ΓΕΩΜΕΤΡΙΑ ΘΕΩΡΙΑ. ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο: ΒΑΣΙΚΕΣ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ

ΕΩΜΕΤΡΙ ΘΕΩΡΙ ΚΕΦΛΙ ο: ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ. Ποια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι ορίζουν αυτά και πως κατασκυάζουμ ένα τμήμα; πάντηση Η άκρη του μολυβιού μας, οι κορυφές νός σχήματος, η μύτη μιας βλόνας, μας δίνουν την έννοια του σημίου. Μία τντωμένη κλωστή μ άκρα και μας δίνι μια ικόνα της έννοιας του υθύγραμμου τμήματος. Τα σημία και ίναι τα άκρα του υθύγραμμου τμήματος. Λέμ ότι τα σημία και ορίζουν το υθύγραμμο τμήμα Κατασκυάζουμ ένα υθύγραμμο τμήμα, συνδέοντας δύο σημία και, μ τη βοήθια νός χάρακα ( κανόνα ). 2. Τι λέγται υθία, πως συμβολίζται αυτή, πόσς υθίς διέρχονται από ένα σημίο και πόσς υθίς ορίζουν δύο σημία; πάντηση Εάν προκτίνουμ απριόριστα ένα υθύγραμμο τμήμα, τότ το νέο σχήμα, που δν έχι ούτ αρχή ούτ τέλος, λέγται υθία. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 78

Συμβολίζουμ μια υθία μ ένα μικρό γράμμα από τα αρχικά του αλφαβήτου, π.χ. (), ή μ δύο μικρά γράμματα από τα τλυταία του αλφαβήτου π.χ.,. πό ένα σημίο διέρχονται άπιρς υθίς. A B πό δύο σημία διέρχται μια μόνο υθία. 3. Τι λέγται ημιυθία, πως συμβολίζται αυτή, και τι ονομάζουμ αντικίμνς ημιυθίς; πάντηση Εάν προκτίνουμ απριόριστα ένα υθύγραμμο τμήμα πέρα από το ένα μόνο άκρο του, π.χ. το, τότ το νέο σχήμα, που έχι αρχή το αλλά δν έχι τέλος, λέγται ημιυθία. Η ημιυθία συμβολίζται μ ένα κφαλαίο γράμμα που δηλώνι την αρχή της και ένα μικρό από τα τλυταία γράμματα, π.χ., κ.λπ. B Εάν ίναι ένα σημίο της υθίας, τότ μ αρχή το ορίζονται δύο ημιυθίς και, οι οποίς λέγονται αντικίμνς ημιυθίς. O ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 79

4. Τι καλίται πίπδο, ποια ιδιότητα έχι, πόσα πίπδα διέρχονται από τρία μη συνυθιακά σημία,πόσα πίπδα διέρχονται από δύο σημία πως χωρίζι ένα πίπδο τον χώρο,πως συμβολίζται ένα πίπδο και τι ίναι το ημιπίπδο; πάντηση Επίπδο ίναι μια πιφάνια, πάνω στην οποία φαρμόζι παντού η υθία γραμμή. Ένα πίπδο πκτίνται απριόριστα. Π πό τρία μη συνυθιακά σημία διέρχται ένα μοναδικό πίπδο, νώ από ένα ή δύο σημία διέρχονται άπιρα πίπδα. Π Κάθ πίπδο χωρίζι το χώρο σ δύο μέρη, ώστ, αν θέλουμ να πράσουμ από το ένα μέρος του χώρου στο άλλο, πρέπι να διαπράσουμ το πίπδο. Η ονομασία του πιπέδου δίνται μ ένα κφαλαίο γράμμα του αλφάβητου π.χ. Π,Ρ, Σ κ.λπ. Κάθ υθία νός πιπέδου το χωρίζι σ δύο ημιπίπδα. Π Π Π 5. Πως ορίζται η γωνία, τι καλίται κυρτή και τι μη κυρτή γωνία, ποια ίναι τα στοιχία της γωνίας πως γράφται και πως συμβολίζται η γωνία; πάντηση Σχδιάζουμ σ ένα φύλλο χαρτί δύο ημιυθίς και, μ κοινή αρχή το σημίο. ι ημιυθίς χωρίζουν το πίπδο σ δύο πριοχές Π και Π2. Κάθ μία από τις πριοχές αυτές μαζί μ τις ημιυθίς και ονομάζται γωνία. Η μικρότρη (Π) λέγται κυρτή και η άλλη (Π2) μη κυρτή. Π 2 Π ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 8

Το σημίο λέγται κορυφή της γωνίας και οι ημιυθίς χ και γ λέγονται πλυρές της γωνίας. πλυρά Τις γωνίς που σχηματίζονται τις συμβολίζουμ O ή O (το γράμμα της κορυφής γράφται πάντα στη μέση) ή μ ένα μικρό γράμμα,π.χ. ω. κορυφή ω πλυρά 6. Πόσς γωνίς έχι ένα τρίγωνο, τι καλίται πριχόμνη γωνία, τι απέναντι γωνία, ποις γωνίς καλούνται προσκίμνς και πόσς και ποις γωνίς έχι ένα ττράπλυρο; πάντηση Ένα τρίγωνο έχι τρις γωνίς, την, τη και τη. Όταν λέμ, π.χ. η γωνία του τριγώνου, ννοούμ τη γωνία που έχι πλυρές τις ημιυθίς, και πριέχι το τρίγωνο. Η γωνία λέμ ότι πριέχται μταξύ των πλυρών και του τριγώνου. κόμα λέμ ότι η πλυρά ίναι απέναντι στη γωνία, νώ οι γωνίς και ίναι προσκίμνς της πλυράς. Το ττράπλυρο έχι τέσσρις γωνίς, που καθμιά τους πριέχι το ττράπλυρο. ι γωνίς αυτές ίναι οι,, και, που γράφονται απλά,, και αντίστοιχα. 7. Τι καλίται τθλασμένη γραμμή, τι καλίται υθύγραμμο σχήμα, ποια γραμμή καλίται κυρτή και τι μη κυρτή τθλασμένη γραμμή; πάντηση Τθλασμένη γραμμή ίναι μια πολυγωνική γραμμή, που αποτλίται από διαδοχικά υθύγραμμα τμήματα, τα οποία δ βρίσκονται στην ίδια υθία. Ευθύγραμμο σχήμα ονομάζται κάθ τθλασμένη γραμμή, της οποίας τα άκρα συμπίπτουν. Μια τθλασμένη γραμμή ονομάζται κυρτή, όταν η προέκταση κάθ πλυράς της αφήνι όλς τις άλλς πλυρές στο ίδιο ημιπίπδο. ιαφορτικά λέγται μη κυρτή. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 8

Κυρτή Τθλασμένη γραμμή μη κυρτή Θ Η Κυρτό Ζ Ε Ευθύγραμμο σχήμα μη κυρτό Ε Θ Η Ζ Ε Θ Η Ζ Ε 8. Πότ δύο σχήματα λέγονται ίσα και τι ισχύι γι αυτά; πάντηση ύο υθύγραμμα σχήματα λέγονται ίσα, αν συμπίπτουν, όταν τοποθτηθούν το ένα πάνω στο άλλο μ κατάλληλο τρόπο. Στα ίσα σχήματα, τα στοιχία που συμπίπτουν, δηλαδή οι κορυφές, οι πλυρές και οι γωνίς, ονομάζονται αντίστοιχα στοιχία των σχημάτων αυτών. ι αντίστοιχς πλυρές και γωνίς των ίσων σχημάτων ίναι ίσς. 9. Τι καλούμαι μέτρηση, ποια ίναι η μονάδα μήκους, ποια όργανα μέτρησης χρησιμοποιούμ, ποις οι υποδιαιρέσις και ποια τα πολλαπλάσια της μονάδας μέτρησης, Πότ δύο σχήματα λέγονται ίσα και τι ισχύι γι αυτά; ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 82

πάντηση ια να συγκρίνουμ μταξύ τους υθύγραμμα τμήματα οδηγηθήκαμ στην ανάγκη να χρησιμοποιούμ μια κοινή μονάδα σύγκρισης. Έτσι, κάθ σύγκριση νός μγέθους μ την αντίστοιχη μονάδα λέγται μέτρηση. Έτσι, για το μήκος έχουμ ότι: Μονάδα μήκους ίναι το μέτρο (m) ια να μτρήσουμ, λοιπόν, ένα υθύγραμμο τμήμα, χρησιμοποιούμ ένα αντίγραφο του μέτρου και κάνουμ τη σύγκριση μ αυτό, όπως έχουμ μάθι. Εάν όμως το μήκος του υθύγραμμου τμήματος ίναι πολύ μγαλύτρο ή πολύ μικρότρο από το μήκος του μέτρου, πιλέγουμ, για τη μέτρηση ένα πολλαπλάσιο ή μια υποδιαίρση του μέτρου για το σκοπό αυτό. ια να μτρήσουμ σχτικά μικρά μήκη χρησιμοποιούμ, συνήθως, το υποδκάμτρο, που ίναι το ένα δέκατο ( / ) του μέτρου. 2 3 4 5 6 7 8 9 ια μγαλύτρα μήκη, όπως π.χ. έναν τοίχο ή τις διαστάσις νός οικοπέδου, χρησιμοποιούμ τη μτροταινία. ια πολύ μικρά μήκη π.χ. τη διάμτρο μιας βίδας ή το πάχος μιας λαμαρίνας, χρησιμοποιούμ το παχύμτρο ή το μικρόμτρο, αντίστοιχα. ΝΜΣΙ ΜΝΣ ΜΗΚΥΣ ΣΥΜΛ ΣΧΕΣΗ ΜΕ Τ ΜΕΤΡ ΠΛΛΠΛΣΙ ΜΕΤΡΥ Χιλιόμτρο Km Km = m ΝΜΣΙ ΜΝΣ ΜΗΚΥΣ ΣΥΜΛ ΜΕΤΡ m ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 83

ΝΜΣΙ ΜΝΣ ΜΗΚΥΣ ΥΠΙΙΡΕΣΕΙΣ ΤΥ ΜΕΤΡΥ κατόμτρο ή παλάμη Εκατοστόμτρο ή πόντος ΣΥΜΛ dm cm ΣΧΕΣΗ ΜΕ Τ ΜΕΤΡ dm = / m =, m cm =/ m =, m ΝΜΣΙ ΜΝΣ ΜΗΚΥΣ ΣΥΜΛ Χιλιοστόμτρο ή χιλιοστό mm ΣΧΕΣΗ ΜΕ Τ ΜΕΤΡ mm = / m =, m Η σχέση μταξύ των υποδιαιρέσων του μέτρου ίναι η ξής: m = dm = cm = mm dm = cm = mm cm = mm. Τι καλούμαι απόσταση δύο σημίων και, τι ννοούμ μ το σύμβολο και τι ονομάζουμ μέσο νός τμήματος ; πάντηση πόσταση δύο σημίων και λέγται το μήκος του υθύγραμμου τμήματος, που τα νώνι. Πρέπι, όμως, να προσέξουμ κάτι σημαντικό: Μ το σύμβολο ννοούμ ταυτόχρονα δύο διαφορτικά πράγματα: Το υθύγραμμο τμήμα, αλλά και το μήκος αυτού του υθύγραμμου τμήματος. ια να ξχωρίσουμ το μήκος, συνήθως χρησιμοποιούμ τον συμβολισμό (). λλά για απλούστυση, θα γράφουμ απλά: μήκος. Μέσο νός υθύγραμμου τμήματος ονομάζουμ το σημίο Μ του τμήματος, που απέχι ξίσου από τα άκρα του. ποιοδήποτ υθύγραμμο τμήμα έχι πάντα ένα μέσο Μ, που ίναι και μοναδικό. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 84

. Πως προσθέτουμ και πως αφαιρούμ υθύγραμμα τμήματα ; πάντηση ια να προσθέσουμ υθύγραμμα τμήματα, τα τοποθτούμ διαδοχικά πάνω σ μια υθία. Το τμήμα που έχι άκρα την αρχή του πρώτου και το τέλος του τλυταίου ίναι το άθροισμά τους. ια να αφαιρέσουμ δύο υθύγραμμα τμήματα, τα τοποθτούμ μ κοινή αρχή στην ίδια ημιυθία. Το τμήμα που αρχίζι από το τέλος του μικρότρου και καταλήγι στο τέλος του μγαλύτρου αποτλί τη διαφορά τους. 2. Ποιο ίναι το μήκος μιας τθλασμένης γραμμής, ποια ίναι ο συντομότρος «δρόμος» μταξύ δύο σημίων και τι καλούμαι πρίμτρο σχήματος; πάντηση Η τθλασμένη γραμμή έχι μήκος Ε το άθροισμα των μηκών των υθυγράμμων τμημάτων, από τα οποία αποτλίται. Το μήκος του υθύγραμμου τμήματος, ίναι μικρότρο από το μήκος κάθ τθλασμένης γραμμής μ τα ίδια άκρα και. Το άθροισμα των πλυρών νός υθύγραμμου σχήματος, θα το λέμ πρίμτρο του σχήματος. 3. Πως μτράμ τις γωνίς, τι καλούμ μέτρο μιας γωνίας, ποια ίναι η μονάδα μέτρησης της γωνίας, ποις οι υποδιαιρέσις της μονάδας μέτρησης της γωνίας,τι γνωρίζτ για το μέτρο της γωνίας, πότ δύο γωνίς ίναι ίσς και πως συμβολίζουμ την γωνία και το μέτρο της; πάντηση Η μέτρηση των γωνιών γίνται μ το μοιρογνωμόνιο. αριθμός που προκύπτι από τη μέτρηση ονομάζται μέτρο της γωνίας. Μονάδα μέτρησης των γωνιών ίναι η μοίρα, που γράφται: ο. Είναι: ο = 6 (πρώτα λπτά) και = 6 (δύτρα λπτά). Κάθ γωνία έχι μοναδικό μέτρο που ξαρτάται μόνο από το άνοιγμα των πλυρών της. ν δύο γωνίς έχουν το ίδιο μέτρο ίναι ίσς. 9 Στο ξής μ O ή ω θα συμβολίζουμ τη γωνία και το μέτρο της. 7 O 8 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 85

4. Ποιο τρίγωνο ονομάζται ισοσκλές, ποια σχέση συνδέι τις προσκίμνς στη βάση γωνίς του ισοσκλούς τριγώνου και τι ονομάζουμ διχοτόμο γωνίας; πάντηση Ισοσκλές τρίγωνο ονομάζται το τρίγωνο που έχι δύο πλυρές ίσς, (δηλαδή = )ιαπιστώνουμ ότι: ι προσκίμνς στη βάση ισοσκλούς τριγώνου γωνίς ίναι ίσς. βάση Κάθ γωνία έχι μία ημιυθία στο σωτρικό της, που τη χωρίζι σ δύο ίσς γωνίς. ιχοτόμος γωνίας ονομάζται η ημιυθία που έχι αρχή την κορυφή της γωνίας και τη χωρίζι σ δύο ίσς γωνίς. ω ω διχοτόμος z 5. Ποια ίναι τα ίδη των γωνιών και πως ορίζονται αυτά; πάντηση ρθή γωνία λέγται η γωνία της οποίας το μέτρο ίναι ίσο μ 9 ο ι πλυρές της ορθής γωνίας ίναι κάθτς ημιυθίς 9 O 9 ξία γωνία λέγται κάθ γωνία μ μέτρο μικρότρο των 9 ο O 9 O μβλία γωνία λέγται κάθ γωνία μ μέτρο μγαλύτρο των 9 ο και μικρότρο των 8 ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 86

Ευθία γωνία λέγται η γωνία της οποίας το μέτρο ίναι ίσο μ 8 ο ι πλυρές της υθίας γωνίας ίναι αντικίμνς ημιυθίς. 9 O Μη κυρτή γωνία λέγται κάθ γωνία μ μέτρο μγαλύτρο των 8 ο και μικρότρο των 36 ο Μηδνική γωνία λέγται η γωνία της οποίας το μέτρο ίναι ίσο μ ο O 9 O O Πλήρης γωνία λέγται η γωνία της οποίας το μέτρο ίναι ίσο μ 36 ο Η ημιυθία της τλικής πλυράς μιας μηδνικής και μιας πλήρους γωνίας ταυτίζται μ αυτή της αρχικής πλυράς. 6. Πότ δύο υθίς ίναι κάθτς,πως συμβολίζται η καθτότητα δύο υθιών και πότ δύο υθύγραμμα τμήματα ή δύο ημιυθίς ίναι κάθτς ; πάντηση ύο υθίς ίναι κάθτς όταν οι γωνίς που σχηματίζουν αυτές τμνόμνς, ίναι ορθές. ια να δηλώσουμ ότι δύο υθίς και 2 ίναι κάθτς χρησιμοποιούμ το σύμβολο γράφουμ 2 και διαβάζουμ «η ίναι κάθτη στην 2». ύο υθύγραμμα τμήματα (ή δύο ημιυθίς) που βρίσκονται πάνω σ δύο κάθτς υθίς, λέγονται κάθτα υθύγραμμα τμήματα (ή κάθτς ημιυθίς). 2 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 87

ττη 7. Ποις γωνίς ονομάζονται φξής και ποις διαδοχικές; πάντηση Εφξής γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς που έχουν την ίδια κορυφή, μία κοινή πλυρά και δν έχουν κανένα άλλο κοινό σημίο. ιαδοχικές γωνίς λέγονται πρισσότρς από δύο γωνίς, που βρίσκονται στο ίδιο πίπδο και καθμιά από αυτές ίναι φξής γωνία μ την προηγούμνη ή την πόμνή της. 8. Ποις γωνίς ονομάζονται παραπληρωματικές ποις συμπληρωματικές ποις κατακορυφήν και ποις σχέσις τις συνδέουν ; πάντηση Παραπληρωματικές γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς που έχουν άθροισμα 8 ο. Η κάθ μία από αυτές λέγται παραπληρωματική της άλλης και ισχύι φ+ω=8 ο Συμπληρωματικές γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς που έχουν άθροισμα 9 ο. Η κάθ μία από αυτές λέγται συμπληρωματική της άλλης. και ισχύι α+β=9 ο Κατακορυφήν γωνίς ονομάζονται δύο γωνίς που έχουν την κορυφή τους κοινή και τις πλυρές τους αντικίμνς ημιυθίς. ιαπιστώνουμ ότι: ύο κατακορυφήν γωνίς ίναι ίσς. δηλαδή φ = ω. β φ α ω z ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 88

9. Πότ δύο υθίς ίναι παράλληλς πότ τμνόμνς, ποις οι σχτικές θέσις δύο υθιών στο πίπδο,πως συμβολίζται η παραλληλία και πόσς παράλληλς υθίς διέρχονται από ένα σημίο κτός μίας υθίας; πάντηση ύο υθίς του ιδίου πιπέδου λέγονται παράλληλς, αν δν έχουν κοινό σημίο όσο κι αν προκταθούν. 2 2 ύο υθίς του ιδίου πιπέδου που έχουν ένα κοινό σημίο ονομάζονται τμνόμνς και το κοινό τους σημίο λέγται σημίο τομής των δύο υθιών. Επομένως: ύο υθίς που βρίσκονται στο ίδιο πίπδο ή θα ίναι παράλληλς ή θα τέμνονται. ια να δηλώσουμ ότι δύο υθίς, και 2 ίναι παράλληλς, χρησιμοποιούμ το σύμβολο // και γράφουμ // 2. ύο υθύγραμμα τμήματα που βρίσκονται πάνω σ δύο παράλληλς υθίς, θα λέγονται παράλληλα 2 υθύγραμμα τμήματα και γράφουμ //. πό ένα σημίο, κτός υθίας, διέρχται μία και μοναδική υθία παράλληλη στην. 2 2 2. Τι καλίται απόσταση σημίου από υθία και τι απόσταση δύο υθιών; πάντηση πόσταση του σημίου από την υθία ονομάζται το μήκος του κάθτου υθυγράμμου τμήματος από το σημίο προς την υθία. πόσταση δύο παραλλήλων υθιών λέγται το μήκος οποιουδήποτ υθυγράμμου τμήματος που ίναι κάθτο στις δύο παράλληλς υθίς και έχι τα άκρα του σ αυτές, π.χ. το. 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 89

2. Τι καλίται κύκλος,τι κέντρο του κύκλου,τι ακτίνα,πως συμβολίζουμ, πως σχδιάζουμ κύκλους και πότ λέμ ότι δύο κύκλοι ίναι ίσοι; πάντηση Κύκλος λέγται το σύνολο όλων των σημίων του πιπέδου που απέχουν την ίδια απόσταση από ένα σταθρό σημίο. Η απόσταση αυτή συμβολίζται μ ρ και λέγται ακτίνα του κύκλου. Το σημίο λέγται κέντρο του κύκλου. Ένας κύκλος μ κέντρο και ακτίνα ρ, συμβολίζται μ συντομία (, ρ). ια να σχδιάσουμ ένα κύκλο χρησιμοποιούμ το διαβήτη. ύο κύκλοι μ ακτίνς ίσς ίναι ίσοι. 22. Τι ονομάζουμ χορδή, τι διάμτρο, τι ημικύκλιο, τι τόξο,τι κυκλικό δίσκο και ποια ιδιότητα έχουν τα σημία του κυκλικού δίσκου; πάντηση Το υθύγραμμο τμήμα, που συνδέι δύο σημία και του κύκλου, λέγται χορδή του κύκλου. χορδή Ειδικά η χορδή που πρνάι από το κέντρο του κύκλου λέγται διάμτρος του κύκλου. Η διάμτρος ίναι η μγαλύτρη χορδή του κύκλου, ίναι διπλάσια από την ακτίνα διάμτρος του κύκλου και χωρίζι τον κύκλο σ δύο τόξο ίσα μέρη (ημικύκλια). ύο σημία και του κύκλου τον χωρίζουν σ δύο μέρη που το καθένα λέγται τόξο του κύκλου μ άκρα τα ρ και. τόξο Κυκλικός δίσκος (, ρ) ίναι ο κύκλος (, ρ) μαζί μ το μέρος του πιπέδου που πρικλίι. Όλα τα σημία του κυκλικού δίσκου απέχουν από το κέντρο απόσταση μικρότρη ή ίση μ την ακτίνα ρ. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 9

24. Πότ λέμ ότι μια υθία ίναι ξωτρική νός κύκλου, πότ λέμ ότι ίναι φαπτομένη και πότ τέμνουσα του κύκλου;ή ποις ίναι οι σχτικές θέσις υθίας και κύκλου στο πίπδο; πάντηση Όταν υθία και κύκλος δν έχουν κανένα κοινό σημίο λέμ ότι η υθία ίναι ξωτρική του κύκλου. Όταν η απόσταση Μ του κέντρου από την υθία ίναι μγαλύτρη από την ακτίνα ρ (Μ > ρ), η υθία ίναι ξωτρική του κύκλου. ρ Μ Όταν υθία και κύκλος έχουν ένα μόνο κοινό σημίο Μ, η υθία λέγται φαπτόμνη του κύκλου στο σημίο Μ. Όταν η απόσταση Μ του κέντρου από την υθία ίναι ίση μ την ακτίνα ρ (Μ = ρ), η υθία ίναι φαπτομένη του κύκλου στο Μ. ρ Μ Όταν υθία και κύκλος έχουν δύο κοινά σημία και, η υθία λέγται τέμνουσα του κύκλου ή λέμ ότι η υθία τέμνι τον κύκλο στα και Όταν η απόσταση Μ του κέντρου από την υθία ίναι μικρότρη από την ακτίνα ρ (Μ < ρ), η υθία ίναι τέμνουσα του κύκλου. ρ Μ 25. Να σχδιαστούν φαπτόμνς νός κύκλου (, ρ) στα άκρα και μιας χορδής του. Πως ονομάζονται αυτά τα φαπτόμνα τμήματα και τι ίναι μταξύ τους; πάντηση Σχδιάζουμ τις ακτίνς και. Στο σημίο της ακτίνας φέρνουμ την υθία κάθτη στην ακτίνα αυτή. Η υθία ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. Στο σημίο Μ της ακτίνας φέρνουμ την υθία 2 κάθτη στην ακτίνα αυτή. Η υθία 2 ίναι φαπτομένη του κύκλου στο σημίο. ν ίναι Μ το σημίο που τέμνονται οι φαπτόμνς, τα υθύγραμμα τμήματα Μ και Μ λέγονται φαπτόμνα τμήματα του κύκλου και αυτά ίναι ίσα μταξύ τους. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 92

ΚΕΦΛΙ 2ο : ΣΥΜΜΕΤΡΙ 26. Τι καλούμ συμμτρικό νός σημίου ως προς υθία,ποια ίναι τα συμμτρικά σημία της υθίας ως προς τον αυτό της ια η έννοια του σημίου,του υθυγράμμου τμήματος, τι ονομάζουμ άκρα του τμήματος,τι ορίζουν αυτά και πως κατασκυάζουμ ένα τμήμα; πάντηση Συμμτρικό σημίου ως προς υθία, ίναι το σημίο μ το οποίο συμπίπτι το, αν διπλώσουμ το φύλλο κατά μήκος της υθίας. Κάθ σημίο μιας υθίας ίναι συμμτρικό του αυτού του ως προς την. Τα τρίγωνα και ίναι συμμτρικά ως προς την υθία (ιότι μ τη δίπλωση κατά μήκος της υθίας κάθ σημίο του τριγώνου συμπίπτι μ ένα σημίο του τριγώνου.) υτό σημαίνι ότι καθένα από τα τρίγωνα αυτά αποτλίται από τα συμμτρικά όλων των σημίων του άλλου τριγώνου ως προς την υθία. νικότρα: ύο σχήματα (Σ) και (Σ2) λέγονται συμμτρικά ως προς μία υθία, όταν καθένα αποτλίται από τα συμμτρικά σημία του άλλου ως προς την. Επιδή μ δίπλωση κατά μήκος της συμπίπτι το (Σ,) μ το (Σ2), γνωρίζουμ ότι αυτά θα ίναι ίσα. Επομένως: Τα συμμτρικά ως προς υθία σχήματα ίναι ίσα. 27. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σημίου ως προς μια υθία. πάντηση ιακρίνουμ δύο πριπτώσις: Το σημίο ανήκι στην υθία. Τότ, όπως ίδαμ, το συμμτρικό του ίναι το ίδιο το σημίο. Το σημίο δν ανήκι στην υθία. Τότ, για να βρούμ το συμμτρικό του, ακολουθούμ την παρακάτω διαδικασία: Φέρνουμ το κάθτο τμήμα από το σημίο προς την υθία και το A προκτίνουμ κατά ίσο τμήμα, ώστ να ίναι =. Το σημίο ίναι το συμμτρικό του ως προς την υθία. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 93 5 cm Κ (Σ ) Μ 4 cm (Σ 2 ) Μ 5 cm Μ A

28. Να κατασκυαστί η συμμτρική ως προς υθία : (α) υθίας δ και (β) ημιυθίας χ. πάντηση (α) Παίρνουμ δύο σημία και πάνω στην υθία δ και βρίσκουμ, όπως πριν, τα συμμτρικά τους και, ως προς την. Η υθία δ που ορίζουν τα και ίναι η συμμτρική της υθίας δ. (β) Παρόμοια παίρνουμ, κτός του, ένα δύτρο σημίο πάνω στην ημιυθία και βρίσκουμ, όπως πριν, τα συμμτρικά τους και ως προς την.η ημιυθία που ορίζουν τα και ίναι η συμμτρική της ημιυθίας. πάντηση A A δ 29. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός υθύγραμμου τμήματος, ως προς μια υθία. A B A ρίσκουμ μ τον τρόπο που ίδαμ πριν, τα συμμτρικά και, ως προς την, των και αντίστοιχα. Τότ το υθύγραμμο τμήμα θα ίναι το συμμτρικό του, ως προς την υθία.τα συμμτρικά υθύγραμμα τμήματα θα ίναι μταξύ τους ίσα, δηλαδή: = B A 2 A B A B A 3 3. Να κατασκυαστί η συμμτρική γωνίας A ως προς μία υθία. πάντηση ια να κατασκυάσουμ τη γωνία A αρκί να βρούμ το συμμτρικό της κορυφής καθώς και τα συμμτρικά και δύο ακόμα σημίων και, που ανήκουν το καθένα σ μια από τις πλυρές της αντίστοιχα. νωρίζουμ ότι θα ίναι: A = A A ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 94

3. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς μία υθία, η οποία (α) δν τέμνι τις πλυρές του, (β) διέρχται από δύο κορυφές του και (γ) τέμνι τις πλυρές του. πάντηση Σ κάθ πρίπτωση βρίσκουμ τα συμμτρικά,,, ως προς την, των κορυφών,, του τριγώνου. Τότ το τρίγωνο έχι συμμτρικό το τρίγωνο, που ίναι ίσο μ το. (H δν τέμνι τις πλυρές)-(η διέρχται από τα και )-(H τέμνι τις πλυρές) A A A 32. Να κατασκυαστί το συμμτρικό κύκλου (, ρ) ως προς υθία. πάντηση Το συμμτρικό του κύκλου (, ρ) ως προς την ίναι κύκλος (, ρ) ίσος μ τον (, ρ), μ συμμτρικό του ως προς την. Όπως όλα τα συμμτρικά σχήματα, οι κύκλοι (, ρ) και (, ρ) ίναι ίσοι, δηλαδή έχουν ίσς ακτίνς. ρ ρ 33. Τι ονομάζουμ άξονα συμμτρίας; πάντηση Άξονας συμμτρίας σχήματος ονομάζται η υθία που χωρίζι το σχήμα σ δύο μέρη, τα οποία συμπίπτουν όταν διπλωθί το σχήμα κατά μήκος της υθίας. Στην πρίπτωση αυτή λέμ ότι το σχήμα έχι άξονα συμμτρίας την υθία αυτή. Όταν ένα σχήμα έχι άξονα συμμτρίας, το συμμτρικό του ως προς τον άξονα αυτόν ίναι το ίδιο το σχήμα. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 95

34. Να βρθούν οι άξονς συμμτρίς του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου; πάντηση Μ δίπλωση διαπιστώνουμ ότι η υθία πάνω στην οποία βρίσκται μια οποιαδήποτ διάμτρος του κύκλου (, ρ) ίναι άξονας συμμτρίας του κύκλου ρ και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. Επομένως: ποιαδήποτ διάμτρος κύκλου ίναι άξονας συμμτρίας του κύκλου και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. 35. Τι καλίται μσοκάθτος υθυγράμμου και τι γνωρίζται γι αυτή; πάντηση Μσοκάθτος υθυγράμμου τμήματος λέγται η υθία που ίναι κάθτη προς αυτό και διέρχται από το μέσον του. Κάθ σημίο της μσοκαθέτου νός υθυγράμμου τμήματος έχι ίσς αποστάσις (ισαπέχι) από τα άκρα του. Κάθ σημίο που ισαπέχι από τα άκρα νός υθυγράμμου τμήματος βρίσκται πάνω στη μσοκάθτό του. Η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος ίναι άξονας συμμτρίας του 36. Να σχδιαστί η μσοκάθτος νός υθυγράμμου τμήματος, μονό μ τη χρήση του κανόνα και του διαβήτη. πάντηση νωρίζουμ ότι η μσοκάθτος, όπως κάθ υθία, ορίζται από δύο σημία και ότι κάθ σημίο της μσοκαθέτου νός υθυγράμμου τμήματος ισαπέχι από τα άκρα του. ια να σχδιάσουμ τη μσοκάθτο του υθυγράμμου τμήματος πρέπι να βρούμ δύο σημία που να ισαπέχουν από τα και. ράφουμ, λοιπόν, δύο ίσους κύκλους μ κέντρα τα άκρα και του υθυγράμμου τμήματος και μ ακτίνα ρ (μγαλύτρη από το μισό μήκος του, για να τέμνονται). Τα σημία και, στα οποία τέμνονται οι δύο κύκλοι ορίζουν την υθία που ίναι μσοκάθτος του υθυγράμμου τμήματος, διότι δύο σημία της, τα και, απέχουν ξίσου από τα άκρα και, αφού ίναι = = ρ και = = ρ. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2 3 96 ρ ρ ρ ρ Μ Μ

37. Να κατασκυαστί υθία δ κάθτη σ υθία στο σημίο της. πάντηση ράφουμ κύκλο μ κέντρο το και τυχαία ακτίνα, που τέμνι την σ δύο σημία και. Επιδή το ίναι μέσο του, αρκί να φέρουμ τη μσοκάθτο του που διέρχται από το μέσο του και ίναι κάθτη στην. 2 δ Ε 3 Ζ 4 Ε δ Ζ 38. Να κατασκυαστί η κάθτη δ μιας υθίας από σημίο κτός αυτής. πάντηση ράφουμ κύκλο μ κέντρο το και ακτίνα τέτοια ώστ να τέμνι την σ δύο σημία και. Επιδή το ισαπέχι από τα και, θα ίναι σημίο της μσοκαθέτου του τμήματος. Επομένως, αρκί να φέρουμ, μ τον ίδιο τρόπο μ πριν, τη μσοκάθτο του που διέρχται από το. 2 3 δ 4 δ 39. Να κατασκυαστί ένα ισόπλυρο τρίγωνο πλυράς α. πάντηση ράφουμ ένα υθύγραμμο τμήμα = α. Μ κέντρα τα άκρα και και ακτίνα ίση μ α γράφουμ δύο κύκλους. Έστω το ένα σημίο από τα δύο που τέμνονται οι κύκλοι αυτοί. Το τρίγωνο ίναι το ζητούμνο ισόπλυρο, διότι έχι όλς τις πλυρές του ίσς μ α, ως ακτίνς ίσων κύκλων ακτίνας α. α α α πάντηση 4. Ποια σημία λέγονται συμμτρικά, ως προς κέντρο,τι ισχύι γι αυτά,πότ δύο σχήματα λέγονται συμμτρικά ως προς και τι ισχύι γι αυτά; Συμμτρικό σημίου ως προς κέντρο, ίναι το σημίο, μ το οποίο το, αν πριστραφί πρί το κατά 8 ο. Ισχύι ότι: ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 97

ύο σημία Μ και Μ ίναι συμμτρικά ως προς σημίο, όταν το ίναι μέσο του τμήματος ΜΜ. ύο σχήματα λέγονται συμμτρικά ως προς σημίο, όταν κάθ σημίο του νός ίναι συμμτρικό νός Μ σημίου του άλλου ως προς το. Τα συμμτρικά ως προς σημίο σχήματα ίναι ίσα. Μ 4. Να βρθί το συμμτρικό του σημίου, ως προς σημίο. πάντηση ια να κατασκυάσουμ το συμμτρικό νός σημίου ως προς σημίο, φέρνουμ το υθύγραμμο τμήμα και στην προέκτασή του ( μ το υποδκάμτρο ή μ το διαβήτη) 2 3 παίρνουμ ίσο τμήμα, όπως δίχνουν οι διπλανές ικόνς. 42. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός υθυγράμμου τμήματος ως προς σημίο. πάντηση Το συμμτρικό νός υθυγράμμου τμήματος ως προς σημίο, ίναι υθύγραμμο τμήμα. ια να το κατασκυάσουμ αρκί να βρούμ τα σημία και, που ίναι τα συμμτρικά των και ως προς. Παρατηρούμ ότι ίναι: = και //. 43. Να κατασκυαστί το συμμτρικό ως προς σημίο : (α) μιας υθίας και (β) μιας ημιυθίας. πάντηση Παίρνουμ δύο σημία και πάνω στην υθία ή την ημιυθία χ και βρίσκουμ, όπως παραπάνω, τα συμμτρικά ως προς το. Η προέκταση του υθύγραμμου τμήματος ίναι η ή η, που ίναι συμμτρική της υθίας ή της ημιυθίας αντίστοιχα. (α) (β) 2 3 // 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 98

44. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σχήμα μιας γωνίας ως προς σημίο. πάντηση ρίσκουμ το συμμτρικό της κορυφής και τις συμμτρικές ημιυθίς και των δύο πλυρών της και αντίστοιχα ως προς το, όπως μάθαμ προηγουμένως. Τότ, η γωνία ίναι συμμτρική της και ίναι ίση μ αυτή. 45. Να κατασκυαστί το συμμτρικό νός τριγώνου ως προς σημίο, το οποίο (α) ίναι κτός τριγώνου, (β) βρίσκται ντός του τριγώνου και (γ) ίναι μία κορυφή του. πάντηση Και στις τρις πριπτώσις, βρίσκουμ τα συμμτρικά,,, ως προς το, των κορυφών,, του τριγώνου. Τότ το τρίγωνο έχι συμμτρικό το τρίγωνο, που ίναι ίσο μ το. 46. Να κατασκυαστί το συμμτρικό σχήμα νός κύκλου (Κ, ρ) ως προς σημίο. πάντηση ρίσκουμ το συμμτρικό ως προς το του κέντρου Κ και νός σημίου του κύκλου, που ίναι τα σημία Κ και αντίστοιχα. ράφουμ τον κύκλο (Κ, ρ = Κ ) που ίναι ο ζητούμνος. ι δύο κύκλοι ίναι ίσοι διότι έχουν ίσς ακτίνς. 47. Τι καλούμαι κέντρο συμμτρίας νός σχήματος και ποιο το συμμτρικό του σχήματος ως προς το κέντρο αυτό; πάντηση Κέντρο συμμτρίας σχήματος ονομάζται ένα σημίο του, γύρω από το οποίο αν πριστραφί το σχήμα κατά 8 ο, συμπίπτι μ το αρχικό. Στην πρίπτωση που υπάρχι τέτοιο σημίο, λέμ ότι το σχήμα έχι κέντρο συμμτρίας το σημίο. Όταν ένα σχήμα έχι κέντρο συμμτρίας, το συμμτρικό του ως προς το κέντρο αυτό ίναι το ίδιο το σχήμα. (α) Κ (β) ρ A (γ) ρ Κ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 99

48. Να δίξτ ότι το συμμτρικό παραλληλογράμμου, ως προς κέντρο συμμτρίας το σημίο τομής των διαγωνίων του, ίναι το ίδιο το παραλληλόγραμμο. πάντηση Παρατηρούμ, ότι ένα σημίο Ε του παραλληλογράμμου, μ στροφή κατά 8 ο γύρω από το, θα συμπέσι μ ένα άλλο σημίο Ε του ίδιου του παραλληλογράμμου. υτό συμβαίνι για όλα τα σημία του, πομένως το συμμτρικό του ως προς το ίναι πάλι το ίδιο το παραλληλόγραμμο. 49. Ποιο ίναι το κέντρο συμμτρίας νός κύκλου; πάντηση Μ στροφή κατά 8 ο γύρω από το κέντρο του κύκλου, διαπιστώνουμ ότι αυτός συμπίπτι μ τον αυτό του. Επομένως: Το κέντρο του κύκλου ίναι κέντρο συμμτρίας του καθώς και του αντίστοιχου κυκλικού δίσκου. 5. Να αποδιχθί ότι το συμμτρικό σχήμα μιας υθίας, ως προς κέντρο, ίναι υθία //. πάντηση Φέρνουμ την απόσταση του από την. Έστω ένα άλλο σημίο της. ρίσκουμ τα συμμτρικά και των σημίων και ως προς το και ονομάζουμ την υθία που διέρχται από τα και. Η υθία ίναι συμμτρική της ως προς κέντρο συμμτρίας το. Η γωνία θα ίναι συμμτρική της γωνίας. Επιδή οι συμμτρικές γωνίς ίναι ίσς, θα ίναι: = = 9 ο. Άρα, οι υθίς και ίναι κάθτς στην ίδια υθία, συνπώς μταξύ τους παράλληλς. ι συμμτρικές ως προς σημίο υθίς, ίναι μταξύ τους παράλληλς. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ

5. ν έχω δύο παράλληλς υθίς που τέμνονται από τρίτη υθία να ονομάστ τα διάφορα ίδη γωνιών που σχηματίζονται και να δώστ την σχέση που τις συνδέι. πάντηση ι γωνίς που βρίσκονται ανάμσα στις υθίς, και 2 ονομάζονται φ «ντός» (των υθιών) και όλς οι άλλς «κτός». 3, 4,, 2 ίναι ντός και, 2, 3, 4 ίναι κτός ι γωνίς που βρίσκονται προς το ίδιο μέρος φ της υθίας δ ονομάζονται πί τα αυτά (μέρη της υθίας) 2, 3, 2, 3 ίναι πί τα αυτά και 2 ω φ 4 3 2 ω ω 4 3 2 φ ω δ, 4,, 4 ίναι πί τα αυτά ύο γωνίς που βρίσκονται η μία στο ένα κι η άλλη στο άλλο ημιπίπδο της υθίας δ, λέγονται μταξύ τους ναλλάξ. π.χ. η 4 μ τη 2 ίναι ναλλάξ αλλά και η 2 μ τη ίναι ναλλάξ κ.ο.κ. πό τον συνδυασμό των παραπάνω προκύπτι ότι θα έχουμ τις παρακάτω έξι ονομασίς για τα 6 διαφορτικά ζυγάρια των γωνιών. (α) ντός ναλλάξ οι οποίς ίναι ίσς (β) κτός ναλλάξ οι οποίς ίναι ίσς (γ) ντός και πί τα αυτά οι οποίς ίναι παραπληρωματικές (δηλαδή έχουν άθροισμα 8 ο ) (δ) κτός και πί τα αυτά οι οποίς ίναι παραπληρωματικές (δηλαδή έχουν άθροισμα 8 ο ) () ντός-κτός ναλλάξ οι οποίς ίναι παραπληρωματικές (δηλαδή έχουν άθροισμα 8 ο ) και (στ) ντός-κτός πί τα αυτά οι οποίς ίναι ίσς ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ

ΚΕΦΛΙ 3ο : ΤΡΙΩΝ - ΠΡΛΛΗΛΡΜΜ ΤΡΠΕΖΙ 52. Ποια ίναι τα κύρια στοιχία τριγώνου νός τριγώνου; πάντηση Κάθ τρίγωνο έχι τρις κορυφές,,, τρις πλυρές =γ, =α, =β και τρις γωνίς,,. Τα,,, κτός από τις πλυρά πλυρές, συμβολίζουν και τα μήκη κορυφή πλυρά κορυφή κορυφή των αντίστοιχων υθυγράμμων τμημάτων πλυρά πάντηση 53. Πως διακρίνονται τα τρίγωνα ως προς τις πλυρές και ω προς τις γωνίς τους; Πλυρές κάθτς Μία γωνία ορθή Μία γωνία μγαλύτρη της ορθής Όχι κάθτς πλυρές Όλς οι γωνίς μικρότρς της ορθής ρθογώνιο μβλυγώνιο ξυγώνιο Ισότητα πλυρών νισότητα πλυρών Τρις πλυρές ίσς ύο πλυρές ίσς Όλς οι πλυρές άνισς Ισόπλυρο Ισοσκλές Σκαληνό ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

54. Ποια τα δυτρύοντα στοιχία του τριγώνου; πάντηση Το υθύγραμμο τμήμα που νώνι την Κορυφή νός τριγώνου μ το μέσο της απέναντι πλυράς, λέγται διάμσος. Το υθύγραμμο τμήμα που φέρνουμ από μία κορυφή νός τριγώνου κάθτο στην υθία της απέναντι πλυράς, λέγται ύψος του τριγώνου. Το υθύγραμμο τμήμα της διχοτόμου μιας γωνίας νός τριγώνου που φέρνουμ από μια κορυφή και καταλήγι στην απέναντι πλυρά, λέγται διχοτόμος του τριγώνου. Μ ω ω 55. Να σχδιαστούν τα ύψη σ τρίγωνο που ίναι:(α) οξυγώνιο, (β) αμβλυγώνιο και (γ) ορθογώνιο. πάντηση πό την κορυφή π.χ. την του τριγώνου φέρνουμ την κάθτο στην απέναντι πλυρά του. Τότ η απόσταση του από την πλυρά ίναι το ύψος του τριγώνου. υτήν τη διαδικασία την παναλαμβάνουμ και από τις άλλς δύο κορυφές του τριγώνου για να βρούμ και τα τρία ύψη του, τα οποία παρατηρούμ ότι διέρχονται από το ίδιο σημίο Η, που λέγται ορθόκντρο. (α) Ύψη σ οξυγώνιο 2 Ε 3 Ζ 4 Ζ Η Ε B B B B (β) Ύψη σ αμβλυγώνιο 2 3 Ε 4 Ε Ζ Ζ Η Ζ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3

(γ) Ύψη σ ορθογώνιο 2 3 4 56. Σ αποδίξτ ότι σ κάθ τρίγωνο ισχύι: + + = 8 ο πάντηση Σχδιάζουμ το τρίγωνο και μία υθία, που διέρχται από το και ίναι παράλληλη προς την υθία. A Παρατηρούμ ότι: ω B = ω = θ γιατί ίναι γωνίς ντός ναλλάξ, ω B των παράλληλων υθιών και, θ που τέμνονται από την. A = θ = γιατί ίναι γωνίς ντός ναλλάξ των παράλληλων υθιών και, που τέμνονται από την. ι γωνίς ω, και θ σχηματίζουν μια υθία γωνία. Επομένως θα ίναι: ω + + θ = 8 ο. Επιδή όμως ίναι: ω = και θ = θα έχουμ: + + = 8 ο. 57. Τι ισχύι σ κάθ ισοσκλές και τι σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο; πάντηση Σ κάθ ισοσκλές τρίγωνο ισχύι ότι: Η υθία της διαμέσου, που αντιστοιχί στη βάση ίναι άξονας συμμτρίας του ισοσκλούς τριγώνου. 2 Η διάμσος, που αντιστοιχί στη βάση ίναι ύψος και διχοτόμος. B βάση 2 ι προσκίμνς γωνίς στη βάση του ισοσκλούς ίναι ίσς. Σ κάθ ισόπλυρο τρίγωνο ισχύι ότι: ι υθίς των διαμέσων ίναι άξονς συμμτρίας του ισοπλύρου τριγώνου. Κάθ διάμσος ίναι ύψος και διχοτόμος. Όλς οι πλυρές και όλς οι γωνίς του ισοπλύρου τριγώνου ίναι ίσς. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 4

58. Να δίξτ ότι σ κάθ ορθογώνιο τρίγωνο οι οξίς γωνίς ίναι συμπληρωματικές. πάντηση Σχδιάζουμ το ορθογώνιο τρίγωνο μ = 9 ο. Επιδή ίναι: + + = 8 ο θα έχουμ: + = 8 ο 9 ο = 9 ο νωρίζουμ, ότι δύο γωνίς που έχουν άθροισμα 9 ο λέγονται συμπληρωματικές. Άρα, σ κάθ ορθογώνιο τρίγωνο οι οξίς γωνίς του ίναι συμπληρωματικές. 59. Να δίξτ ότι το άθροισμα δύο γωνιών νός τριγώνου ισούται μ την ξωτρική της τρίτης γωνίας. (Στο τρίγωνο η γωνία, που σχηματίζται από την και την προέκταση της προς το μέρος του, ονομάζται ξωτρική γωνία της ). πάντηση Η ξωτρική γωνία φ ίναι παραπληρωματική της σωτρικής γωνίας του τριγώνου, δηλαδή θα ίναι φ = 8 ο. Επιδή σ κάθ τρίγωνο ίναι + + = 8 ο, άρα + = 8 ο δηλαδή + = φ Άρα, η ξωτρική γωνία ισούται μ το άθροισμα των δύο άλλων γωνιών του τριγώνου. φ 6. ι γωνίς νός ισόπλυρου τριγώνου ίναι όλς ίσς μ 6 ο. πάντηση νωρίζουμ ότι στο ισόπλυρο τρίγωνο ίναι: = =. Επιδή σ κάθ 6 ο τρίγωνο ίναι + + = 8 ο, θα ίναι + + = 8 ο, άρα 3 = 8 ο, 2 6 ο 6 ο συνπώς: = 8 ο : 3 = 6 ο. Άρα, όλς οι γωνίς του ισόπλυρου τριγώνου ίναι ίσς μ 6 ο. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 5

6. Να υπολογιστούν οι γωνίς νός ορθογωνίου και ισοσκλούς τριγώνου. πάντηση Σ κάθ τρίγωνο ισχύι + + = 8 ο. Επιδή στο ορθογώνιο τρίγωνο η γωνία ίναι ορθή, δηλαδή = 9 ο, θα ίναι: + = 9 ο. Επιδή το τρίγωνο ίναι και ισοσκλές θα ίναι = άρα θα ίναι, + = 9 ο, από την οποία προκύπτι ότι: 2 = 9 ο δηλαδή θα έχουμ = 9 ο : 2 = 45 ο και πομένως και = 45 ο. 45 ο 45 ο 62. Τι καλούμαι παραλληλόγραμμο, τι βάση και τι ύψος νός παραλληλογράμμου ; πάντηση Παραλληλόγραμμο λέγται το ττράπλυρο που έχι τις απέναντι πλυρές του παράλληλς, δηλαδή // και //. Κάθ πλυρά του παραλληλογράμμου Ε μπορί να ονομαστί βάση του παραλληλογράμμου. υ Η απόσταση της βάσης από την απέναντι πλυρά λέγται ύψος του παραλληλογράμμου ια τις βάσις Η Ζ και ύψος ίναι το ΕΖ, νώ για τις υ 2 βάσις και ύψος ίναι το ΗΘ. Θ 63. Ποις ίναι οι ιδικές πριπτώσις παραλληλογράμμων; πάντηση Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις γωνίς του ορθές λέγται ορθογώνιο παραλληλόγραμμο ή απλά ορθογώνιο. Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις πλυρές του ίσς λέγται ρόμβος. Ένα παραλληλόγραμμο που έχι όλς τις γωνίς του ορθές και όλς τις πλυρές του ίσς λέγται ττράγωνο. B B B ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 6

64. Τι καλούμαι τραπέζιο, τι βάση,τι ύψος νός τραπζίου και τι ισοσκλές τραπέζιο ; πάντηση Το ττράπλυρο του οποίου μόνο δύο πλυρές ίναι παράλληλς λέγται τραπέζιο. ι παράλληλς πλυρές, ( // ) του τραπζίου λέγονται βάσις του τραπζίου. Η απόσταση των βάσων λέγται ύψος του τραπζίου.(η απόσταση των βάσων και ίναι το ύψος ΕΖ.) ν ένα τραπέζιο έχι τις μη παράλληλς πλυρές του ίσς λέγται ισοσκλές τραπέζιο. (δηλαδή = ) Ε Ζ υ B 65. Να ξηγήστ γιατί οι πλυρές του ορθογωνίου ίναι και ύψη. πάντηση Επιδή όλς οι γωνίς του ορθογωνίου ίναι ορθές, οι διαδοχικές πλυρές του θα ίναι κάθτς μταξύ τους. Επομένως οι πλυρές του ορθογωνίου ίναι και ύψη. 66. Να συγκριθούν τα ύψη του ρόμβου που άγονται από μία κορυφή. πάντηση Συγκρίνουμ μ το διαβήτη ή μ διαφανές χαρτί τα ύψη Ε και Ζ του ρόμβου και διαπιστώνουμ ότι ίναι ίσα, δηλαδή: Ε = Ζ. Ε Ζ 67. Να σχδιαστούν τα ύψη του παραλληλογράμμου που άγονται από μια κορυφή. πάντηση Τα ύψη του παραλληλογράμμου που φέρνουμ από την κορυφή στις πλυρές και ίναι τα Ε και Ζ αντίστοιχα. Ε υ υ 2 Ζ ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 7

68. Ποις οι ιδιότητς του ορθογώνιου και ποις του πλάγιου παραλληλογράμμου; πάντηση Σ κάθ παραλληλόγραμμο το σημίο τομής των διαγωνίων του ίναι κέντρο συμμτρίας του. ι διαγώνιές του διχοτομούνται (κάθ μία πρνάι από το μέσον της άλλης). ι απέναντι πλυρές ίναι ίσς. ι απέναντι γωνίς ίναι ίσς. Στο ορθογώνιο: ι μσοκάθτοι των πλυρών του ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνιές του ίναι ίσς και διχοτομούνται. πάντηση 69. Ποις οι ιδιότητς του ρόμβου, ποις του ττραγώνου και ποις του ισοσκλούς τραπζίου; Ιδιότητς του ρόμβου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχι ακόμα και τις ξής: ι υθίς των διαγωνίων ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνις ίναι κάθτς (και διχοτομούνται). 2 2 2 2 2 ι διαγώνιές του ίναι και διχοτόμοι των γωνιών του. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 8

Ιδιότητς του ττραγώνου Εκτός των ιδιοτήτων του παραλληλογράμμου έχι ακόμα και τις ξής: 45 ο ι υθίς των διαγωνίων του και οι μσοκάθτοι των πλυρών του ίναι άξονς συμμτρίας. ι διαγώνιές του ίναι ίσς, κάθτς (και διχοτομούνται) ι διαγώνιές του ίναι και διχοτόμοι των γωνιών του. Ιδιότητς του ισοσκλούς τραπζίου Η υθία που διέρχται από τα μέσα των βάσων ίναι άξονας συμμτρίας και μσοκάθτος στις βάσις του. 2 Ν ι προσκίμνς σ κάθ βάση γωνίς του ίναι ίσς. Μ 2 7. Να βρθί το κέντρο συμμτρίας: (α) του ρόμβου, (β) του ορθογωνίου και (γ) του ττραγώνου. πάντηση (α) Επιδή ο ρόμβος ίναι και παραλληλόγραμμο, το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. (β) Επιδή το ορθογώνιο ίναι και παραλληλόγραμμο, το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. (γ) Επιδή το ττράγωνο ίναι και ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το σημίο τομής των διαγωνίων του θα ίναι και κέντρο συμμτρίας του. ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 9

ΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕΡΣ 4ο : ΕΩΜΕΤΡΙ ΝΚΕΦΛΙΩΣΗ ΚΕΦΛΙ ο: ΣΙΚΕΣ ΕΩΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΝΝΙΕΣ σημίο άπιρς υθίς από υθύγραμμο τμήμα παράλληλα υθύγραμμα τμήματα υθία υθία ημιυθία το σημίο χωρίζι μια υθία σ δύο ημιυθίς και τμνόμνς κάθτς υθίς παράλληλς υθίς υθίς 2 2 από το μία μόνο από το μία μόνο κάθτη στην παράλληλη στην ο ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

Π Π τρία σημία ορίζουν ένα πίπδο Η υθία ανήκι ολόκληρη στο πίπδο Π Π 2 Π Π Η υθία τέμνι το πίπδο Π Η υθία χωρίζι ένα πίπδο σ δύο ημιπίπδα απόσταση δύο σημίων απόσταση σημίου από υθία 2 απόσταση δύο παράλληλων υθιών πλυρά κορυφή ω O πλυρά ΩΝΙ διχοτόμος γωνίας διχοτόμος z κατακορυφήν γωνίς φξής γωνίς 9 ο φ ω β z α ο 8 ο ο διαδοχικές γωνίς παραπληρωματικές γωνίς συμπληρωματικές γωνίς ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ

8 8 8 οξία γωνία Είδη γωνιών ορθή γωνία 9 9 8 8 αμβλία γωνία υθία γωνία 9 9 8 8 8 Μηδνική γωνία Μη κυρτή γωνία 9 8 O O Πλήρης γωνία O ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 2

Κύκλος ρ χορδή διάμτρος κύκλος(, ρ) και χορδή η διάμτρος κυκλικός δίσκος χωρίζι τον κύκλο σ 2 ημικύκλια Μ 2 ρ Μ 3 Μ O B τόξο A δύο σημία και Μ σωτρικό του (, ρ) του κύκλου ορίζουν Μ 2 σημίο του (, ρ) δύο τόξα του κύκλου Μ 3 ξωτρικό του (, ρ) Επίκντρη γωνία Σχτικές θέσις υθίας και κύκλου ρ Μ ρ Μ ρ Μ ξωτρική φαπτόμνη τέμνουσα φαπτόμνα τμήματα Μ 2 ΕΠΙΜΕΛΕΙ : ΥΕΡΙΝΣ ΣΙΛΗΣ 3