ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΑΙ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΑ ΕΡΓΑΛΕΙΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ ΧΡΟΝΟΣΕΙΡΩΝ 4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ 4. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΕΥΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ 4.3 ΥΠΟΔΕΙΓΜΑΤΑ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ 4.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ 4.5 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ 4.6 ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΙ ΕΠΟΧΙΚΗ ΔΙΑΦΟΡΙΣΗ 4.7 ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 1

4.1 ΕΙΣΑΓΩΓΗ Τα αιτιοκρατικά υποδείγματα που συζητήθηκαν στο 3 ο Κεφάλαιο δε λάμβαναν υπόψη τους τη στοχαστική φύση των χρονικών σειρών. Τα υποδείγματα που θα μελετήσουμε στη συνέχεια στηρίζονται στην ιδέα ότι η χρονική σειρά που πρόκειται να μελετηθεί έχει δημιουργηθεί από μια στοχαστική διαδικασία, τα χαρακτηριστικά της οποίας περιγράφονται από τα υποδείγματα αυτά. Η περιγραφή αυτή δε γίνεται δημιουργώντας μια σχέση αιτίου αποτελέσματος, όπως για παράδειγμα στα οικονομετρικά υποδείγματα χρονικών σειρών που μελετήσαμε στο Κεφάλαιο, αλλά προσπαθώντας να δημιουργήσουμε ένα υπόδειγμα το οποίο να μπορεί να αναπαράγει, τουλάχιστον ως ένα βαθμό, τα βασικά χαρακτηριστικά της από κοινού συνάρτησης κατανομής πιθανότητας των τυχαίων μεταβλητών που δημιουργεί τις παρατηρούμενες τιμές της χρονικής σειράς. Ο πλήρης προσδιορισμός της συνάρτησης αυτής είναι συνήθως αδύνατος, όμως αν ένα απλοποιημένο υπόδειγμα μπορεί να περιγράψει τη στοχαστική φύση της σειράς με τέτοιο τρόπο ώστε π.χ. να μπορούν να προκύψουν ικανοποιητικές προβλέψεις, τότε το υπόδειγμα αυτό είναι χρήσιμο. Το κεφάλαιο αυτό είναι προπαρασκευαστικό του επομένου, που αναφέρεται στα στοχαστικά υποδείγματα ARIMA και SARIMA, και περιλαμβάνει χρήσιμες έννοιες, καθώς και μερικά από τα κυριότερα στατιστικά και μαθηματικά εργαλεία που είναι απαραίτητα για τη μελέτη των υποδειγμάτων αυτών. 4. ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΛΕΥΚΟΥ ΘΟΡΥΒΟΥ 1) Λευκός θόρυβος: Είναι μία χρονική σειρά ε με: Ε(ε )=0, Ε(ε )= σ και ασυσχέτιστους μεταξύ τους όρους (δηλ. Ε(ε ε -κ ) = 0 για κ>0) ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ

) Ανεξάρτητος λευκός θόρυβος Ισχύουν ότι και για το λευκό θόρυβο, αλλά με τους όρους της σειράς όχι απλά ασυσχέτιστους αλλά ανεξάρτητους μεταξύ τους δηλ.: E{( g( ) f ( )} 0, k 0, f : R R, g : R R. k 3) Κανονικός ή Gaussian λευκός θόρυβος Ισχύουν όλα τα προηγούμενα και επιπλέον η ε ακολουθεί κανονική κατανομή. 4.3 ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΕΣ ΤΥΧΑΙΟΥ ΠΕΡΙΠΑΤΟΥ 4.3.1 Το Υπόδειγμα του (απλού) τυχαίου περιπάτου χωρίς αιτιοκρατική τάση Έστω ότι από τη ρίψη ενός νομίσματος κερδίζουμε 1$ αν έλθει «κορώνα» και χάνουμε 1$ αν έλθει «γράμματα». Η σειρά ε με ε = +1 για «κορώνα» και ε = -1 για «γράμματα» δημιουργείται σύμφωνα με τα προηγούμενα από μια διαδικασία λευκού θορύβου. Για δίκαιο νόμισμα και δίκαιη διαδικασία ρίψης θα έχουμε: P(κορώνα) = P(γράμματα) =1/ Ε(ε )=1/(+1)+1/(-1) =0 Ε(ε )=1 Ε(ε ε -κ ) = 0 για κ>0) Έστω τώρα ότι η Υ είναι η σειρά που αντιπροσωπεύει το ποσό των χρημάτων που έχουμε κερδίσει ή χάσει μετά από διαδοχικές ρίψεις. Τότε για: =1: Υ 1 = ε 1 =: Y = ε 1 +ε ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 3

... = Υ = ε 1 +ε +...+ ε Η σειρά Υ στην οποία ο όρος με τάξη ισούται με το άθροισμα των όρων μέχρι και τάξη μιας διαδικασίας λευκού θορύβου, αποτελεί ένα παράδειγμα απλού τυχαίου περιπάτου. Στη γενική περίπτωση το υπόδειγμα του απλού τυχαίου περιπάτου γράφεται και ως: Υ = Υ -1 + ε, με Ε(ε )=σ H αναμενόμενη τιμή και η διακύμανση της Υ θα είναι: Ε(Υ )= Ε(ε 1 )+Ε(ε )+...+Ε(ε )=0+0+...+0=0 Ε(Υ )=Ε(ε 1 )+Ε(ε )+..+Ε(ε )+ ( i k) i k lim E Y Οπότε i 1 k 1 Άρα η Υ δεν είναι στάσιμη. Αν τώρα υποθέσουμε ότι κατά τη χρονική στιγμή 0 η τιμή μιας χρονικής σειράς που περιγράφεται από μια διαδικασία τυχαίου περιπάτου είναι y 0, τότε ο γενικός όρος της χρονοσειράς γράφεται: Y y 0 i i1 Παρατηρούμε ότι κάθε νέα διαταραχή ε i που εισέρχεται στο σύστημα παραμένει σε αυτό και επηρεάζει όλες τις μελλοντικές τιμές της Υ. Σχηματικά: i1 Y i ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 4

4.3. Το υπόδειγμα του (απλού) τυχαίου περιπάτου με αιτιοκρατική τάση (random walk wih drif model) To υπόδειγμα αυτό εκφράζεται με τη σχέση: Υ = Y -1 +ε +ξ. Για ξ>0 (<0) η σειρά θα τείνει να κινηθεί ανοδικά (καθοδικά). Το γεγονός ότι η ύπαρξη του σταθερού όρου στο υπόδειγμα δημιουργεί μία τάση μπορεί να φανεί με τον ακόλουθο τρόπο: Αντικαθιστώντας διαδοχικά τα Υ -1, Υ - κλπ στην αρχική σχέση θα έχουμε: Υ = ξ+y -1 +ε = Υ - +ε -1 + ε +ξ= = Y -k +ε + ε -1 +.+ ε -k+1 +kξ και αν για =0 Υ = y 0, τελικά: 1 Υ = y 0 +ξ+ j 0 j Από την τελευταία σχέση φαίνεται ότι η σταθερά ξ είναι η κλίση στην αιτιοκρατική τάση που εκφράζεται με τον όρο ξ. Η ύπαρξη ενός τέτοιου όρου σαφώς βελτιώνει την προβλεπτική ικανότητα του υποδείγματος, όπως θα δούμε σε επόμενο κεφάλαιο. 4.4 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗΣ Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ρ k παίζει έναν ιδιαίτερα σημαντικό ρόλο στην εφαρμοσμένη ανάλυση χρονικών σειρών, καθώς μαζί με το μέσο και τη διακύμανση, είναι αυτή που μας δίνει πληροφορίες σχετικά με τη φύση της στοχαστικής διαδικασίας που περιγράφει την εξέλιξη της χρονικής σειράς. Η ρ k ορίζεται ως εξής: COV ( Y, Y [ VAR( Y ) VAR( Y k ) )] k 1/ [( )( { E[( Y ) E( Y k k ) )]} k 1/ ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 5

Για μία στάσιμη διαδικασία μ =μ -k και VAR(Y ) = Var(Y -k ) Eπομένως, για την περίπτωση που έχουμε στασιμότητα [( )( ) E[( Y ) ] Ο ορισμός αυτός της ρ k είναι καθαρά θεωρητικός καθώς η ρ k περιγράφει μία στοχαστική διαδικασία για την οποία δεν έχουμε παρά μόνο ένα πεπερασμένο αριθμό όρων από μία και μόνο δειγματοληπτική διαδρομή. Υποθέτοντας στασιμότητα και εργοδικότητα η ρ k μπορεί να εκτιμηθεί από τις (Ν το πλήθος) διαθέσιμες παρατηρήσεις με την ακόλουθη σχέση που μας παρέχει τη δειγματική συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως (sample auocorrelaion funcion, (SACF)): ˆ SACF ( k) k N k 1 ( Y Y )( Y N 1 k ( Y Y ) Y ) Όπως η ρ k έτσι και η SACF(k) είναι συμμετρική δηλ. SACF(k)= =SACF(-k). Για το λόγο αυτό όταν η SACF αναπαρίσταται γραφικά θεωρούμε μόνο τις θετικές τιμές του k. H συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως ρ k του λευκού θορύβου (ε ) θα είναι ίση με 0 για κάθε k διάφορο του μηδενός και ίση με 1 για k=0, καθώς για το λευκό θόρυβο ως γνωστό ισχύουν: Ε(ε ) =0 Ε(ε )=σ Ε(ε ε -κ ) = 0 για κ>0) Για την αντίστοιχη δειγματική συνάρτηση αυτοσυσχέτισης SACF(k) αποδεικνύεται (Barle, 1946) ότι οι δειγματικοί συντελεστές αυτοσυσχέτισης είναι κανονικά κατανεμημένοι (για σειρά με σχετικά μεγάλο αριθμό όρων) με μέση τιμή 0 και διακύμανση κατά προσέγγιση ίση με 1/Ν, όπου Ν το πλήθος των όρων της σειράς. ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 6

Για να ελέγξουμε την υπόθεση ότι όλοι οι συντελεστές αυτοσυσχετίσεως μέχρι τάξη m είναι μηδέν, χρησιμοποιούμε το στατιστικό των Ljung and Box που ορίζεται με τη σχέση: LBQ N( N ) m k1 [( N k) 1 SACF ( k) ] Όπως αποδεικνύεται, το στατιστικό αυτό ακολουθεί κατανομή Χ με m-s βαθμούς ελευθερίας, όπου s το πλήθος των συντελεστών που εκτιμάμε (υποδείγματα χρονικών σειρών όπου γίνεται εκτίμηση συντελεστών θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο). Αν η τιμή του LBQ για μια χρονοσειρά βρεθεί μεγαλύτερη από την κρίσιμη τιμή Χ για το προκαθορισμένο επίπεδο σημαντικότητας, τότε η υπόθεση Η 0 (δηλ. ότι η σειρά είναι λευκός θόρυβος) απορρίπτεται για το συγκεκριμένο επίπεδο σημαντικότητας. Στην πράξη, με βάση τα παραπάνω, για να ελέγξουμε την Η 0, ελέγχουμε αφενός αν μεμονωμένοι συντελεστές αυτοσυσχετίσεως είναι εντός των 95% ορίων εμπιστοσύνης και εφετέρου αν από κοινού είναι μη σημαντικοί με το στατιστικό των Ljung and Box. Εφαρμογή Να βρεθεί η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης για τον τυχαίο περίπατο. Απάντηση Διαδοχικά θα έχουμε: Y y 0 i, k Y y k 0 i i1 i1 VAR(Υ )= VAR(Y 0 +ε 1 +ε +...+ ε )= σ +σ +.. σ = σ VAR(Υ -k )= VAR(Y 0 +ε 1 +ε +...+ ε -k )= σ +σ +.. σ =(-k) σ COV(Υ,Υ -k )=E[(Υ - y 0 )( Υ -k y 0 )] (αφού Ε(Υ )= y 0 )= ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 7

=Ε[(ε 1 +ε +...+ ε )( ε 1 +ε +...+ ε -k )]= (-k) σ οπότε: COV ( Y, Y [ VAR( Y ) VAR( Y k ) )] k 1/ ( k) ( ( k) ) 1/ k Επομένως η ρ k του τυχαίου περιπάτου για >>k θα έχει προσεγγιστικά την τιμή 1 για κάθε k, ενώ η αντίστοιχη SΑCF θα φθίνει πολύ αργά. 1/ 4.5 ΜΕΡΙΚΗ ΑΥΤΟΣΥΣΧΕΤΙΣΗ Έστω το παρακάτω υπόδειγμα παλινδρόμησης τριών μεταβλητών: Υ= β 1 +β Χ +β 3 Χ 3 +U Ως γνωστόν οι συντελεστές β, β 3 καλούνται μερικοί συντελεστές παλινδρόμησης και έχουν την εξής σημασία: Ο β 3 μετρά τη μεταβολή στην τιμή της Υ που προκαλείται από την μοναδιαία μεταβολή στη Χ 3, κρατώντας τη Χ σταθερή. Όσον αφορά τώρα τους συντελεστές συσχετίσεως, ο συντελεστής συσχετίσεως μεταξύ Υ και Χ, αν δε ληφθεί μέριμνα για την Χ 3, δεν αντανακλά την πραγματική συσχέτιση μεταξύ Υ και Χ. Αυτός ο συντελεστής συσχετίσεως συμβολίζεται με r YX ή r 1 όπου ο δείκτης 1 αναφέρεται στη μεταβλητή Υ και ο δείκτης στη μεταβλητή Χ και καλείται απλός, ή μηδενικής τάξης συντελεστής συσχετίσεως. Είναι φανερό ότι θα πρέπει να ορισθεί και ένας άλλος συντελεστής συσχετίσεως που να αντανακλά την πραγματική συσχέτιση μεταξύ Υ και Χ. Αυτό επιτυγχάνεται με το λεγόμενο μερικό συντελεστή συσχετίσεως που ορίζεται κατ αναλογία με το μερικό συντελεστή παλινδρομήσεως και συμβολίζεται ως εξής: r 1.3 = μερικός συντελεστής συσχετίσεως μεταξύ Υ και Χ κρατώντας τη μεταβλητή Χ 3 σταθερή. Ο συντελεστής αυτός, που ονομάζεται και συντελεστής συσχετίσεως πρώτης τάξης, δίνεται από τη σχέση: ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 8

r 1.3 r 1 (1 r r 13 13 r 3 )(1 r 3 ) Με ανάλογο τρόπο ορίζονται και οι r 13. και r 3.1. Σε μία χρονική σειρά, σε αντιστοιχία με τα παραπάνω, ορίζεται σαν μερική αυτοσυσχέτιση k-τάξης φ kk η συσχέτιση μεταξύ των Υ, Υ +k, όταν οι ενδιάμεσοι όροι Y +1, Y +,..,Y +k-1 παραμένουν σταθεροί. Δηλαδή: φ kk = Correlaion(Y, Y +k /Y +1, Y +,..,Y +k-1 σταθεροί). Έτσι (*): φ 11 =ρ 1 φ =(ρ -ρ 1 )/(1-ρ 1 ) Για k> οι φ kk υπολογίζονται μέσω αναγωγικού τύπου. Η συνάρτηση μερικής αυτοσυσχετίσεως (parial auocorrelaion funcion) παρέχει το συντελεστή μερικής αυτοσυσχετίσεως για χρονικές υστερήσεις k=1,,3 Όπως και η συνάρτηση αυτοσυσχετίσεως αποτελεί πολύ χρήσιμη πηγή πληροφόρησης σχετικά με τα χαρακτηριστικά της αλληλεξάρτησης που δημιουργεί μια στοχαστική διαδικασία και είναι πολύ χρήσιμο εργαλείο για την ταυτοποίηση του αντίστοιχου στοχαστικού υποδείγματος. (*) Για αυτοπαλίνδρομη διαδικασία ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 9

4.6 Κανονική και εποχική διαφόριση Θεωρούμε πάλι το υπόδειγμα του απλού τυχαίου περιπάτου Υ = Υ -1 + ε Όπως έχουμε δει, το υπόδειγμα αυτό δεν είναι στάσιμο. Στη συνέχεια θεωρούμε το υπόδειγμα που προκύπτει αν από κάθε όρο της Υ αφαιρέσουμε τον προηγούμενο του, δηλ.: Ζ = Υ - Υ -1 = Υ -1 + ε -Υ -1 = ε Ζ -1 = Υ -1 -Υ - = Υ - + ε -1 -Υ - = ε -1... Ζ = Υ - Υ 1 = Υ 1 + ε Υ 1 = ε Η νέα σειρά ε, ε 3, ε που προκύπτει ως οι πρώτες διαφορές της Υ έχει έναν όρο λιγότερο, που χάθηκε λόγω της διαφόρισης, αλλά είναι στάσιμη καθώς είναι ο γνωστός μας λευκός θόρυβος. Ο τυχαίος περίπατος είναι ένα παράδειγμα μίας χρονικής σειράς που μετατρέπεται σε στάσιμη διαφορίζοντας την (Difference Saionary Series). Υπενθυμίζεται ότι μία χρονική σειρά που εμπεριέχει γραμμική μετατρέπεται σε στάσιμη απαλείφοντας την γραμμική τάση (Trend Saionary Series). Γενικότερα μια σειρά που δεν είναι στάσιμη, αλλά μπορεί να μετατραπεί σε στάσιμη διαφορίζοντας την d φορές καλείται ομογενώς μη στάσιμη τάξεως d, ή ολοκληρωμένη τάξεως d. Άρα ο τυχαίος περίπατος είναι μια ολοκληρωμένη (ομογενώς μη στάσιμη) σειρά τάξεως 1. Για μια ομογενώς μη στάσιμη σειρά οι αυτοσυσχετίσεις στην SACF(k) θα μειώνονται πολύ αργά καθώς το k αυξάνεται και αυτό αποτελεί ένα πρώτο πρακτικό κριτήριο για την ύπαρξη ομογενούς μη στασιμότητας, αφού αν η σειρά είναι στάσιμη, όπως θα δούμε στο επόμενο κεφάλαιο, οι ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 10

αυτοσυσχετίσεις βαίνουν μειούμενες με πολύ ταχύτερο ρυθμό 1. Μερικές ακόμη από τις βασικές διαφορές μεταξύ στάσιμων και μη στάσιμων χρονικών σειρών συνοψίζονται παρακάτω (λεπτομερέστερες επεξηγήσεις θα δοθούν και σε επόμενα κεφάλαια): Για στάσιμες χρονικές σειρές με μηδενική μέση τιμή: Η διακύμανση είναι πεπερασμένη. Μία στοχαστική διαταραχή (innovaion) έχει παροδική επίδραση. Ο αναμενόμενος χρόνος που απαιτείται μεταξύ «περασμάτων» των τιμών της σειράς από την τιμή μηδέν (γενικότερα από τη μέση τιμή, αν η τελευταία είναι διάφορη του μηδενός) είναι πεπερασμένος. Για μη στάσιμες χρονικές σειρές: Η διακύμανση τείνει στο άπειρο για. Μία στοχαστική διαταραχή (innovaion) έχει μόνιμη επίδραση. Ο αναμενόμενος χρόνος που απαιτείται μεταξύ «περασμάτων» των τιμών της σειράς από την τιμή μηδέν είναι άπειρος, καθώς οι κυμάνσεις της σειράς δεν πραγματοποιούνται γύρω από ένα συγκεκριμένο επίπεδο. Στη συνέχεια θα εξετάσουμε τη σχέση μεταξύ συνάρτησης αυτοσυσχέτισης και εποχικότητας. Συχνά η ύπαρξη εποχικότητας διακρίνεται από την οπτική επισκόπηση της σειράς. Όμως σε σειρές που ιδίως η άρρυθμη συνιστώσα εμφανίζει έντονες διακυμάνσεις αυτό δεν είναι πάντα δυνατό. Σημαντική βοήθεια στην ανίχνευση της εποχικότητας προσφέρει η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης. Έτσι για μηνιαία 1 Το κριτήριο αυτό θα πρέπει να χρησιμοποιείται μόνο επικουρικά προς τους κλασσικούς ελέγχους μη στασιμότητας όπως για παράδειγμα οι έλεγχοι Dickey Fuller (DF, ADF ess) κλπ. ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 11

στοιχεία είναι πιθανό οι όροι της σειράς που απέχουν 1 περιόδους να συσχετίζονται. Δηλαδή θα πρέπει να υπάρχει συσχέτιση μεταξύ Υ και Y -1, μεταξύ Υ -1 και Y -4 και μεταξύ Υ και Y -4. Αν οι αυτοσυσχετίσεις αυτές μεταξύ των όρων Υ, Y -1, Y -4, Y -36, κλπ είναι έντονες και υποχωρούν πολύ αργά, σκεπτόμενοι όπως στην περίπτωση της κανονικής διαφόρισης μία πρώτη ενέργεια απαλοιφής της εποχικότητας είναι να διαφορίσουμε εποχικά τη σειρά, δηλαδή να θεωρήσουμε μια νέα σειρά που θα αποτελείται όχι από τη διαφορά κάθε όρου της αρχικής σειράς από τον προηγούμενό του, αλλά από όρο που βρίσκεται 1 θέσεις πιο πίσω στην αρχική σειρά. Έτσι θα προκύψει η σειρά Ζ = Υ - Υ -1 για την οποία θα έχει απαλειφθεί ένα μεγάλο μέρος από την εποχικότητα. Αυτό μπορεί να ελεγχθεί από τη μορφή της ACF στην οποία πλέον δεν θα πρέπει να εμφανίζονται αυτοσυσχετίσεις για k= 1, 4, 36 κλπ. που να βαίνουν μειούμενες με αργό ρυθμό. 4.7 ΧΡΟΝΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ Ένας τελεστής χρονικών σειρών μετασχηματίζει μια χρονική σειρά, ή μια ομάδα χρονικών σειρών σε μια άλλη χρονική σειρά. Ένας τέτοιος τελεστής, ιδιαίτερα χρήσιμος στην ανάλυση χρονικών σειρών, είναι ο λεγόμενος τελετής χρονικής υστερήσεως (backward shif (or lag) operaor) που συμβολίζεται με το γράμμα Β ή L. Ο τελεστής αυτός όταν δρα σε μια χρονική σειρά τη μετασχηματίζει έτσι ώστε η προκύπτουσα νέα σειρά να είναι η παλαιά σειρά μετατοπισμένη κατά τόσες χρονικές περιόδους όση είναι η τάξη του τελεστή, δηλαδή: BY = Y -1 ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 1

B Y = Y -. B k Y = Y -k Ιδιότητες του τελεστή Β 1) Βc= c όπου c σταθερά. ) B k B m Y = B k (B m Y )= B k Y -m = Y -k-m 3) (B k +B m )Y = B k Y +B m Y = Y -k +Y -m 4) B k (αy )= αb k Y = αy -κ 5) Aρνητικές δυνάμεις του Β δηλ Β -k με k>0 αντιστοιχούν στον τελεστή χρονικής προπόρευσης (lead ή forward operaor) F και ισχύει: Β -k Y = F +k Y = Y +k δηλ.: Β -k = F +k. 6) Για φ <1 ισχύει: (1+φΒ+ φ Β + φ 3 Β 3 +...+ φ k Β k ) Y =(1-φΒ) -1 Y για k Απόδειξη: Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της προς απόδειξη σχέσης με (1- φβ), οπότε αρκεί να δείξουμε ότι: =(1-φΒ)(1+φΒ+φ Β +φ 3 Β 3 +...+φ k Β k )Y =Υ, ή ότι: k1 k1 k1 ( 1 B ) Y Y Y Y k1 Y, που ισχύει για k Όπως θα φανεί στο επόμενο κεφάλαιο ο τελεστής Β παρέχει τη δυνατότητα γραφής εξισώσεων διαφoρών, καθώς και στοχαστικών υποδειγμάτων σε συνοπτική μορφή. Επιπλέον μέσω του Β μπορούμε να ορίσουμε τους τελεστές διαφόρισης, εποχικής διαφόρισης και απείρων αθροίσεων. Πράγματι: Y -Y -1 = (1-Β) Y με ( 1 B ) τελεστής (κανονικής) διαφόρισης. ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 13

Y -Y -1 = (1-Β 1 1 ) Y με ( 1 B ) τελεστής εποχικής 1 διαφόρισης. Αν τώρα: Ζ = (1-Β)Υ, τότε από την Ζ μπορούμε να επανέλθουμε στην Y αθροίζοντας τους όρους της Ζ : Y i z i 0 i z i i1 z i Το πρώτο άθροισμα ισούται με την τιμή της αρχικής σειράς για τη χρονική στιγμή μηδέν. Οι τιμές y 1, y,, y προκύπτουν προσθέτοντας στην τιμή y o διαδοχικές τιμές της Ζ. Δηλαδή: y 1 = y 0 +z 1 y = y 0 +z 1 +z.. y = y 0 +z 1 +z + +z Aξίζει να σημειωθεί ότι ο τελεστής άπειρων αθροίσεων που ορίζεται ως: S =1+Β+Β +...είναι ο αντίστροφος του τελεστή διαφορίσεως (1-Β) καθώς: Y = SZ. Αλλά: (1-Β)Y =Z => Y =1/(1-Β) Z =(1-Β) -1 Z Δηλαδή S (1-Β) -1 με S =1+Β+Β +... ΚΕΦ. 4 017 Α. ΜΗΛΙΩΝΗΣ 14