1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) = 0, 8 και P (B) =0, 4 να αποδείξετε ότι: Απαντηση

Transcript

1 ¾½ Ø Å Ñ Ø Ò È Ø Ì Ü Ã Ø ÆºËº Å ÙÖÓ ÒÒ ¾¼ Å ÓÙ ¾¼¼ 1. Αν για δύο ενδεχόμενα A και B ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν P (A) 0, 8 και P (B) 0, 4 να αποδείξετε ότι: (αʹ) 0, P (A B) 0, 4 (βʹ) Τα A και B δεν είναι ασυμβίβαστα (αʹ) Ισχύει: P (A B) P (A)+P (B) P (A B) (P (A B) 1) P (A)+P (B) 10, 8+0, 4 10, Επομένως P (A B) 0,. Επίσης αφού A B B θα είναι και P (A B) P (B) επομένως P (A B) 0, 4. Συνοψίζοντας έχουμε ότι 0, P (A B) 0, 4 (βʹ) Αν τα A, B ήσαν ασυμβίβαστα θα είχαμε ότι A B και επομένως ότι P (A B) P ( ) 0, πράγμα αδύνατο αφού έχουμε ότι P (A B) 0,. ΆραταA, B δεν είναι ασυμβίβαστα. Δίνεται ησυνάρτηση f () Να βρεθεί: (αʹ) Το πεδίο ορισμού της f (βʹ) Το όριο lim f () 3 1

2 (αʹ) Για να ανήκει ένας πραγματικός αριθμός στο πεδίο ορισμού της f πρέπει: +1 0 δηλαδή Βρίσκουμε για ποια είναι Εχουμε ( +1 ) ( 1) Λύνοντας την τελευταία εξίσωση βρίσκουμε τις ρίζες 0, 3. Αντικαθιστώντας στην αρχική εξίσωση βλέπουμε ότι η 0απορρίπτεται ενώ η 3είναι δεκτή. Αρα θα πρέπει ο αριθμός 3 να εξαιρεθεί. Συνοψίζοντας βλέπουμε όυι το πεδίο ορισμού απαρτίζεται από τους αριθμους με 1 και 3. Δηλαδή το πεδίο ορισμού είναι το [ 1, 3) (3, + ) (βʹ) lim 3 f () ( 3)( +1+ 1) ( +1 +1)( +1+ 1) ( 3)( +1+ 1) ( 3)( +1+ 1) ( 3)( +1+ 1) ( 3) ( +1+ 1) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της f με τύπο f () e στο σημείο της A (1,f(1)). Εστω y α + β ηζητούμενηεφαπτομένη. Θα είναι α f (1). Παραγωγίζουμε την f και βρίσκουμε ότι f () e e.επομένως α f (1) 1 e Επειδή ηευθεία y α + β θα διέρχεται από το A (1,f(1)) ηεξίσωαητης θα επαληθεύεται από τις συντεταγμένες του σημείου άρα θα ισχύει f (1) α 1+β. Βρίσκουμε ότι f (1) 1 e και επομένως 1 e 1 e + β άρα: Η ζητούμενη εφαπτομένη θα είναι η β 0 y 1 e 4. Δίνεται ορθή γωνία Oy και το ευθύγραμμο τμήμα AB μήκους 10m του οποίου τα άκρα A και B ολισθαίνουν πάνω στις πλευρές Oy και O αντίστοιχα. Το σημείο B κινείται με ταχύτητα v m sec και ηθέσητου στον άξονα O δίνεται από την συνάρτηση όπου t ο χρόνος σε sec. S (t) vt, t [0, 5]

3 (αʹ) Να βρεθεί το εμβαδόν E (t) του τριγώνου ΟΑΒ ως συνάρτηση του t. (βʹ) Ποιος είναι ο ρυθμός μεταβολής του E (t) τηστιγμή κατά την οποία το μήκος του OA είναι 6m; Α 10 Ο Β (αʹ) Η θέσηδηλαδή ητετμημένητου B είναι t, 0 t 5. Επομένως OA t. Από το πυθαγόρειο θεώρημα στο τρίγωνο OAB έχουμε: OA + OB AB OA + OB AB OA +(t) 10 OA 100 4t. Άρα OA 100 4t με 0 t 5 και για το εμβαδόν του OAB έχουμε ότι (OAB) 1 (t) 100 4t δηλαδή: (OAB) E(t) t 5 t, 0 t 5 (βʹ) Παραγωγίζοντας την E(t) βρίσκουμε: E (t) t 5 (5 t ) Οταν OA 6θα είναι 100 4t 6. Λύνοντας την εξίσωση αυτή και λαμβάνοντας υπ οψιν ότι πρέπει t>0 βρίσκουμε ότι t 4. Αντικαθιστόύμε την τιμή αυτή του t στο E (t) και βρίσκουμε: E (4) Αν να αποδειχθεί ότι f () ae ν + β e ν f () ν f () Παραγωγίζοντας βρίσκουμε f () ν ( ae ν β ) e ν και f () ν ( ae ν + β ) e ν ν (ae ν + β e ν )ν f () 6. Να υπολογιστεί ηπαράγωγος των συναρτήσεων: (αʹ) f () συν (συν) 3

4 (βʹ) f () ημ 3 (ln ) (γʹ) f () ln (δʹ) f () (αʹ) f () συν συνημ (βʹ) f συν(ln ) () 3 3 συν3 (ln ) (γʹ) f () ln ln + (δʹ) f () (ln+ln5) 7. Εστω A, B ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ώστε: P (A)+1 + P (A) 3 4λ και όπου κ, λ Z P (B) 1 ln (κ +1) (αʹ) Να υπολογιστούν οι αριθμοί κ, λ. (βʹ) Να βρεθούν τα P (A), P (B). (αʹ) i. Εύρεση του λ. Αφού 0 P (A) 1 θα είναι P (A)+1> 0, P (A) 3 < 0 επομένως ησχέση P (A)+1 + P (A) 3 4λ γράφεται (P (A)+1) (P (A) 3) 4λ από την οποία βρίσκουμε 3P (A) 4λ και επομένως P (A) 4 +4λ. Πρέπει 0 P (A) 1 άρα πρέπει 0 4+4λ 1. Λύνοντας την ανίσωση 4+4λ 0 βρίσκουμε ότι 1 λ και λύνοντας την 4+4λ 1 βρίσκουμε ότι λ 5 4. Δηλαδή 1 λ 5 4 και αφού ο λ παίρνει ακέραιες τιμές θα είναι λ 1. ii. Εύρεση του κ. Πρέπει 0 P (B) 1. Επομένως πρέπει 0 1 ln (κ +1) 1. Λύνουμε τη ν 0 1 ln (κ +1) και βρίσκουμε κ e 1 ενώ από την επίλυση της 1 ln (κ +1) 1 βρίσκουμε 0 κ. Άρα πρέπει 0 κ e 1. Επειδή ο κ είναι θετικός ακέραιος και e, 7 συμπεραίνουμε ότι κ 1. (βʹ) Από την ισότητα P (A) 4+4λ και αφού λ 1έχουμε ότι P (A) 0. Από την ισότητα P (B) 1 ln (κ +1) και αφού κ 1θα είναι P (B) 1 ln. 8. Μια βιομηχανία κάνει συσκευασία γάλακτος σε 4 μεγέθη κουτιών και σε ποσοστά: 10%, 0%, 30% 40% με αντίστοιχο κόστος συσκευασίας 8, 6, 4, δρχ ανά κουτί. (αʹ) Να βρεθεί το μέσο κόστος συσκευασίας και ητυπική απόκλισητου κόστους αυτού. 4

5 (βʹ) Αν το κόστος κάθε συσκευασίας αυξηθεί κατά 10% να βρεθεί ηνέα τυπική απόκλισητου κόστους συσκευασίας. (αʹ) Από τις συχνότητες επί τοις % βρίσκουμε ότι οι σχετικές συχνότητες είναι 0, 1, 0,, 0, 3, 0, 4. Απότηνσχέση k i f i βρίσκουμε ότι i1 0, 1 8+0, 6+0, 3 4+0, 4 4. Για τον υπολογισμό της τυπικής απόκλισης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο s 1 k ( i ) ν i ν από τον οποίο έχουμε: i1 s 1 ν k ( i ) ν i ν 1 ( 1 ) + + ν k ( k ) ν i1 ν 1 ( 1 ) + + ν k ( k ) ν 1 ν ν ν ( 1 ) + + ν k ν ( k ) f 1 ( 1 ) + + f k ( k ) Άρα s 0, 1 (8 4) +0, (6 4) +0, 3 (4 4) +0, 4 ( 4) 4. Επομένως s. (βʹ) Κάθε τιμή αυξάνεται κατά 10% επομένως πολλαπλασιάζεται επί 1,1. Άρα και ητυπική απόκλισηθα πολλαπλασιασθεί επί 1,1 και θα γίνει,. 9. Να χαρακτηρίσετε με Σωστό (Σ) ή Λάθος (Λ) τις παρακάτω προτάσεις: (αʹ) Εστω A, B ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε: P (A B)+P (B) P (B A)+P (A) (βʹ) Εστω A, B ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε: P (A B) P (A)+P (B) (γʹ) Εστω A, B ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, με: P(A) 0, 7 και P(B)0, 6 τότε τα A, B είναι ασυμβίβαστα. (δʹ) Αν ενδεχόμενα A, B είναι ασυμβίβαστα τότε P(B)> P(A) (εʹ) Το βέβαιο ενδεχόμενο και το αδύνατο ενδεχόμενο είναι αντίθετα ενδεχόμενα 5

6 Σ, Λ, Λ, Λ, Σ 10. Αν να υπολογιστούν τα όρια: f(+4) f(4) (αʹ) lim 0 f(+1) f(1) (βʹ) lim 0 + f () +1 (αʹ) Εχουμε +4 ( +4 )( +4+) ( +4+) 1 και επομένως lim +4 (+4)+ 0 (βʹ) Ισχύει f(+1) f(1) (+)( +1+1) 1 (+) Δίνεται ησυνάρτηση +4 ( +4+) 0 1 (+4) ( +1 1)( +1+1) ( +)( +1+1) ( (+1)+1 ).Άραlim f () 1+ e, R f(+1) f(1) 0 + ( +4+) +1 1 ( +)( +1+1) 1 0 (+1) (αʹ) Να βρείτε την παράγωγο της f στο 0 1. (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο της A(1,f(1)). (γʹ) Να βρείτε τα διαστήματα μονοτονίας και τα τοπικά ακρότατα της f. (αʹ) Παραγωγίζουμε την συναρτηση και βρίκουμε ότι f () e e. Αντικαθιστούμε στην θέση του το 1 και βρίσκουμε f (1) e 1. (βʹ) Για την ζητούμενη εφαπτομένη y α + β έχουμε α f (1) e 1 β f (1) α 1f (1) f (1) 11 Επομένως ηζητούμενηεφαπτομένηείναι ηy 1 e +1. (γʹ) Είναι f () > 0 e e > 0 e ( +) > 0 ( ) <0 0 <<. Επομένως ησυνάρτησηείναι Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, 0]. Γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0, ]. Γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [, + ). 1. Να βρεθεί η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f () e Εχουμε f () 4( +) e 4+5 και εύκολα βρίσκουμε ότι στο διάστημα (, ] η f είναι γνησίως φθίνουσα και στο [, + ) η f είναι γνησίως αύξουσα. Επομένως παρουσιάζει ελάχιστο για το f () e +3. ( (+1)+1 ) 6

7 13. Δίνεται ησυνάρτησηf () ln. (αʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της C f στο σημείο M ( 0,f( 0 )). (βʹ) Εστω δύο διαφορετικά σημεία M (α, f (α)) και N (β,f (β)) της C f. Να αποδείξετε ότι αν ηευθεία AB διέρχεται από την αρχή των αξόνων τότε θα ισχύει a β β α. (αʹ) Με f () ln είναι f () 1 ln.ηεφαπτομένηστοm ( 0,f( 0 ))θα είναι μία ευθεία της μορφής y α + β με: α f ( 0 ) 1 ln 0 0 β f ( 0 ) α 0 f ( 0 ) f ( 0 ) 0 ln ln 0 Επομένως ηζητούμενηεφαπτομένηείναι ηy + ln (βʹ) Εστω y κ + λ ηευθεία AB. Αφού διέρχεται από τα O, A, B οι συντεταγμένες τους θα επαληθεύουν την εξίσωση της δηλαδή: i. 0κ0+λ ii. f (α) κα + λ iii. f (β) κβ + λ Από την πρώτησχέσηέχουμε ότι λ 0και από τις επόμενες δύο έχουμε ότι κ f(α) α, κ f(β) β.επομένως f(α) α f(β) β δηλαδή ln α α ln β β. Άρα β ln α α ln β και επομένως ln α β lnβ α από την οποία προκύπτει ότι α β β α. 14. Ενα δείγμα αποτελείται από 5 αριθμούς. Οι 4 από αυτούς είναι οι 1,, 3, 4. Πως πρέπει να επιλεγεί ο 5ος ώστε το δείγμα να παρουσιάζει την μικρότερη δυνατή τυπική απόκλιση; Εστω ο5οςαριθμός. Θαείναι Η διασπορά του δείγματος θα είναι s (1 (+ 1 5 )) +( (+ 1 5 )) +(3 (+ 1 5 )) +(4 (+ 1 5 )) +(5 (+ 1 5 )) Προφανώς ητυπική απόκλισηείναι ελάχιστηαν και μόνο αν η διασπορά είναι ελάχιστη, δηλαδή όταν η f () γίνει ελάχιστη. Είναι f () και εύκολα βρίσκουμε ότι η f γίνεται ελάχιστηόταν Να αποδείξετε ότι για κάθε ενδεχόμενο A ισχύει P (A) P (A ) 4 7 Θεωρούμε την συνάρτηση f () (1 ). Μελετούμε την f ως προς τη μονοτονία: f () > 0 3 > 0 0 << 3. Επομένως η f στο διάστημα (, 0] είναι γνησίως φθίνουσα, στο [ 0, 3] είναι γνησίως αύξουσα 7

8 και στο [ 3, + ) είναι γνησίως φθίνουσα. Επομένως στο διάστημα [0, + ) η f παρουσιάζει μέγιστο στο 3.Άραγιακάθε [0, + ) ισχύει ( ) f () f Αν όπου θέσουμε P (A) βρίσκουμε ότι P (A)(1 P (A)) 4 7 και ε- πομένως P (A) P (A ) Εστω f μία γνησίως αυξουσα συνάρτηση. Να βρεθεί ό t αν ισχύει ότι f ( t t ) f (t 1). Αν ήταν t t > t 1 επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα θα ήταν και f ( t t ) >f(t 1) πράγμα αδύνατο. Άρα θα είναι t t t 1. Αλλά t t t 1 t t t +1 0 t t +1 0 (t 1) 0. Άρα από την υπόθεση έχουμε ότι (t 1) 0 Αλλά ξέρουμε ότι το τετράγωνο κάθε αριθμού είναι μη αρνητικό δηλαδή ότι: (t 1) 0 Επομένως δε μπορεί παρά να είναι (t 1) 0και επομένως t Κατά μία μέτρηση του αναστήματος των 10 αθλητών βρέθηκε ότι η μέση τιμή του ήταν 1,71. Ωστόσο στησυνέχεια βρέθηκε ότι οι υπολογισμοί έγιναν με μία λάθος τιμή: Αντί του πραγματικού αναστήματος 1,87 ενός αθλητή είχε δοθέι ητιμή 1,78. Ποιά είναι ηπραγματική μέσητιμή του αναστήματος; Ας ονομάσουμε Σ το άθροισμα των αναστημάτων όλων των αθλητών εκτός εκείνου που έγινε το λάθος. Θα είναι Σ+1, 78 1, Λύνοντας ως προς Σ βρίσκουμε Σ15, 3. Η πραγματική μέσητιμή θα είναι: Σ+1, Κάνοντας τις πράξεις βρίσκουμε ότι αυτή είναι 1, Στην παρακάτω κατανομή ηδιάμεσος είναι 40 9.Ναβρεθείτο. [, 3) 5 [3, 4) 6 [4, 5) [6, 7) 10 8

9 Αφού ηδιάμεσος είναι , 4 θα βρίσκεται στην κλάση [4, 5). Επειδήως την διάμεσο πρέπει να έχουμε το μισό του πληθυσμού δηλαδή 1+ καιοιδύο πρώτες κλάσεις έχουν 11 στοιχεία θα χρειασθεί να πάρουμε στοιχεία της κλάσης [4, 5) δηλαδή το 1 1 της κλάσης. Επομένως θα πάρουμε και το του πλάτους της κλάσης δηλαδή το 1.Άρα ηδιάμεσος θα είναι ίσημε Εχουμε την εξίσωση Λύνοντας βρίσκουμε Δίνεται ησυνάρτηση f () 1 + (αʹ) Να μελετήσετε την f ως προς τημονοτονία. (βʹ) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της στο σημείο της A(1, 0). (γʹ) Εστω δύο οποιαδήποτε ενδεχόμενα A, B ενός δειγματικού χώρου Ω. Να αποδείξετε ότι αν A B τότε ισχύει f (P (A)) f (P (B)). (αʹ) Η f έχει πεδίο ορισμού (, ) (, + ) και ηπαράγωγος της είναι f () ( +) Εχουμε: f () > > 0 < 3 ή + 3 < Επομένως η f είναι: Γνησίως αύξουσα στο (, 3 ] Γνησίως φθίνουσα στο [ 3, ) Γνησίως φθίνουσα στο (, + 3 ] Γνησίως αύξουσα στο [ + 3, + ) (βʹ) Είναι f (1) 0 και f (1) 3. Η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f θα είναι μία ευθεία της μορφής y α + β που: Θα διέρχεται από το A Θα έχει α f (1) Επομένως θα είναι α 3 και 0α 1+β αρα β 3 και ηζητούμενη εφαπτομένηθα είναι ηy 3 3 (γʹ) Γνωρίζουμε ότι αφού είναι A B θα ισχύει P (A) P (B). Επίση ς γνωρίζουμε ότι οι τιμές P (A),P (B) ανήκουν στο διάστημα [0, 1] ε- πομένως ανήκουν στο διάστημα [ + 3, + ) στο οποίο η f είναι γνησίως αύξουσα. Άρα θα ισχύει f (P (A)) f (P (B)). 9

10 0. Αν ισχύει lim 1 3+ α 1 βρείτε το α. Εστω f () 3 + α κάθε α θα ισχύει με α. Θα είναι lim 1 f () 1. Τότε για 3 +( α) f () Παίρνοντας τα όρια και των δύο μελών για 1 βρίσκουμε 0(1 α)( 1) από την οποία συμπεραίνουμε ότι α Δίνεται ο παρακάτω πίνακας μίας κατανομής: i f i 0,4 8 u 10 v 16 0, (αʹ) Να αποδείξετε ότι 4+8u +10v. (βʹ) Να εκφράσετε την διασπορά ως συνάρτηση του u. (γʹ) Αν ηδιασπορά είναι ίσημε 7, 4 να βρείτε τα u, v. (αʹ) 0, 4 +u 8+v , u +10v (βʹ) Αφού 0, 6+u + v 1θα είναι v 0, 4 u και επομένως 8 u. Εργαζόμενοι όπως στην άσκηση βρίσκουμε ότι s f 1 ( 1 ) + + f k ( k ) και επομένως στην περίπτωση μας θα έχουμε: s 0, 4 ( (8 u)) + u (8 (8 u)) + (0, 4 u) (10 (8 u)) +0, (16 (8 u)) 8, 8 4u 4u (γʹ) Λύνουμε την εξίσωση 8, 8 4u 4u 7, 4 και βρίσκουμε μία μόνο θετική ρίζα την u 0, 3. Από τη ν σχέση v 0, 4 u βρίσκουμε ότι v 0, 1 10