MH ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΑΥΤΟΝΟΜΑ ΥΝΑΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΙΑΣΤΑΣΕΩΝ Χώρος Φάσεων : Επίπεδο (, Φασικές Τροχιές : Επίπεδες µονοπαραµετρικές καµπύλες (t (t χωρίς εγκάρσιες τοµές. Οι φασικές τροχιές µπορούν να υπολογιστούν από την.ε ης τάξης d (, d η οποία όµως, εν γένει, δεν λύνεται εύκολα αναλυτικά ή οι λύσεις είναι πολύ πολύπλοκες (πολλοί κλάδοι και άγνωστα ολοκληρώµατα. Αν µπορεί να βρεθεί η λύση, αυτή θα γράφεται ως F(, c και αποτελεί ένα ολοκλήρωµα του συστήµατος. πχ 3 3 + c 4 4 Αν είναι γνωστό το ολοκλήρωµα του συστήµατος F(, c µπορούµε να σχεδιάσουµε το φασικό διάγραµµα µε ένα γράφηµα ContourPlot. Αν dv g 0 το σύστηµα είναι µη διατηρητικό (µικτό. Τα µη γραµµικά συστήµατα εν γένει δεν έχουν γνωστές αναλυτικές λύσεις σε κλειστή µορφή. Έτσι η εξέλιξη των τροχιών υπολογίζεται µε αριθµητική ολοκλήρωση. math60.nb
ΣΗΜΕΙΑ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑΣ 0 0 Πραγµατικές Λύσεις ( 0 : Σηµεία ισορροπίας Γραµµικοποίηση Συστήµατος γύρω από το σηµείο ( 0 +δ, δ << +δ, δ << 0 0 + δ + δ 0 0 0 0 Σειρά Taylor γύρω από το ( 0 ως προς τα δ µέχρι όρους ης τάξης δ δ + δ 0 δ j 0 + 0 0 δ δ δ δ Γραµµικοποιηµένο σύστηµα 0 0, A [math6.nb] Η εύρεση των σηµείων ισορροπίας είναι απλή (NSolve αν οι συναρτήσεις και του συστήµατος είναι πολυωνυµικές συναρτήσεις των και. Αν όµως είναι υπερβατικές τότε απαιτείται εκτεταµένη αναζήτηση µε την FndRoot. Η µορφή του διανυσµατικού πεδίου µπορεί να βοηθήσει εποπτικά σε µια προσεγγιστική εκτίµηση.
Από το γραµµικό στο µη γραµµικό σύστηµα * ορισµός. Ένα σηµείο ισορροπίας το οποίο έχει όλες του τις ιδιοτιµές πραγµατικές µη µηδενικές ή, αν πρόκειται για µιγαδικές, µε µη µηδενικό πραγµατικό µέρος, ονοµάζεται υπερβολικό. Σε κάθε άλλη περίπτωση το σηµείο χαρακτηρίζεται µη υπερβολικό. Θεώρηµα Hartman-Grobman : Τοπολογική συζυγία γύρω από τα σηµεία ισορροπίας. Στη γειτονιά ενός σηµείου ισορροπίας, το µη γραµµικό σύστηµα είναι τοπολογικά συζυγές µε το γραµµικοποιηµένο σύστηµα γύρω από το σηµείο ισορροπίας αν για όλες τις αντίστοιχες ιδιοτιµές λ είναι : Re[λ] 0 Η ιδιότητα της τοπολογικής συζυγίας µας λέει ότι : στη γειτονιά ενός υπερβολικού σηµείου µπορούµε να βρούµε έναν κατάλληλο συνεχή µετασχηµατισµό µεταβλητών που να κάνει το φασικό πορτρέτο του µη γραµµικού συστήµατος να φαίνεται σαν αυτό ενός γραµµικού συστήµατος. Το Θεώρηµα Hartman-Grobman ισχύει µόνο κοντά σε υπερβολικά σηµεία.
Αναλλοίωτες πολλαπλότητες (Ο σκελετός του χώρου των φάσεων Οι γραµµικοί υπόχωροι του γραµµικού συστήµατος αντιστοιχούν σε αναλλοίωτες πολλαπλότητες στο µη γραµµικό σύστηµα Αναλλοίωτες Πολλαπλότητες (ευσταθής και ασταθής: S { 0 ( t0 0 or t and ( t0 S, t 0} ( U { ( t or t and ( t S, t 0} 0 0 0 0 Αν το σύστηµα διαθέτει ένα ολοκλήρωµα τότε η τιµή του ολοκληρώµατος στο σηµείο ισορροπίας είναι και η τιµή που έχει το ολοκλήρωµα κατά µήκος των πολλαπλοτήτων. Οι αναλλοίωτες πολλαπλότητες που αντιστοιχούν στα σηµεία ισορροπίας 0εφάπτονται µε τους αντίστοιχους υπόχωρους Ε του γραµµικού συστήµατος στα σηµεία ισορροπίας. S... Ε s Ε u U Οι αρχικές συνθήκες των πολλαπλοτητών προσεγγίζονται γραµµικά. Θεωρούµε αρχικές συνθήκες, σηµεία ((0,y(0, πάνω στους γραµµικούς υπόχωρους αλλά πολύ κοντά στο σηµείο ισορροπίας. A u Αν u ( u, uy είναι το ιδιοδιάνυσµα που εu O αντιστοιχεί σε µια πολλαπλότητα τότε (0 ± δ, y(0 y ± δ y, 0 0 οπου δ ε u, δ y ε u, ε << y r O r A r A r O + εu Αν το παραπάνω σηµείο αρχικών συνθηκών ανήκει σε µια ασταθή πολλαπλότητα, τότε η αριθµητική λύση της βρίσκεται µε ολοκλήρωση στο διάστηµα (0,t*. Αν η πολλαπλότητα είναι ευσταθής η αριθµητική λύση της βρίσκεται µε ολοκλήρωση στο διάστηµα (-t*,0.
Βασικά σηµεία στην Υπολογιστική Ανάλυση των Μη Γραµµικών συστηµάτων (αυτόνοµα. Εύρεση σηµείων ισορροπίας. Εύρεση γραµµικής ευστάθειας (ή, ισοδύναµα, της τοπολογίας κοντά στα σηµεία ισορροπίας. 3. Υπολογισµός των ευσταθών και ασταθών πολλαπλοτήτων αν υπάρχουν και εντοπισµός των περιοχών που ορίζουν στο χώρο φάσεων. 4. Σχεδίαση φασικού πορτρέτου στο οποίο να συµπεριλαµβάνονται οι ευσταθείς και ασταθείς πολλαπλότητες και επιλογή κατάλληλων αρχικών συνθηκών (τουλάχιστον µια για κάθε µια ποιοτικά διαφορετική εξέλιξη του συστήµατος. Η προσθήκη και του διανυσµατικού πεδίου µας δίνει και την κατεύθυνση των φασικών καµπύλων. Αν το σύστηµα διαθέτει ένα ολοκλήρωµα F(,yc, τότε η φασικές καµπύλες σχεδιάζονται ως ισοσταθµικές καµπύλες του ολοκληρώµατος µε την ContourPlot. Η επιλογή των τιµών c πρέπει να είναι τέτοια ώστε να αντιπροσωπεύονται όλες οι ποιοτικά διαφορετικές φασικές καµπύλες. Οι πολλαπλότητες αντιστοιχούν (και σχεδιάζονται στην τιµή c που είναι η ίδια µε αυτή του υπερβολικού σηµείου ισορροπίας στο οποίο αντιστοιχούν. παράδειγµα : [math63] Γενικά όταν δεν είναι γνωστό το ολοκλήρωµα, για την κατασκευή του φασικού πορτρέτου επιλύουµε αριθµητικά το σύστηµα και σχεδιάζουµε παραµετρικά τα (t (t σε ένα διάστηµα t ( t, t, t 0, t 0 και για ένα κατάλληλο σύνολο από αρχικές συνθήκες παράδειγµα: [math64]