ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι

ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ Η/Υ & ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ ΦΥΣΙΚΗΣ Ι ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ 008-9 ΜΙΧΑΗΛ ΒΕΛΓΑΚΗΣ, ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ ΦΥΣΙΚΗΣ Φροντιστήριο ο : Εξίσωση κίνησης των σωµάτων και επίλυση (ΣΤΗ ΜΕΤΑΦΟΡΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ Παράειµα ο (αρµονική ταλάντωση: Επί (σηµειακού σώµατος εφαρµόζεται ύναµη επαναφοράς της µορφής: =. Να προσιοριστεί η κίνηση του σώµατος, λαµβάνοντας υπόψη και τις εξωτερικές τριβές που ασκούνται πάνω στο σώµα (παρεµπιπτόντως, υπάρχουν και εσωτερικές υνάµεις τριβής. Recittin, Physics I 008-9 By M. Velgis

Στο σύστηµα καρτεσιανών συντεταµένων: ιάνυσµα θέσης του σώµατος: ( t = i + yj+ z (, y,z ( t y z Ταχύτης του σώµατος: υ = i + j+ ( υ,υy,υz Επιτάχυνση του σώµατος: υ( t υ υy = i + j+ υ z = i + y j+ z (, y, z Ο ος νόµος του Nεύτωνα: Η επιτάχυνση ενός σώµατος είναι ανάλοος της (συνολικής ύναµης που ρα πάνω στο σώµα, ηλ. καρτεσιανές συντεταµένες: =, η οποία αναλύεται σε y z = = = y z ή y z = = = z y (α (β ( Οι εξισώσεις (α, (β, ( είναι ακριβώς ίιες [απλά η εξηρτηµένη µεταβλητή στην (α συµβολίζεται µε, στην (β µε y, και στην ( µε z]. Άρα ουλεύουµε µόνο την (α, η οποία ράφεται: = ( τριβής ιακρίνουµε ιάφορες περιπτώσεις ια τη ύναµη τριβής τριβής : Recittin, Physics I 008-9

α Μπορεί η ύναµη τριβής να είναι σταθερά, ηλ. τριβής =α, οπότε η ( ράφεται: =, και η οποία µπορεί να πάρει τη µορφή = (3 Θεωρώντας την αλλαή µεταβλητών: παρατηρούµε ότι: ράφεται: = +, = και =, οπότε η (3 + = 0 (4 Η εξίσωση (4 καλείται οµοενής ιαφορική εξίσωση ας τάξεως. Επιλύουµε την (4 παρακάτω και βρίσκουµε τη λύση: = Asin( ωt+ φ, όπου ω=, ω R, και ω>0, και Α,φ είναι σταθερές ολοκλήρωσης, ο οποίες µπορούν να υπολοιστούν από τις αρχικές συνθήκες, εοµένων των ποσοτήτων =(t=0 και υ ο =υ(t=0 ια t=0. Η λύση αυτή παριστάνει ταλάντωση (ή απλή αρµονική κίνηση. α Αξίζει να σηµειωθεί η περίπτωση =0, ηλ. όταν εν εφαρµόζεται καµιά ραµµική ύναµη επαναφοράς. Τότε η λύση της (3 θα έχει τη µορφή (µετά από απλή ολοκλήρωση: Recittin, Physics I 008-9 3

= + υοt t, η νωστή µας σχέση ια την οµαλώς επιβραυνόµενη µεταφορική κίνηση, µε επιβράυνση α/. Οι σταθερές ολοκλήρωσης, =(t=0 και υ ο =υ(t=0 υπολοίζονται από τις αρχικές συνθήκες ια t=0. β Μπορεί η ύναµη τριβής να είναι ανάλοος της ταχύτητας, ηλ. τριβής =-αυ [όπου η σταθερά α καλείται σταθερά απόσβεσης. Το µείον εώ σηµαίνει ότι η ύναµη τριβής έχει αντίθετη φορά µε εκείνη της ταχύτητας, αλλά να µην αντικαταστήσουµε στη ( το µείον ύο φορές!! ]. Η ( λοιπόν ράφεται: υ =, ή + + = 0 (5 Η εξίσωση (5 καλείται (οµοενής ραµµική ιαφορική εξίσωση ας τάξεως, την οποία θα επιλύσουµε παρακάτω. Θα βρούµε ότι η λύση της (5 έχει τη µορφή: = Ae t cs( ωt+ φ, όπου ω= (, ω R, και ω>0, και Α,φ σταθερές ολοκλήρωσης, ο οποίες µπορούν να υπολοιστούν από τις αρχικές συνθήκες, εοµένων των ποσοτήτων =(t=0 και υ ο =υ(t=0 ια t=0. Η λύση αυτή παριστάνει ταλάντωση µε απόσβεση (pe scilltin. β Για να κλείσουµε τη παράραφο αυτή, θεωρούµε τη περίπτωση της εξανακασµένης ταλάντωσης, κατά την οποίαν πάνω στο σώµα ρα και µια εξωτερική περιοική Recittin, Physics I 008-9 4

ύναµη, ας πούµε της µορφής: = sin ωt. Τώρα η εξίσωση κίνησης (5 θα έχει τη µορφή: ή + + υ= sin ωt, + + = sin ωt (6 Η εξίσωση (6 καλείται µη-ραµµική ιαφορική εξίσωση ας τάξης, την οποία θα επιλύσουµε παρακάτω [Θα ξανασυναντήσουµε την εξίσωση (6 στις ταλαντώσεις ηλεκτρικών κυκλωµάτων που ιεείρονται από εξωτερική εναλλασσόµενη τάση]. Θα βρούµε παρακάτω ότι οι λύσεις της (6 είναι το άθροισµα των λύσεων της οµοενούς ιαφ. εξίς. (5 συν µια µερική λύση (pticul slutin, µερική (t, την οποίαν θα προσιορίσουµε, ηλ. ( t = Ae t cs( ω t+ φ + µερική ( t, όπου ω ( =. Κατ αρχήν, η λύση της οµοενούς (5 (η οποία λέεται και µεταβατική λύση µηενίζεται µέσα σε πολύ σύντοµο χρονικό ιάστηµα (είαµε ότι ια t>5τ η λύση αυτή είναι αµελητέα. Άρα, στην ουσία µας ενιαφέρει η λύση που θα επιζεί ια πεπερασµένους χρόνους t και αυτή είναι µόνο η µερική λύση, µερική (t, η οποία όπως θα βρούµε έχει τη µορφή, ή( t = A sin( ωt, µερικ + όπου tn ω / = και ( ω ω A= ( ω ω / + ( ω / Recittin, Physics I 008-9 5

ηλαή στην εξανακασµένη ταλάντωση το σώµα εκτελεί ίια ταλάντωση (µε κάποια ιαφορά φάσης µε εκείνη του εξωτερικού ιεέρτη (µε την ίια συχνότητα, αλλά µε πλάτος ταλάντωσης Α=f(ω, του οποίου η συµπεριφορά απεικονίζεται στο ακόλουθο σχήµα. Όταν ω ω ο, λέµε ότι το σύστηµα συντονίζεται µε τον εξωτερικό ιεέρτη και καθώς οι εσωτερικές τριβές α 0, το πλάτος ταλάντωσης του συστήµατος µεαλώνει ( Αναλυτικοί υπολοισµοί : Επίλυση της (4: Σηµειώνουµε ότι ο είκτης- στην εξηρτηµένη µεταβλητή εξ. (4 εν παίζει κανένα ρόλο, εποµένως τον παραλείπουµε στη συνέχεια. Πολλαπλασιάζοµε και τα ύο µέλη της (4 επί (όπου υποηλώνει τη παράωο, οπότε έχουµε: =-/, η οποία ράφεται: (' ( ' = ή [ + ] = 0, που σηµαίνει ότι η ποσότης µέσα στην ακύλη είναι σταθερά, ηλ. ( ' + = c, όπου c είναι η σταθερά ολοκλήρωσης. Λύνοµε τη τελευταία σχέση ως προς : c ' = ± c ή, οπότε η προηούµενη σχέση ράφεται: ' c = ±. Ορίζουµε τις σταθερές: ' = ± ή ω ω και = ±. Η ω σχέση αυτή ολοκληρώνεται ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές: =± ω = ± ω, απ όπου παίρνοµε sin ( =± ωt+, όπου είναι η νέα σταθερά ολοκλήρωσης. Η τελευταία συνάρτηση αντιστρέφεται και παίρνουµε: = sin( ± ωt+ =± sin( ωt± = Α sin( ωt+ φ, όπου Α= και φ=. Βρήκαµε λοιπόν ή Recittin, Physics I 008-9 6

τη λύση: = Α sin( ωt+ φ, όπου ω= µια σταθερά που καλείται συχνότητα ταλάντωσης, οι ε σταθερές ολοκλήρωσης Α,φ προσιορίζονται από τις αρχικές συνθήκες ια t=0. Επίλυση της (5: Η εξίσωση (5 οµοενής ιαφορική εξίσωση ας τάξεως (αλλά εν λύνεται τόσο λt = Ae, οπότε εύκολα µε απλή ολοκλήρωση. Για να λυθεί οκιµάζουµε λύσεις της µορφής: λt υπολοίζουµε τις παραώους:. Αντικαθιστώντας στην (5 παίρνουµε: ή H λύση του τριωνύµου αυτού είναι: ' = λae και είναι πολύ µικρός (συνήθως, η ιακρίνουσα ω λ '' = Ae λt λ α λ + λ+ = 0 α λ + λ+ = 0. α α ± (, =. Επειή ο όρος της τριβής ( > 0, οι λύσεις λ, ράφονται: λ, ± iω µονάα. Εποµένως οι ύο λύσεις της (5 θα είναι: = ( είναι αρνητική (συνήθως. Καλώντας =, όπου i είναι η φανταστική λt = A e και λt = A e, όπου Α, Α οι ύο σταθερές ολοκλήρωσης. Συνεπώς, η ενική λύση της (5 θα είναι το άθροισµα των ύο επιµέρους λύσεων (θεωρία ιαφορικών εξισώσεων, ηλ. λ t λ t t + iωt iωt = + = A e + A e = e ( A e + A e. (α Η παρένθεση µπορεί να ραφεί ισούναµα ως εξής: A cs( ωt+ φ (ιατί;. Οπότε, η ενική λύση της (5 θα έχει τη µορφή: = Ae t cs( ωt+ φ, όπου ω (. Ακολουθεί η απόειξη του προηούµενου ισχυρισµού: Πράµατι, θεωρούµε την παρένθεση στο ο ± µέρος της (α. Χρησιµοποιώντας την ταυτότητα του Eule: e i ε = cs ε ± i sin ε (όπου ε είναι το όρισµα της τρι. συνάρτησης, η παρένθεση στην (α ράφεται: + iωt iωt Ae + Ae = A (cs ωt+ i sin ωt + A (cs ωt i sin ωt A + Α cs ωt+ i( Α A sinωt = ( (β Βάζουµε κοινό παράοντα στο ο µέρος της (β τη ποσότητα (Α +Α, οπότε η (β ισούται i( Α A = ( A + Α {cs ωt+ sin ωt }. ( ( A + Α Καλούµε το κλάσµα µέσα στη ακύλη tnφ (ή ctnφ, ιατί;, ηλ. ισούται tn φ i( Α ( A A + Α =, οπότε η ( τότε θα προέκυπτε η τριωνοµετρική συνάρτηση sin(ωt+φ! Recittin, Physics I 008-9 7

= A + Α {cs ωt tnφ sin ωt } ( ( Αναπτύσσοντας την εφαπτοµένη σε ηµίτονο και συνηµίτονο, παίρνοµε: {cs ωt cs φ sin φ sin ωt } ( A + Α = ( A + Α = cs( ωt+ φ (ε cs φ cs φ ( A Α Α + cs φ Καλούµε το σταθερό παράοντα στην (ε Α, ηλ. = Ae b t cs( ωt+ φ, όπου ω, οπότε τελικά η (α ράφεται: (. Οι σταθερές Α,φ είναι οι σταθερές ολοκλήρωσης, οι οποίες υπολοίζονται από τις αρχικές συνθήκες ια t=0. Η ποσότης ω καλείται ιιοσυχνότητα του συστήµατος και η ποσότης εκθέτη (που έχει µονάες χρόνου καλείται σταθερά χρόνου. Για t 5τ, ο εκθετικός παράοντας, ηλ. τότε 0 και το σώµα σχεόν ηρεµεί!! ισούται µε e 5 = 0. 007 τ = στον Στη περίπτωση α η ιακρίνουσα <0 (αποσβενόµενη ταλάντωση, στη περίπτωση b είναι =0 (κρίσιµη αποσβεννόµενη κίνηση, και στη περίπτωση c είναι >0 (υπερ-αποσβεννόµενη κίνηση Επίλυση της (6: Η εξίσωση (6 είναι µη-ραµµική ιαφορική εξίσωση ας τάξεως. Επειή ο µηραµµικός όρος στην (6 έχει τριωνοµετρική µορφή, οκιµάζουµε ως µερική λύση τριωνοµετρική συνάρτηση της µορφής: Recittin, Physics I 008-9 8

ή ( t = A sin( ωt µερικ + (στ Αντικαθιστώντας την (στ στην (6 παίρνουµε, Aω sin( ωt+ + Aωcs( ωt+ + Asin( ωt+ = sin ωt Αναπτύσσουµε τις τριωνοµετρικές συναρτήσεις: sin( ωt = sin ωt cs + cs ωt sin +, κλπ ( ω ( sin ωt cs ω + cs ωt sin + ( cs ωt cs sin ωt sin = sin ωt Α Μετά από αναωή ίιων όρων, λαµβάνουµε, ( ω ω ω cs sin sin ωt+ ( ω sin + cs cs ωt = 0 (ζ Α Επειή οι συναρτήσεις sinωt, csωt είναι ραµµικώς ανεξάρτητοι, θα πρέπει οι συντελεστές τους στην εξίσωση (ζ να µηενίζονται, ηλ. προκύπτει το σύστηµα: ω ( ω cs sin = 0 (η Α ω ( ω sin + cs = 0 (η Η εξίσωση (η ίει αµέσως: tn ω / ( ω = ή tn ω / ( ω ω =, όπου ω. Υπολοίζουµε πρώτα τις συναρτήσεις sin, cs, συναρτήσει της tn: sin = tn + tn = ( ω ω / ω + ( ω cs = + tn = ( ω ( ω ω ω + ( ω τις οποίες αντικαθιστώντας στην (η, λαµβάνουµε, ή ω ( ω + Α ω ω + ( = ( ω ω ( Θα µπορούσαµε να είχαµε επιλέξει ισούναµα τριωνοµετρικές συναρτήσεις της µορφής: Α cs(ωt+ ή Α sinωt + Β csωt Recittin, Physics I 008-9 9

A= ( ω ω / + ( ω Η µερική λύση λοιπόν της (6 έχει τη µορφή: ή ( t = A sin( ωt, όπου µερικ + tn ω / ( ω ω =, A= ( ω ω / + ( ω Παράειµα ο (επιβραυνόµενη µεταφορική κίνηση Να υπολοιστεί η ταχύτητα ενός σώµατος συναρτήσει του χρόνου, το οποίο κινείται µέσα σε ιξώες ρευστό, ηλ. η ύναµη της αντίστασης του ρευστού έχει τη µορφή: f = Kηυ, όπου Κ είναι σταθερά που εξαρτάται από το σχήµα του σώµατος (π.χ. ια σφαιρικό σχήµα Κ=6πR, υ είναι η ταχύτητα του σώµατος, και η µια σταθερά που καλείται συντελεστής ιξώους του ρευστού (π.χ. ια το νερό ισούται µε.005 0 - Pise στους 0 C, ια το καστορέλαιο 9.86 0 - Pise, Σηµ.: Pise=0 - Pscl sec. Λύση: Οι υνάµεις που έχεται το σώµα είναι το βάρος του (µε κατεύθυνση κατακόρυφα προς τα κάτω, η άνωση από το ρευστό Α=ρ ρευ gv (µε φορά κατακόρυφα προς τα πάνω, όπου ρ ρευ είναι η πυκνότητα του ρευστού και η αντίσταση που έχεται το σώµα κατά τη κίνηση από το ρευστό f = Kηυ (το µείον απλά τονίζει το εονός ότι ο φορά της ύναµης είναι πάντοτε αντίθετη προς τη ταχύτητα (Υποθέτουµε ότι το σώµα πέφτει προς τα Recittin, Physics I 008-9 0

κάτω, χωρίς να χάνεται η ενικότητα. Θα µπορούσαµε να εξετάζουµε τη κίνηση ενός µπαλονιού στον αέρα, πότε η κίνηση θα ήταν προς τα πάνω. Η εξίσωση κίνησης (β ράφεται ια τη περίπτωση, y = g Kηυ ρ gv (7 ρευ [Στο σηµείο αυτό πρέπει να κάνουµε µια αυτοκριτική, αν έχουµε ιαλέξει σωστά τα πρόσηµα στη σχέση (7. Πριν όµως ξεκινήσουµε τη λύση, θα έπρεπε να έχουµε αποφασίσει πού ορίζουµε την αρχή των συντεταµένων 0, ει υνατόν µε κάποιο παρατιθέµενο σχήµα. Ορίζουµε λοιπόν την αρχή των αξόνων πάνω στην ελεύθερη επιφάνεια του ρευστού, όπου υποθέτουµε ότι αφήνουµε το σώµα να πέσει ( αφήνουµε σηµαίνει ότι η αρχική ταχύτης: υ ο =0! Σηµαίνει ακόµη ότι µε αυτή την επιλοή της αρχής συντεταµένων που κάναµε: y =0!. Οπότε η φορά της ταχύτητας είναι θετική προς τα κάτω, το βάρος g είναι θετικό προς τα κάτω, και οι υπόλοιπες υνάµεις κατευθύνονται προς τα πάνω, άρα είναι αρνητικές, άρα τελικά, τα πρόσηµα στην (7 είναι σωστά!]. Όµως η επιτάχυνση του ου µέρους της (7 µπορεί να είναι θετική ή αρνητική, ανάλοα µε το πρόσηµο του ου µέρους]. Η (7 µπορεί να ραφεί, y Kη y ( ρ ρρευ gv + = 0 (8 όπου χρησιµοποιήσαµε τη σχέση: =ρgv, όπου ρ η πυκνότητα του σώµατος. Για ν απλουστεύουµε την (8, θέτοµε: ρευ = Kη / >0 και = ( ρ ρ gv / = ( g. Αν ισχύει ρ>ρ ρευ, τότε >0. Οπότε η ιαφορική εξίσωση (8 ράφεται, y y + = 0 (9 Η λύση της ιαφορικής εξίσωσης (9 υπολοίζεται παρακάτω. Βρίσκουµε ότι η ταχύτητα έχει τη µορφή: ρευ ρ ρ υ t = υ ( e τ, όπου ορ τ =, Kη υ ορ = ( ρ ρευ ρ g Kη Recittin, Physics I 008-9

Επίλυση της (9: Η (9 µπορεί να ολοκληρωθεί αµέσως. Πράµατι, χρησιµοποιώντας τη ταχύτητα υ=y/, η (9 ράφεται: υ = 0 ( υ = υ υ υ +, και ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές έπεται: = υ ( υ = έχοµε: υ. Ολοκληρώνοντας ln( υ =t+ c, (θ όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε υ=0, οπότε αντικαθιστώντας στην (θ έχοµε: ln = 0+ c, ή c= ln. Εποµένως η (θ υ υ t ράφεται: ln( υ =t+ ln, ή ln( = t. Η σχέση αντιστρέφεται, = e, και λύνοντας ως προς υ: t υ= ( e, (ι όπου ( ρ ρ ρευ gv ρρευ g = = (. Παρατηρούµε ακόµη στην (ι ότι ια t=0 πράµατι Kη ρ Kη προκύπτει υ=0, ενώ ια t παίρνοµε ορική ταχύτητα, ηλ. υ ορ υ=. Η ποσότης έχει ιαστάσεις ταχύτητος και καλείται ρ ρευ g = (. Ακόµη, η σταθερά έχει ιαστάσεις ρ Kη Nt Kg / sec sec [ ] = sec/ Kg = =, οπότε εισάοντας τη σταθερά τ = (η Kg sec Kη οποία καλείται σταθερά χρόνου ή χρόνος αποκατάστασης, τελικά η ταχύτητα (ι ράφεται: t υ= υ ( e τ, (ια ορ ρ ρευ g όπου τ = και υορ = (. Η σχέση (ια µπορεί να ολοκληρωθεί περαιτέρω ια να Kη ρ Kη υπολοιστεί η συνάρτηση: y=f(t, που όµως εν ζητείται στην εκφώνηση., ή Παράειµα 3 ο (πλάια βολή µε τριβές Να µελετηθεί η κίνηση σώµατος που βάλλεται µέσα στον αέρα µε αρχική ταχύτητα υ ο = υ ο i + υ οy j+ υ οz της αντίστασης του αέρα ( υ f,υy,υz Kηυ, λαµβανοµένης υπόψη και =, όπου Κ είναι σταθερά που εξαρτάται από το σχήµα του σώµατος (π.χ. ια σφαιρικό σχήµα Κ=6πR και υ η ταχύτητα του σώµατος. Λύση. Το επίπεο µέσα στο οποίο κινείται το σώµα λαµβάνεται σαν επίπεο -y (βλέπε σχήµα και πρόσεξε τη φορά των αξόνων. Στο σώµα ασκείται επί πλέον η Recittin, Physics I 008-9

ύναµη του βάρους του, B= g j. Οι εξισώσεις κίνησης (α και (β ράφονται ια τη περίσταση, όπου K y =, (0α f = g, (0β f = ηυ και fy Kηυy fy = είναι οι συνιστώσες της αντίστασης του αέρα κατά τους άξονες και y, αντίστοιχα. [Το µείον, όπως επισηµάναµε, υποηλώνει το εονός ότι οι υνάµεις τριβών ή αντιστάσεις έχουν αντίθετη φορά µε εκείνη της ταχύτητας, αλλά χρειάζεται προσοχή όταν ίνεται αντικατάστασή τους στις (α και (β να µην εισάουµε το µείον ύο φορές!! ]. Αναλυτικότερα οι εξισώσεις κίνησης (0 ράφονται, = Kηυ, y = Kηυy g, ή Recittin, Physics I 008-9 3

+ = 0 (α y y + + g = 0 (β όπου = Kη / >0. Οι ιαφορικές εξισώσεις (, αν και είναι ίιες µε την (9, εν τούτοις ξανα-επιλύονται ια εξάσκηση. Βρίσκουµε λοιπόν παρακάτω τις εξής λύσεις: υο t = ( e, y= t Kη { gt+ υ ( e }, όπου. οy Επίλυση της (α: Η (α ολοκληρώνεται εύκολα. Πράµατι, χρησιµοποιώντας τη ταχύτητα υ υ υ = /, η (α ράφεται: + υ = 0, και ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές έπεται, =. υ υ Η σχέση αυτή ολοκληρώνεται: = ή ln( υ = t + c, (ιβ υ όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε υ =υ ο =υ ο csθ ο, οπότε αντικαθιστώντας στην (ιβ έχοµε: ln( υο = 0+ c, ή c= ln( υο, και υ αντικαθιστώντας στη (ιβ: ln( υ = t+ ln( υο, ή ln( = t. Η σχέση αντιστρέφεται και ίει: υο υ t t = e, άρα υ = υοe, (ι υο όπου Kη /. Παρατηρούµε ακόµη στην (ι ότι ια t=0 πράµατι βρίσκουµε υ =υ ο, ενώ ια t ισχύει υ 0 (βέβαια πριν συµβεί αυτό, το σώµα πολύ πιθανόν να έχει κτυπήσει το έαφος!. Η σχέση (ι µπορεί να ολοκληρωθεί περαιτέρω ια να υπολοιστεί η συνάρτηση: =f(t. Πράµατι, η (ι ράφεται: υ t ο e t =, ή = υοe, ή υ ο t = e + c (ι όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 υο υο έχοµε =0. αντικαθιστώντας στην (ι έχοµε: 0 = + c, άρα c=. Συνεπώς, η (ι ράφεται: υο t = ( e, (ιε η οποία ια t=0 πράµατι ίει: =0. Στη περίπτωση µηενικής αντίστασης, ηλ. ια Κ==0, η (ι ίει: υ = υ 0 = cnst., ενώ η (ιε ίει (χρησιµοποιώντας και τον κανόνα e l Hspitl: t t e te li = υ li = υ li = υ t, ηλ. καταλήουµε σε νωστές µας σχέσεις. 0 0 0 Recittin, Physics I 008-9 4

Επίλυση της (β: Η (β µπορεί να ολοκληρωθεί αµέσως. Πράµατι, χρησιµοποιώντας τη υ y ταχύτητα υ y = y /, η (β ράφεται: + υy + g= 0, και ιαχωρίζοντας τις µεταβλητές υ y υy υ y έπεται, =, ή =. Ολοκληρώνοντας = παίρνοµε: υy υ y υ y ln( g + + υ y =t c, (ιστ όπου c η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε υ y =υ οy =υ ο sinθ ο, οπότε αντικαθιστώντας στην (ιστ έχοµε: ln υοy =0+ c, ή c = ln υοy. Εποµένως η (ιστ ράφεται: ln υ y =t+ ln υοy, ή υy υy t ln( =t. Η σχέση αντιστρέφεται και ίει: = e, η οποία λύνεται ως προς υ y : υοy υοy t ( υ e υ y = οy, (ιζ όπου Kη /. Η (ιζ ια t=0 πράµατι ίει: υ y =υ οy. Στη περίπτωση µηενικής αντίστασης, ηλ. ια Κ==0, η (ιζ ίει (χρησιµοποιώντας τον κανόνα e l Hspitl: t t t υοy e 0 t υοy e + υοye li υ y = li = li = υοy gt!! 0 0 0 Τέλος, η σχέση (ιζ µπορεί να ολοκληρωθεί περαιτέρω ια να υπολοιστεί η συνάρτηση: y=f(t. y t t Πράµατι, η (ιζ ράφεται: = [ υοy e ], ή y= [ υοy e ], ή t y = gt+ υοy e + c όπου c 3 η σταθερά ολοκλήρωσης, η οποία υπολοίζεται εφαρµόζοντας τις αρχικές συνθήκες: ια t=0 έχοµε y=0. Πράµατι, αντικαθιστώντας στην (ιη έχοµε: 0 = 0+ υοy + c3, άρα υοy c3 =. Συνεπώς, η (ιη ράφεται: t y= { gt+ υοy ( e }, (ιθ η οποία όντως ίει y=0 ια t=0. Στη περίπτωση µηενικής αντίστασης, Κ==0, η (ιθ ίει (χρησιµοποιώντας και τον κανόνα e l Hspitl ις: t t t gt+ υοy ( e gt+ υοy( e + υοy te li y= li = li 0 0 0 υ = li 0 οy te t + υ οy te t υ οy t e t = υ οy t gt 3 (ιη!!, ηλ. καταλήουµε σε νωστές σχέσεις. Recittin, Physics I 008-9 5