å Ñ Ø ÄÙ ÓÙ x = x, x = 9+4 x = x, x = 9 4 x = x +, x (αντικαθιστούμε) = 9 x = x +, x = x =, x = 9+4 x =+, x = 9 4 x =, x = 9 x =, x = Ολες οι τιμές που βρήκαμε είναι δεκτές και επομένως έχουμε 4 κοινές εφαπτομένες. Αυτές μπορούν να βρεθούν αν αντικαταστήσουμε τις τιμές του x στη σχέση (). ½ Θα βρούμε τις ευθείες: y = ( ) x + y = ( ) x + + + y = x y = 9 x ½ ܳ ÓÙ Ð ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÒØ Ø Ø ÓÙÑ Ø Ø Ñ ØÓÙ x Ø Õ µ