Naloge in seminarji iz Matematične fizike

Naloge in seminarji iz Matematične fizike Odvodi, Ekstremi, Integrali 1. Za koliko % se povečata površina in prostornina krogle, če se radij poveča za 1 %? 2. Za koliko se zmanjša težni pospešek, če se dvignemo 100 m od tal? Radij Zemlje je 6400 km. ( 3,1 10 4 m/s 2 ) 3. Ura na nihalo (T = 2 s) zaostaja za 15 s na dan. Za koliko je treba skrčiti ali podaljšati nihalo? (dl = 0,35 mm.) 4. Natrijevi črti imata valovni dolžini 589,0 nm in 589,6 nm. Kolikšna je razlika frekvenc? (5 10 11 s 1 ) 5. Kilomol plina ima pri 0 C in 1,01 bar prostornino 22,4 m 3. Za koliko se spremeni prostornina, če se zviša temperatura za 0,1 C, tlak pa za 10 4 bar? (dv = 6 dm 3.) 6. Izparilni tlak je odvisen od temperature T kot p(t ) = p(t 0 )e Mq i/r(1/t 1/T 0 ), če je q i izparilna toplota vode, M njena molekulska masa in R splošna plinska konstanta. Za koliko % se spremini tlak, če povečamo temperaturo za 1 % pri T = 0 C in pri T = 100 C? 7. S totalnim diferencialom zapiši, kako se spreminja dolžina napete žice, če se spreminjata temperatura in sila. 8. Izrazi izotermno stisljivost plina iz plinske enačbe. 9. Upor platinaste žice se spreminja kot dr/r = α dt, α = 0,00394 K 1. Kako se spreminja specifični upor? Linearna razteznost platine je 9 10 6 K 1. 10. Viskozno tekočino pretakamo po valjasti cevi in računamo viskoznost iz enačbe Φ V = πr 4 p/8ηl. Kako natančno moramo poznati radij cevi, da bo rezultat na 1 % natančen in so ostali podatki znani z dosti boljšo natančnostjo? Za koliko se spremeni Φ V, če se r poveča za 1 %, p za 2 %, η za 0,5 % in l za 1 %? 11. Za recipročno gostoto vode so dobili takšno odvisnost od temperature: 1 ρ = 1 ρ 0 + a(t T 0 ) + b(t T 0 ) 2 + c(t T 0 ) 3. če je T 0 = 0 C, 1/ρ 0 = 1.0002 cm 3 /g, a = 6.7 10 5 cm 3 /g K, b = 8.9 10 6 cm 3 /g K 2, c = 6.1 10 8 cm 3 /g K 3. Izpelji nekaj členov za odvisnost gostote od temperature. Rešitev: ρ = aρ 0 τ ρ 0 (b a 2 ρ)τ 2 ρ 2 (c 2abρ 0 + a 3 ρ 2 0)τ 3, τ = T T 0.

12. Iz zgornjih podatkov za recipročno gostoto vode izračunaj, pri kateri temperaturi (T 1 ) je specifična prostornina vode najmanjša. Potem izpelji vrsto po potencah (T T 1 ) n. 13. Poišči iz Van de Waalsove enačbe (p + a/v 2 )(V b) = RT kritično točko, t.j. tisto, pri kateri sta prvi in drugi odvod tlaka po prostornini enaka nič! [V k = 3b, RT k = 8a/27b, p k = a/27b 3 ] 14. Z višine h nad vodoravno ravnino vržemo kamen pod kotom α z začetno hitrostjo v 0. Pri kolikšnem kotu pade kamen najdlje? [tg α = v 0 / v0 2 + 2gh] 15. Nad sredino ceste s širino 2a obesimo žarnico, pri kateri je svetilnost za vse smeri enaka. Pri kolikšni višini nad cesto bo osvetljenost na robu ceste največja? [h = a/ 2] 16. Neko vozilo se giblje s konstantno močjo. Zapiši pot kot funkcijo časa. Rešitev: v = 2P t/m, s = s 0 + 2 2P t 3 3 /m. 17. Izračunaj vztrajnostni moment homogenega valja okrog njegove geometrijske osi. 18. Pol metra dolga jeklena palica se vrti okrog prečne osi, ki palico razpolavlja, s 300 vrtljaji na minuto. Za koliko se palica raztegne (E = 220000 N/mm 2, ρ = 7,8 kg/dm 3 )? 19. V homogenem magnetnem polju z gostoto B se vrti krožna plošča, ki stoji pravokotno na silnicah. Kolikšna napetost se inducira med osjo in drsnikom na robu plošče? [U = Bωr 2 /2] 20. Kolikšen upor ima 10 m dolga bakrena žica, ki ima obliko prisekanega stožca? Premer na eni strani je 1 mm, na drugi epa 0,6 mm. Specifični upor bakra je 0,017 Ω mm 2 /m. [R = ζl/πr 0 r 1 = 0,36 Ω] 21. Vozilo z maso m se giblje s konstantno močjo P. Zapiši pot kot funkcijo časa, če je bila hitrost telesa ob času t = 0 enaka v 0. 22. Po 10 m dolgi cevi z notranjim premerom 1 mm teče zrak s temperaturo 20 C. Tlak na začetku cevi je 500 Pa, na koncu pa 100 Pa. Izračunaj masni pretok. Rešitev: Φ m = (πr 4 /8η)((p 1 p 2 )/l) 1 2 (ρ 1 + ρ 2 ) = 2 10 10 kg/s. 23. Deset metrov dolga elastika s prožnostnim modulom 500 N/cm 2 in gostoto 1,5 g/cm 3 je obtežena na enem koncu. Za koliko je elastika podaljšana zaradi lastne teže? [s = ρgl 2 /2E = 15 cm] 2

Seminarske naloge (2007/2008) 1. Izpiši pomembnejše enačbe iz učbenika(ov) za osnovno šolo in jih razdeli na definicije, zakone, izreke in približne zveze. 2. Iz učbenika za srednjo šolo poišči enačbe, ki niso zajete pri zgornji nalogi, in jih razvrsti na enak način. 3. Spektralno gostoto, ki jo seva črno telo, zapišemo kot w(λ) = 2πc2 h 1 λ 5 e hc λkt 1, pri čemer je k = 1,38 10 23 J/K, h = 6,62 10 34 Js in c = 3 10 8 m/s. Za koliko % se razlikuje gostota izsevanega toka pri temperaturi T = 300 K in valovni dolžini λ = 10 µm od gostote v primeru, ko temperaturo povečamo za 0,1 % in valovno dolžino prav tako za 0,1 %. 4. Počrnjena ploščica je obešena v evakuirani posodi s temperaturo 293 K. Skozi okence posvetimo na ploščico in sicer je osvetljenost 0,1 W/m 2. Za koliko se segreje ploščica? 5. Kako natančno lahko merimo upor z 1 m dolgo merilno žico Wheatstonovega mostička, če beremo lego drsnika na 0,3 mm natančno in če stoji drsnik na sredi? Kako pa, če stoji drsnik tako, da deli žico v razmerju 1 : 3? Pri kateri legi je relativna natančnost največja? 6. Z Wheatstonovim mostičkom iz prejšnjega primera merimo temperaturo, tako da izkoriščamo temperaturno odvisnost enega od štirih upornikov. Njegov temperaturni koeficient, ki je definiran z α = R 1 dr/dt, znaša 0,004 K 1. Temperaturno skalo lahko zapišemo kar ob žici. Kako dolga je na sredini žice ena stopinja? 7. Po 1 m dolgi cevi s spremenljivim presekom pretakamo olje z viskoznostjo η = 0,1 Ns/m 2. Polmer cevi se linearno spreminja od začetne vrednosti 1 cm do končne vrednosti 2 cm. Kolikšen prostorninski tok teče po cevi, če ga poganja tlačna razlika p = 10 4 N/m 2? Za pretakanje po cevi s konstatnim polmerom r in dolžino l velja Φ = π r 4 p/8lη. 8. Obliko elektrode z zaobljeno konico aproksimiramo z r = kx 1/3, 0 x < l, ki se zvezno nadaljuje v valjast odsek z r = R, l x 3l. Kolikšno je razmerje uporov zaobljenega in valjastega dela elektrode, če napetost priključimo med skrajnji točki elektrode? 9. Za koliko se raztegne lahka elastika z elastičnim modulom E = 500 N/cm 2 v obliki valja z dolžino 1 m in spremenljivim presekom, na katero obesimo breme z maso 1 kg? Polmer elastike na pritrdišču na stropu meri 1 cm in se nato linearno zmanjšuje do vrednosti 0,5 cm na krajišču, na katerem visi utež. Namig: Zapiši Hookov zakon za raztezek ds majhnega dela palice z dolžino dx na razdalji x pod stropom. 3

10. Izračunaj vztrajnostni moment valja okrog osi, ki gre skozi težišče in je pravokotna na geometrijski osi. Navodilo: Valj si misli razdeljen na tanke rezine (kakor klobaso)! [J = m(r 2 /4 + h 2 /12)] 11. Kadar imamo v ozračju močno konvekcijo, pojema temperatura z višino (z) po enačbi c p T + gz = konst. Kako tedaj pojema tlak z višino? V kateri višini bi bilo atmosfere konec? 4

Naloge NDE 1. reda 1. Kako pojema zračni tlak z višino, če je temperatura konstantna? [p = p 0 exp ( Mgz/RT )] 2. Podobno kot prejšnja, toda s konvekcijo poskrbimo, da je p/ρ κ = konstanta. [p = p 0 (1 z/z 1 ) κ/(κ 1), z 1 = κrt 0 /(κ 1)Mg = 28 km.] 3. Zapiši enačbo za praznenje kondenzatorja in enačbo za polnenje kondenzatorja in jih reši. 4. Na zaporedno vezana kondenzator (C) in upor (R) priključimo napetost, ki s časom linearno narašča, tako da v času t naraste od 0 na U 0. Kako se s časom spreminja napetost na kondenzatorju? 5. Na zaporedno vezana kondenzator s kapaciteto C = 100 µf in upornik z R = 10 kω priključimo napetost, ki narašča kvadratično s časom, U g (t) = kt 2, tako da v času 1 s naraste od 0 na 10 V. Kolikšen tok teče v vezju po 1 s? Rešitev: α = 2k/R, β = 1/RC, I(t) = α ( e βt + βt 1 ) /β 2 = 0,74 ma. 6. Na zaporedno vezana kondenzator (C) in upor (R) priključimo sinusno napetost U(t) = U 0 cos ωt. Kako se s časom spreminja napetost na kondenzatorju, če je bil ob času t = 0 prazen? 7. Vakumska pumpa izsesava iz posode stalen prostorninski tok zraka Φ V. Kako pojema tlak, če obenem doteka od zunaj skozi majhno luknico v posodo stalen masni tok zraka Φ m? [p(t) = p + (p 0 p )exp ( Φ V t/v ), p = RT Φ m /MΦ V.] 8. V valjasti posodi s premerom 8 cm stoji voda 20 cm visoko. V dnu posode je okrogla luknjica s premerom 3 mm. V kolikšnem času izteče polovica vode? [h(t) = h 0 [1 (r/r) 2 t g/2h 0 ] 2, t 1/2 = 41,5 s.] 9. V pokončen valjast sod s površino osnovne ploskve 1 m 2 priteka 1 l vode na sekundo. Na dnu soda je okrogla luknjica s površino 3 cm 2. Kako narašča gladina vode v sodu od trenutka, ko smo jo začeli natakati? Čez koliko časa bo gladina 25 cm nad dnom? Rešitev: t = 2τ[ h 0 /h h 0 /h ln[(1 h/h )/(1 h 0 /h )], h = Φ 2 V /2π 2 r 4 g, τ = h S/Φ V. 10. V poln škaf doteka voda v stalnem curku in oddeka čez rob. V škaf vržemo nekaj barvila. Voda se tako močno meša, da je barvilo ob vsakem času enakomerno porazdeljeno. Kako pojema koncentracija s časom? [c(t) = c 0 exp ( Φ V t/v ).] 11. V hladilnik, damo 50 kg živil s povprečno specifično toploto 4000 J/kgK. Na začetku je temperatura živil in hladilnika enaka zunanji temperaturi 20 C. Površina vseh sten hladilnika je 2 m 2, debelina 2 cm, toplotna prevodnost izolacije pa 0,1 W/mK. Toplotno kapaciteta hladilnika je majhna v primerjavi s toplotno kapaciteto živil. a) 5

Čez koliko časa doseže temperatura v notranjosti 90% končne, če hladilnik deluje s konstantno močjo 300 W? [12,2 h] b) Kako pa se spreminja temperatura v primeru, če je moč ob vklopu 500 W, nato pa linearno pada tako, da po 6 urah doseže nič? [x = t/t 0, t 0 = 6 h, y = (T T 0 )/T 1, T 0 = 20 C, T 1 = P 0 t 0 /mc p = 54 K, β = λst 1 /P 0 d.] 12. V hladilno torbo damo 10 kg živil s povprečno specifično toploto 4000 J/kgK. Na začetku je temperatura živil enaka 10 C. Površina vseh sten torbe je 1 m 2, debelina 2 cm, toplotna prevodnost izolacije pa 0,1 W/mK. Toplotno kapaciteta torbe je majhna v primerjavi s toplotno kapaciteto živil. Kolikšna je temperatura po 6 urah, če se zunanja temperatura spreminja linearno, tako da v 6 urah naraste z začetne temperature 20 C na 30 C? [T (t) = T 0 + kt + (T 1 T 0 kτ)(1 e t/τ ), τ = mc p d/sλ = 8000 s, k = (T 2 T 1 )/ t, T ( t) = 25,9 C.] 13. Kondenzator praznimo preko upora iz cekasa s specifičnim uporom 1 Ωmm 2 /m, gostoto 8 kg/dm 3, specifično toploto 400 J/kgK, radijem 1 mm in RC = 5 s. Žice je obdana z 0,1 mm debelo plastjo toplotne izolacije s toplotno prevodnostjo 0,1 W/mK. Kako se spreminja temperatura žice? 14. Podobno kot prejšnja le da na žico namesto kondenzatorja priključimo izvir izmenične napetosti z amplitudo 100 V in frekvenco 50 Hz. 15. Oceni, v kolišnem času se ohladi počrnjena žarilna nitka s 1000 C do 100 C, če se ohlaja le s sevanjem. Premer nitke je 0,2 mm, dolžina 20 cm, specifična gostota 10 kg/dm 3, specifična toplota 400 J/kgK in σ = 5, 67 10 8 W/m 2 K 4. Nitka prejema energijski tok iz okolice pri temperaturi 0 C? Seminarske naloge (2007/2008) 1. Počrnjena segreta bakrena krogla s specifično toploto 380 J/kgK, gostoto 8,9 g/cm 3 in radijem 1 cm visi v evakuirani posodi. V kolikšnem času se ohladi od 500 C na 100 C, če je temperatura posode 20 C? 2. Na zaporedno vezana kondenzator s kapaciteto C = 100 µf in upornik z R = 10 kω priključimo napetost, ki eksponentno pojema s časom kot U = U 0 e αt, U 0 = 24 V, α = 2 s 1. Na začetku na kondenzatorju ni naboja. a) Pokaži, da na začetku teče skozi vezje tok 2,4 ma. b) Kolikšen tok teče v vezju po 1 s? c) Ob katerem času je naboj na kondenzatorju največji? 3. Na upor iz cekasa s specifičnim uporom 1 Ωmm 2 /m, gostoto 8 kg/dm 3, specifično toploto 400 J/kgK in radijem 1 mm priključimo izvir napetosti. Napetost pade v času t = 10 s linearno od začetne vrednost 100 V na 0. Žice je obdana z 0,1 mm debelo plastjo toplotne izolacije s toplotno prevodnostjo 0,1 W/mK. Kako se spreminja temperatura žice? 6

4. Ko napolnjen 25 litrski bojler izključimo, je voda segreta na 60 C. Kolikšna je temperatura vode po treh urah, če je stalna poraba vode 5 litrov na uro? Površina bojlerja je 45 dm 2, debelina sten 1 cm, toplotna prevodnost izolacije 0,1 W/mK. 7

Naloge NDE 2.reda (integracija) 1. Čoln poženemo po mirni vodi. Kako se ustavlja, če velja kvadratni zakon upora, F u = kv 2? Rešitev: x = (m/k) ln(1 + kv 0 t/m) 2. Padalec s padalom tehta 100 kg. Njegova končna hitrost je 5 m/s. Kakšno je gibanje, če je upor sorazmeren s kvadratom hitrosti? Po kolikšnem času doseže padalec 90% končne hitrosti, če na začetku miruje (z odprtim padalom)? Kolikšno pot naredi v tem času? Rešitev: v th (gt/v ), t = 0,74 s s = (v 2 /g) ln ch (gt/v ) = 2,07 m. 3. Pri skoku padalec najprej prosto pada s hitrostjo 20 m/s. Izračunaj, kako se s časom spreminja hitrost padalca od trenutka, ko odpre padalo, če je upor sorazmeren s kvadratom hitrosti? Po kolikšnem času doseže padalec 1,1 končne hitrosti? Končna hitrost padalca je 5 m/s, za težni pospešek vzemi 10 m/s 2. Rešitev: t = (v /2g) ln ( ) (v v )(v 0 +v ) (v+v )(v 0 v ) = 0,63 s, v0 = 20 m/s, v = 5 m/s, v = 1,1v. 4. Na mirujoče telo z maso 1 kg prične delovati sila, ki je sorazmerna s korenom razdalje od začetne lege: F = A s, A = 3 N/m 1/2 in ima konstantno smer. Kolikšno hitrost doseže telo, ko prepotuje razdaljo 1 m? Koliko časa potrebuje za to? [v = 2(A/3m) 1/2 s 3/4 = 2 m/s, t = 2(A/3m) 1/2 s 1/4 = 2 s] 5. Denimo, da skozi središče Zemlje izvrtamo tunel. Kako bi se gibalo telo v takšnem tunelu, če vemo, da se spreminja težni pospešek linearno z oddaljenostjo od središča Zemlje? V kolikšem času bi doseglo južno poloblo? Za radij Zemlje vzemi 6400 km. Nalogo reši na dva načina, tako: a) da rešiš diferencialno enačbo za gibanje, b) da zapišeš potencialno energijo telesa in integriraš enačbo dr dt = f(r). 6. Telo z maso 1 kg poženemo po vodoravni podlagi z začetno hitrostjo 1 m/s. Ustavlja se pod vplivom sile, ki je sorazmerna s korenom iz hitrosti: F u = A v, A = 1 kgm 1 2 s 3 2. V kolikšnem času pade hitrost na 0? Kolikšno razdaljo pri tem prepotuje? 7. Kroglico iz jekla z gostoto 7,6 g/cm 3 in radijem 0,4 cm spustimo v tekočino z viskoznostjo 0,1 kg/ms in gostoto 1 g/cm 3. a) Zapiši diferencialno enačbo za gibanje kroglice in izračunaj hitrost, ki jo doseže kroglica po dolgem času. (Upoštevaj linearni zakon upora F u = 6πrηv) b) V kolikšnem času doseže 90% končne hitrosti, če je na začetku mirovala? c) Kolikšno pot naredi v tem času? Rešitev: a) v 0 = 2r 2 (ρ ρ )g/9η = 2,30 m/s; b) τ = 2r 2 ρ/9η = 0,270 s, t = τ ln((v 0 v)/v 0 ) = 0,62 s; c) s = v 0 t v(t)τ = 0,875 m. 8. Reši nalogi 7.b) in 7.c) v primeru, ko ima kroglica tik pod gladino začetno hitrost, ki je večja od končne (na primer dvakratno končno hitrost). 8

Seminarske naloge (2007/2008) 1. Telo z maso 1 kg se giblje premo po gladki, rahlo valoviti podlagi. V okolici izhodišča se sila na telo spreminja s koordinato x kot F = bx 2, pri čemer je b = 1 N/m 2. a) Kolikšno hitrost doseže pri gibanju v smeri osi x, ko prepotuje razdaljo 20 cm, če na začetku v izhodišču miruje? b) Koliko časa porabi za zadnjo polovico poti? 2. Navzdol poveznjeno epruveto, v kateri je nekaj zraka, potopimo v vodo (kartezijski plavač). Če plavač spustimo iz ravnovesne lege, deluje nanj pri dovolj majhnih odmikih s rezultanta sil, ki je sorazmerna z odmikom od ravnovesne lege: F = ks in kaže v smeri gibanja. Masa plavača je 10 g, konstanta k = 5 10 3 N/m. a) Kolikšno hitrost doseže plavač, ko prepotuje 10 cm, če je bil na začetku v ravnovesni legi in miroval. (Ravnovesje je labino, zato že poljubno majhen odmik iz ravnovesne lege povzroči gibanje plavača proč od ravnovesne lege.) b) Koliko časa potrebuje plavač za zadnjo polovico poti? 3. Veliko težji delec privlači lažjega z maso 3 10 28 kg s silo F = K e r/a, K = 100 N, a = 1 fm (= 10 15 m, 1 femtometer). Lažji na začetku miruje daleč proč od težjega. a) Kolikšno hitrost doseže lažji delec, ko se približa težjemu na razdaljo 1 fm? b) Kolikšen čas potrebuje za zadnji femtometer poti? 4. Kolesar s skupno maso 80 kg vozi po vodoravni cesti in ko doseže hitrost 24 km/h, preneha poganjati. a) V kolikšnem času pade njegova hitrost na polovico začetne, če ga ustavlja le zračni upor (trenja ne upoštevamo)? Kolikšno pot napravi v tem času? Prečni presek kolesarja je 0,5 m 2, koeficient upora c u = 1 in gostota zraka 1,25 kg/m 3. (Upor zraka je F u = 1c 2 uρsv 2.) b) Za koliko se skrajša čas, če upoštevamo še trenje, k tr = 0,005? c) Pri rezultatu b) razišči obe limiti, ko je ena od zaviralnih sil znatno večja od druge. Rešitev: a) k = c u Sρ/2m, t = (1/v 1/v 0 )/k = 38,4 s, s = ln(1 + kv 0 t)/k = 177 m; b) a 0 = k tr g, t = ( ) arctg v 0 k/a 0 arctg v k/a 0 / ka0 = 23,5 s, t = 14,9 s. 9

Naloge NDE 2. reda, sinusna nihala 1. Resonančno krivuljo prepiši v brezdimenzijsko obliko y = [(1 x 2 ) 2 + (ax) 2 ] 1/2 in izrazi a z β in ω 0. Skiciraj krivuljo za nekaj značilnih vrednosti a. Poišči maksimum. Pri kolikšnem a izgine resonančni vrh? Določi širino krivulje na polovični višini za a 1. 2. Na mirujoče nedušeno harmonično torzijsko nihalo nenadoma začne delovati sinusno nihajoč navor s frekvenco, ki je enaka 9/10 lastne frekvence nihala. Navor začne delovati v trenutku, ko je njegova vrednost največja. Kako niha nihalo? Rešitev: ϕ(t) = M (sin ω 1 t (ω 1 /ω 0 ) sin ω 0 t) /J(ω 2 0 ω 2 1), ω 2 0 = D/J. 3. Na zračni drči miruje voziček z maso 500 g, ki je z vzmetjo s k = 18 N/m pritrjen ob eno krajišče drče. Na voziček sta pritrjena močna magneta, ki ustvarjata zaviralno silo F u = Bv, B = 3 kg/s. Voziček odmaknemo za 20 cm in spustimo. Kolikšen je odmik vozička od mirovne lege 0,3 s po tem, ko smo ga spustili? 4. Na sinusno izmenično napetost 220 V in 50 nihajev na sekundo, priključimo tuljavo z induktivnostjo 2 H in uporom 100 Ω ter kondenzator s kapaciteto 4 µf. Kolikšna je efektivna napetost na kondenzatorju? Rešitev: Û = Û0/ωC R 2 + (ωl 1/ωC) 2 = 896 V. 5. Na zaporedno vezana tuljavo (0,1 H, 10 Ω) in kondenzator (0,5 µf) nenadoma pritisnemo napetost 100 V, ki ostane potem stalna. Kako se spreminja tok? Kako se spreminja napetost na kondenzatorju? Skiciraj oboje. Rešitev: U C = U 0 ( 1 e βt (cos ωt + (β/ω) sin ωt) ), β = R/2L = 50 s 1, ω = 1/LC β 2 = 4,47 10 3 s 1. 6. Kondenzator s kapaciteto C = 1µF nabijemo na napetost 24 V in zaporedno vežemo z upornikom za 10 Ω in dušilko za 0,1 mh. a) Kako se spreminja tok v vezju od trenutka, ko elemente sklenemo? (Upoštevaj, da zaradi dušilke tok v vezju ne more trenutno narasti na končno vrednost.) a) Kako pa se spreminja napetost na vezju, če elemente priključimo vzporedno? Rešitev: a) I = I 0 sin ω te βt, β = R/2L = 5,0 10 5 s 1, ω = (LC) 2 β 2 = 8,6 10 4 s 1, I 0 = U 0 /ω L = 2,8 A; b) U = U 0 (cos ω t (β/ω ) sin ω t)e βt. 7. Dušilko (0,5 H, 100 Ω) priključimo na omrežno napetost (U ef = 220 V, frekvenca 50 s 1 ) v trenutku, ko je napetost ravno enaka nič. Kakšen je časovni potek toka v dušilki? 8. Na zaporedno vezana tuljavo (0,1 H, 60 Ω) in kondenzator (40 µf), na katerem na začetku ni bilo naboja, pritisnemo napetost, ki linearno narašča s časom, tako da v 1 s sekundi naraste od 0 do 100 V. a) Brez računanja skiciraj časovni potek toka v vezju in napetosti na kondenzatorju. b) Izračunaj, kako se spreminja tok. c) Izračunaj še napetost na kondenzatorju in na dušilki. 10

9. Majhno kroglico, obešeno na 1 m dolgi lahki vrvici, odklonimo za kot 5 iz mirovne lege in sunemo s hitrostjo 0,2 m/s proti mirovni legi. Kako kroglica niha? Nariši graf (ne pozabi na enote). Kolikšna je amplituda nihanja? Kolikšen je fazni premik glede na nihanje kroglice, ki bi jo spustili hkrati s prvo (torej z začetno hitrostjo 0)? Namig: Rešitev naloge prepiši v obliko s 0 cos(ωt+δ). Rešitev: ω = s 0 = (ϕ 0 l) 2 + (v 0 /ω) 2 = 0,108 m, δ = arctg (v 0 /ωϕ 0 l) = 0,63. g/l = 3,16 s 1, 10. Kroglico iz jekla z gostoto 7,6 g/cm 3 in radijem 0.5 cm obesimo na vzmet s konstanto 0,04 N/m in potopimo v tekočino z viskoznostjo 0,1 kg/ms. a) Zapiši časovi potek nihanja, če ob t = 0 nihalo v mirovanju sunemo s hitrostjo 15 cm/s. b) Kolikšna je amplituda nihanja po dolgem času, če nihalo vzbujamo s silo F (t) = F 0 cos ωt, F 0 = 1 N in ω = 4 s 1? Rešitev: a) s(t) = Be βt sin ω 0t, ω 0 = 2,93 s 1, β = 1,2 s 1, B = 5,11 cm, b) s = 19,6 cm. 11. Kroglico iz jekla z gostoto 7,6 g/cm 3 in radijem 0,5 cm obesimo na vzmet s konstanto 0,04 N/m. Na kroglici je naboj 10 9 As. Kroglico povlečemo navzdol za 5 cm in spustimo. Ko doseže mirovno lego, vključimo časovno konstantno in prostorsko homogeno električno polje z jakostjo E = 10 5 V/m, ki ima enako smer kot težni pospešek. Pokaži, da po vklučitvi električnega polja lahko zapišemo nihanje v obliki x = A cos(ωt + δ) + C in izračunaj parametre A, C, ω in δ. Rešitev: ω = 3,16 s 1, A = 5,6 cm, C = 2,5 cm, δ = 63,5. 12. Na stojalu je na lahki vrvici z dolžino 1 m obešena kroglica. Stojalo nenadoma premaknemo za 5 cm. Kako zaniha kroglica, če je na začetku mirovala? V trenutku, ko ima kroglica navečjo hitrost in se giblje v smeri proti prvotni mirovni legi, stojalo hitro premaknemo nazaj v prvotni položaj. Kako sedaj niha kroglica? Rešitev: s = s 0 (1 cos ωt), ω = g/l, s 0 = 5 cm; s = s 0 (cos ωt sin ωt). 13. Na navpični vzmeti s konstanto k = 10 N/m je obešena kilogramska utež. Utež niha z amplitudo 0,2 m. Ko je vzmet najbolj skrčena, pričnemo zgornje krajišče vzmeti nenadoma premikati z enakomerno hitrostjo 0,3 m/s navpično navzgor. S kolikšno amplitudo niha nihalo med premikanjem? Rešitev: s 0 = 22 cm. 14. Na 2 m dolgi lahki in togi vrvici je obešena utež. Zgornje krajišče vrvice začnemo nenadoma premikati z enakomerno hitrostjo 0,5 m/s v vodoravni smeri. Za koliko se v 1 s premakne utež, če na začetku miruje. Rešitev: s(t) = v 0 (t sin ωt/ω) = 0,32 m. Seminarske naloge (2007/2008) 1. Voziček z maso 500 g je na vodoravni zračni drči z dvema vzmetema pričvrščen na krajišči drče. Na voziček so pritrjeni močni magneti, ki poskrbe za dušenje. Voziček zanihamo in izmerimo nihajni čas 1,0 s. Pri tem se amplituda po enem nihaju zmanjša na desetino začetne. a) Izračunaj lastno frekvenco ω 0 in koeficient dušenja β. 11

b) Kolikšna je amplituda nihanja po dovolj dolgem času, če na voziček deluje harmonična sila F = F 0 sin ωt, ω = 8 s 1, F 0 = 1 N? 2. Na stojalu je na lahki vrvici z dolžino 1 m obešena kroglica. Stojalo nenadoma premaknemo za 5 cm. Kako zaniha kroglica, če je na začetku mirovala. Po 1,5 s stojalo ponovno premaknemo za 5 cm v isti smeri. Kako sedaj niha kroglica? Celotni časovni potek prikaži grafično. 3. V roki držimo vzmet s koeficientom 100 N/m. Na drugem krajišču je obešena utež z maso 1 kg. Prvo krajišče pričnemo periodično pozibavati v navpični smeri. Gibanje roke opišemo kot s 0 sin ωt s (krožno) frekvenco ω, ki je enaka 9/10 lastne (krožne) frekvence nihala, in s 0 = 3 cm. a) Zapiši enačbo za gibanje uteži, če ni upora. b) Izračunaj časovni potek nihanja uteži. c) Kolikšno amplitudo doseže utež po zelo dolgem času, če predpostavimo zelo majhno, a vendarle končno dušenje? 4. Na mirujoče nedušeno nihalo na vijačno vzmet z maso m = 100 g in konstanto k = 10 N/m prične delovati konstantna sila F = 1 N. a) Zapiši in skiciraj, kako niha nihalo, če sila preneha delovati po času, ki je ravno enak polovičnemu nihajnemu času nihala. b) Ali je mogoče nihalo zaustaviti tako, da silo prekinemo po določenem času? Kolikšnem? c) Pokaži, da za sunek sile, ki jo je nihalo prejelo v času delovanja sile (t 1 ) v primerih a) in b), velja F t 1 = k t 1 0 s(t) dt. 5. Na zaporedno vezana tuljavo (0,1 H, 50 Ω) in kondenzator (0,5 µf), na katerem na začetku ni naboja, nenadoma pritisnemo konstantno napetost 100 V. Čez 4 ms napetost izključimo. Kako se spreminja tok v vezju? Kako se spreminja napetost na kondenzatorju? Skiciraj oboje. 6. Kako pojema amplituda nihanja, npr. pri nihalu na vijačno vzmet, če je dušenje šibko in če velja kvadratni zakon upora? (Izračunaj, za koliko se zmanjša energija nihala ob vsakem nihaju, tako da upoštevaš, da se nihanje le malo loči od sinusnega.) 12

Naloge sklopljena nihala 1. Na telo z maso m 1 = 4 kg, ki visi na vzmeti s konstanto k 1 = 18 N/m, obesimo preko vzmeti s konstanto k 2 = 14 N/m drugo telo z maso m 2 = 7 kg. Določi lastna nihanja sistema. Kako sistem niha, če na začetku potegnemo drugo telo za 2 cm iz mirovne lege, prvo telo držimo v mirovni legi in nato obe telesi spustimo? Rešitev: ω 1 = 1 s 1, ω 2 = 3 s 1, s 1 = A cos ω 1 t + C cos ω 2 t, s 2 = 2A cos ω 1 t 2C/7 cos ω 2 t, A = C = 14/16 cm. 2. Na telo z maso m 1 = 3 kg, ki visi na vzmeti s konstanto k = 100 N/m, obesimo preko enake vzmeti drugo telo z maso m 2 = 2 3 m 1 = 2 kg. a) Določi lastne frekvence sistema. b) Določi razmerje amplitud pri prvem in pri drugem lastnem nihanju. c) Kako moramo izbrati začetne pogoje, da dobimo prvo lastno nihanje, in kako, da dobimo drugo? Odgovori z besedami na podlaga rezultata pri b). 3. Določi lastna nihanja sistema dveh teles z masama po 2 kg na zračni drči, ki sta med seboj povezani z vzmetjo s konstanto 7 N/m, z vzmetema s konstantama po 18 N/m pa vsako na svoje krajišče drče. Kako nihata nihali, če na začetku levo nihalo izmaknemo iz mirovne lege za 20 cm v levo, drugo nihalo pa sunemo v desno, tako da ima na začetku hitrost 1,2 m/s. 4. Poišči lastna nihanja molekule CO 2. V približku obravnavamo sistem kot enodimenzionalno verigo O C O, ki lahko niha le v vzdolžni smeri. a) Določi elastično konstanto k, ki ustreza vezi C O, če sta izmerjeni frekvenci longitudinalnih nihanj 3,998 10 13 Hz in 7,042 10 13 Hz. Atomska masa O je 16, C pa 12 osnovnih enot; osnovna enota je 1,660 10 27 kg. Rešitev: ω 2 1 = k/m O, ω 2 2 = k(2m O + m C )/m O m C, ω 3 = 0, ω 2 /ω 1 = 1,91, eksp.: 1,76; k = m O ω 1 = 1700 N/m b) Za koliko % se spremeni razmerje (dveh neničelnih) lastnih frekvenc, če C 12 nadomestimo z izotopom C 14? 5. Na zračni drči mirujeta telesi z masama 200 g in 400 g, ki sta povezani z vzmetjo s k = 1 N/m. Tretje telo z maso 200 g se giblje s hitrostjo 1 m/s in popolnoma neprožno trči z lažjim telesom, tako da po trku ostaneta sprijeta. Opiši gibanje sistema teles po trku. Trk je bil zelo kratkotrajen. Rešitev: s 1 = B sin ωt + v t, s 2 = B sin ωt + v t, ω 2 = k(m 1 + m 2 + m 3 )/(m 1 + m 3 )m 2 = 5,0 s 2, v = m 3 v 0 /(m 1 + m 2 + m 3 ) = 0,25 m/s, B = v 0 /4ω = 11 cm. 6. Preveri, da neskončno verigo sklopljenih nihal reši tudi nastavek za stoječe valovanje. Seminarske naloge (2007/2008) 1. Na telo z maso m 1 = 3m, ki visi na vzmeti s konstanto k, obesimo preko enake vzmeti drugo telo z maso m 2 = 2m (k = 24 N/m, m = 1 kg) a) Določi lastne frekvence sistema (ω 2 izrazi z razmerjem k/m). b) Kako nihata telesi, če na začetku prvo telo miruje v svoji mirovni legi, drugo pa odmaknemo za x 0 = 10 cm iz njegove mirovne lege in spustimo? 13

2. Iz dveh tankih metrskih palic in dveh kilogramskih uteži, ki ju obesimo na konca palic, sestavimo dve enaki nihali. Uteži zvežemo s tanko napeto vijačno vzmetjo s k = 0,1 N/m. Za koliko % se razlikujeta lastna nihajna časa takšnega sestavljenega nihala? Kakšno nihanje dobimo, če sunemo eno od obeh nihal, ki prvotno mirujeta. 3. Enako kot prejšnja naloga le da na začetku levo nihalo odmaknemo za 4 v levo, desno pa za 3 v desno. Kako pa nihali nihata, če levo odmaknemo za 5 v desno in spustimu, desno pa hkrati sumemo s hitrostjo 0,3 m/s v desno? 4. Na zračni drči miruje voziček z maso 300 g. Vanj s hitrostjo 0,5 m/s trči drug voziček z maso 200 g in se prožno poveže s prvim preko lahke vzmeti s konstanto 3 N/m. Kako se gibljeta vozička po trku? Kolikšni sta hitrosti vozičkov in kolikšne poti opravita 1 s po trku? 5. Na zračni klopi lebdita telesi z masama po 200 g, ki sta povezani z vzmetjo s k = 1 N/m. Sistem miruje na začetku zračne klopi, tako da se prva utež dotika stene. Drugo utež potisnemo proti steni za 5 cm in sistem spustimo. Kako se telesi gibljeta? (Razmisli, v katerem trenutku smemo zapisati začetni pogoj.) Problem reši še za primer, ko sta masi različni. 6. Na vodoravno zračno drčo postavimo tri vozičke. Srednjega z maso 200 g povežemo z enakima vzmetema s koeficientom 20 N/m s krajnima vozičkoma z masama po 300 g. Določi lastna nihanja sistema (lastne frekvence in razmerja amplitud). Razišči in komentiraj še limito, ko gre masa srednjega vozička proti 0, in limito, ko gre njegova masa preko vse meje. 14

Naloge vektorji 1. Letalo ima v mirnem zraku hitrost 300 km/h. Leti tako, da je obrnjeno natančno proti vzhodu. Veter piha proti severovzhodu s hitrostjo 40 km/h. S kolikšno hitrostjo in v katero smer se giblje letalo? [659 km/h v smeri 4,9 od vzhoda proti severu.] 2. Izračunaj magnetno poljsko jakost v osi krožne zanke. Preveri, da je H dx = I. Rešitev: H = 1 2 Ir2 /(r 2 + z 2 ) 3/2 3. Štirje enaki naboji po 10 8 As so pričvrščeni v ogliščih tetraedra s stranico 10 cm. Izračunaj potencial na zveznici izbranega oglišča in središčem stranske ploskve tetraedra, ki je nasprotna izbranemu oglišču, kot funkcijo razdalje od središča ploskve. Kolikšna je električna poljska jakost na ploskvi in kolikšna v središču tetraedra? 4. Dve vzporedni enaki krožni zanki imata skupno os x. Kolikšna je magnetna poljska jakost na sredini med tuljavama? Kolikšen je tam d 2 H/dx 2? Kolikšno mora biti razmerje razmika in radija tuljav, da je ta odvod nič? [a = 1 2 r] 5. Tri vzporedne enake krožne zanke z radiji po 10 cm imajo skupno os. Razmik med sosednjima zankama je 10 cm. Po zunanjih dveh zankah tečeta tokova po 1 A v isto smer. Kolikšen tok mora teči v srednji zanki, da bo magnetna poljska jakost na sredini zanke enaka 0? [0,71 A] 6. Dva zelo dolga in zelo široka vodoravna bakrena trakova tečeta vzporedno v razmiku 5 cm, tako da sta robova enega traku na roboma drugega. Po trakovih tečeta tokova z gostoto 50 A/cm v nasprotnih smereh. Kolikšna je jakost magnetnega polja v točkah, ki ležijo na sredini med trakovoma? 7. Žice potekajo po robovih dolge pravilne tristrane prizme v razmiku 1 m. Po njih tečejo tokovi po 100 A v isti smeri. Določi silo na dolžinsko enoto, ki deluje na vsako žico zaradi drugih dveh. Kolikšna je rezultanta sil? 8. Enako kot prejšnja naloga, le da je na žice priključena trifazna napeljava z amplitudo toka po 100 A. 9. Iz osnov fizike poznaš potencial in jakost polja točkastega naboja v praznem prostoru: U = e/4πε 0 r, E = e r/4πε0 r 3. Kakšno pa je polje dveh enakih točkastih nabojev? Nariši silnice in ekvipotencialne ploskve. Naredi isto še za nasprotno enaka naboja. 10. Reši podoben problem kot za prejšnji za naboja na dolgih vzporednih žicah. 11. Izračunaj magnetno poljsko jakost v središču kvadratne tokovne zanke. 15

12. Izračunaj magnetno polje enakomerno nabite krožne plošče z radijem R in površinsko gostoto naboja σ, ki se vrti okoli geometrijske osi s frekvenco ν, a) v središču plošče, b) v osi plošče, na razdalji z od središča. Namig: Krožeči naboj ustvarja tok I = eν. Rešitev: a) H = σπrν = eν/r, b) H = σνπ ( (R 2 + 2z 2 )/ R 2 + z 2 2z ). 13. Izračunaj gostoto magnetnega polja v središču kocke s stranico 10 cm, če po robovih zgornje in robovih spodnje osnovne ploskve tečeta tokova po 1 A. Tokova tečeta v isto smer. Rešitev: B z = 4µ 0 I/π 3a = 0,92 10 5 T. 14. Po stranicah enakostraničnega trikotnika s stranico a = 10 cm teče tok 1 A. a) Določi vektor jakosti magnetnega polja v središču trikotnika. b) Določi vektor jakosti magnetnega polja v točki, ki s tremi oglišči trikotnika tvori tetraeder. Rešitev: (a) H z = 9I/2πa, b) H z = I/2 3πa) 15. Izračunaj električni potencial in električno poljsko jakost, ki jo na osi x povzroča naboj +e, enakomerno razmazan v intervalu 1l < x < 1l. Preveri, da dobiš 2 2 pričakovana izraza za x l. Pokaži, da je v bližini krajišča (x 1 l + ɛ), poljska 2 jakost pada obratno sorazmerno z razdaljo od krajišča. Rešitev: U(x) = (e/l)(1 + l/2x)/(1 l/2x), U(x l) = e/x, E x (x) = e/(x 2 (l/2) 2 ). Seminarske naloge (2007/2008) 1. Vodnik, po katerem teče tok I, je napeljan po polovici oboda kroga z radijem r. a) Na skici, na kateri je jasno označena smer toka, nariši vektor magnetnega polja v središču kroga in v točki, ki je od središča oddaljena približno za r in leži na osi, ki gre skozi središče kroga in je pravokotna na ravnino, v kateri leži krog. (Nalogo reši brez računanja.) b) Kolikšna je magnetna poljska jakost v osi na poljubni oddaljenosti (z) od od središča kroga? c) Kolikšen kot tvori vektor magnetnega polja z osjo? 2. Izračunaj potencial in električno poljsko jakost v središču kroga z radijem r, če je naboj +e enakomerno razmazan po polovici oboda. Na skici jasno označi smer električne poljske jakosti. 3. Po plašču votlega valja z radijem R = 5 cm in višino h = 10 cm, je enakomerno razmazan naboj e = 10 8 As. Izračunaj potencial v središču valja. (ε 0 = 8, 9 10 12 As/Vm.) 4. Kako je magnetna poljska jakost v osi kvadratne tokovne zanke odvisna od razdalje od ravnine zanke? 5. Izračunaj magnetno poljsko jakost v osi tuljave tankim navitjem. Na sredini dobiš H = NI/ l 2 + (2r) 2. Preveri, da je H dx = I. 6. Žica s tokom je zvita v dolgo vijačnico. Kolikšna je magnetna gostota v osi? 16

7. Zapiši električni potencial kolobarja z radijema r 1 in r 2, r 1 > r 2, na katerem je enakomerno razmazan naboj s ploskovno gostoto σ: a) v središču kolobarja, b) v geometrijski osi kot funkcijo oddaljenosti od središča, z. c) Izračunaj še električno poljsko jakost na osi. d) Pokaži, da v veliki oddaljenosti, z r 1, dobimo izraz za točkasti naboj, U(z) = e/4πε 0 z, če je e naboj na kolobarju. 8. Proton z osnovnim nabojem e 0 = 1,602 10 19 As in maso m p = 1,673 10 27 kg se prosto giblje po zveznici med jedroma C in O v razmiku 1 nm z nabojema 6 e 0 in 8 e 0. a) Poišči točko (mirovno lego), v kateri je potencialna energija protona minimalna. b) Potencialno energiji razvij v vrsto po majhnih odmikih od mirovne lege (do prvega netrivialnega člena). c) Na podlagi rezultata pod b) izračunaj klasično frekvenco nihanj protona za majhne odmike od mirovne lege. 17

Naloge gradient, divergenca, rotor Gradient 1. Izračunaj grad r, če je r razdalja od izhodišča. Podobno izračunaj še grad f(r). 2. Izračunaj električno poljsko jakost v osi enakomerno naelektrene tanke krožne zanke tako, da najprej izračunaš potencial. Poskusi tudi z direktnim izračunom poljske jakosti. Rešitev: U = e/4πε 0 r 2 0 + z 2, E = (e/4πε 0 ) z/(r 2 0 + z 2 ) 3/2 3. Izračunaj in s sliko prikaži potek silnic in ekvipotencialnih ploskev okrog točkastega električnega dipola (dveh nasprotnih nabojev na razdalji d, p = e d, d r). Električno poljsko jakost izračunaj direktno in kot gradient potenciala. Rezultat za prazen prostor: U = [ p r 4πε 0 r, E 1 3( p r) r = p ] 3 4πε 0 r 5 r 3 4. Zapiši vzgon v tekočini v centrifugalnem polju. [F = ρω 2 V r ] Divergenca 5. Verificiraj za polje točkastega naboja, da je div D = 0. 6. Podobno kot prejšnja naloga za polje enakomerno naelektrene ravne žice in za polje enakomerno naelektrene ravnine. 7. Pokaži, da velja ( r/r) = 2/r. 8. Pri najpreprostejšem modelu za notranjost Zemlje si predstavljamo homogeno kroglo s konstantno gostoto energijskih izvirov q. Če privzamemo, da je stanje stacionarno, dobimo gostoto toplotnega toka, ki pri radiju r teče navzven, iz skupne moči izvirov do tega radija: j = 4 3 πr3 q/4πr 2 = 1 rq. Pokaži, da velja kontinuitetna enačba. 3 Rotacija 9. Med planparalelnima ploščama se giblje viskozna tekočina. Izračunaj rotacijo polja. (Zapiši hitrostni profil tekočine za primer, ko se zgornja plošča giblje s konstantno hitrostjo, poišči komponente hitrosti in izračunaj rot v) 10. Po ravni žici teče enosmeren tok. Zapiši magnetno polje znotraj in zunaj žice ter preveri, da je zunaj rot H = 0, znotraj pa rot H = j e. 11. Magnetno polje znotraj vodnika z radijem R = 1 cm ima komponente ( ) H x = A 1 r2 y, 2R 2 ( ) H y = A 1 r2 x, H 2R 2 z = 0, 18.

če je A = 10 4 A/m 2 in je r = x 2 + y 2 razdalja od osi vodnika. a) Izračunaj, kako se z radijem r spreminja gostota toka v vodniku. b) Kolikšen je celotni tok, ki teče v vodniku? c) Zapiši komponente magnetnega polja zunaj vodnika. (Vprašanji pri b) in c) lahko odgovoriš brez poznavanja odgovora na vprašanje pod a).) Rešitev: a) j z = 2A(1 r 2 /R 2 ), b) I = πr 2 A = 3,14 A, c) H 0 = R 2 A/2r, H x = H 0 y/r, H y = H 0 x/r, H z = 0. Gradient Seminarske naloge (2007/2008) 1. Na sredi daljice z dolžino 2l sedi naboj 2e, na krajeh pa naboja +e, tako da je celotni naboj 0. Kakšno je polje v veliki oddaljenosti? Računaj, kot da je l zelo majhen, e pa velik, tako da je kvadrupolni moment q = 2el 2 končen. Nariši silnice. Divergenca 2. V elektronki s planparalelnima elektrodama je potencial takole odvisen od razdalje x od katode: U(x) x 4/3. Kako je s poljsko jakostjo in gostoto naboja? 3. Zapiši magnetno polje dolgega ravnega vodnika in preveri, da je div B = 0. Rotacija 4. Magnetno polje znotraj vodnika z radijem R = 1 cm ima komponente H x = A ry R, H 2 y = A rx R, H 2 z = 0, če je A = 10 4 A/m in je r = x 2 + y 2 razdalja od osi vodnika. a) Izračunaj, kako se z radijem r spreminja gostota toka v vodniku. b) Kolikšen je celotni tok, ki teče v vodniku? c) Zapiši komponente magnetnega polja zunaj vodnika. (Vprašanji pri b) in c) lahko odgovoriš brez poznavanja odgovora na vprašanje pod a).) 5. Vektorski potencial magnetnega polja okoli dolge ravne žice, po kateri teče tok I, zapišemo kot A = µ ( ) 0I 2π ln r0 e I, r pri čemer je r razdalja od žice, r 0 poljubna konstanta in e I enotni vektor v smeri toka. Pokaži, da rotacija polja vodi do znanega rezultata za gostoto magnetnega polja dolge ravne žice. 6. Zapiši hitrostno polje pri viskoznem pretakanju tekočine v valjasti cevi in izračunaj njegovo rotacijo. 7. V nekem vrtincu se vrti voda tako, da je izven stržena rot v = 0. Kako pojema tam hitrost in kotna hitrost z razdaljo od osi vrtinca? Rezultat: v = C/2πr, če je C = v d s. Koeficient C se imenuje cirkulacija. 19

Naloge PDE 1. Izračunaj polje enakomerno nabite krogle z radije R za r < R in r > R na dva načina: iz Gaussovega zakona in z reševanjem Poissonove (Laplaceove) enačbe za U. 2. Enako za polje enakomerno nabite dolge ravne žice z radijem R. 3. Izračunaj polje med ploščama dolgega valjastega kondenzatorja, če poznaš napetosti pri obeh radijih. 4. Gostota električnega naboja znotraj krogle z radijem 10 cm pada linearno z oddaljenostjo od središča in sicer od vrednosti 1 As/m 3 v središču na vrednost 0 na površju krogle. Določi električno polje (potencial in jakost) znotraj in zunaj krogle. 5. Izračunaj temperaturni profil med ploščama kondenzatorja, ki je napolnjen z dielektrikom, če sta plošči pri konstatni temperaturi T 0 in je kondenzator priključen na napetost U 0. Poznaš specifični upor, gostoto in toplotno prevodnost dielektrika. 6. V 1 mm debeli bakreni žici, ki je obdana s talečim se ledom, tako da je na površju T = 0 C, je tok 10 A. Kolikšna je temperatura na sredini? Specifični upor bakra je 0,017 Ωmm 2 /m, toplotna prevodnost 380 W/mK. 7. Bakrena cev z notranjim radijem 2 mm, zunanjim 4 mm, po kateri teče tok 500 A, je znotraj hlajena s tekočo vodo, zunaj pa je toplotno izolirana. Za koliko je temperatura na zunanji površju višja kot na notranji? Drugi podatki so pri prejšnji nalogi. Rešitev: T (r) T (R) = (I 2 ζ/λπ 2 R 2 (1 r 2 /R 2 ) 2 ) (1 r 2 /R 2 + 2(r 2 /R 2 ) ln(r/r)) = 0,013 K 8. Po 10 m dolgi železni cevi z notranjim premerom 5 cm in 3 mm debelo steno teče vrela voda. Cev je obdana s 3 cm debelo plastjo azbestne volne, ki ima toplotno prevodnost 0,1 W/mK. Kolikšen toplotni tok uhaja iz cevi, če je zunaj temperatura 10 C? (776 W) 9. Kolikšna je napetost med središčem in plaščem homogene krogle z radijem R, če je po prostornini krogle enakomerno razmazan naboj z gostoto ρ in a) je dielektričnost snovi, ki napolnjuje kroglo, ε = 3? b) Za koliko se ta napetost razlikuje od primera, ko bi bila dielektričnost snovi ε = 4 za 0 < r < 1 2 R in ε = 2 za 1 2 R < r < R? Ne pozabi: V snovi velja div E = ρ/εε 0. Rešitev: a) U = ρr 2 /18ε 0, b) U = (ρr 2 /6ε 0 )(3/4ε 1 + 1/4ε 2 ) = ρ7r 2 /96ε 0 = (21/16)U(a). 10. V razsežni steni iz snovi s toplotno prevodnostjo 1 W/m 2 in z debelino 20 cm so enakomerno porazdeljeni toplotni izviri z gostoto moči 1000 W/m 3. Steno izoliramo na vsaki strani s 5 cm debelima plastema iz snovi s toplotno prevodnostjo 2 W/m 2. Zunanja temperatura je ves čas 0 C. a) Izračunaj temperaturo na sredini notranje stene. b) Skiciraj temperaturni profil v vseh treh stenah. 20

11. Bakrena cev z notranjim radijem 0,5 mm in zunanjim 1 mm je znotraj toplotno (in električno) izolirana, zunanji plašč pa držimo pri stalni temperaturi. Specifični upor bakra je 0,017 Ωmm 2 /m, toplotna prevodnost 380 W/mK. a) Kolikšen največji električni tok sme teči po vodniku, da temperatura med notranjim in zunanjim plaščem ne preseže 100 K? b) Kolikšna je v tem primeru gostota toplotnega toka, ki jo oddaja zunanji plašč, in kolikšna moč, ki jo moramo odvajati na meter vodnika? 12. Sredica reaktorja v obliki krogle z močjo 1 kw in radijem 1 m ima temperaturo plašča 100 C. Kolikšna je temperatura na sredini reaktorja, če je povprečna toplotna prevodnost 0,2 W/mK? Predpostavi, da so izviri enakomerno porazdeljeni po sredici reaktorja. Kolikšna pa je temperatura zunanjega plašča z radijem 2 m, če prostor med sredico in zunanjim plaščem obliva voda s toplotno prevodnostjo 0,6 W/mK? 13. Kovinsko palico z dolžino 1 m in z radijem 1 mm obdaja cev iz druge kovine z enako dolžino ter notranjim radijem 1 mm in zunanjim radijem 1,5 mm. Med krajiščema je priključena napetost 100 V. Za koliko je temperatura v središču višja od zunanje? Specifični upor notranje kovine je 0,8 Ωmm 2 /m, toplotna prevodnost 300 W/mK, specifični upor zunanje kovine je 1,5 Ωmm 2 /m in toplotna prevodnost 160 W/mK. 14. Gorilni element, v katerem so enakomerno porazdeljeni radioaktivni izviri s močjo 10 kw, ima obliko valjaste cevi z notranjim radijem 5 cm, zunanjim radijem 10 cm in dolžino 1 m. Toplotna prevodnost snovi je 0,2 W/mK. V notranjosti cevi je tekočina s temperaturo 20 C. Obdaja ga izolacijska cev iz snovi z enako toplotno prevodnostjo kot v gorilnem elementu, z notranjim radijem 10 cm (enakim zunanjemu radiju gorilnega elementa) in zunanjim radijem 15 cm, ki jo obdaja voda s temperaturo 20 C. Kolikšna je temperatura na zunanjem plašču gorilnega elementa? [T (r 2 ) = (ln r 3 r 2 /ln r 3 r 1 ) q(2r2ln 2 r 2 r 1 (r2 2 r1))/4λ 2 + T 0, q = P/π(r2 2 r1)l.] 2 15. Kolikšna je temperatura v središču Zemlje, če predpostavimo, da so radioaktivni izviri enakomerno porazdeljeni v zemeljski sredici r < r 1, r 1 = R/2 (R = 6400 km), v plašču med radijem r 1 in površjem pa izvirov ni. Temperaturni gradient tik pod površjem Zemlje je dt/dr = 0,014 K/m. Skiciraj temperaturni profil in ga primerjaj s tistim pri prejšnji nalogi. Rešitev: T (r = 0) = 2R dt/dr + T 0 = 1,8 10 5 K. 16. Med planparalelnimi ploščami z različnima toda stalnima temperaturama je plin, pri katerem je λ T. Kolikšna je v stacionarnem stanju temperatura plina na sredini med ploščama? Vrhnja plošča je toplejša, tako da ni konvekcije. Rešitev: T 3/2 = 1 3/2 (T 2 0 + T 3/2 1 ) Seminarske naloge (2006/2007) 1. Dolgo počrnjeno kovinsko palico z radije 1 cm, toplotno prevodnostjo 100 W/mK ter specifičnim uporom 0,1 Ωmm 2 /m (oba podatka naj bosta neodvisna od temperature) grejemo s tokom. Palica je v vakuumu, tako da oddaja energijo samo s 21

sevanjem. Kako sta temperatura v sredini in na površju odvisni od toka? Prikaži to z diagramoma. 2. Na vsak m 2 razsežne plošče z debelino 10 cm pravokotno pada svetlobni tok z močjo 1 kw. Absorpcijski koeficient snovi je µ = 10 m 1, toplotna prevodnost pa 10 W/mK. Izračunaj temperaturni profil v plošči, če je spodnja stranica toplotno izolirana, zgornja pa ima konstantno temperaturo 20 C. (V plasti z debelino dx se absorbira toplotni tok dp = µp (x)dx, svetlobni tok pa takole pojema z razdaljo P (x) = P 0 e µx.) 3. Kolikšna je temperatura v središču Zemlje, če predpostavimo, da radioaktivni izviri niso enakomerno porazdeljeni v zemeljskem plašču, temveč se njihova gostota linearno povečuje od vrednosti 0 v središču Zemlje do največje vrednosti na površju (R = 6400 km). Temperaturni gradient tik pod površjem Zemlje je dt/dr = 0,014 K/m. 4. V bakrenem vodniku z radijem 1 mm teče viskofrekvenčni tok 1000 A. Porazdelitev po preseku ni konstantna temveč se gostota toka linearno spreminja z razdaljo od osi vodnika. Zunanji plašč vodnika držimo pri stalni temperaturi. Kolikšna je temperaturna razlika med osjo vodnika in njegovim plaščem? Specifični upor bakra je 0,017 Ωmm 2 /m, toplotna prevodnost 380 W/mK. [9I 2 ζ/64π 2 r 2 λ = 0,64 K] 5. Po kovinski cevi s specifičnim uporom ζ = 10 6 Ω/m, toplotno prevodnostjo λ = 1 W/m K, notranjim radijem r 1 = 1 mm in zunanjim radijem r 2 = 3 mm teče tok I = 100 A. Cev je zunaj in znotraj hlajena s tekočo vodo, tako da je temperatura notranjega in zunanjega plašča enaka in znaša T 0 = 20 C. a) Kolikšna je temperatura na sredi cevi (tj. pri radiju 2 mm)? b) Kolikšen toplotni tok odnaša na vsak meter dolžine cevi voda, ki se pretaka znotraj cevi? 6. V krogleni lupini iz snovi z dielektričnostjo ε = 3 z notranjim radije r 1 = 10 cm in zunanjim radijem r 2 = 20 cm je enakomerno razmazan naboj z gostoto 10 6 As/m 3. (ε 0 = 8,9 10 12 As/Vm.) a) Kolikšna je napetost med notranjim in zunanjim plaščem lupine? b) Kolikšnen je potencial v središču krogle, če je v neskončnosti (r ) enak 0? 7. Kolikšna je napetost med središčem in plaščem zelo dolgega valja z radijem R = 10 cm, če je po prostornini valja enakomerno razmazan naboj z gostoto ρ = 10 6 As/m 3 in je dielektričnost snovi ε = 4 za 0 < r < 1 2 R in ε = 2 za 1 2 R < r < R? 8. Kolikšna je temperatura v središču Zemlje, če predpostavimo, da so radioaktivni izviri enakomerno porazdeljeni v zemeljskem plašču med radijem r 1 = R/2 in površjem (R = 6400 km), za r < r 1 pa izvirov ni. Temperaturni gradient tik pod površjem Zemlje je dt/dr = 0,014 K/m. 9. Izračunaj temperaturni profil med ploščama kondenzatorja s ploščino plošč S v razmiku l, skozi katerega teče konstanten tok I. Kondenzator je napolnjen v eni 22

polovici (med eno ploščo in simetrijsko ravnino kondenzatorja) z dielektrikom s toplotno prevodnostjo λ in specifičnim uporom ζ, v drugi polovici pa z dielektrikom z enako toplotno prevodnostjo in specifičnim uporom 2ζ. Plošči sta pri konstantni temperaturi T 0. Kje je temperatura najvišja? Skiciraj temperaturni profil. [ l/2 < x < 0: T 1 = q( 8x 2 + 2lx + 3l 2 )/16λ + T 0, 0 < x < l/2 : T 2 = q( 16x 2 + 2lx + 3l 2 )/16λ + T 0, q = q 1 = q 2 /2 = I 2 ζ/s 2, x max = l/16.] 23

Naloge Maxwellove enačbe, valovna enačba 1. Iz Gaussovega zakona ali kako drugače določi jakost električnega polja za neskončno dolg valj s polmerom R, znotraj katerega je enakomerno razmazan naboj z gostoto ρ. Izračunaj rotacijo polja za r R in r < R ter preveri, če se rezultat ujema z napovedjo ustrezne Maxwellove enačbe. [E x = E x/r, E y = E y/r, E = e/2πε 0 lr, r 2 = x 2 + y 2, rot E = 0.] 2. Pri poševnem prehodu električnega polja iz enega izolatorja v drugi se silnice prelomijo. Ali lahko uvedemo lomni zakon za ta pojav? 3. Iz zakona o magnetni napetosti določi gostoto magnetnega polja v valjatem vodniku z notranjim radijem 1 mm in zunanjim radijem 2 mm, v katerem teče tok 10 A. Izračunaj div B in preveri, če je rezultat skladen z napovedjo ustrezne Maxwellove enačbe. [B x = B y r, B y = B x r, B = µ 0I 0 (r 2 r 2 1)/2π(r 2 2 r 2 1)r, r 2 = x 2 + y 2, div B = 0.] 4. Zapiši za raven potujoči elektromagnetni val E in B kot funkcijo časa in kraja. Pokaži, da iz Maxwellovih enačb sledi E = c B. 5. Pokaži, da lahko valovanje, ki se koncetrično širi iz točkastega zvočila, zapišemo kot u(r, t) = f(t r/c)/r, za poljubno (gladko) funkcijo f. Seminarske naloge (2006/2007) 1. Zapiši izraz za stoječe valovanje (npr. zvočno v cevi) in pokaži, da je rešitev valovne enačbe. Poišči zvezo med amplitudo hitrosti in amplitudo tlačne razlike. Določi še amplitudo odmika in gostote, in zapiši, kako se s krajem in časom spreminjajo hitrost valovanja, odmik delcev, tlačna razlika in gostota plina. 2. Zapiši rešitev za zvočno valovanje z določeno frekvenco, ki se širi iz točkastega zvočila, in sicer za tlak δp (r, t) in za radialno hitrost v r (r, t). Izračunaj amplitudo hitrosti iz amplitude tlačne razlike δp 0 za r λ. Zapiši še formulo za odmik u r (r, t). (Uporabi enačbo ρ v r (r, t)/ t = grad δp (r, t)). 3. Kot naloga 4 zgoraj le za stoječe EM valovanje. Pri 4. nalogi izračunaj še časovno povprečje Pointingovega vektorja S = E B in pokaži, da je enako povprečni energijski gostoti, pomnoženi s svetlobno hitrostjo. 24

Naloge Tenzorji 1. Pokaži, da transformacija tenzorja pri rotaciji koordinatnega sistema ohranja morebitno simetrijo tenzorja (npr. simetrični ostane simetričen), ter da se komponente izotropnega tenzorja ne spreminjajo. 2. Telo je sestavljeno iz dveh enakih krogel, ki se dotikata. Radij ene krogle je 10 cm in masa 3 kg. Telo se vrti s kotno hitrostjo ω = 10 s 1 okoli osi, ki gre skozi težišče sistema in tvori z zveznico središč krogel kot 60. a) Kolikšen kot tvori vrtilna količina z osjo vrtenja? b) Kolikšen je vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja? Rešitev: a) ϕ = 20,6, b) 23mr 2 /10 = 0,069 kgm 2. 3. Enak problem kot zgoraj: Homogena lesena krogla z radijem R = 20 cm in maso M = 20 kg, je prebodena z jekleno palico z dolžino l = 4R in maso m = 1 kg, tako da središči krogle in palice sovpadata. Telo se vrti s kotno hitrostjo ω = 10/s okoli osi, ki tvori s palico kot 60. 4. Na kovinski plošči, ki ima temperaturo 100 C, leži 5 cm debela lesena deska, ki je rezana s kotom 30 glede na vlakna. Na zgornjo ploskev deske je pritisnjena 5 mm debela plast ledu. V kolikšnem času se stali ves led? Toplotna prevodnost lesa vzdolž vlaken je 0,35 W/mK, v prečnih smereh pa 0,14 W/mK. 5. Kristal kalcita ima v smeri optične osi dielektričnost 7,56, v pravokotnih smereh pa 8,49. Kako stoji vektor D, če oklepa poljska jakost z optično osjo kot 45? 6. Neka anizotropna snov ima glavne dielektričnosti ε 1 = 1,5, ε 2 = 2,5 in ε 3 = 3. V snovi ustvarimo takšno električno polje, da oklepa E enake kote z vsemi tremi glavnimi smermi. Kolikšen kot oklepata vektorja E in D? 7. Telo je sestavljeno iz lesene krogle z radijem R = 20 cm in maso M = 20 kg, na katero je nasajen kovinski obroč z maso 3 kg, tako da se obroč tesno prilega kroglinemu ekvatorju. Debelina obroča je zanemarljivo majhna. Telo se vrti s kotno hitrostjo ω = 10 s 1 okoli osi, ki gre skozi težišče sistema in tvori s simetralo obroča (in krogle) kot 60. a) Kolikšen kot tvori vrtilna količina z osjo vrtenja? b) Kolikšen je vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja? 8. Enakostraničen homogen valj se vrti okoli diagonale osnega preseka. Kolikšen kot oklepata ω in Γ? Kolikšen je vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja? 9. Iz dveh ravnih palic, prve z maso 200 g in dolžino 20 cm in druge z maso 100 g in dolžino 10 cm naredimo pravokoten križ, tako da zvarimo njuni središči. Telo vrtimo okoli osi skozi težišče, ki je pravokotna na krajšo palico, z daljšo pa tvori kot 30. Kolikšen kot tvori vrtilna količina telesa z osjo? Kolikšen je vztrajnostni moment telesa okoli osi vrtenja? [49,1, m 2 l 2 2/4] 25