Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

Η Έοι του Ορίου Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει με οποιοδήποτε τρόπο το ριθμό, τότε γράφουμε: f() κι διβάζουμε: " το όριο της f(), ότ το τείει στο, είι " ή " το όριο της f() στο είι " Γι ζητήσουμε το όριο της f στο, πρέπει η f ορίζετι όσο θέλουμε "κοτά στο ", δηλδή η f είι ορισμέη σ' έ σύολο της μορφής: (, ) (, β) ή (, ) ή (, β) Το μπορεί ήκει στο πεδίο ορισμού της συάρτησης ή μη ήκει σ' υτό. Η τιμή της f στο, ότ υπάρχει, μπορεί είι ίση με το όριό της στο o ή διφορετική πό υτό. Α μι συάρτηση έχει όριο στο, τότε υτό είι μοδικό. Αυστηρότερ, διτυπώουμε το πρκάτω ορισμό: Ορισμός Έστω συάρτηση f ορισμέη σε έ σύολο της μορφής (, )(, β). Θ λέμε ότι το όριο της f, ότ το τείει στο, είι κι θ γράφουμε: f() κι μόο, γι κάθε ε > υπάρχει δ > τέτοιος, ώστε γι κάθε (, )(, β), με < < δ ισχύει: f() f() < ε

y = f() + ε + ε Ο -δ +δ Μεθοδολογί Γεικά, προκειμέου υπολογίσουμε τη τιμή εός ορίου, τικθιστούμε όπου = κι προχωρούμε στη εκτέλεση τω πράξεω. Στη φάση υτή, πιθόττ δημιουργηθού διάφορ προβλήμτ υπολογισμού, τ οποί κλούτι μορφές προσδιοριστίς κι τις οποίες θ εξετάσουμε ργότερ.

Πλευρικά Όρι Ορισμός Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει το πό μικρότερες τιμές ( < ), τότε γράφουμε: κι διβάζουμε: f() "το όριο της f(), ότ το τείει στο πό τ ριστερά, είι " κι λόγως Ότ οι τιμές μις συάρτησης f προσεγγίζου όσο θέλουμε έ πργμτικό ριθμό, κθώς το προσεγγίζει το πό μεγλύτερες τιμές ( > ), τότε γράφουμε: κι διβάζουμε: f() "το όριο της f(), ότ το τείει στο πό τ δεξιά, είι " Τους ριθμούς f() κι f() τους οομάζουμε πλευρικά όρι της f στο κι συγκεκριμέ το ριστερό όριο της f στο, εώ το δεξιό όριο της f στο. Προκειμέου υπάρχει το όριο μις συάρτησης f στο, θ πρέπει όχι μόο υπάρχου τ πλευρικά όριο στο λλά κι τυτίζοτι. Συεπώς, ισχύει η πρκάτω ισοδυμί: f() f() f()

Α μι συάρτηση f ορίζετι μόο δεξιά ή μόο ριστερά του, τότε το όριό της στο τυτίζετι με το δεξί ή το ριστερό όριο, τίστοιχ. Πιο συγκεκριμέ: Α η f ορίζετι σ' έ διάστημ (, β), λλά όχι στο (, ) τότε: f() f() Α η f ορίζετι σ' έ διάστημ (, ), λλά όχι στο (, β) τότε: Μεθοδολογί f() f() Τ πλευρικά όρι, συήθως, τ χρειζόμστε στις συρτήσεις, οι οποίες λλάζου τύπο, δεξιά ή ριστερά του σημείου. f() f () f() Γι <, υπολογίζουμε το Γι >, υπολογίζουμε το Α Α f() είι: f(),, f(). f(). f() τότε υπάρχει το όριο της f στο κι. f() f() τότε δε υπάρχει το όριο της f στο.

Ιδιότητες τω Ορίω Με τη βοήθει του ορισμού ποδεικύοτι τ πρκάτω:. f() [f() ]. f() f( h) 3. c c 4. h όριο στθερής συάρτησης όριο τυτοτικής συάρτησης 5. Όρι & πράξεις Επιπλέο, υπάρχου τ όρι τω συρτήσεω f κι g στο, τότε: 6. [f() g()] f() g() Γεικά: [f () f ()... f ()] f () f ()... f 7. [κ f()] κ f() 8. [f() g()] f() g() 9. Γεικά: [f () f ()... f ()] f () f ()... f f() g() f(), με g() g(). f() f() () ()

. κ f() κ f(), με f() κοτά στο. [f()] f(), με * Κι κόμ, γεικά ισχύει: f () f() Ισχύου, επίσης, τ πρκάτω θεωρήμτ: Θεώρημ f() Γι κάθε πολυωυμική συάρτηση Ρ() = + +... + +,, ισχύει: P() P( ), γι κάθε Θεώρημ Α Ρ(), Q() πολυώυμ του, τότε ισχύει: P() Q() P( Q( ), γι κάθε με Q(). ) Μεθοδολογί Προσοχή! Συχά, ότ στις σκήσεις εργζόμστε με δύο ή περισσότερες συρτήσεις, εφρμόζουμε τις ιδιότητες τω ορίω δίχως ιδιίτερη περίσκεψη. Θ πρέπει θυμόμστε, συεχώς, ότι οι ιδιότητες εφρμόζοτι μόο ότ υπάρχου τ επιμέρους όρι τω συρτήσεω. Θ πρέπει λοιπό, ωρίτερ, εξετάζουμε τη ύπρξή τους.

Όριο κι Διάτξη Θεώρημ Α η συάρτηση f έχει όριο στο, τότε: Α f(), τότε είι κι f() >, κοτά στο. Α f(), τότε είι κι f() <, κοτά στο. Θεώρημ Α οι συρτήσεις f, g έχου όριο στο κι ισχύει f() g() κοτά στο, τότε ισχύει f() g(). Στη περίπτωση που f() < g() ΔΕΝ συεπάγετι πρίτητ ότι f() < g(). Με τη προϋπόθεση ότι υπάρχου τ όρι στο τότε f() g() Κριτήριο Πρεμβολής Έστω οι συρτήσεις f, g, h. τότε: h() f() g() κοτά στο o κι h() = g() =, f()

Μεθοδολογί Το κριτήριο της πρεμβολής χρησιμοποιείτι, συήθως, ότ μς δίετι μι ισοτική σχέση. Στη περίπτωση υτή, πιθόττ χρειάζετι κάποιος μετσχημτισμός. Θ πρέπει, ωστόσο, προσέχουμε, κτά τη διάρκει τω μετσχημτισμώ, κθότι συχά πιτείτι πολλπλσισμός ή διίρεση τω μελώ με κάποιο ριθμό. Δηλδή, ο ριθμός υτός είι θετικός ή ρητικός, οπότε θ επηρεάσει κι τη φορά της ισότητς. Έτσι, είοτε, ότ δε γωρίζουμε το πρόσημο, είμστε υποχρεωμέοι πίρουμε ξεχωριστές περιπτώσεις, υπολογίζοτς πλευρικά όρι. Χρήσιμες είι κι οι πρκάτω διδικσίες: β β β β β κι β β β β

Τριγωομετρικά Όρι Γι τ όρι τω τριγωομετρικώ συρτήσεω, σε έ σημείο, ποδεικύοτι οι εξής σχέσεις: ημ, γι κάθε ( η ισότητ ισχύει μόο γι = ) ημ ημ συ συ ημ συ - Μεθοδολογί ημ(κ) Ότ τιμετωπίζουμε όρι της μορφής, τότε θέτουμε κ = u, οπότε ότ θ είι κι u. Έτσι, ημ(κ) ημ(κ) ημ(u) έχουμε: κ κ κ κ. κ u u Ότ τιμετωπίζουμε όρι της μορφής ημ() ή συ(), τότε εφρμόζουμε το κριτήριο πρεμβολής, με τη βοήθει τω πρκάτω σχέσεω: ημ ημ κι συ συ

Όριο Σύθετης Συάρτησης Αποδεικύετι ότι το όριο της σύθεσης fog, δύο συρτήσεω f κι g, σε έ σημείο είι: f(g()) u f(u) u όπου: u = g() u = g() g() u κοτά στο Μεθοδολογί Γι υπολογίσουμε το όριο μις σύθετης συάρτησης fog σ' έ σημείο, κολουθούμε τη πρκάτω διδικσί: Θέτουμε g() = u κι λύουμε ως προς. Υπολογίζουμε το g(), υπάρχει, έστω u. o Υπολογίζουμε το f(u), υπάρχει, έστω. uu o Το τελευτίο είι κι το ζητούμεο όριο.

Μη Πεπερσμέο Όριο στο o Ορισμός Έστω μι συάρτηση f, που είι ορισμέη σε έ σύολο της μορφής (, )(, β). Ορίζουμε: f(), ότ γι κάθε Μ > υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε γι κάθε (, )(, β), με < < δ ισχύει: f() > M f(), ότ γι κάθε Μ > υπάρχει δ > τέτοιο, ώστε γι κάθε (, )(, β), με < < δ ισχύει: f() < M Ισχύου οι πρκάτω ισοδυμίες: Μεθοδολογί f() f() f() f() f() f() Οι πρκάτω προτάσεις είι, επίσης, πολύ χρήσιμες. Ωστόσο, χρειάζετι σε κάθε περίπτωση ποδεικύοτι, κθώς δε περιλμβάοτι στη διδκτέ ύλη: Μη πεπερσμέο όριο & διάτξη Α. Α ισχύει ότι f() g() κοτά στο κι g(), τότε: f()

Β. Α ισχύει ότι f() g() κοτά στο κι g(), τότε: Απόδειξη Α. Επειδή g() f(), άρ g() >, κοτά στο. Όμως, f() g() άρ είι κι f() >, κοτά στο. Συεπώς, κοτά στο, είι: f() g(). f() g() Επειδή, τότε π' το κριτήριο πρεμβολής θ g() έχουμε ότι κι. f() f() άρ f() f() κοτά στο f() Β. Επειδή g(), άρ g() <, κοτά στο. Όμως, f() g() άρ είι κι f() <, κοτά στο. Συεπώς, κοτά στο, είι: f() g(). f() g() Επειδή, τότε π' το κριτήριο πρεμβολής θ g() έχουμε ότι κι. f() f() άρ f() f() κοτά στο f()

Ιδιότητες Μη Πεπερσμέω Ορίω Με τη βοήθει του ορισμού ποδεικύοτι τ πρκάτω:. f() f() κοτά στο f() f() κοτά στο. f() f() f() 3. f() ή f() f() f() 4. f() κι f() > κοτά στο f() κι f() < κοτά στο 5. f() ή f() 6. f() κ f() f() f() f()

Όριο Αθροίσμτος & Γιομέου f + + g + + + f + g + + ; ; f > < > < + + g + + + + + f g + ; ; + + Οι περιπτώσεις, που προυσιάζοτι με ερωτημτικό, υποοού ότι το όριο σε κάθε περίπτωση ( υπάρχει), εξρτάτι πό τις δοθέτες συρτήσεις κι δε υπάρχει γεική πάτηση. Απροσδιόριστες μορφές θροίσμτος & γιομέου (+) + () () Απροσδιόριστες μορφές διφοράς & πηλίκου (+) (+) () ()

Απροσδιόριστες Μορφές / & / Απροσδιόριστη Μορφή / f() Α το όριο, που θέλουμε υπολογίσουμε, είι της μορφής:, g() λλά συμβίει είι: f() g(), τότε προχωρούμε σε πργοτοποίηση τω πρστάσεω. Ζητούμεο της πργοτοποίησης είι εμφιστεί, σε ριθμητή κι προομάστη, πράγοτς της μορφής ( ), ο οποίος είι υπεύθυος γι τη προσδιοριστί. Στη συέχει, το πλοποιούμε ίροτς έτσι τη προσδιοριστί. Σχημτικά, έχουμε: f() g() ( ( ) P() ) Q() P() Q() Απροσδιόριστη Μορφή / με ρίζες Α το όριο, που θέλουμε υπολογίσουμε, είι της προηγούμεης μορφής, λλά περιλμβάει επιπλέο κι ρίζες, τότε η πργοτοποίηση δε είι, συήθως, εφικτή. Δικρίουμε τις εξής δύο περιπτώσεις: Α τ υπόρριζ δε μηδείζοτι στο, τότε πολλπλσιάζουμε ριθμητή κι προομστή με τη συζυγή πράστση, υτού που περιέχει τη ρίζ. Είοτε, πολλπλσιάζουμε με τις συζυγείς πρστάσεις κι του ριθμητή κι του προομστή. Εδεικτικά, πρθέτουμε τις συζυγείς πρστάσεις τω πιο συηθισμέω τυτοτήτω, προσρμοσμέες στη λογική τω ριζικώ: β β β β 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 β β β β β

Α τ υπόρριζ μηδείζοτι στο, τότε η μέθοδος τω συζυγώ πρστάσεω δε είι, συήθως, χρήσιμη. Στη περίπτωση υτή, προχωρούμε σε τυπική πργοτοποίηση, εκμετλλευόμεες τις ιδιότητες τω ριζώ. Απροσδιόριστη Μορφή / με πόλυτες τιμές Α κμί πόλυτη τιμή δε μηδείζετι στο τότε: Βρίσκουμε το πρόσημο τω πρστάσεω, που βρίσκοτι μέσ στ πόλυτ, κοτά στο. Αυτό μπορεί γίει είτε κτσκευάζοτς πίκ προσήμω, είτε υπολογίζοτς το όριο της πράστσης, ότ. Βγάζουμε τις πόλυτες τιμές. Συεχίζουμε, κτά τ γωστά, κάοτς πργοτοποίηση κι πλοποίηση. Α τουλάχιστο μί πόλυτη τιμή μηδείζετι στο τότε: Α λλάζου τ πρόσημ δεξιά κι ριστερά του, χρειάζετι υπολογίσουμε τ πλευρικά όρι. Σε κάθε περίπτωση, προχωρούμε με το τρόπο, που περιγράφτηκε ωρίτερ. Απροσδιόριστη Μορφή / Δικρίουμε τις εξής περιπτώσεις: Όρι της μορφής / Εφρμόζουμε τις ιδιότητες: Α f() κι f() > κοτά στο, τότε Α f() κι f() < κοτά στο, τότε f() f() Συχά, γι υπολογίσουμε το πρόσημο του προομστή, χρειάζετι εξετάσουμε τ πλευρικά όρι στο.

Όρι της μορφής / Πργοτοποιούμε το προομστή. Χωρίζουμε το κλάσμ σε δύο πράγοτες έτσι, ώστε η πράστση που μηδείζει το προομστή βρεθεί μόη της, σε πράγοτ της μορφής /p(). Υπολογίζουμε το πρόσημό της, δηλδή είι + ή. Υπολογίζουμε το όριο του δεύτερου πράγοτ, με πλή τικτάστση. Συθέτουμε τη πάτησή μς, με πλούς κόες προσήμω.

Όριο Συάρτησης στο Άπειρο Γι ζητήσουμε το όριο μις συάρτησης f στο + ή στο, τότε πρέπει η f είι ορισμέη σε έ διάστημ της μορφής (, +) ή (, ), τίστοιχ. Βσικά Όρι (*) άρτιος περιττός Όριο Πολυωυμικής κι Ρητής Συάρτησης Γι τη πολυωυμική συάρτηση Ρ() = + +... + +, με ισχύει: P() ( ) κι P() ( ) Γι τη ρητή συάρτηση f() = β κ β..., με κ κ... β β, βκ ισχύει: f() ( ) κι f() ( ) κ κ β β κ κ

Όριο Εκθετικής κι Λογριθμικής Συάρτησης Α > τότε: (log ) (log ) Α < < τότε: (log ) (log ) Συμβουλή : Σε κμί περίπτωση, δε χρειάζετι ποστηθίσουμε μηχικά τ προηγούμε. Αρκεί έχουμε στο ου μς τις γρφικές πρστάσεις τω συρτήσεω. Αυτές τ λέε όλ. < < > > Ο Ο < < Πεπερσμέο Όριο Ακολουθίς Ορισμός Ακολουθί οομάζετι κάθε πργμτική συάρτηση : *

Η εικό () της κολουθίς συμβολίζετι ως. Η κολουθί συμβολίζετι ως (). Ορισμός Θ λέμε ότι η κολουθί () έχει όριο το κι θ γράφουμε, ότ γι κάθε ε >, υπάρχει * τέτοιο, ώστε γι κάθε > ισχύει: < ε Μεθοδολογί Απόλυτες τιμές Α τ όρι περιέχου πρστάσεις με πόλυτες τιμές, τότε πιθόττ μπορούμε πλλγούμε πό τ πόλυτ. Α το +, τότε μπορούμε περιορίσουμε το σε οποιοδήποτε διάστημ της μορφής (Μ, +), όπου Μ >. Α, πάλι, το, τότε μπορούμε λόγως περιορίσουμε το σε οποιοδήποτε διάστημ της μορφής (, Μ), όπου Μ >. Σε κάθε περίπτωση, μπορούμε "βγάλουμε" τις πόλυτες τιμές, με το άλογο πρόσημο. Άρρητες συρτήσεις Γι το υπολογισμό ορίω στο ± μις άρρητης συάρτησης, κολουθούμε τη εξής διδικσί: Βγάζουμε κοιό πράγοτ το μεγιστοβάθμιο όρο του υπόρριζου. Χωρίζουμε τις ρίζες. Υπολογίζουμε το όριο του γιομέου. Α, πρ' όλ υτά, κτλήξουμε σε προσδιόριστη μορφή, τότε πολλπλσιάζουμε κι διιρούμε με τη συζυγή της άρρητης πράστσης, που "ευθύετι" γι τη προσδιοριστί.

Ότ η προσδιοριστί φορά σε κυβικές ρίζες, τότε κάουμε χρήση της τυτότητς: ( β)( + β + β ) = 3 β 3 Εκθετικές συρτήσεις Γι τη άρση της προσδιοριστίς, ότ υπολογίζουμε όρι εκθετικώ συρτήσεω: περιέχου δυάμεις της μορφής, > βγάζουμε κοιό πράγοτ τη μεγλύτερη εκθετική δύμη της μορφής. Έτσι, σχημτίζοτι εκθετικές συρτήσεις της μορφής β, με β > < κι συεπώς. β β περιέχου δυάμεις της μορφής, > βγάζουμε κοιό πράγοτ τη μικρότερη εκθετική δύμη της μορφής. Έτσι, σχημτίζοτι εκθετικές συρτήσεις της μορφής β β β, με β > > κι συεπώς.

Συέχει Συάρτησης Ορισμός Έστω μι συάρτηση f κι έ σημείο του πεδίου ορισμού της. Θ λέμε ότι η f είι συεχής στο o, ότ: f() f() Μι συάρτηση f, που είι συεχής σε όλ τ σημεί του πεδίου ορισμού της, θ λέγετι, πλά, συεχής συάρτηση. Σύμφω με το ορισμό, είι προφές ότι μι συάρτηση ΔΕΝ ΕΙΝΑΙ συεχής σε έ σημείο του πεδίου ορισμού της ότ:. δε υπάρχει το όριό της στο. β. υπάρχει το όριό της στο, λλά είι διφορετικό πό τη τιμή της f(). Βσικές Συεχείς Συρτήσεις Κάθε πολυωυμική συάρτηση είι συεχής. Λογικό, φού γι κάθε ισχύει: P() P( ) Κάθε ρητή συάρτηση Q P είι, επίσης, συεχής, φού γι κάθε του πεδίου ορισμού της ισχύει: P() Q() P( Q( Οι τριγωομετρικές συρτήσεις f() = ημ κι g() = συ είι συεχείς, φού γι κάθε ισχύει: ημ ημ ) ) κι συ συ Η εκθετική συάρτηση f() =, <, είι συεχής. Η λογριθμική συάρτηση f() = log, <, είι συεχής.

Πράξεις Συεχώ Συρτήσεω Θεώρημ Α οι συρτήσεις f κι g είι συεχείς στο, τότε είι συεχείς στο κι οι συρτήσεις: f + g, c f (c), f g, f / g, f, f με τη προϋπόθεση ότι ορίζοτι σε έ διάστημ, που περιέχει το. Μι άμεση συέπει του πρπάω θεωρήμτος είι ότι οι τριγωομετρικές συρτήσεις f() = εφ κι g() = σφ είι, επίσης, συεχείς, ως πηλίκ συεχώ συρτήσεω. Θεώρημ Α η συάρτηση f είι συεχής στο κι η συάρτηση g είι συεχής στο f(), τότε κι η σύθεσή τους gof είι συεχής στο.