OLIMPIAA E MATEMATICĂ 3 februarie 014 CLASA A V-A 1.) Ultima cifră a unui număr natural de patru cifre este 7. acă mutăm cifra 7 de pe locul unităţilor pe locul miilor, ob inem un număr cu 86 mai mare decât numărul ini ial. Calcula i suma cifrelor numărului initial..) eterminaţi mulţimile A şi B ştiind că sunt îndeplinite simultan condițiile: : a.) A- B= { 0, 7} b.) B- A= { 3, 9} c.) AÇ B= 3 (numărul elementelor mulţimii d.) suma elementelor mulţimii AÈ B este 9 AÇ B este 3) 3.) La Olimpiada de matematică din cei 7 de elevi participanţi 57 au rezolvat prima problemă, 50 a doua problemă, 60 a treia problemă şi 5 a patra problemă. Arătaţi că cel puţin 3 elevi au rezolvat toate cele patru probleme. 4.) Împăr ind suma a două numere naturale la diferen a lor, se ob ine câtul 3 i restul. Afla i cele două numere, tiind că unul dintre ele este cu 014 mai mare decât celălalt. Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. Timp de lucru ore Subiecte clasa a V-a
OLIMPAA E MATEMATICA 3 februarie 014 BAREM CLASA A V-A 1.) in oficiu Numărul de patru cifre este: Numărul obținut este: a+ b+ c+ 7= 0.) in oficiu A- B= 0, 7 Þ 0, 7Î A și 0, 7Ï B (1) { } { } B- A= 3, 9 Þ 3, 9Î B și 3, 9Ï A () AÇ B = 3 Þ$ x, y, zî A și x, y, zî B (3) in (1), (), (3) rezultă A= { 0, 7, x, y, z} și B { 3, 9, x, y, z} A B { 0,3, 7,9, x, y, z} = È = in d.) avem 0+ 3+ 7+ 9+ x+ y+ z= 9Þ x+ y+ z= 10 Cum din condițiile anterioare avem x y z x, y, zï 0, 3,7,9 rezultă x, y, zî { 1,4,5} A= { 0,1,4,5,7} și { 1, 3,4, 5, 9} ¹ ¹ și { } B= 3.) in oficiu Au fost rezolvate în total 57+50+60+5=19 probleme acă fiecare elev ar fi rezolvat cel mult 3 probleme s-ar fi rezolvat în total cel mult 7 3=16 probleme. ar s-au rezolvat cu 19-16=3 probleme mai mult iferenţa provine din faptul că 3 elevi (cel puţin), au rezolvat toate cele 4 probleme. 4.) in oficiu Fie a> b şi a, bî N. Avem a+ b = 3(a-b)+ şi a=b+014 b=a+1 a=409, b=015 Barem clasa a V-a
OLIMPIAA E MATEMATICA 3 februarie 014 CLASA A VI-A 1.) Comparaţi numerele a şi b, dacă 014 1007 a= 5 şi 017 10 b æ 1 1 ö æ 1öæ 1ö æ 1 ö = ç - ç1 - ç1 - ç1 - è ø è 3øè 4ø è 014ø..) eterminaţi numărul de fracţii ireductibile din mulţimea 1 3 014 A=í ì ; ; ;...; ü ý î015 015 015 015þ. 3.) Se dă unghiul AOB cu măsura de 130. Se duce semidreapta (OC opusă lui (OA şi O^ OA, astfel încât (OB şi (O să fie în semiplane diferite faţă de AC. În acelaşi semiplan cu (O se duce a.) OE^ OB. Calculaţi: æ æ ö æ ö ö m ç BOC, m ç OE şi m çcoe è ø è ø è ø b.) măsura unghiului format de bisectoarele unghiurilor AOB şi COE. 4.) Fie ABC un triunghi oarecare, cu AB AC; ( A ( AM bisectoare exterioară, M ( încât( AM) º ( AN) şi fie N AC ={ E} a.) AM º AN; b.) ABM º AEN; c.) EMAº BNA; d.) A^ BE. < bisectoare interioară, ( BC) Î CB. Se consideră punctul NÎ ( MA astfel, {. Arătaţi, că: Î şi Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. Timp de lucru ore Subiecte clasa a VI-a
OLIMPAA E MATEMATICA 3 februarie 014 BAREM CLASA A VI-A 1.) in oficiu 014 014 1007 a= 5 = 017 017 10 5 b æ 1 1 ö æ 1öæ 1ö = ç - ç1 - ç - è ø è 3ø è 4ø a > b 1 4p 5 = 1000 æ 1 ö 1 013 1 4p ç1 - = = è 014 ø 3 014 014 014 017 1.) in oficiu Avem 015= 5 13 31 Între 1 şi 014 sunt 40 multipli de 5 Între 1 şi 014 sunt 154 multipli de13 Între 1 şi 014 sunt 64 multipli de 31 Nr. numerelor divizibile şi cu 5 şi cu 13 sunt 30 Nr. numerelor divizibile şi cu 5 şi cu 31 sunt 1 Nr. numerelor divizibile şi cu 13 şi cu 31 sunt 4 Vor fi deci 40+154+64-(30+1+4)= 60-46=574 fracţii reductibile in cele 014 fracţii rămân 014-574= 1440 fracţii ireductibile 3.) in oficiu a) æ ö æ ö O^ AOÞ mç AO = 90, OE^ OBÞ mç BOE = 90 è ø è ø æ ö æ ö æ ö mç AOC = 180 Þ mç BOC = 180 - mç AOB = 180-130 = 50 è ø è ø è ø æ ö æ ö æ ö æ ö mç EOC = mç EOB - mç BOC Þ mç EOC = 40 è ø è ø è ø è ø æ ö æ ö é æ ö æ öù æ ö mç OE = mç AOC - êmç AO + mç EOC úþ mç OE = 50 è ø è ø ë è ø è øû è ø Barem clasa a VI-a 1
b) æ ö mç XOY = è ø æ ö æ ö mç AOB mç EOC è ø ö è ø æ æ ö + mç BOC + Þ mç XOY = 135 è ø è ø 4.) in oficiu a) Elaborarea desenului b) c) ( ) = 180 : = 90 = m ( AN ) m AM 180 : 90 Triunghiurile dreptunghice AM şi AN au câte două catete congruente MAB º NAE ü ï ý ï º ïþ ( ) ( ) Mˆ Nˆ ( a) ) U. L. U. AM º AN ¾¾¾ ABM º AEN EAM º BAN ü ï º ý¾¾¾ º Þ º ï º þ ( ) ( )( )) ( AM) ( AN) L. U. L. EA BA b AEM ABN EMA BNA ( d) ABE isoscel, A bisectoare Þ( Aînălţime Û A^ BE Barem clasa a VI-a
OLIMPIAA E MATEMATICA 3 februarie 014 CLASA A VII-A 1.) Rezolvaţi pe mulţimea numerelor reale: a.) 9- x - 3+ x = 0 b.) ( ) x = x.) a.) Calculaţi: é( ) 3 4 1 + 3 ù - 3 18 4 3- - æ ö êë úû ç è ø. b.) eterminaţi numerele naturale astfel încât. 3.) Fie rombul ABC. Pe laturile AB, respectiv A considerăm punctele E şi F astfel încât AE = F. acă BC Ç E= { P}, C Ç BF = { Q}, atunci demonstraţi că: PE QF a.) + = 1, P QB b.) punctele Q, A şi P sunt coliniare. 4.) În triunghiul ABC, A este înălţime, iar punctele M, N şi P sunt mijloacele laturilor AB, BC respectiv AC. emonstraţi că patrulaterul MNP sau MNP este trapez isoscel! Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. Timp de lucru 3 ore Subiecte clasa a VII-a
OLIMPAA E MATEMATICA 3 februarie 014 BAREM CLASA A VII-A 1. in oficiu a) 9- x = ( 3+ x)( 3- x) = ( 3+ x) ( 3- x) b) ( ) ( ) ( ) ( ) 9 x 3 x 3 x 3 x 1 0 - - + = + - - = e unde avem ( 3+ x) = 0 sau ( x) in ( x) 3- = 1 3+ = 0 Þ x=- 3 in ( ) 3- x = 1Þ 3- x=± 1Þ x= 3 1 cu soluțiile x= sau x= 4 Mulțimea soluțiilor ecuației S= {- 3,, 4} x³ 0, ( x) - x= 0Û x ( x- 1) = 0 x = 0 sau x = 1 de unde x= 0 sau 1 x= x { 0,1} Û Î. in oficiu a) é ù 4 æ ö ê + 3 ú - 9 ç 16 - = ë 4 û è ø 13 4 31-9 = 4 13-79= - 66 b) Prin ridicarea la pătrat a relaţiei, obţinem = ab pătrat perfect Þ abî{ 16,5,36,49,64,81 } (1) și abî { 4,5,6,7,8,9} () in (1) Þ aî{ 1,,3,4,6,8 }, a-1î{ 0,1,,3,5,7 } şi ( ) { } in () şi (3) rezultă a=3 și soluţia: ab= 36 a a-1 Î 0,,6,1,30,56 (3) 3. in oficiu a) TFA PE EB PC : EB CÞPEB ~ PC Þ = (1) P C TFA QF F QBC : F BCÞQF ~ QBC Þ = () QB BC C = BC = A =AB EB = AB - AE = A - F = AF (3) Barem clasa a VII-a 1
b) PE QF EB F AF + F A (1) + () Þ + = + = = = 1 P QB C BC BC BC ip QF F AE QF AE rec, T. Th () Þ = = Þ = Þ FE AQ (3) QB BC AB QB AB QAB ip PE EB AF PE AF rec. T. Th. (1) Þ = = Þ = Þ FE AP (4) P C A P A AP (3), (4) Þ AÎQPÛA-Q-P colin. 4. in oficiu Fie m(b)>m(c). eoarece MP este linie mijlocie în triunghiul ABC Þ MP N eoarece M este mediană în triunghiul dreptunghic Þ M=AB/ eoarece NP este linie mijlocie în triunghiul ABC Þ NP=AB/, deci Þ M=NP Þ MNP este trapez isoscel m B < m C obținem MNP este trapez isoscel Analog pentru ( ) ( ) Barem clasa a VII-a
OLIMPIAA E MATEMATICA 3 februarie 014 CLASA A VIII-A 1.) a.) escompuneţi în produs de doi factori numărul x 4 + 4y 4, x, y *. b.) Arătaţi că numărul 118 + 13 4 este număr compus..) eterminaţi valoarea minimă a expresiei x - 6x+ 13+ y + y+ 10, respectiv valorile lui x și y pentru care valoarea expresiei este egală cu minmul său. 3.) Se dau punctele ne coplanare A, B, C, şi M, N, P, Q mijloacele segmentelor [AC], [BM], [NC], respective [BP]. emonstraţi, că punctele A, N, Q, se află în acelaşi plan ( AQ)! şi MP ( AQ) 4.) Pătratul AEC şi dreptunghiul AEFB sunt în plane diferite, iar dreptele E şi AB sunt perpendiculare. acă C=1 cm şi EF= 3 cm, calculaţi d(a,b). Notă: Toate subiectele sunt obligatorii. Fiecare problemă se punctează cu 10 puncte. Timp de lucru 3 ore Subiecte clasa a VIII-a
OLIMPAA E MATEMATICA 3 februarie 014 BAREM CLASA A VIII-A 1. in oficiu a) x 4 + 4y 4 + 4x y 4x y = (x + y ) (xy) escompunerea ( x + y + xy)( ( x + y xy) b) ( 59 ) + (13 ) + 59 13-60 13 = ( 59 + 13 ) ( 30 13) escompunerea ( 59 + 13 + 30 13)( 59 + 13-30 13). eci, numărul dat este compus. in oficiu ( x - 3) + 4+ ( y+ 1) " xî Þ( - 3 ³ " yî Þ( + 1 ³ + 9 ( x 3) 0 de unde avem ( y 1) 0 de unde avem x- + ³ și ( 3) 4 4 y+ + ³ și ( 1) 9 9 4p ( x- 3) + 4³ cu egalitate dacă x= 3 ( y+ 1) + 9³ 3 cu egalitate dacă y=- 1 Valoarea minimă a expresiei este 5 și expresia are această valoare pentru x= 3 şi y=- 1 3. in oficiu În triunghiul ANC, MP este linie mijlocie MP AN (1) În triunghiul BMP, NQ este linie mijlocie NQ MP () in relaţiile (1), () rezultă, că punctele A, N, Q sunt coliniare şi (AQ, A) = α, deci A, N, Q, α eoarece MP AN şi AN α MP α, unde α = (AQ) 4. in oficiu E^ AB AB EF ÞE^ EF Calculează în -ul FEB: EB= cm Calculează în -ul EB: B= 5 cm AB: B= 5 cm, A= cm, AB= 3 cmþ -ul drepunghic în A Fie AM^ B, deci d(a,b)=am= A AB B = 3 = 30 5 5 Barem clasa a VIII-a