1 1) Δίνεται η εξίσωση x 2-2(λ + 2) χ + 2λ 2-17 = 0. Να βρείτε το λ ώστε η εξίσωση να έχει μία ρίζα διπλή. Υπολογίστε τη ρίζα. Aσκήσεις στις εξισώσεις Β βαθμού Για να έχει η εξίσωση μία ρίζα διπλή πρέπει: Δ = 0 <=> [-2(λ + 2)] 2-4(2λ 2-17) = 0 <=> 4(λ + 2) 2-4(2λ 2-17) = 0 <=> 4[(λ 2 + 4λ + 4) - (2λ 2-17)] = 0 <=> λ 2 + 4λ + 4-2λ 2 + 17 = 0 <=> -λ 2 + 4λ + 21 = 0 <=> λ 2-4λ - 21 = 0 <=> λ = 7 ή λ = -3 Δηλαδή για λ = 7 ή λ = -3 η εξίσωση έχει μία ρίζα διπλή. Η διπλή ρίζα δίνεται από την σχέση: λ x 0 = = = λ+ 2 και έτσι έχουμε Αν λ = 7 τότε χ ο = 7 + 2 = 9 Αν λ = -3 τότε χ ο = -3 +2 = -1 2) Δίνεται η εξίσωση χ 2-3χ + λ + 2 = 0. Αν έχει η ρίζα της εξίσωσης είναι το 5 να βρεθεί η άλλη ρίζα. Αφού το 5 είναι ρίζα της εξίσωσης θα την επαληθεύει. Άρα : 5 2-3 5 + λ + 2 = 0<=>25-15 + λ + 2 = 0 <=>12 + λ = 0 <=> λ = -12 Για λ = -12 η εξίσωση γίνεται: χ 2-3χ + ( - 12 + 2) = 0 <=> χ 2-3 χ - 10 = 0 <=> χ = 5 ή χ = -2. Άρα η άλλη ρίζα είναι η χ = -2 1
2 3) Έστω (λ - 1)χ 2 + (2λ + 1)χ + λ = 0. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση: α) Έχει μία μόνο ρίζα; Ποια είναι αυτή; γ) Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες; Ποιες είναι αυτές; β) Έχει μια ρίζα διπλή; Ποια είναι αυτή; δ) Είναι αδύνατη; α) Για να έχει μία μόνο ρίζα δε πρέπει η εξίσωση να είναι δευτέρου βαθμού. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν α = 0<= >λ-1 = 0 <=> λ = 1 Για λ = 1 η εξίσωση γίνεται:. (1-1)χ 2 +(2 1 + 1 )χ + 1 = 0<=> 0χ 2 +3χ + 1 = 0<=> 3χ = -1 <=> χ = - Β) Για να έχει μια ρίζα διπλή πρέπει να είναι δευτέρου βαθμού. Αυτό συμβαίνει μόνο όταν α 0<=> λ-1 0<=>λ 1 Επίσης έχουμε: Δ = (2λ + 1) 2-4(λ-1)λ = 4λ 2 + 4λ + 1-4λ 2 + 4λ = 8λ + 1 Για να έχουμε μια διπλή ρίζα πρέπει: Δ = 0 <=> 8λ + 1=0 <=> 8λ = -1 <=> λ = - 1/8. Η διπλή ρίζα είναι: χ 0 = - = 1/3(αντικαταστήσαμε το λ = -1/8 λ = γ) Για να έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες πρέπει: <=> <=> <=> <=> λ 2
3 Οι δύο ρίζες θα είναι: χ 1,2 = δ) Για να είναι η εξίσωση αδύνατη θα πρέπει: <=> <=> <=> 3
4 4) Αν η εξίσωση αχ 2 + 2βχ + γ = 0, α 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες, να αποδείξετε ότι το ίδιο συμβαίνει και για την χ 2 + 2(α + β + γ)χ + 2β(α + γ) + 3αγ = 0. Αφού η εξίσωση αχ 2 + 2βχ + γ = 0 έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες θα ισχύει για την διακρίνουσα της: Δ > 0<=> (2β) 2-4αγ > 0 <=> 4β 2-4αγ > 0 <=> 4(β 2 - αγ) > 0 Η διακρίνουσα της δεύτερης εξίσωσης είναι: Δ 2 = [2(α + β + γ)] 2-4 [2β(α + γ) + 3αγ] = 4(α + β + γ) 2-4(2αβ + 2βγ + 3αγ) = 4(α 2 + β 2 +γ 2 + 2αβ + 2αγ + 2βγ) - 8αβ - 8βγ -12αγ = 4α 2 +4β 2 +4γ 2 +8αβ + 8αγ + 8βγ-8αβ-8βγ-12αγ = 4α 2 + 4β 2 + 4γ 2-4αγ = 4α 2 + β 2 + γ 2 - αγ] = 4 (α 2 + γ 2 ) + (β 2 - αγ) = 4(α 2 + γ 2 ) + 4(β 2 - αγ) > 0 Στις ασκήσεις στις οποίες χρειάζεται να υπολογίσουμε παραστάσεις που είναι εκφράσεις των ριζών χ 1 και χ 2 θα βρίσκουμε πρώτα τα S = χ 1 + χ 2 και Ρ = χ 1 χ 2 και μετά μετασχηματίζουμε τις παραστάσεις, έτσι ώστε να είναι εκφράσεις των γνωστών S και Ρ. Χρησιμοποιούμε τις γνωστές ταυτότητες: α) + = (χ 1 + χ 2 ) 2-2χ 1 χ 2 = S 2-2Ρ β) + = (χ 1 + χ 2 ) 3-3χ 1 χ 2 (χ 1 + χ 2 ) = S 3-3PS 4
5 Αποδεικνύεται ότι μια παράσταση που είναι συμμετρική ως προς τα χ, εκφράζεται πάντα συναρτήσει των S και Ρ. (Συμμετρική ως προς τα χ 1, χ 2 εννοούμε κάθε παράσταση που, όταν γίνει εναλλαγή των χ 1, χ 2 μεταξύ τους παραμένει αναλλοίωτη). 5) Δίνεται η εξίσωση x 2-2x - 1 = 0 με ρίζες τις χ 1 και χ 2. Χωρίς να τη λύσετε να υπολογίσετε τις παραστάσεις: 1) + 2) + Πρώτα απ' όλα σε τέτοιες περιπτώσεις θα βρίσκουμε τα S = χ 1 + χ 2 και Ρ = χ 1 χ 2 Έχουμε: S = χ 1 + χ 2 = - = - = 2 Ρ = χ 1 χ 2 = γ/α = -1 1) + = (χ 1 + χ 2 ) 2-2χ 1 χ 2 = S 2-2Ρ = 2 2 2(-1) = 6 2) + = (χ 1 + χ 2 ) 3-3χ 1 χ 2 (χ 1 + χ 2 ) = S 3-3PS = 2 3-3 2(-1) = 14 6) Αν χ 1 χ 2 ρίζες της αχ 2 + βχ + γ = 0, α 0, δείξτε ότι: + 2 2 +2-0 <=> +( +2χ 1 χ 2 + <=> Ρ 2 + 2 2PS 0 <=> Ρ 2 + S 2-2PS <=> (P-S) 2 >0 που ισχύει. 5
6 7)Δίνεται η εξίσωση χ 2 - (λ + 1)χ - λ = 0. Αν τα χ 1 χ 2 είναι ρίζες της εξίσωσης να υπολογίσετε το λ ώστε: - 7-7 + 3 = 2 S = χ 1 + χ 2 = - = - = λ+1 Ρ = χ 1 χ 2 = γ/α = -λ Έχουμε: 3-7 x 2-7χ 1 + 3 = 2 <=> 3( + ) - 7χ 1 χ 2 (χ 1 + χ 2 ) = 2 <=> 3[(χ 1 + χ 2 ) 2-2 χ 1 χ 2 ] -7 χ 1 χ 2 (χ 1 + χ 2 ) = 2 3(S 2-2Ρ) - 7Ρ S = 2 <=> 3S 2-6Ρ - 7PS - 2 = 0 <=>3( λ + 1) 2-6(λ) - 7(-λ)(λ + 1) - 2 = 0 3(λ 2 +2λ + 1) + 6λ + 7λ(λ+1)-2 = 0<=> 3λ 2 +6λ + 3 + 6λ + 7λ 2 + 7λ -2 = 0 <=> 10λ 2 + 19λ +1 =0 Δ = 19 2-4 0 = 361-40 = 321 >0 Λ 1,2 = 8)Δίνεται η εξίσωση χ 2-3χ - 2λ + 1 = 0. Να βρεθεί το λ, ώστε η εξίσωση να έχει δύο ρίζες που η μία να είναι τετραπλάσια της άλλης. 6
7 Σε τέτοιου είδους ασκήσεις βρίσκουμε το S, Ρ και μαζί με τη σχέση που μας δίνεται δημιουργούμε ένα σύστημα 3 εξισώσεων με 3 αγνώστους. Λύνοντάς το βρίσκουμε το λ. Μετά όμως είναι απαραίτητο να κάνουμε έλεγχο αν το λ που βρήκαμε είναι δεκτά. Λύση : λ = -11/50 9) Οι παρακάτω εξισώσεις έχουν ρίζες πραγματικές ; Αν ναι να βρείτε το πρόσημο τους. α) 3χ 2 +6χ + 1 = 0 β) 2χ 2-3χ-1=0 γ)2χ 2-5χ + 2= 0 δ) χ 2-4χ-κ 4 =0 ε) χ 2-7χ = 0 α) 3χ 2 +6χ + 1 = 0 Δ = 6-4 3 I = 36-12 = 24 > 0 Άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Ρ = γ/α = 1/3 Ρ > 0 S = χ 1 + χ 2 = - = -2 < 0 ρίζες αρνητικές 7
8 β) 2χ 2-3χ-1= 0 Δ = (-3) : -4-2(-1)= 9 + 8 = 1 7 > 0 Άρα έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες. Ρ = γ/α = -1/2 Ρ < 0 ετερόσημες ρίζες 10)Δίνεται η εξίσωση χ 2-2(λ- 3)χ + λ 2-1. Για ποιες τιμές του λ η εξίσωση έχει: α) δύο ρίζες αρνητικές β) δύο ρίζες θετικές και άνισες γ) δύο ρίζες ετερόσημες δ) δύο ρίζες αντίστροφες ε) δύο ρίζες αντίθετες Τις απαντήσεις σε όλα τα παρακάτω ερωτήματα θα μας τις δώσει ο συνδυασμός των πρόσημων των Δ, Ρ, S. Έτσι έχουμε: Δ = (-2(λ-3)) 2-4 1 (λ 2-1) = 4(λ - 3) 2-4λ 2 + 4 = 4(λ 2-6λ + 9) -4λ 2 + 4 =4λ 2-24λ - 36-4λ 2 + 4 = - 24λ + 40 Ρ = γ/α = λ 2-1 S = χ 1 + χ 2 = - = 2λ-6 < 0 Βρίσκουμε το πρόσημο των Δ,Ρ,S Δ=0 ή -24λ+40=0 ή λ=5/3 λ - 5/3 + Δ = -24λ+40 + 0 - Ρ = 0 <=> λ 2-1= 0 <=> λ 2 =1<=>λ = ±1 8
9 Ρ>0 <=>λ 2-1 >0 <=> λ 2 > 1 <=> >1 <=> > 1 ή λ<-1 ή λ 1 Ρ<0<=>λ 2-1< 0<=> λ 2 <1< => <1 <=> λ < 1 <=> -1 < λ < 1 S = Ο <=> 2λ - 6 = 0 <=> 2λ = 6 ή λ = 3 λ - -1 1 5/3 + Ρ=λ 2-1 + 0-0 + + + S=2λ-6 - - - - 0 + Δ = -24λ+40 + + + 0 - - 9
10 11) Να λυθεί η εξίσωση (2x-l) 2 +5 2χ-1-6 = 0 Γνωρίζουμε ότι 2χ -1 2 = (2χ -1) 2 Η αρχική εξίσωση με τη βοήθεια της (1) γίνεται: 2x -1 2 + 5 2χ -1-6 = 0 Θέτουμε στην όπου 2χ -1 = α και αυτή γίνεται α 2 + 5α -6 = 0 Λύνουμε την εξίσωση βρίσκοντας δύο αριθμούς με γινόμενο Γ = -6 και άθροισμα Α = -5. Αυτοί είναι α = -6 ή α = 1. Έτσι έχουμε: αν α = -6 <=> 2χ -1 = -6 αδύνατη. αν α= 1 <=> 2χ-1 = 1 <=> 2χ -1 = 1 ή 2χ-1 = -1 <=> 2χ = 2 ή 2χ=0<=> χ = 1 ή χ=0. Άρα η αρχική εξίσωση έχει ρίζες τις x = 1, x = 0. Εξισώσεις - προβλήματα που ανάγονται σε λύση εξισώσεων β βαθμού. 1) α) Ένας καθηγητής μαθηματικών που σκέπτεται να αγοράσει ένα περιφραγμένο οικόπεδο στην Σύρο σχήματος ορθογωνίου με εμβαδόν 4070 m 2, θέλησε να μάθει τις διαστάσεις των πλευρών του. Ο ιδιοκτήτης όμως του οικοπέδου παρόλο που δεν ήξερε τις διαστάσεις, θυμόταν, ότι χρησιμοποίησε 258m συρματόπλεγμα για να το περιφράξει. Με αυτές τις πληροφορίες ο καθηγητής βρήκε τις διαστάσεις. Ποιες ήταν αυτές; β) Μετά θέλησε να μάθει από την πολεοδομία Κυκλάδων ποιό είναι το μέγιστο εμβαδόν του σπιτιού που δικαιούται με βάση το νόμο, να κτίσει. Ο πολεοδόμος για να τον δυσκολέψει του έδωσε την απάντηση ότι η 10
11 περίμετρος του σπιτιού (σχήματος ορθογωνίου) μπορεί να είναι μέχρι 40m. Ο μαθηματικός φυσικά βρήκε το μέγιστο εμβαδό. Ποιό ήταν αυτό; Α) Ε = 4070m 2 <=> x y = 4070m 2 Το μέγιστο εμβαδόν θα το επιτύχει ο καθηγητής όταν Δ = 0, δηλαδή όταν οι ρίζες α, β είναι ίσες άρα α = β Τότε: α+β = 20 <=> α + α=20 <=> 2α = 20 <=> α = 10 άρα και β = α = 10. Δηλαδή για να επιτύχει το μέγιστο εμβαδόν 100m 2 πρέπει να το κάνει τετράγωνο με πλευρά α = 10m. Π= 258m <=> 2χ + 2y = 258m <=> 2(χ + y) = 258m <=> χ + y = 129m Δηλαδή οι δύο διαστάσεις έχουν γινόμενο 4070 και άθροισμα 129 άρα θα είναι ρίζες της εξίσωσης: x 2 -Sx + P = 0 <=> x 2-129x + 4070 = 0 Δ = 129-4 4070 = 16641-16280 = 36 Άρα: χ 1,2 = χ 1 = 74 και χ 2 = 55 Άρα οι διαστάσεις του οικοπέδου είναι 74m και 55m. β) Αν α, β είναι οι διαστάσεις του σπιτιού τότε η περίμετρος είναι 40m <=> 2α + 2β = 40m <=> α + β = 20 m Το εμβαδόν του σπιτιού θα είναι: Ρ = α β Τα α, β είναι ρίζες της εξίσωσης x 2 -Sx + P = 0<=> x 2-20x + P = 0. Επειδή οι ρίζες είναι αριθμοί πραγματικοί θα έχουμε ότι: Δ > 0 <=> 20 2 4 1 - Ρ > 0 <=> - 4 Ρ > -400 <=> Ρ < 100 <=> εμβαδόν < 100 m. Άρα το μέγιστο εμβαδόν του σπιτιού που μπορεί να κτίσει είναι l00 m 2. 11
12 2)Να λυθεί η εξίσωση : α) 4χ 4 +3χ 2-1 = 0 β) 4χ 4-4χ 2 +1 = 0 γ) 5χ 4-2χ 2 +3 = 0 Για τη λύση διτετράγωνης εξίσωσης κάνουμε τη βοηθητική αντικατάσταση χ 2 = y 0 Έτσι έχουμε: α) 4x 4 + 3χ 2 -l=0 4y 2 +3y-l = 0 Δ = 3 2-4 4(-1) = 9 + 16 = 25 > 0 y 1,2 = y 1 = ¼ δεκτή και y 1 = -1(απορρίπτεται ) 3) Να λυθεί η εξίσωση: (Χ 2 5χ + 8) 2-5(χ 2-5χ + 9) + 11 = 0 θέτουμε χ 2-5χ + 8 = y Άρα χ 2-5χ + 9 = (χ 2-5χ + 8 ) + 1 = y + 1 Η εξίσωση γίνεται με τη βοήθεια των (1) και (2): y 2-5(y + l) + l 1 = 0 <=> y 2-5y -5 + 11 = 0 <=> y 2-5y + 6 = 0 Λύνοντας την εξίσωση βρίσκουμε y = 2 ή y = 3. Έτσι α) Αν y = 2 <=> χ 2-5χ + 8 = 2 <=> χ 2-5χ + 6 = 0 <=> χ = 2 ή χ = 3 β) Αν y = 3χ 2-5χ + 8 = 3<=> χ 2-5χ + 5 = 0 Δ = (-5) 2-4 1 5 = 25-20 = 5 > 0 άρα: χ 1,2 = Άρα το σύνολο λύσεων είναι το: S= Εάν αναπτύσσαμε την ταυτότητα εκτός από χρονοβόρο θα μπορούσε να ήταν και μάταιο αν δεν λυνόταν η εξίσωση. 12
13 4)Να λυθεί η εξίσωση: 2 - = 1 Πρέπει: Χ 3-8 0 και χ 3-1 0 δηλαδή χ 2 και χ 1 Παρατηρούμε ότι τα κλάσματα είναι αντίστροφα. Γ ι 'αυτό θέτουμε στο: = y οπότε το δεύτερο κλάσμα γίνεται Η εξίσωση γίνεται με τη βοήθεια των (1) και (2): 2y 1/y = 1 2y 2-1 = y <=> 2 y 2 - y -1 = 0 <=> y = 1 ή y= -1/2 α) Av y = 1 <=> = 1 <=> χ 3-8 = <=> - 8 = -1, που είναι αδύνατο. Av y = -1/2 = -1/2 2( )=- 1 (2x 3-16 = -x 3 + l <=> 2χ 3 + χ 3 = 16+ 1 <=> 3χ 3 = 17<=>χ 3 = 17/3 <=>χ = Αν η εξίσωση (κ+λ) χ 4 +(2κ-λ-10) χ 3 + 2χ 2 (κ-λ-7)χ + 6 - κ =0 είναι διτετράγωνη να βρεθούν οι ρίζες της. Αφού η εξίσωση είναι διτετράγωνη θα είναι της μορφής: αχ 4 + βχ 2 + γ = 0, α 0 Άρα ο συντελεστής του χ 4 είναι 0 κ+λ 0 και ο συντελεστής του χ 3 είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή 2κ - λ - 10 = 0 (1) και ο συντελεστής του χ είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή -(κ-λ-7) = 0<=>-κ + λ + 7 = 0 (2) 13
14 Λύνουμε το σύστημα των (2) και (3). (2κ-λ-10)+ (-κ + λ + 7) = 0 + 0 κ-3 = 0 ή κ = 3 Για κ = 3 έχουμε: (2) <=> - 3 + λ + 7 = 0 ή λ + 4 = 0 <=> λ = -4 (τα κ = 3, λ = -4 επαληθεύουν την (1) αφού : 3 + ( - 4) 0 ή -1 0) Για κ = 3 και λ = -4 η διτετράγωνη εξίσωση γίνεται: (3-4) χ 4 + 2χ 2 + 6-3 = 0<=>-χ 4 +2χ 2 + 3 = 0. Θέτουμε: χ 2 = y 0 Η διτετράγωνη γίνεται: - y 2 + 2y + 3 = 0 <=> y 2-2y - 3 = 0 <=> Άρα y = 3 <=> χ 2 = 3 <=> χ = ± Άρρητες εξισώσεις 1) Να λυθεί η εξίσωση: χ - 2-2 = 0 Πρέπει χ - 3 0<=> χ 3 Η εξίσωση γίνεται: -2 = -χ + 2 <=> 2 = χ - 2 (1) Αφού το 1ο μέλος είναι 0 θα πρέπει και το 2ο να είναι 0 δηλαδή: χ - 2 0 <=>χ 2 Άρα χ 3 Υψώνουμε τα μέλη της (1) στο τετράγωνο και έχουμε: ( 2 = (x-2) 2 <=>4(χ -3)=χ 2-4χ+ 4<=>4χ-12= χ 2-4χ +4 <=>4χ -12-χ 2 +4χ -4 = 0<=> -χ 2 + 8χ - 16 = 0 <=> χ 2-8χ + 16 = 0 <=>(χ-4) 2 =0<=> χ-4 = 0 <=> χ = 4 δεκτή. 14
15 15
16
17
18