MATEMATIKA PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO (PUPP) IR BRANDOS EGZAMINŲ (BE) UŽDUOČIŲ RENGĖJŲ MOKYMO PRAKTINĖ METODINĖ MEDŽIAGA

MATEMATIKA

NACIONALINIS EGZAMINŲ CENTRAS Nacionalinis egzaminų centras Projektas Pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo ir brandos egzaminų sistemos tobulinimas (SFMIS VP1-21-ŠMM-01-V-01-002) PAGRINDINIO UGDYMO PASIEKIMŲ PATIKRINIMO (PUPP) IR BRANDOS EGZAMINŲ (BE) UŽDUOČIŲ RENGĖJŲ MOKYMO PRAKTINĖ METODINĖ MEDŽIAGA MATEMATIKA Vilnius 2011

TURINYS: Išleista Europos Socialinio fondo ir Lietuvos Respublikos lėšomis PRATARMĖ 415 TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI IR PRINCIPAI 417 MATEMATIKOS DALYKO IR EGZAMINŲ PROGRAMŲ PALYGINIMAS 425 Nacionalinis egzaminų centras M Katkaus g 44, Vilnius LT-09217 Tel (8 ~ 5) 275 6180 Faks (8 ~ 5) 275 2268 centras@neclt wwwegzaminailt UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS 431 Įvairaus formato uždaviniai 431 Geri ir blogi uždaviniai (darbas grupėse) 438 VERTINIMAS 447 MATEMATIKOS EGZAMINO UŽDUOTYS KITOSE ŠALYSE 453 Matematikos brandos egzaminas Lenkijoje 453 Matematikos brandos egzamino Rusijoje pavyzdinė užduotis 459 Darnaus vystymosi institutas Aušros al 66 a, Šiauliai LT-76233 Tel (8 ~ 672) 26 226 Faks (8 ~ 41) 595 898 info@institutelt wwwinstitutelt Matematikos brandos darbas Slovėnijoje 473 Matematikos brandos darbas Vengrijoje 476 Matematikos brandos darbas Ukrainoje 484 Nacionalinis egzaminų centras, 2011 Darnaus vystymosi institutas, 2011 413

PRATARMĖ Nacionalinis egzaminų centras vykdo ES SF projektą Pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo ir brandos egzaminų sistemos tobulinimas (2009 20011 metai) Projekto metu vyko užduočių rengėjų ekspertų mokymai: 6 seminarai po 3 dienas Tarp šio projekto dalyvių įvairių mokomųjų dalykų specialistų matematikos mokytojų grupė Šios grupės nariai dalyvavo seminaruose, parengė pavyzdinę matematikos VBE užduotį, brandos egzamino 2010 metų bandomąją užduotį, pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo 2010 bandomąją užduotį, išanalizavo kelių užsienio šalių matematikos egzamino užduotis, parengė programą bei mokymo medžiagą ir vykdė naujų užduočių rengėjų mokymus Užduočių rengėjų naujokų mokymuose dalyvavo 27 respublikos matematikos mokytojai, turintys matematikos VBE vertinimo patirties, rekomenduoti NEC bei regioninių Švietimo centrų Mokymuose dalyvę mokytojai galės vykdyti įgytos patirties sklaidą pedagogų bendruomenėje Užduočių rengėjai naujokai mokymų metu (3 seminarai po 3 dienas) susipažino su testavimo teorijos istorija, teorijos pagrindais: matavimo skalėmis; testavimo egzaminavimo paskirtimi; užduoties validumu, patikimumu; lygino matematikos dalyko ir egzaminų programas; nagrinėjo pagrindines uždavinių rūšis, klasifikavo jas pagal vertinimą, formatą, veiklos sritis; analizavo gerus ir blogus uždavinius; nagrinėjo vertinimo instrukcijų tipus, jų rašymo principus Naujokai atliko namų darbus parinko įvairių rūšių uždavinius ir parengė jiems vertinimo instrukcijas Iš gauto uždavinių banko parengė 3 bandomąsias užduotis: vieną B kurso mokiniams iš visų matematikos temų ir dvi A kurso mokiniams 1) Funkcijos ir analizės pradmenys bei kombinatorika, tikimybės ir statistika 2) Skaičiai, skaičiavimai, algebra ir geometrija Šiame metodiniame leidinyje skelbiama užduočių rengėjų mokymams parengta ir išbandyta medžiaga: seminarų paskaitų pateiktys, darbo grupėse užduotys, užsienio šalių matematikos brandos egzaminų užduočių komentarai Tikimės, kad ši mokomoji medžiaga galės būti panaudota rengiant kitus matematikos brandos egzaminų, pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduočių rengėjus Kitiems matematikos mokytojams padės pagilinti testavimo teorijos žinias ir geriau pasirengti įvairias matematikos užduotis: savarankiškus darbus, kontrolinius darbus, kartojimo ir pan 415

TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI BEI PRINCIPAI Testavimo ir egzaminavimo tikslų ir principų pristatymas Trumpa testavimo istorija (iš Įvadas į testų teoriją) Ką turime omenyje, sakydami testavimas-egzaminavimas? Matavimo skalės (kas yra pažymys?): nominali ranginė intervalinė santykių Truputis istorijos Kas beegzistuotų, egzistuoja tam tikru mastu Išsamus visa ko išmanymas apima tiek kiekybės, tiek kokybės pažinimą ELThorndike, 1918 Sistemingas vertinimas kilęs iš valstybės tarnautojų testavimo sistemos, taikytos senovės Kinijoje prieš III tūkstm XVI a Jėzuitai savo mokinius ėmė vertinti bei į tarnybą skirti egzaminais raštu 1599 m Ratio Studiorum yra ir egzaminų vykdymo taisyklės Visi turėtų būti klasėje tinkamu metu, kad gautų prefekto dalijamas užduotis bei girdėtų instrukcijas () ir jie turi užbaigti užduotis iki pamokų pabaigos Pareikalavus tylos, niekas negali kalbėtis tarpusavyje, net gi su prefektu Vertinimas bei matavimas Matavimas yra skaičių kaip individo savybių atvaizdavimo priskyrimas individams sisteminiu būdu Skaičiai individams priskiriami pagal kruopščiai nustatytą pasikartojančią procedūrą MJAllen ir WMYen, 1979 Vertinimas tai bet kuri veikla, vykdoma mokytojo ar egzaminuotojo, kuria siekiama nagrinėti ir įvertinti vieną ar kelis mokinių mokymosi aspektus Matavimas konkreti vertinimo forma, kuomet testuodami nustatome mokinio pasiekimų lygmenį kaip skaičių 417

TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI BEI PRINCIPAI TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI BEI PRINCIPAI Matavimo skalės nominali (vardų) BLOOM o ugdymo tikslų taksonomija Naudojama įvardinti ir charakterizuoti aibės elementus Mažus objektus suskirsto į grupes Skirstant objektus į grupes, skalė apibrėžia tik du atvejus vienodi ir nevienodi Matavimo skalės ranginė (laipsnių) Skalė turi pavadinimus ir išrikiuoja aibės elementus pagal aiškią tvarką Matavimo skalės intervalinė Vardas Kambario nr Gediminas 25 Mindaugas 37 Algirdas 102 Jogaila 127 Mokyklinių pažymių skalė puikiai 5 gerai 4 patenkin 3 nepatenkin 2 Žinios (atmintis) Supratimas (rutininės operacijos, žinių suvokimas) Taikymas (sugebėjimas pritaikyti, perkelti įgytas žinias įvairiose situacijose) Analizė (gebėjimas visumą skaidyti į dalis) Sintezė (sugebėjimas atskirus elementus jungti į sistemą) Vertinimas (vertinti, pateikti išvadas) Testo specifikacijos pavyzdys Gebėjimas 1 Gebėjimas 2 % # 1 tema (sritis) % 2 tema (sritis) %?%?% 100 # # Ne tik išranguoja elementus, bet taip pat ir nustato intervalų tarp elementų reikšmę Pvz Celsijaus temperatūros matavimo skalė Matavimo skalės santykių Santykių skalė yra intervalinė skalė, kurioje pradinio taško, ty Absoliutaus nulio, pozicija yra žinoma Santykių skalės pasižymi visomis įprastomis skaičių savybėmis: tik su šio tipo skale leista atlikinėti visus skaičiuokliui įmanomus aritmetinius veiksmus Testo specifikacija: Testo validumas (supratimas, kas testuojama) Testo pastovumas Testo subalansavimas įvairių gebėjimų respondentui Testo klausimų tipai: respondentas atsakymą PASIRENKA ar SUKURIA? Matavimai, kurių reikšmė nėra lygi nuliui, šioje skalėje gali būti išreiškiami kaip vienas kito proporcija Keturi matavimo skalės lygmenys: nominali Ranginė Intervalinė Santykių Sudaro hierarchiją Testavimo turinys Dalykinis turinys (sritys, temos) Bendrųjų gebėjimų rūšys: - Žinios - Gebėjimai - Kompetencijos Bendrųjų gebėjimų taksonomijos Pasirenkamojo atsakymo klausimai Sukurti (parašyti) klausimą Sukurti (parašyti) atsakymus (teisingą atsakymą (-us) ir distraktorius) Pasirinkti atsakymą (-us) Įvertinti taškais Taip/ne Vieno pasirenkamojo atsakymo Kelių pasirenkamų atsakymų Atitikties, eilės nustatymas Atviro atsakymo klausimai Sukurti (parašyti) klausimą Sukurti (parašyti) vertinimo instrukciją Sukurti (parašyti) atsakymą Pritaikyti vert instrukciją ir įvertinti taškais Pabaigti sakinį Įrašyti trūkstamą dalį Trumpas atsakymas Išplėstas atsakymas Struktūruotas klausimas Rašinys (esė) 418 419

TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI BEI PRINCIPAI TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI BEI PRINCIPAI Vertinimo procesas Patikimumas Patikimumas reiškia vertinimo nuoseklumą 67,4 kg 69,6 kg 78% Kas yra vertinimas balais? Vertinimas balais tai sistemingas subjektų vertinimas skaičiais, taip parodant individų savybes (Allen and Yen 1979) 63,1 kg 67,38 kg 67,40 kg 67,38 kg Patikimas, bet ar pagrįstas? 7 23/40 61% Geras vertinimas yra 67,38 kg 67,40 kg 67,38 kg Patikimas; Pagrįstas; Veiksmingas; Naudingas Pagrindinės sąvokos Patikimumas: Jei individo gebėjimai yra pastovūs, tada mes turime sugebėti parodyti, kad mūsų įvertinimas yra nuoseklus ir stabilus Pagrįstumas/validumas Jei mes teigiame, kad vertiname turėdami tam tikrus tikslus, privalome sugebėti apibrėžti, ką mes vertiname, ir parodyti, kad mes galime įvertinti pakankamai tiksliai pagal numatomus tikslus Testavimo/vertinimo tikslai Kokia testavimo-egzaminavimo paskirtis? Kokie yra konkretūs brandos (arba pagrindinio ugdymo pasiekimų) egzaminų tikslai? Atranka - Palyginimas su kitais, rangavimas Sertifikavimas - Palyginimas su reikalavimais/standartais Diagnostika (stebėsena, atskaitomybė) Ką daro mokytojas, kai jis rašo mokiniui pažymį? 420 421

TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI BEI PRINCIPAI TESTAVIMO IR EGZAMINAVIMO TIKSLAI BEI PRINCIPAI Darbas grupėse Ar mokyklose naudojami testai/kontroliniai darbai, tyrimų testai, PUPP, mokyklinių ir valstybinių brandos egzaminų užduotys skiriasi? Mokytojai pateiktas užduotis priskiria nurodytam tipui Testų sudarymas ir jų atitikimas paskirčiai TESTŲ TIPAI Raštu ar žodžiu Vidinis ar išorinis Praktinis ar teorinis Su trumpu laiko limitu ar kursinis darbas Klasėje ar namuose Individualus ar grupinis Aiškiai suformuluotu klausimu ar atviro tipo Popieriaus/pieštuko vs kompiuterinis (CAT) Testo specifikacija (programa, gebėjimai, matrica) Tai testo žaidimo taisyklės, kurios aiškiai nusako: kas bus testuojama? kaip/kada bus testuojama? kaip bus vertinami respondentų atsakymai/darbai? kaip bus panaudojami testo rezultatai? Apibrėžiami testavimo tikslai, turinys ir forma Diskusija su mokytojais Ką reiškia patikimumas? Ką reiškia validumas? Kaip tai susiję? Kokią įtaką didelės vertės testai bei egzaminai turi mokymo-mokymosi procesui (pasekmės)? Kas užtikrina egzamino proceso etiškumą? (Slaptumas-skaidrumas, sąžiningumas, profesionalumas, tt) Atsakymų lapas pliusas ar minusas? Akademinis ar (pseudo) realaus gyvenimo kontekste Ar testavimo metodai atitinka testavimo tikslus? Vertinimo būdai NORMINIS ar KRITERINIS Pasilyginimas tarpusavyje Pasilyginimas su kriterijumi STANDARTAI ar NORMOS Testo filosofija Keli klausimai, daug laiko Daugiau klausimų, mažiau laiko Ko mokinys nežino? ar Ką jis moka ir sugeba? 422 423

Egzaminai MATEMATIKOS DALYKO IR EGZAMINŲ PROGRAMŲ PALYGINIMAS 2009 m matematikos egz programa Brandos egzaminai Atranka Norminiai Tik stojantys Vienas testas visiems Turinio laisvė Matuoti potencines galimybes, nuostatas, motyvaciją Geros skiriamosios gebos Patvirtinimas Kriteriniai Visi abiturientai Testas atitinka mokymosi kursą/lygį Pedagoginiai tikslai: žvilgsnis atgal Patvirtina brandą (ne/išlaikė?) 2009 m matematikos egz programa II MATEMATIKOS MOKYMO TIKSLAI IR MATEMATIKOS VALSTYBINIS BRANDOS EGZAMINAS 4 Matematikos, kaip mokomojo dalyko, paskirtis dvejopa Pirmiausia siekiama, kad visi mokiniai būtų matematiškai raštingi Antra, siekiama plėtoti kiekvieno mokinio matematinius gebėjimus Šių dviejų tendencijų atspindėjimas svarbi egzaminų funkcija Mokydamasis bendrojo ar išplėstinio matematikos kurso mokinys pasirengia valstybiniam egzaminui Matematikos valstybinio brandos egzamino užduotyje 40 proc taškų atitinka bendrąjį matematikos kursą, 60 proc išplėstinį 5 Svarbiausi matematikos mokymo mokykloje tikslai ir uždaviniai skirstomi į tris pagrindines grupes: 51 matematikos žinių įgijimas ir specialiųjų gebėjimų, susijusių su atskiromis matematikos sritimis, ugdymas(is); 52 bendrųjų matematinių gebėjimų ugdymas(is); 53 nuostatų ir vertybinių orientacijų formavimas(is) 6 Matematikos valstybinis brandos egzaminas (toliau egzaminas) turi atliepti šiuos tikslus, tačiau dėl įvairių objektyvių priežasčių egzamino programa ir užduotis apima ne visus matematikos mokymo programos apibrėžtus tikslus, o tik kai kuriuos iš jų Pavyzdžiui, atsisakoma vertinti mokinių nuostatas ir vertybines orientacijas, nes tai ypač sudėtinga 425

MATEMATIKOS DALYKO IR EGZAMINŲ PROGRAMŲ PALYGINIMAS MATEMATIKOS DALYKO IR EGZAMINŲ PROGRAMŲ PALYGINIMAS III MOKINIŲ ŽINIOS IR GEBĖJIMAI 4 Dalyko struktūra 7 Įgytų žinių kiekis ir mokėjimas gerai atlikti standartines procedūras ne visada lemia mokinių tolesnių studijų ir darbo sėkmę Ši tendencija ypač ryški šiandien besikuriančioje informacinėje visuomenėje Vis svarbesni bendrieji mokinių gebėjimai, taigi labai aktualus uždavinys yra vertinti bendruosius gebėjimus Šiuolaikinėje matematikos didaktikoje įprasta išskirti tris svarbiausius bendruosius matematinius gebėjimus problemų sprendimo, matematinio mąstymo ir matematinio komunikavimo Egzamino programoje detaliai aprašomi mokinių bendrųjų matematinių gebėjimų vertinimo kriterijai ir reglamentuojamas bendruosius gebėjimus tikrinančių užduočių svoris egzamino užduotyje 8 Glaudžiai su bendraisiais gebėjimais susijęs mokinių įgytų žinių integruotumas (dalykinis, bendradalykinis ir sociokultūrinis) Jis svarbus įgyvendinant holistinio ugdymo principus Egzamino programoje daug dėmesio skiriama žinių integruotumui 2010 m VU BP projektas 1 Dalyko paskirtis 11 Matematika pasaulio pažinimo instrumentas leidžiantis ugdyti ir ugdytis gebėjimus skaičiuoti, logiškai mąstyti ir formalizuoti, analizuoti, įrodyti, kritiškai vertinti, lavinantis vaizdinį, erdvinį ir stochastinį mąstymą Žinomų matematikos sąvokų, matematinių modelių, metodų, ryšių įvairioms situacijoms analizuoti supratimas ir taikymas kiekvienam mokiniui sudaro prielaidas ne tik pažinti pasaulį, perimti šimtmečiais susiformavusią žmogaus mąstymo ir veiklos kultūrą, bet ir padeda jam tiek praktinėje veikloje, tiek kasdieniame gyvenime 12 Matematikos viduriniojo ugdymo bendrosios programos skirtos pedagogams, kurie jau moko arba rengiasi mokyti matematikos 11-12 klasėse (III-IV gimn klasėse), mokymo priemonių rengėjams, aukštųjų mokyklų matematikos dėstytojams 13 Vidurinėje mokykloje mokiniai gali mokytis matematikos pagal bendrojo kurso arba išplėstinio kurso programą 2 Tikslas sudaryti galimybę mokiniams plėtoti matematinę kompetenciją, ty, gebėjimus ir nuostatas pažinti pasaulį ir jį aprašyti matematiniais modeliais ir metodais, naudotis jais sprendžiant praktines ir teorines, įvairių mokslo sričių ir matematines problemas 41 Matematikos programą sudaro du kursai: bendrasis ir išplėstinis Jie skiriasi mokinių žinių ir suvokimo bei gebėjimų gilumu, kurie aprašyti mokinių pasiekimų lentelėje 42 Bendrasis kursas teikia dalyko pagrindus, matematinį raštingumą, reikalingą vidurinį išsilavinimą įgijusiam asmeniui Jo paskirtis sudaryti galimybę mokiniams pasirengti tenkinti gyvenimo visuomenėje praktines reikmes, įgyti bendrąjį kultūrinį išprusimą ir bent minimaliai pasirengti tolesniam mokymuisi 43 Bendrojo kurso programą sudaro šios veiklos sritys: 1 Realieji skaičiai ir reiškiniai 2 Funkcijos, lygtys, nelygybės, sistemos 3 Diferencialinis skaičiavimas 4 Geometrija 5 Tikimybių teorija Statistika 44 Išplėstinis kursas skirtas nuosekliai ugdyti nuostatas ir gebėjimus matematiškai mąstyti, spręsti problemas, komunikuoti (pasitelkiant matematiką) bei savarankiškai mokytis matematikos Jis orientuotas į tolesnes ekonomikos, gamtos, tiksliųjų mokslų bei technologijų studijas Savo turiniu išplėstinis kursas platesnis ir labiau integruotas už bendrąjį kursą Svarbus išplėstinio kurso uždavinys mokyti operuoti matematikos žiniomis ir metodais ne tik sprendžiant sudėtingesnius praktinius uždavinius, bet ir atliekant nesudėtingas teorines užduotis 45 Išplėstinio kurso programą sudaro šios veiklos sritys: 1 Realieji skaičiai ir reiškiniai 2 Funkcijos, lygtys, nelygybės, sistemos 3 Diferencialinis skaičiavimas Integralinis skaičiavimas 4 Geometrija Vektoriai 5 Tikimybių teorija Statistika 2010 m PUPP matematika II PATIKRINIMO TIKSLAS IR UŽDAVINIAI 3 Uždaviniai: Siekdami šio tikslo mokiniai turėtų: įgyti matematinių žinių iš įvairių matematikos veiklos sričių ir įgūdžių matematiškai komunikuoti, mąstyti ir spręsti problemas, atlikti praktines užduotis, nagrinėti ir spręsti praktines ir teorines problemas matematiniais metodais, kritiškai vertinti gautus rezultatus, daryti išvadas ir apibendrinimus, suvokti įgytų matematinių žinių praktinę, istorinę ir mokslinę vertę 5 Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo tikslas įvertinti pagrindinio ugdymo baigiamosios klasės mokinių matematikos pasiekimus ir teikti informaciją apie pagrindinio ugdymo kokybę 6 Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo uždaviniai: 61 įvertinti mokinių dalykines ir bendrąsias kompetencijas, įgytas mokantis pagal pagrindinio ugdymo bendrąsias programas; 426 427

MATEMATIKOS DALYKO IR EGZAMINŲ PROGRAMŲ PALYGINIMAS MATEMATIKOS DALYKO IR EGZAMINŲ PROGRAMŲ PALYGINIMAS 62 teikti informaciją, reikalingą mokiniams, pasirinkusiems tolesnį dalyko mokymosi kursą ir mokyklą, apie matematikos mokymosi rezultatus; 63 teikti informaciją, reikalingą mokykloms priimant mokinius į tolesnio mokymosi programas ir užtikrinant lygias mokinių galimybes; 64 teikti mokykloms ir savivaldybėms informaciją, padedančią įvertinti matematikos mokymo(si) rezultatus; 65 teikti švietimo stebėsenai informaciją ir informuoti visuomenę apie pagrindinio ugdymo rezultatus III TIKRINAMI GEBĖJIMAI 7 Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotimi siekiama įvertinti dvi mokinių matematinių gebėjimų grupes: matematikos žinių ir supratimo, matematinio mąstymo ir problemų sprendimo Šių grupių gebėjimai sudaro mokinių matematinės kompetencijos pagrindus 8 Žinių ir supratimo gebėjimų grupei priskiriamus gebėjimus mokiniai parodo: 81 nurodydami, teisingai vartodami, apibrėždami ir/ar savais žodžiais paaiškindami pagrindines sąvokas; 82 atpažindami modeliuose, schemose, lentelėse, grafikuose ir diagramose pateiktus dydžius, procesus, matematinius modelius; 83 atlikdami standartinius skaičiavimus; 84 taikydami standartinius algoritmus; 85 paaiškindami atliekamas procedūras, pateikdami jų taikymo pavyzdžių; 86 raštu ar grafiškai paaiškindami teiginius; 87 taikydami matematines žinias standartinėse situacijose ir paaiškindami savo veiksmus 9 Matematinio mąstymo ir problemų sprendimų grupei priskiriamus gebėjimus mokiniai parodo: 91 formuluodami apibendrinimus ir nustatydami dėsningumus; 92 pasirinkdami veiksmingas problemų sprendimo strategijas; 93 pritaikydami matematinius modelius nestandartinėse situacijose; 94 darydami pagrįstas išvadas ir jas argumentuodami; 95 nuosekliai išdėstydami, aprašydami ir argumentuodami sprendimus 10 Greta matematinės kompetencijos pagrindų, matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduotimi siekiama įvertinti bendrąsias kompetencijas: komunikacinę kompetenciją ir darbo kultūros kompetenciją Įgytas bendrąsias kompetencijas mokiniai parodo: 101 komunikacinę atsirinkdami reikiamą informaciją problemai spręsti, praturtindami kalbinį komunikavimą matematinio komunikavimo elementais, naudodamiesi tinkamomis pagalbos priemonėmis (formulių rinkiniu, lentelėmis, grafikais, planais, schemomis, modeliais, skaičiuokliu); 102 darbo kultūros užduotį atlikdami kokybiškai, nuosekliai, racionaliai, glaustai, tvarkingai IV PATIKRINIMO STRUKTŪRA 11 Patikrinimas vykdomas mokiniams, baigusiems pagrindinio ugdymo programą 12 Patikrinimo užduoties esmė įvertinti mokinių matematinį raštingumą (būtinas matematines žinias, duomenų interpretavimą, praktinius gebėjimus, gebėjimus spręsti kontekstinius uždavinius, matematinę komunikaciją, matematinę argumentaciją, problemų sprendimą ir kt) 13 Užduoties pradžioje turėtų būti pateikiami patenkinamąjį pasiekimų lygį atitinkantys uždaviniai, toliau pagrindinį ir aukštesnįjį lygius atitinkantys uždaviniai: 131 užduotyje turi būti tiek realaus turinio uždavinių, kad jų taškų suma sudarytų iki 70 proc visų užduoties taškų 14 Patikrinimo užduoties taškų suma nuo 45 iki 55 taškų 15 Kiekvienas uždavinys (jo dalis) priskiriamas tik vienai veiklos sričiai ir tik vienai gebėjimų grupei Užduoties taškų skaičius iš atitinkamų veiklos sričių ir gebėjimų pateiktas 1 lentelėje 16 Patikrinimo užduotis turi atitikti Pradinio ir pagrindinio ugdymo bendrosiose programose apibrėžtus patenkinamą, pagrindinį ir aukštesnįjį gebėjimų lygius Užduoties taškų pasiskirstymas pagal pasiekimų lygius pateiktas 2 lentelėje 17 Patikrinimo užduotyje turi būti tiek lengvų (mokiniui įprastas kontekstas, mokiniui pažįstamas uždavinių formatas, patogūs skaičiavimui skaičiai) uždavinių, kad jų taškų suma sudarytų ne mažiau kaip 40 proc visų užduoties taškų 18 Konkrečiose užduotyse galimi tam tikri nukrypimai nuo lentelėse parašytų skaičių, tačiau jie neturėtų būti didesni kaip ±4 proc 19 Patikrinimo trukmė 120 min Patikrinimas vyksta be pertraukos 20 Patikrinimo metu mokiniai atlieka užduotį raštu, leidžiama naudotis rašymo priemonėmis, braižybos ir matavimo įrankiais bei skaičiuotuvu be tekstinės atminties (klaviatūra neturi pilno lotyniškojo raidyno) 21 Prie kiekvienos patikrinimo užduoties pridedamas matematinių formulių rinkinys toks, koks pateiktas šios patikrinimo Programos 1 priede arba papildytas formulėmis, reikalingomis užduočiai atlikti VI VERTINIMAS 25 Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduoties vertinimo instrukcija rengiama kartu su užduotimi 26 Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduoties atlikimas vertinamas taškais 27 Kiekvieno uždavinio teisingas sprendimas vertinamas prie uždavinio nurodytu taškų skaičiumi 28 Už matematinių simbolių ir sąvokų teisingą vartojimą, visų išspręstų uždavinių nuoseklų ir tvarkingą pateikimą pridedama papildomai iki 2 taškų 29 Galutinė taškų suma, remiantis užduoties vertinimo instrukcija, konvertuojama į įvertinimą balais 30 Patikrinimas yra išlaikytas, t y atitinkantis minimalius reikalavimus, jei mokinys surenka ne mažiau kaip 30 procentų visų galimų surinkti patikrinimo užduoties taškų 31 Užduoties atlikimas vertinamas 6 ir daugiau balų, jei surenkama ne mažiau kaip 50 proc visų galimų surinkti patikrinimo užduoties taškų 32 Matematikos pagrindinio ugdymo pasiekimų patikrinimo užduoties vertinimo instrukcija mokykloms pateikiama tą pačią dieną pasibaigus patikrinimui 428 429

MMATEMATIKOS DALYKO IR EGZAMINŲ PROGRAMŲ PALYGINIMAS Išvados Egzamino programa yra dokumentas, kuris oficialiai nustato, kas bus vertinama egzamino metu ir kaip vertinimas bus atliekamas Įsidėmėtina, kad, priešingai nei mokymosi programos atveju, egzamino programa daugiau ar mažiau yra susijusi tik su vertinimo proceso turiniu ir procedūromis UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS Uždaviniai ir laukiami rezultatai: Susipažinti su užduočių, uždavinių kūrimo metodika ir uždavinių tipais Analizuojant užsienio šalių užduočių pavyzdžius, aiškintis jų patirties panaudojimo galimybes ruošiant užduotis Pritaikyti teorines žinias apie uždavinių rengimo metodiką: atpažinti klaidas, jas ištaisyti SĄVOKOS Švietimo vertinimo, egzaminų ir testavimo terminų aiškinamasis žodynas, Anglia Assessment Ltd UŽDUOTIS Užduoties formuluotės ir atsakymų visuma VERTINIMO UŽDUOTIS Užduotis, specialiai sukurta norint suteikti mokiniams galimybę pademonstruoti savo žinias ir (ar) kitus gebėjimus Vertinimo užduotis turi būti sukurta pasiekti vienam ar daugiau apibrėžtų mokymo (vertinimo) tikslų UŽDAVINYS Tikslus teiginys, apibrėžiantis veiklą ar elgseną, kurią mokinys turi pademonstruoti vertinant tam tikras jo žinias ar įgūdžius Uždaviniai paprastai susiję su atskiromis pamokomis ar jų grupėmis, o ne didelėmis idėjomis KRITERIJUS Gairės, taisyklės ar savybės, naudojamos nustatant mokinio darbo atlikimo kokybę Kriterijais nurodoma, ką vertiname mokinių atsakymuose, produktuose ar atlikime Jie gali būti holistiniai, analitiniai, bendrieji ar konkretūs Taškų suteikimo rubrikos yra pagrįstos kriterijais ir apibrėžia, ką kriterijai reiškia ir kaip jie turi būti taikomi Įvairaus formato uždaviniai Reikalavimai įvairaus formato uždaviniams Uždavinių su pasirenkamaisiais atsakymais analizavimas, klaidų atpažinimas ir jų įvardijimas Uždavinio priskyrimas matematikos sričiai Skaičių ir skaičiavimų Reiškinių, lygčių, nelygybių, sistemų Sąryšių ir funkcijų Geometrijos Matų ir matavimų Statistikos Tikimybių teorijos 430 431

UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS Uždavinių formatas Uždaviniai: Pasirenkamojo atsakymo Trumpo atsakymo Trumpo sprendimo Išsamaus sprendimo Suklasifikuotus uždavinius pagal formatą aptarti (pasižymėti) pagal nurodytus kriterijus TRUMPO ATSAKYMO Sąlygos korektiškumas Ar uždavinys atitinka jam skirtų taškų vertę? (Kiek taškų siūlytumėte?) Pavyzdžiai Subjektyvu Objektyvu Neprobleminiai ir probleminiai uždaviniai Išsamaus sprendimo Struktūruoti Trumpo sprendimo Trumpo atsakymo Pasirenkamojo atsakymo Pavyzdžiai STRUKTŪRUOTI UŽDAVINIAI Uždavinio pradžioje pateikiama įvadinė informacija, o vėliau su ja susiję klausimai Darbas grupėse Pradiniai klausimai sudaryti taip, kad juose užkoduotą papildomą informaciją galima būtų panaudoti ieškant atsakymo į tolimesnius uždavinio klausimus Suklasifikuoti uždavinius pagal formatą (uždavinių rinkinys) PASIRENKAMOJO ATSAKYMO TRUMPO ATSAKYMO/SPRENDIMO IŠSAMAUS SPRENDIMO PROBLEMINIAI-STRUKTŪRUOTI uždaviniai PROBLEMINIAI UŽDAVINIAI Probleminių uždavinių sprendimas prilyginamas kūrybinei veiklai Ar uždavinys probleminis nustatome ne iš jo sprendimo, o iš to, ar anksčiau mokiniai buvo susidūrę su panašiu uždaviniu Suklasifikuotus uždavinius pagal formatą aptarti (pasižymėti) pagal nurodytus kriterijus PASIRENKAMOJO ATSAKYMO Sąlygos korektiškumas Ar teisingai parinkti atsakymai? (Distraktoriai) Ar uždavinys atitinka jam skirto 1 taško vertę? 15 Duota funkcija f(x) = 2x + 4 1 Raskite funkcijos f(x) tą pirmykštę 2 funkciją, kurios grafikas eina per tašką (2; 1) (2 taškai) 2 Apskaičiuokite kreivines trapecijos 3, kurią riboja gautosios pirmykštės funkcijos grafikas bei ašis Ox, plotą (3 taškai) 432 433

UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS Nr Sprendimas Taškai Paaiškinimai 15 5 1 1 1 Už teisingai apskaičiuotą F(x) Už gautą teisingą atsakymą 13 Andrius pasistatė kubo formos sodo namelį su trimis vienodais langais ir vienodomis durimis bei piramidės formos stogu Namelio sienos ilgis 3 m, lango matmenys 1x12 m, durų 2x0,9 m, stogo aukštis 2 m Nusipirko dviejų spalvų dažų namui dažyti ir plokščių stogui dengti 1 Koks viso namo aukštis? (1 taškas) 2 1 1 Už teisingai apskaičiuotus rėžius Už teisingai suintegruotą funkciją 2 Andrius nutarė namelio duris nudažyti iš lauko pusės rudai Kiek reikės rudų dažų, jei 1 m² nudažyti reikia 350 g dažų? (2 taškai) 1 Už teisingą atsakymą 3 Namelio sienas Andrius nusprendė dažyti geltonai Kiek reikės geltonų dažų, jei 1 m² nudažyti reikia 350 g dažų? (3 taškai) 4 Visą stogą Andrius norėjo uždengti plokštėmis Koks yra plokštėmis dengtinas plotas? (4 taškai) 17 Duota funkcija 1 Parodykite, kad jos atvirkštinė funkcija 1 yra (2 taškai) 14 Koordinačių plokštumoje lygiašonė trapecija OBCA nubraižyta taip, kaip parodyta paveiksle Kraštinės OB = BC = AC = 2 BOA = 60 M ir N atitinkamai kraštinių BC ir AC vidurio taškai 2 Raskite funkcijos ir pirmojo bei trečiojo ketvirčio pusiaukampinės 2 susikirtimo taškų koordinates (3 taškai) Nr Sprendimas Taškai Paaiškinimai 17 5 1 1 1 Už teisingai išreikštą x Už gautą teisingą atsakymą 1 Raskite taško B koordinates (1 taškas) 2 Raskite vektorių OM ir ON koordinates (2 taškai) 3 Apskaičiuokite kampo tarp vektorių OM ir ON kosinusą (2 taškai) 2 1 1 Už teisingą lygybę Už gautus teisingus x1 ir x2 1 Už teisingą atsakymą 434 435

UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS 15 Du lygiašoniai trikampiai ABC ir DBC turi bendrą pagrindą BC, kurio ilgis 16 cm Trikampių plokštumos sudaro 60 kampą AB = AC = 17 cm BD DC, E atkarpos BC vidurio taškas 1 Įrodykite, kad AED = 60 (1 taškas) 2 Apskaičiuokite kraštinės CD ilgį (1 taškas) 3 Apskaičiuokite atstumą tarp viršūnių A ir D (3 taškai) 17 Paveiksle pavaizduoti funkcijų grafikai 1 Raskite taškų A ir C koordinates (1 taškas) 2 Įrodykite, kad kreivinės figūros ACBOA plotas lygus (2 taškai) 3 Apskaičiuokite kreivinės figūros ADBCA plotą (2 taškai) 16 Uždaros stačiakampio gretasienio formos dėžės pagrindas kvadratas, dėžės tūris 320 dm 2 Medžiagos, iš kurios padarytas dėžės dangtis ir dugnas, 1 dm² yra 5 kartus brangesnis už sienoms sunaudotos medžiagos 1 dm² 1 Parodykite, kad tokiai dėžei pagaminti reikalingos medžiagos kaina g(x) nusakoma formule: ilgis decimetrais, čia k sienos medžiagos 1 dm 2 kaina litais, x pagrindo kraštinės 2 Kokie turi būti šios dėžės matmenys, kad išlaidos medžiagoms būtų mažiausios? 15 Į trikampį ABC, kurio pagrindo kraštinės AC ilgis 10 cm, o auštinės BD ilgis 8 cm, įbrėžtas stačiakampis EFGH (žr pvz) Šio stačiakampio dvi viršūnės yra trikampio pagrindo kraštinėje, o kitos dvi kitose trikampio kraštinėse (3 taškai) (2 taškai) Darbas grupėse Suklasifikuotus uždavinius pagal formatą aptarti (pasižymėti) pagal nurodytus kriterijus STRUKTŪRUOTI Sąlygos korektiškumas Ar uždavinys atitinka jam skirtų taškų vertę? (Kiek taškų siūlytumėte?) Ar uždavinio dalys išdėstytos tokia tvarka, kuri padės mokiniams parodyti savo gebėjimus? Suklasifikuotus uždavinius aptarti (pasižymėti) pagal nurodytus kriterijus PROBLEMINIAI Sąlygos korektiškumas 1 Sakykime, EF ilgis x cm Įrodykite, kad stačiakampio EFGH plotas yra (2 taškai) Ar uždavinys atitinka jam skirtų taškų vertę? (Kiek taškų siūlytumėte?) Kaip atskirti, kad tai probleminis uždavinys? 2 Kokio didžiausio ploto stačiakampį galima įbrėžti į trikampį ABC? (3 taškai) 436 437

UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS Geri ir blogi uždaviniai (darbas grupėse) Nr SĄLYGA Galimas komentaras Nr SĄLYGA 1 Apskaičiuokite A 81 B 9 C D E 27 Galimas komentaras Pratimas įdomus, bet ne testui, kuris vertinamas vienu tašku 6 Tomas gimė 1993 metais Keliaženklis yra skaičius, jei žinoma, kad Tomo gimimo metų skaičiaus kartotinis yra skaičius, kurio visi skaitmenys lygūs 1 7 Sandauga x 5 x 5 x 5 lygi A x 125 B x 15 C (3x) 5 D 3x 15 E 3 Kontekstas, dirbtinai aplipdytas uždavinys Atsakymas E neturi prasmės 2 Duota funkcija 1 Parodykite, kad jos atvirkštinė funkcija 1 yra 8 Klaidinanti sąlyga Vertėtų rašyti (2 taškai) 2 Raskite funkcijos ir pirmojo bei trečiojo ketvirčio pusiaukampinės susikirtimo taškų koordinates (3 taškai) 3 Raskite lanko AB ilgį (0,01 cm tikslumu) 46 3 cm 4 Brailio sistemoje įvairūs simboliai (pavyzdžiui, raidės, skyrybos ženklai ir pan) sudaromi įspaudžiant bent vieną iš 6 taškelių Paveikslėlyje pateikti du taip išreikštų simbolių pavyzdžiai Kiek iš viso simbolių galima išreikšti Brailio sistema? Atsakingiau darykime brėžinius! Kieno lankas? Ar tai apskritimo lankas? Kontekstas 9 Per trikampio ABC kraštinės AC tašką M išvesta atkarpa MN, lygiagreti su BC, ir atkarpa MP, lygiagreti su AB Taškai N ir P sujungti atkarpa NP (žr pav) 1 Trikampiai MPC ir ABC yra panašūs Jų panašumo koeficientas K Įrodykite, kad (2 taškai) 2 Trikampių ANM ir MPC plotai yra S 1 ir S 2 a) Įrodykite, kad trikampio ABC plotas S gali būti išreikštas plotais (2 taškai) b) Apskaičiuokite trikampio NBP plotą, kai (2 taškai) 10 Keturias kates sveriant poromis po dvi visomis galimomis poromis gavome 7, 8, 9, 10, 11 ir 12 kilogramų Labai nepatogus vertinti A 12 B 32 C 36 D 63 E 64 a) Kiek sveria visos keturios katės kartu? (3 taškai) 5 Klasėje mokiniai mokykliniame suole gali susėsti 132 būdais Šioje klasėje yra: Du teisingi atsakymai A ir E (12 mokinių) b) Raskite visų kačių svorius (3 taškai) A 12 mokinių B 18 mokinių C 24 mokiniai D 30 mokinių E mažiau nei 20 mokinių 11 Raskite lygties natūralųjį sprendinį x Nereikia tikrinti kelių dalykų iš karto progresijos, rodiklinės lygties, natūraliojo sprendinio radimo 438 439

UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS Nr SĄLYGA Galimas komentaras Nr SĄLYGA 12 Trys teisingi atsakymai B, C ir E (16 daliklių) 20 Skaičius 1000 turi: A mažiau nei 15 daliklių C mažiau nei 20 E mažiau nei 25 13 B daugiau nei 15 D daugiau nei 20 Vienoje sąlygoje neturėtų būti trijų skirtingų temų logaritmas, rodiklinė funkcija, kvadratinė nelygybė 21 Uždaviniui su pasirenkamaisiais atsakymais netinka, nes yra ne vieno žingsnio uždavinys 14 15 16 17 C D Viena sąlyga neverta tikrinti trijų dalykų sandauga lygi 0, logaritmo ir mažiausio sprendinio išskyrimo Raskite lygties mažiausią sprendinį Iš apskritimo, kurio spindulys 8 cm, Martynas iškirpo išpjovą ir sulenkė ją į kūgį Apskaičiuokite kūgio spindulio ilgį Skritulys Įvykiai A ir B yra vienodai tikėtini, be to Du teisingi atsakymai B C ) E 50 Ūkininkas nori savo trikampio formos žemės sklypą aptverti tvora Viena tvoros dalis su rytų ir vakarų krypties linija sudaro 45 kampą ir yra 500 m ilgio Kita tvoros dalis yra lygiagreti rytų bei vakarų krypties B 24 C 30 D 64 Su kuriomis x reikšmėmis teisinga lygybė Ar tikriname trigonometriją, ar integralų sprendimą? Uždavinys mokymo procese naudingas, bet ne per egzaminą 24 25 A visomis Kuriame paveiksle pavaizduotas funkcijos Per daug sudėtingai užrašyta funkcija, neaišku, ar tikrina funkcijos sutvarkymą, ar grafiko eskizą grafiko eskizas? B nėra tokių x reikšmių Kokių skaičių: dviženklių, triženklių? E 32 E A ir B yra nepriklausomi 18 Kontekstas, dirbtinai aplipdytas uždavinys m Nurodykite, kiek nelyginių skaičių galima sudaryti iš skaičiaus 3694 skaitmenų, jeigu skaitmenys nesikartoja? A 12 D D 100 tvoros ilgis Tada: A C 75 Nekorektiška sąlyga ir distraktoriai, o trečia su rytų ir vakarų linijai ir lygi krypties linija sudaro 30 kampą Parodykite, kad 23 (B ir D, nes B 13 Taškų skaičiaus vertė E 85 Į mokyklą, kurioje veikia penki skirtingi sporto, penki meninės raiškos, trys mokomųjų dalykų būreliai, atėjo naujas mokinys Kiek jis turi galimybių susidaryti papildomojo ugdymo tvarkaraštį, jeigu rinksis vieną sporto, du meninės raiškos ir tris mokomųjų dalykų būrelius A 6 22 B f(1)=1, f(2)=2 Kai natūralusis skaičius n > 2, tai f(n) = f(n 2)+( 1)n n f(n 1) Apskaičiuokite f(5) A 112 B 20 C 64 D 85 Išspręskite lygtį: A Galimas komentaras C x=1 D E visomis x, priklausančiomis lygties apibrėžimo sričiai 19 Vieną kartą metamas standartinis lošimo kauliukas Atsitiktinio dydžio X matematinė viltis, kuri įgyja reikšmes, lygias iškritusių akučių skaičiui, tenkina sąlygą: Du teisingi atsakymai D ir E 26 Mokyklinės matematikos kurse ekvivalentumo sąvokai skiriama nepakankamai dėmesio, todėl nestebina, kad tik kas trečias mokinys pasirinko teisingą atsakymą Užduoties autoriai tinkamai parinko lygčių poras, numatytos galimos lygčių sprendimo klaidos, visi atsakymai atrodo galimi Kuri pora lygčių yra ekvivalenčios lygtys? A E(X)=2 B E(X)=2,5 C E(X)=3 D E(X)=3,5 E yra racionalusis skaičius 440 441

UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS Nr SĄLYGA 27 25 cm ilgio strypas, kurio skerspjūvio plotas lygus 1 cm2, sulituotas iš dviejų dalių 10 cm ilgio kairiosios strypo dalies tankis lygus Galimas komentaras Nr SĄLYGA Gali kilti problemų su žodžiu STRYPAS ar stačiakampis gretasienis, ar ritinys 35, o 15 cm ilgio dešiniosios dalies 29 Duota funkcija Parametrų nėra egzaminų programoje Nustatykite, kurios iš lygčių A, B ir C yra Uždaviniui su pasirenkamaisiais atsakymais netinka, nes yra ne vieno žingsnio uždavinys, kai 1 Jei neteisingai apskaičiuos f (0), neteisingai užrašys pačią nelygybę 2 Gaunama per daug sudėtinga nelygybė modulis, kvadratinis trinaris ir t t 37 Su kuriomis parametro a reikšmėmis kvadratinės lygties ax2 = 4x 3 = 0 sprendinių kvadratų suma didesnė už 10? Egzaminų programoje nėra nelygybių įrodymo Tikriname rodiklinės nelygybės sprendimą ar kvadratinės? Išspręskite nelygybę Nuo kairiosios dalies ekvivalenčios lygčiai yra teisinga Įrodykite, kad nelygybė su visomis x reikšmėmis 36 galo ilgio x strypo gabalas 1) Parašykite to gabalo masės m (gramais) priklausomybės nuo jo ilgio (cm) išraišką, t y užrašykite išraišką 2) Nubraižykite šios funkcijos grafiką 28 Galimas komentaras Išspręskite nelygybę Neaišku, ką tikriname: trigonometriją, funkcijos išvestinės skaičiavimą, reikšmės radimą 38 Duota funkcija Apskaičiuokite f'(0) A 39 B Funkcijos f grafikas pavaizduotas paveiksle Funkcija g yra atvirkštinė funkcijai f Neaišku, ko siekiama jei mokinys nesuvoks, kaip atrodo funkcija, jis neatsakys nė į vieną klausimą C 30 31 32 grafiko Raskite funkcijos taško, kurio ordinatė lygi vienetui, abscisę 34 sprendinių Nustatykite lygties skaičių intervale 33 išvestinę Raskite funkcijos Neaišku, ką tikrinsime išvestinių skaičiavimą ar laipsnius su iracionaliaisiais rodikliais Paini sąlygos formuluotė, sudėtingas lygties sprendimas Neaišku, ką tikriname: redukciją, sinuso dvigubo kampo formulės taikymą ar sprendinių radimą intervale 1 Sąlyga suformuluota suktai, geriau rašyti Išspręskite lygtį 1 Raskite funkcijos g reikšmes taškuose 2; 0; 1 2 Nubraižykite funkcijos g grafiką 3 Nurodykite funkcijos g apibrėžimo sritį 4 Nurodykite funkcijos g reikšmių sritį =4 Brėžinyje pavaizduota vienaaukščio namo simetriškos konstrukcijos stogo pjūvis Brėžinys 40? Kuris iš pateiktų grafikų eskizų yra funkcijos Jei norime tikrinti, ar mokiniai žino šios funkcijos grafiko eskizą, tai taip ir reiktų rašyti Yra tik vienas sprendinys 41 Stogo šlaitai pakelti, kad būtų galima geriau išnaudoti palėpės erdvę Keturkampis ABCD žymi palėpėje įrengto kambario pjūvį 1 P arodykite, kad PT daugiau nei 9 metrai (3 taškai) 2 Parodykite, kad kambario plotis² AD lygus Išspręskite lygtį Užrašykite lygties sprendinius didėjimo tvarka (3 taškai) 442 443

UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS UŽDUOTIES RAŠYMO ĮVADAS Nr SĄLYGA 42 Įrodykite, kad skaičiai sudaro aritmetinę progresija Galimas komentaras 43 Išspręskite nelygybę: Egzaminų programoje nėra iracionaliųjų nelygybių sprendimo 44 Pelkę nuo pievos skiria tiesi linija MN (žr pav) Turistas keliauja iš vietovės A, esančios pelkėje, į vietovę B, kuri yra pievoje Jo greitis pelke yra 1 km/h, o pieva 2 km/h AC MN, BD MN, AC = BD = 2 km, CD = 5 km 1 Pažymėję CP = x (km), įrodykite, kad turistas kelią APB nueis per valandų (2 taškai) 2 Kokiu atstumu nuo taško C turistas turi kirsti tiesę MN, kad atstumus AP ir PB įveiktų per vienodus laiko intervalus? (2 taškai) 45 Trys skaičiai x; y; z yra mažėjančios progresijos nariai Skaičiai 3x; 4y; 4z yra vienas po kito einantys aritmetinės progresijos nariai Raskite geometrinės progresijos vardiklį 46 Į lygiakraštį trikampį-1, kurio kraštinės ilgis a, įbrėžtas apskritimas 2 Į šį apskritimą įbrėžtas lygiakraštis trikampis, į kurį įbrėžtas apskritimas Į pastarąjį apskritimą įbrėžtas lygiakraštis trikampis, į kurį vėl įbrėžtas apskritimas ir tt Tokiu būdu gauta begalinė apskritimų seka 2 1 Įrodykite, kad įbrėžtųjų apskritimų ilgių seka L 1, L 2, L n, L n+1, yra begalinė nykstamoji geometrinė progresija 4 su vardikliu (4 taškai) 2 Apskaičiuokite visų įbrėžtųjų apskritimų ilgių sumą (1 taškas) Praleistas žodis geometrinės progresijos 47 Keliais būdais suole galima susodinti 5 moksleivius? Kokiame suole? Mokykliniame? 48 Išspręskite nelygybių sistemą (4 taškai) Taškų skaičius per didelis, nors statistika gera Nr SĄLYGA 49 Trys apskritimai, kurių spindulių ilgiai lygūs r, liečiasi (žr pav) Raskite šiuos apskritimus liečiančių dviejų apskritimų ilgius (6 taškai) 50 Atsakykite į klausimą žodžiais TAIP arba NE Ar pailgės k kartų vektoriaus ilgis, jeigu vektorių padalinsime iš skaičiaus k? 51 Paveiksle pavaizduota figūra, apribota dviem parabolėmis ir Ox ašimi Vienos parabolės lygtis yra 1 Remdamiesi paveikslo duomenimis, parodykite, kad antrosios parabolės lygtis yra (2 taškai) 2 Raskite figūros, apribotos parabole ir Ox ašimi, plotą (2 taškai) 3 Raskite užbrūkšniuotos figūros (žr pav) plotą (2 taškai) 52 Ar skaičiai 1, 7 ir 18 gali būti kurios nors didėjančios geometrinės progresijos nariai (nebūtinai gretimi) Atsakymą pagrįskite (4 taškai) 53 Raskite plotą figūros, apribotos kreivėmis y = sin x, y = x, ir 54 Du lygūs kvadratai ABCD ir AB 1 C 1 D turi bendrą kraštinę AD, o jų plokštumos 1 sudaro 60 didumo dvisienį kampą 2 Iš bendros viršūnės D kiekviename kvadrate nubrėžtos įstrižainės DB ir DB 1 (žr pav) Raskite kampo tarp šių įstrižainių kosinusą (4 taškai) Galimas komentaras Mažai informacijos, labai glausta sąlyga Priklauso nuo k reikšmės, galima atsakyti ir taip, ir ne Probleminis matematinio tyrimo uždavinys, reikalaujantis gana gilaus matematinio mąstymo Teoriniu požiūriu jis yra visiškai programinis, nes norint jį išspręsti, pakanka žinoti geometrinės progresijos apibrėžimą ir bendrojo nario formulę Sunkiau yra pasirinkti analizės strategiją Skaičiuojamas tik kreivinės trapecijos plotas Šis uždavinys yra gana paprastas stereometrijos uždavinys Juo tikrinama, kaip mokinys supranta dvisienį kampą ir kaip geba taikyti kosinusų teoremą Matematiniai skaičiavimai nesudėtingi Brėžinys 444 445

VERTINIMAS SĄVOKOS Švietimo vertinimo, egzaminų ir testavimo terminų aiškinamasis žodynas, Anglia Assessment Ltd VERTINIMO INSTRUKCIJA Vertinimo užduoties vertinimo kriterijų rinkinys VERTINTOJAS Asmuo, vertinantis mokinio užduoties/testo/egzamino darbą pagal konkrečius iš anksto apibrėžtus vertinimo kriterijus Vertinimo instrukcija Kol instrukcija vertintojui tampa konstitucija, t y dokumentu, kurio privalu šventai laikytis, ji daug kartų tikslinama ir tobulinama 1 Autoriai rengia užduotį ir instrukciją (Tiek užduotis, tiek instrukcija tobulinama ir tikslinama) 2 Recenzentai vertina užduotį ir instrukciją (Užduotis ir vertinimo instrukcija vėl tikslinamos) 3 Po egzamino prieš vertinimą iš atsitiktinai parinktų darbų išskiriami kuo įvairesni sprendimo būdai ir instrukcija vėl tikslinama 4 Praktika rodo, jog šis tikslinimas dažniausiai nėra paskutinis Kodėl taip yra? Ar instrukcija toks sudėtingas dokumentas? Ar uždaviniai parinkti taip, kad juos galima spręsti labai įvairiai? Kuriant patikimą vertinimą, svarbios abi dalys: 1) vertinamoji užduotis 2) vertinimo instrukcija Galima sukurti tobulą užduotį, bet jei šios užduoties vertinimo instrukcija bus gremėzdiška, jei su ja bus sunku dirbti, tai neaišku, ar vertinimas bus objektyvus Instrukcija turėtų būti parašyta taip, kad neliktų vietos žmogiškajam veiksniui vertintojas negalėtų rodyti savo požiūrio į egzaminą laikantį mokinį: Jis beveik viską gerai moka, tik jam šiandien nepasisekė Jis nieko nemoka, tiesiog šiandien jam pasisekė kažką parašyti (nusirašyti) Žinome, kad jeigu testas yra patikimas ir instrukcija gera, mokinys surinks tiek pat balų, nepaisant to, kas vertins jo atsakymus Jeigu testas ir instrukcija yra pagrįsti, tai didesnių gebėjimų turintys mokiniai gaus aukštesnius balus, o silpnesni mokiniai surinks mažiau balų NEC yra parengtas klausimynas recenzentui, kuris, vertindamas užduotį, vertina ir instrukciją Ten klausiama: 1 Ar vertinimo instrukcija pateikia teisingus, t y priimtinus atsakymus? 2 Ar instrukcija pateikia iš dalies įskaitomų (iš dalies teisingų) atsakymų pavyzdžių? 3 Ar laipsniškuose struktūriniuose klausimuose aišku, kaip reikia elgtis su klaidomis, kurios perkeliamos iš ankstesnių dalių į vėlesnes? 4 Ar apskritai vertinimo instrukcija aiški ir lengvai taikoma? 447

VERTINIMAS VERTINIMAS 1 Pasirenkamojo atsakymo uždavinių vertinimo instrukcijos rašymas Lengviausia parašyti pasirenkamojo atsakymo uždavinių vertinimo instrukciją Svarbu tik teisingai pažymėti atsakymus atitinkančias raides Panagrinėkime 8-ąjį uždavinį (padalomoji medžiaga, 6 psl) 81 Vertinime rašo 1 tašką už teisingą atsakymą Ar tai reikštų, jog mokinys, parašęs, gaus 1 2 Trumpo sprendimo uždavinių vertinimo instrukcijos rašymas Rašant trumpo sprendimo uždavinių vertinimo instrukciją, skiriami vienataškiai ir dvitaškiai uždaviniai Rašant vienataškio klausimo vertinimo instrukciją, kai galimos tik dvi atsakymo alternatyvos teisingas atsakymas arba klaidingas atsakymas, reikia atkreipti dėmesį, ką vertiname: 1 taškas už teisingą atsakymą ar tašką? O jei parašys, ar gaus 1 tašką? Taisome jeigu norime vertinti mokinio sprendimą: rašome 1 tašką už gautą teisingą atsakymą, o jei rašome 1 tašką už teisingą 1 taškas už gautą teisingą atsakymą, t y darbe ieškome sprendimo arba ne atsakymą, tai instrukcijoje rašome cm Gabesni vaikai gali dalį veiksmų atlikti atmintinai ir nemato jokio reikalo rodyti kiekvieną sprendimo žingsnį Arba gali būti silpnesni vaikai nežino, kaip tą veiksmą atlikti, bet moka apskaičiuoti skaičiuotuvu Pvz, apskaičiuokite: 1 1 taškas už teisingą atsakymą 82 1 tašką reikia rašyti, jei lygties 83 1 taškas už teisingai apskaičiuotą išvestinę, tai vertėtų instrukcijoje parodyti ir kitą jos apskaičiavimo 2 1 taškas už gautą teisingą atsakymą būdą, t y: Dvitaškiai uždaviniai (daugiau nei dvi kategoriškos alternatyvos be klaidingo / teisingo, dar yra ir tarpiniai atsakymai) vertinami dviem taškais Pirmasis taškas dažniausiai skiriamas už idėją, strategijos (sprendimo būdo) pasirinkimą, o antrasis už jos įgyvendinimą, procedūrų atlikimą Arba pirmasis taškas už atsakymą, o antrasis už jo pagrindimą Reikia atkreipti dėmesį, jog kai rašome 1 tašką už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą, būtų labai gerai, jei įmanoma, skliausteliuose paaiškintume, kas turima galvoje, pvz, už vektorių skaliarinės sandaugos skaičiavimą, teisingai atliktus nelygybės pertvarkius ir pan 3 Išsamaus sprendimo uždavinių vertinimo instrukcijos rašymas 84 1 taškas už teisingai sutvarkytą nelygybę, 1 taškas už teisingą išvadą ; arba Rašant išsamaus sprendimo uždavinių vertinimo instrukciją, reikia prisiminti, jog tai yra kelių žingsnių uždaviniai, kurių sąlygose paprastai prašoma nurodyti sprendimą, pagrįsti teiginį Šalia uždavinio parašyti taškai sufleruoja, kiek uždavinio sprendimo žingsnių turi pademonstruoti mokinys Kaip vertinti mokinio atsakymą į tokį daugiataškį klausimą? Modeliuojame sprendimo (galimų tarpinių atsakymų) kelią, kurio atskiri žingsniai fiksuojami ir kiekvienas jų vertinamas taškais Vertinant tokius uždavinius, reikia turėti galvoje, kad jei mokinys neesminę klaidą įvėlė uždavinio pradžioje (prarado tašką), tai instrukcijoje turėtų atsirasti pastaba, jog vertintojas turi toliau tikrinti sprendimą ir skirti likusius taškus, jeigu naujų klaidų neatsirado ir iš esmės atsakyta į uždavinio klausimą 4 Struktūruotų uždavinių vertinimo instrukcijų rašymas Po uždavinio instrukcija turėtų būti numatyta pastaba, kaip turėtų elgtis vertintojas, jei mokinys nė vienoje uždavinio dalyje atsakymuose nerašo matavimo vienetų Silpnesni ir net vidutinių gabumų mokiniai kartais negali sugalvoti pačios uždavinio sprendimo idėjos, todėl iš karto praranda labai daug taškų, net negalėdami pademonstruoti, jog vis dėlto ir jie šį bei tą sugeba Ši problema išsprendžiama naudojant struktūruotus uždavinius Struktūruotų uždavinių vertinimas sunkesnis Reikia numatyti galimas mokinių klaidas, jiems atsakant į pirmuosius klausimus, ir antrą kartą nebausti, kai tolesniame sprendime jie teisingai panaudoja prieš tai gautus rezultatus Tam instrukcijoje padeda pastabos Nereikia pamiršti, kad jei sugalvojote uždavinį, turintį kelis sprendimo būdus, juos visus ir reikia rašyti instrukcijoje, priskiriant žingsniams taškus, kad palengvintume vertintojų darbą ir vertinimas taptų objektyvesnis Instrukcijoje taškas rašomas tiksliai toje vietoje, kurią mokinio darbe turi rasti vertintojas 448 449

VERTINIMAS VERTINIMAS Kuriant užduotį, reikėtų vengti tokių uždavinių, kuriuose mokinys gali gauti teisingą atsakymą, net nesuvokęs uždavinio prasmės Pavyzdžiui: Išspręskite lygtį (3 taškai) Juk mokinys gali spręsti taip: Arba taip: mokinys mintyse suprastina logaritmo simbolius, jų nenubraukdamas, ir gauna lygtį: Kaip tada vertinti tokius darbus? Tokio uždavinio instrukcija, jei jis vis dėlto atsirado užduotyje, turėtų būti tokia: Išspręskite lygtį: (3 taškai) Vertinimas: 1 taškas už teisingo sprendimo būdo pasirinkimą; 1 taškas už kvadratinės lygties sprendimą; 1 taškas už gautą teisingą atsakymą Pastabos 1 Jei nėra pagrindimo, kaip iš pradinės lygties gaunama lygtis, taškas neskiriamas 2 Jei pertvarkant lygtį daromos šiurkščios logaritmų savybių klaidos, sprendimas vertinamas 0 taškų Santrauka Pateikdami uždavinį, kartu kurkite ir vertinimo instrukciją Panagrinėkite galimus moksleivių atsakymus kokius teisingus ir neteisingus atsakymus jie pateiks? Kurkite patikimas vertinimo instrukcijas, pvz, tik pakankamas taškų skaičius lemia tinkamą skirstymą Kurkite efektyvias vertintojo instrukcijas, pvz, atsižvelkite į vertintojo darbo krūvį 450 451

MATEMATIKOS EGZAMINO UŽDUOTYS KITOSE ŠALYSE Matematikos brandos egzaminas Lenkijoje Parengė Krystyna Čuprynska, Vilniaus Jono Pauliaus II gimnazijos matematikos mokytoja ekspertė Apie matematikos maturą Matematikos matura taip Lenkijoje vadinamas matematikos brandos egzaminas 2003 m Lenkijoje buvo patvirtinti nauji brandos egzaminų standartų reikalavimai, o nuo 2008 m įsigaliojo išorinis egzaminų vertinimas Išleidžiamųjų klasių mokiniai mokslo metų pradžioje rašo pareiškimą savo mokymo įstaigos vadovui, kokius egzaminus rengiasi laikyti O savo galutinį apsisprendimą turi pateikti iki vasario 7 d Išleidžiamųjų klasių mokiniai, kurie mokosi mokyklose tautinių mažumų dėstomąja kalba, papildomai gali apsispręsti, kuria kalba gimtąja ar lenkų laikys abitūros egzaminus Abiturientai, kurie apsisprendė laikyti egzaminus gimtąja kalba, gauna tokias pačias užduotis, kaip ir kiti abiturientai Matematikos brandos egzaminas Lenkijoje nebuvo privalomas Ši egzaminą mokiniai galėjo laikyti tik pagrindiniu lygiu arba pagrindiniu lygiu ir išplėstiniu lygiu Po 2008 m buvo atnaujintos bendrosios matematikos programos, o 2010 m, po ilgos pertraukos (nuo 1983 m), mokiniai vėl laikė privalomąjį matematikos egzaminą, bet tik pagrindiniu lygiu Šis egzaminas tikrina, kaip mokiniai supranta matematines sąvokas ir geba jas taikyti kasdieniame gyvenime bei spręsdami probleminius uždavinius Užduotis sudaryta, remiantis pagrindinio lygio matematikos programa Egzamino pagrindinio lygio užduotį sudaro trijų grupių uždaviniai: 1 grupė: 20 30 uždarųjų uždavinių Kiekvienas uždavinys turi 4 pasirenkamuosius atsakymus (tik vienas teisingas) ir vertinamas 0 1 tašku Mokinys atsakymą žymi atsakymų lape 2 grupė: 5 10 atvirųjų trumpo atsakymo uždavinių, vertinamų 0 2 taškais 3 grupė: 3 5 atvirųjų uždavinių, vertinamų 0 4 arba 0 5, arba 0 6 taškais Egzamino užduoties taškų suma 50 taškų Egzamino pagrindiniu lygiu trukmė 170 minučių Papildomojo (neprivalomojo) egzamino išplėstiniu lygiu trukmė 180 minučių Ši matematikos egzamino dalis akademinė tikrina, ar mokiniai geba spręsti matematines problemas Egzamino užduotis sudaryta, remiantis išplėstinio lygio programa ir tik iš atvirųjų uždavinių Egzamino metu mokiniai gali naudotis formulynu (18 puslapių), skriestuvu, liniuote ir paprasčiausiu skaičiuotuvu Egzamino užduoties sąsiuvinio lapai languoti 453