Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 5ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Διανυσματικά Πεδία Επικαμπύλια Ολοκληρώματα Επιμέλεια: Ι. Λυχναρόπουλος. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c το δεξιό ημικύκλιο x + = 6 α) κινούνοι κατά την φορά των δεικτών του ρολογιού και β) κινούνοι κατά την αντίθετη φορά Έστω f ( x, ) = x α) H παρατροποίηση της καμπύλης θα είναι x = cost π π rt :, t = sin t r'( t) = sin t, cos t r'( t) = ( sin t) + ( cos t) = 6 = f rt = cos t( sin t) = costsin t π π π I = x ds = f ( r ( t)) r '( t) dt = cost sin t dt = 96 sin t d(sin t) = π π π π π π π = 96 96 96 = = = 5 5 5 5 5 5 π / β) H παρατροποίηση της καμπύλης θα είναι x = cost π π rt :, t = sin t r'( t) = sin t, cos t r'( t) = ( sin t) + (cos t) = 6 = / 5 5 5 5 5 π sin sin sin sin sin t 89

f rt t t t t ( ) = cos (sin ) = cos sin π π I = x ds = f ( r ( t)) r '( t) dt = cost sin t dt π π Καταλήξα στο ίδιο ολοκλήρωμα όπως και την πρώτη παρατροποίηση, 89 επομένως το αποτέλεσμα είναι το ίδιο (όπως ήταν ανανώνο) : I = 5. Να υπολογιστεί το ολοκλήρωμα I = x ds, όπου c η καμπύλη του σχήματος:..5. x =.5.5 = x Έστω f( x, ) = x Η καμπύλη c αποτελείται από τμήματα. = : c ( t) = ( t), + t, = + t,, t = x : c ( t) = tt,, t x = : c ( t) = ( t), + t, =, t, t Θα ολοκληρώσου πάνω σε κάθε ένα τμήμα ξεχωριστά και θα είναι: I = = + + Για το πρώτο ολοκλήρωμα έχου: c'( t) =,, c'( t) = f ( c ( t )) = ( + t ) = ( + t ) ( ) 6( ) 6( ) = x ds = + t dt = + t dt = t t + t dt = t t t = 6 + t = 6 Για το δεύτερο ολοκλήρωμα έχου: c'( t) =, t, c'( t) = + 9t f ( c () t ) = t.

x ds t 9t dt ( 9t ) d ( 9t ) ( 9t ) / / = + = + + = 9 7 + = / = ( ) 7 Για το τρίτο ολοκλήρωμα έχου: c'() t =,, c'() t = f c () t = = x ds = dt = 8dt = 8[ t] = 8 Επομένως I = = + + = 6 + + 8 = 8 + 7 7 / /. Αν F( x,, ) = x, x, x να υπολογίσετε τα divf, curlf To διανυσματικό πεδίο γράφεται ως Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M ( x,, ) = x N( x,, ) = x P( x,, ) = x Έτσι έχου divf( x,, ) = F( x,, ) = M x + N + P = + x x Επίσης curlf = P N, M P, N M = x x, x ( ),x x = x x = x x, x +,x x. Αν F = iˆ+ x ˆj + x kˆ, δείξτε ότι το πεδίο είναι συντηρητικό και υπολογίστε τη συνάρτηση δυναμικού. Υπολογίστε την κυκλοφορία του F κατά μήκος της καμπύλης x + = To διανυσματικό πεδίο γράφεται ως Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M ( x,, ) = N( x,, ) = x P( x,, ) = x

H F ορίζεται σε όλο το (απλά συνεκτικό χωρίο). Επίσης είναι curlf = P N, M P, N M = x x,, =,, x x άρα το πεδίο είναι συντηρητικό. Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού f έχου f x = () f = F f = x () f = x () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = dx = x + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = x + (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f = x + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = x + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f ( x,, ) = x + c () Επειδή το χωρίο είναι απλά συνεκτικό, το πεδίο συντηρητικό, η συνάρτηση F είναι συνεχής συνεχείς πρώτες παραγώγους στο χωρίο και επίσης ολοκληρώνου σε κλειστή καμπύλη, θα είναι: F T ˆ ds = 5. Δείξτε ότι για οποιοδήποτε βαθμωτή συνάρτηση f( x,,, ) συνεχείς μικτές δεύτερες παραγώγους, ισχύει η ταυτότητα curl ( f ) = Έχου

F = f = f, f, f = M, N, P M = f N = f x x P= f Επομένως curlf = P N, M P, N M = f f, f f, f f =,, x x x x x x 6. Αν F= M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) και οι Μ,Ν,P έχουν συνεχείς μικτές δεύτερες παραγώγους, δείξτε την ταυτότητα div( curlf ) = Έχου F = f = f, f, f = M, N, P M = f N = f x x P= f curlf = P N, M P, N M x x Επομένως div( curlf) = ( P N ) + ( M Px) + ( N x M ) = x = P N + M P + N M = x x x x F T ds για F =,, επί της έλικας: rt = cos t,sin t, t, t π (Απ. -9π) 7. Υπολογίστε το ( ) Θα χρησιμοποιήσου τη σχέση t F T ds = F r () t r '() t dt t Είναι: r'( t) = sin t, cos t, Έτσι παίρνου π π F T ds = sin t,,t sin t sin t,cos t, dt = sin t + 9t sin t dt = π π = sin t dt + 9 t sin t dt Για τον υπολογισμό του π sin t dt έχου 5

sin t dt = ( cos( t)) dt = dt cos( t) dt = t cos( t) d( t) = t sin( t) + c Για τον υπολογισμό του π t sin t dt εφαρμόζου ολοκλήρωση κατά παράγοντες: Παραγώγιση (u) Ολοκλήρωση (dv) t + sin t - cost sin t tsin( t) dt = tcost+ sin t+ dt+ c= tcost+ sin t+ c Επομένως τελικά έχου π π F T ds = t sin( t ) + 9 [ t cos t + sin t] dt = = ( π) sin( π) () sin() + + 9 ( ( π) cos( π) + sin( π) ) ( () cos() + sin() ) = = π 8π = 9π 8. Υπολογίστε το I = dx + d xd όπου c το ευθύγραμμο τμήμα ταξύ των σηίων (,,-) και (,,) (Απ. /) r ( t) = ( t) A + tb = ( t),, + t,, = + t, t + t, + t + t rt = t, + t, + t, t x() t = t, dx = dt () t = + t, d = dt () t = +, t d = dt [ ( ) ] I = dx + d xd = + t + + t t dt = t = [ + t + t t] dt = t dt = = = 9. Υπολογίστε το έργο που εκτελεί η δύναμη F = x,, x τακινώντας ένα αντικείνο πάνω στην καμπύλη rt () = tt,, t για t (Απ. 7/8) t F T ds = F r () t r '() t dt t + 6

r'( t) =, t, t F r() t = tt, t t, tt = t, t, t 5 5 6 6 F T ds = t, t, t, t, t dt = t + t + t dt = 6 = + = t 5t dt 7 t t 5 7 = + 5 7 = + = 7 8. Υπολογίστε την εξερχόνη ροή του πεδίου καμπύλης x ( ˆ ) + = 9 (Απ. ) F n ds = M d N dx M = x N = Fx (, ) = x, δια μέσου της = 7 cost c :, t π = 7sin t dx = 7sin t dt d = 7 cost dt π π ( F nˆ ) ds = 7 cos t(7 cos t) 7 sin t ( 7 sin t) dt = 7 ( cos t + sin t) dt () Για τον υπολογισμό του π cos t dt έχου: cos t dt = cos t cost dt = sin t cost dt = costdt sin tcostdt sin t sin td(sin t) = = = sin t = sin t + c Αντίστοιχα για τον υπολογισμό του π sin t dt έχου: sin t dt = sin t sin t dt = cos t sin t dt = sin tdt sin tcos tdt cost cos td(cos t) = = + = cos t = cost+ + c 7

Έτσι η () τελικά δίνει: π π sin t cos t F nˆ ds = 7 sin t + 7 cost + =. Επαληθεύστε την εφαπτονική και την κάθετη μορφή του θεωρήματος Green για F = x, στο χωρίο ενός κυκλικού δίσκου ακτίνας κέντρο την αρχή των αξόνων. To χωρίο R είναι απλά συνεκτικό και το πεδίο F = x, = M, N καθώς και οι πρώτες του παράγωγοι είναι συνεχείς στο R. Επίσης το σύνορο R είναι κατά τμήματα λεία καμπύλη. Επομένως το θεώρημα Green ισχύει και γράφεται ως: N M Mdx + Nd = da () x R R Θα υπολογίσου πρώτα το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα. Tο σύνορο R αποτελείται από την καμπύλη = cost :, t π () = sin t dx = sin t dt () d = cost dt Θα είναι π [ cos ( sin ) sin cos ] Mdx + Nd = t t + t t dt = π π sin t = sin tcostdt= sin td(sin t) = = π () Θα υπολογίσου τώρα το διπλό ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους της () N M Είναι = = (9) x Έτσι N M da = da = x () R R Παρατηρού ότι καταλήξα στο ίδιο αποτέλεσμα. Επομένως επαληθεύσα το θεώρημα Green. H κάθετη μορφή του θεωρήματος Green γράφεται ως: M N Md Ndx = + da x R 8

Υπολογίζου αρχικά το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του αριστερού μέλους: π [ cos cos sin ( sin )] Md Ndx = t t t t dt = π π ( cos sin ) ( cos ( cos )) = t + t dt = t + t dt = π π ( cos ( cos )) ( cos ) = t + t dt = + t dt Επειδή όμως cos t d = ( + cos( t)) dt = cos cos sin c dt + t dt t t d t t t = + = + + θα είναι τελικώς π π π π cos [ ] sin Md Ndx = dt + tdt = t + t + t = = π + π + sin( π) sin() = 5π Θα υπολογίσου τώρα το διπλό ολοκλήρωμα του δεξιού μέλους M N + da = + da = 5 da x R R R Σε πολικές συντεταγμένες θα έχου R π π M N r π + da = 5r drdθ = 5 r dr dθ = 5 [ θ] 5 ( π) 5π x = =. Να υπολογισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I = dx x d, όπου c είναι η περίτρος του τετραγώνου x + = που διαγράφεται κατά την ορθή φορά. (Απ. -) c : x+ = c : x+ = c : x = c : x = c..5.5. c..5.5 c c. I = + + + c c c c 9

() = t c :, t dx = dt () = t d = dt c dx x d = t ( ) ( t) () dt = ( + t t ) dt = t t = + t = + = () = t c :, t dx = dt () = t d = dt c ( ) dx x d = ( t) ( ) t ( ) dt = ( t) ( ) t ( ) dt = = + t t dt = () = t c :, t dx = dt () = t d = dt dx x d = ( t) () ( t ) ( ) dt = ( + t t ) dt = c () = t c :, t dx = dt () = t d = dt dx x d = ( t ) () ( t) () dt = ( + t t ) dt = c I = + + + = = c c c c

. Με τη βοήθεια κατάλληλων επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων να υπολογίσετε το εμβαδό του χωρίου x R= ( x, ) : x + 5, + (Απ. π) 6 9 6 c c c 6 6 6 E = E E E = xd dx c E = xd dx c = 5cost c :, t π = 5sin t dx = 5sin t dt d = 5cost dt π π π 5 5 E = [ 5cos 5cos 5sin ( 5sin )] cos sin 5 t t t t dt = t + t dt = dt = π = cost c :, t π = sin t dx = sin t dt d = cost dt π π π E = [ cost cost sin t ( sin t) ] dt cos t sin t dt 6 dt π = + = = E = E E = 5π π = π. Να υπολογίσετε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I = x dx + 6( x ) d όπου c είναι: a) Το ευθύγραμμο τμήμα ΟΑ Ο=(,), Α=(,) (Απ. ) b) Η καμπύλη παρατρικές εξισώσεις x= sin t, = t, t [, π ] (Απ. -π ) c) Το τμήμα της ευθείας = x, x (Απ. -) d) H παραβολή x= από το σηίο (,-) έως το σηίο (,) (Απ. )

e) H τεθλασμένη γραμμή ΟΑΒ Ο=(,), Α=(,), Β=(,) (Απ. ) f) H καμπύλη εξίσωση ( cos ) ˆ sin ˆ π rt = t i+ tj, t, (Απ. -π/) a) () = t c:, t dx = dt () = t d = dt t I = t + 6( t t) dt = tdt = = b) = sin t c:, t π () = t dx = cost dt d = dt π π π π I = sint cost + 6(sin t t) dt = sint costdt + 6 sintdt 6 tdt = π π π π t = sin td(sin t) + 6[ cost] 6 = sin t = π = π () = t dx = dt c) c:, t () = t d = dt t 9 I = t + 6( t t) dt = t dt = = = xt () = t dx = tdt d) c:, t () = t d = dt t t t I = t t + 6( t t) dt = t + 6t 6t dt = + 6 6 ( ) ( ) = + = () = t dx = dt e) c :, t () = d = dt t I = t + dt = = () = dx = dt c :, t () = t d = dt t I = x dx + 6( x ) d = + 6( t) dt = 6 t = I = I+ I = + =

f) = cost π c:, t = sin t π / dx = sin t dt d = cost dt I = x dx + 6( x ) d = cost sin t + 6 cost sin t cost dt = π / sin sin cos 6 cos 6 cos 6sin cos = t t t+ t t t t dt = π / π / / π/ π sin t = [ cost] 8 6[ sin t] 6 t sin( t) + + = π π = 8 + 6 6 = 5. Να υπολογισθεί το I = x + ds, όπου c το τρίγωνο κορυφές (,),(,),(,) διατρέχοντας το τρίγωνο α) κατά την ορθή φορά και β) κατά την αντίστροφη φορά (Απ. ) Από (,) σε (,) r (t) =< t, t >, t r '(t) =<, >, r '(t) = I = x( t) + ( t) r '( t) dt = t + t dt = t dt = t dt = / t = = / Από (,) σε (,) r (t) =< t, >, t r '(t) =<, >, r '(t) = / / t ( ) 6 6 I = t + () dt = ( t) d ( t) = = = / Από (,) σε (,) r (t) =<, t >, t r '(t) =<, >, r '(t) =

/ / ( t) I = + t () dt = ( t) d( t) = = / 6 6 I = I+ I + I = + + = + Επειδή το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα βαθμωτής συνάρτησης δεν εξαρτάται από τη φορά διαγραφής της καμπύλης, το αποτέλεσμα θα είναι το ίδιο και στην περίπτωση που διαγράψου το τρίγωνο κατά την αντίστροφη φορά. 6. Υπολογίστε το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα του F= iˆ xj ˆ+ kˆ κατά μήκος της καμπύλης α) r() t = ti ˆ + t ˆ j+ t k ˆ, t (Aπ. -/5) και β) που αποτελείται από τα ευθύγραμμα τμήματα (,,) έως (,,) και (,,) έως (,,) (Απ. ) a) Frt ( ()) = t,, t t = t,, tt r'( t) =, t,t I = t, t, t, t, t dt = t, t, t, t,t dt = 5 t t = t t + t dt = t + t dt = + = + = 5 5 5 b) r (t) =< tt,, >, t r '(t) =<,, > Frt ( ) =, t, t t I =, t, t,, dt = tdt = = r (t) =<,, t >, t r '(t) =<,, > Frt ( ) = t,, I = t,,,, dt = dt = I = I+ I = + =

7. Δείξτε ότι τα ακόλουθα πεδία είναι αστρόβιλα και βρείτε τις συναρτήσεις δυναμικού τους + a) F = e ( iˆ+ x ˆj + xkˆ ) b) F= sin x, sin x, cos F =, x +, + + x + x c) a) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = e N( x,, ) = xe + P( x,, ) = xe + + curlf = P N M P N M = xe xe e e e e = + + + + + +, x, x,,,, fx = e f = F f = xe f = xe + + () () + () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου + + + f = e dx = e dx = xe + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: + g (, ) f = xe + (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: + f = xe + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: + dh( ) f = xe + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = c () 5

Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: + f ( x,, ) = xe + c () b) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = sin Nx (,, ) = xsin P( x,, ) = x cos curlf = P N, M P, N M = x x = xcos xcos, cos cos,sin sin =,, fx = sin () f = F f = xsin () f = x cos () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = sin dx= sin dx= xsin + g(, ) g μία συνάρτηση (), όπου (, ) μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = xsin + (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f = x sin + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = x cos + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f ( x,, ) = x sin + c () 6

c) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = + x x Nx (,, ) = + + x Px (,, ) = + P = + = = = / / ( ) ( ) ( ) ( ) = == = + + = = = = ( ) N / x = + = = x + / M = = + x Px = + = x x x x N x = + = x x = = x x + x + x + ( + x ) x( x ) x ( + x) ( + x) = = M = = + x x + x curlf = P N, M P, N M =,, x x ( + x) x ( + x) ( x) 7

fx = + x x f = F f = + + x f = + () () () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = dx = d ( x) = d ( x) = tan ( x) + g(, ) + x + ( x) + ( x) όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: x g (, ) f = + (5) + x Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = d ( ) (7), g(, ) = d( ) g(, ) = sin ( ) + h( ) ( ) όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f = tan ( x) + sin ( ) + h( ) (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = + (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = ln + c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f ( x,, ) tan = x + sin + ln + c () (), 8. Δείξτε ότι οι διαφορικές μορφές που εμφανίζονται στα ακόλουθα ολοκληρώματα είναι ακριβείς, και στη συνέχεια υπολογίστε την τιμή των ολοκληρωμάτων 8

a) b) (,, 6) x dx + d + d (Απ. 9) (,,) (,,) x dx d d (Aπ. + (,,) a) Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = x Nx (,, ) = Px (,, ) = 5 tan () ) H F ορίζεται σε όλο το (απλά συνεκτικό χωρίο). Επίσης είναι curlf = P N, M P, N M = x x =,, =,, Επομένως η διαφορική μορφή είναι ακριβής και το πεδίο είναι συντηρητικό Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού f έχου fx = x () f = F f = () f = () Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = x dx = x + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = + h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f= x + + h (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = (9) d Από τις () και (9) έχου: dh( ) = () d Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = + c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: 9

f( x,, ) x c = + + + () (,, 6) (,,) x dx + d + d = f (,, 6) f (,, ) = 9 (,,) b) x dx d d (,,) + Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) M( x,, ) = x Nx (,, ) = Px (,, ) = + H F ορίζεται σε όλο το (απλά συνεκτικό χωρίο). Επίσης είναι curlf = P N, M P, N M = x x =,, =,, Επομένως η διαφορική μορφή είναι ακριβής και το πεδίο είναι συντηρητικό Για τον υπολογισμό της συνάρτησης δυναμικού f έχου fx = x () f = F f = () f = () + Ολοκληρώνοντας την () ως προς x, και διατηρώντας τα, σταθερά, παίρνου f = x dx = x + g(, ) (), όπου g (, ) μία συνάρτηση μόνον των και. Για να βρού την g(, ) παραγωγίζου την () ως προς και παίρνου: g (, ) f = (5) Από τις () και () παίρνου: g (, ) = (6) Ολοκληρώνοντας την (6) ως προς έχου: g (, ) = d g (, ) = + h (7), όπου h μία συνάρτηση μόνον του Επομένως η (5) λόγω της (7) γίνεται: f= x + h (8) Για να βρού την h παραγωγίζου την (8) ως προς και παίρνου: dh( ) f = (9) d

Από τις () και (9) έχου: dh( ) d = + () Ολοκληρώνοντας την () ως προς παίρνου: h = tan + c () Επομένως η (8) λόγω της () δίνει: f( x,, ) = x tan + c () (,,) (,,) 5 x dx d d = f (,,) f (,, ) = tan () + 9. Υπολογίστε τις σταθερές abc,, ώστε το πεδίο F = a + cx, ( bx + c), a + cx να είναι συντηρητικό Fx (,, ) = M( x,, ), Nx (,, ), Px (,, ) (,, ) M x = a + cx N( x,, ) = ( bx + c) P( x,, ) = a + cx H F ορίζεται σε όλο το Επίσης είναι P = N a = c a = c (απλά συνεκτικό χωρίο). M Px cx = cx N x M b = a b = a Το σύστημα που προκύπτει ως προς a,b,c είναι αόριστο δηλ. έχει άπειρες λύσεις. Επιλέγοντας αυθαίρετα π.χ. το α= παίρνου μία λύση: a=, b=, c=. Έστω f( x, ) = ln( x + ) και c ο κύκλος x + = a (κατά την ορθή φορά). Χρησιμοποιείστε το θεώρημα Green για να υπολογίσετε την εξερχόνη ροή ( f nˆ ) ds (Απ. π) Η f δεν ορίζεται στο (,), επομένως το χωρίο είναι πολλαπλά συνεκτικό. x F = f = fx, f =, = M, N x + x +

( ) ( ) M N x x + = + = x x + x + Έστω c o κύκλος ακτίνα και a> (αντίστοιχα δουλεύου και αν a<) M N ( f nˆ ) ds = Md Ndx + Md Ndx = + da = x R R = = x d x + x + dx = cost dx = sin t dt c :, t π = sin t d = cost dt π π π costcost sin t ( sin t) dt = cos t + sin t dt = dt = π. Επαληθεύστε το θεώρημα Green (a. εφαπτονική και b.κάθετη μορφή) για F = x, x + και το τρίγωνο που φράσσεται από τις =, x=, = x (Απ. a. 9, b. -9) F = x, x + = M, N M = x, M = x N = x, N = x..5..5. R.5.5..5..5. Το χωρίο R είναι απλά συνεκτικό και ισχύουν οι προϋποθέσεις του θεωρήματος Green. Το σύνορο του R αποτελείται από τις ακόλουθες καμπύλες () = t dx = dt c :, t () = d = dt () = dx = dt c :, t () = t d = dt () = t dx = dt c :, t () = t d = dt

Εφαπτονική μορφή ( ˆ N M F T ) ds = Mdx + Nd = da x R R R Mdx + Nd = + + R ( ) t Mdx + Nd = t + t + dt = 7t dt = 7 = 9 ( ) t Mdx + Nd = t + + t dt = 7 + 7t dt = 7 t + = 6 ( ) Mdx + Nd = t t ( ) + t + t ( ) dt = t t = 5 t + t dt = 5 t + = 8 R Mdx + Nd = 9 + 6 8 = 9 x N M da = x da = x d dx = x R R x x x = x dx = x dx = x dx = = 9 Κάθετη μορφή M N ( f nˆ ) ds = Md Ndx = + da x R R R Md Ndx = + + R ( ) t Md Ndx = t t + dt = 7t dt = 7 = 9 ( ) t Md Ndx = t + + t dt = 7t 7 dt = 7 t = 8 ( ) Md Ndx = t t ( ) t + t ( ) dt = t t = 5 t + t dt = 5 t + = 8 R Mdx + Nd = 9 + 8 8 = 9

x M N + da = x + da = x + da = x + d dx = x R R R x x x = x + dx = x + dx = x dx = = 9. Να υπολογισθεί το επικαμπύλιο ολοκλήρωμα I = x dx x d, όπου c είναι η ( x + ) περίτρος του παραλληλογράμμου κορυφές (-,-), (,-), (,), (-,) (Απ. π) a) ως άθροισμα τεσσάρων επικαμπύλιων ολοκληρωμάτων (ένα για κάθε πλευρά) b) χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι το πεδίο είναι αστρόβιλο (το οποίο πρέπει να αποδείξετε πρώτα). R.5..5.5..5. () = c :, t () = + t dx = dt d = dt () = t c :, t () = dx = dt d = dt () = c :, t () = t dx = dt d = dt () = + t c :, t () = dx = dt d = dt = + + + x dx x d ( t) () = + dt = dt ( x + ) ( + ( + t) ) ( + ( t ) ) Θέτοντας u = t du = dt παίρνου

( + u ) du d u Παρατηρού ότι = du + u ( + u ) du = d = ( ) du = ( + u ) u + u u + u u u + = + du du = + = u ( + u ) u + u u + tan[ ] tan[ ] Arc u = Arc u + u = = + Arc tan[] tan[ ] Arc = π π π π + = + + + = = du = d = du = ( + u ) u + u u + u + u u = + du u + u u ( + u ) To γράφεται ως u ( + u ) u + u Επομένως + du = u+ u u + u + tan(u) Arc + c = u+ u u u Arc tan(u) + c = Arc tan(u) + c = u( + u ) u u( + u ) u Arc tan(u) + c ( + u ) Άρα u du = Arc tan(u) + c = ( + u ) + u ( ) = Arc tan() + c Arc tan( ) + c = ( ) + + π π π + = + c ( ) + c = 5

x dx x d ( t) () ( t) () ( t) = dt = dt ( x + ) (( t) + ) (( t) + ) Θέτοντας u = t du = dt παίρνου u u du = du ( + u ) ( + u ) d u Επειδή είναι = du + u ( + u ) u u u u du = d tan(u) du = du = Arc ( + u ) + u + u + u + u u u ( ) du = Arc tan(u) = tan() tan Arc Arc = ( + u ) u + + + π π π = ( ) = x dx x d ( ) ( t)() ( ) ( ) π + = dt = dt = dt = ( x + ) (( ) + ( t) ) (( t) + ) (( t ) + ) x dx x d ( )( t )() ( ) t ( ) t t = + + = + dt = dt = π ( x + ) (( + t) + ( ) ) (( + t) + ) (( t) + ) Επομένως π + π π + π = + + + = + + = π b) x x F =, = M, N M ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x) x ( x + ) (( x + ) ) ( x + ) x x x( x ) ( x + ) ( x + ) ( + ) ( + ) ( x + ) x x x x = = = = = 6

N x x + x x x + x x + x x + x = = = x + x + x x ( + ) ( ) ( x + ) ( x + ) x x x x x = = Άρα το πεδίο είναι αστρόβιλο αφού M = N curlf = x Άρα το ζητούνο επικαμπύλιο ολοκλήρωμα της συνάρτησης F πάνω στην κλειστή καμπύλη που περιέχει το σηίο (,) (όπου η συνάρτηση F δεν ορίζεται) θα είναι ίσο το ολοκλήρωμα πάνω σε οποιαδήποτε άλλη κλειστή καμπύλη που επίσης περιέχει το σηίο (,) (διατηρώντας την αρχική φορά) Επιλέγου επομένως να ολοκληρώσου πάνω στον κύκλο x + = κατά την θετική φορά. = cost dx = sin t dt c:, t π = sin t d = cost dt π π x dx x d cos tsin t ( sin t) cos tcost cos sin cos dt t t t dt ( x + ) (cos t+ sin t) = = + = π π π + cos( t) t sin( t) = cos t ( sin t + cos t) dt = cos t dt = dt = + = π π 7