ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 11: Αυτοσυσχέτιση Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1
Περιεχόμενο ενότητας 1. Εισαγωγή 2. Το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης 3. Μορφές αυτοσυσχέτισης 4. Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης 5. Διαγνωστικοί έλεγχοι διαπίστωσης της αυτοσυσχέτισης 6. Εκτίμηση υποδείγματος όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση 2
1. Εισαγωγή Στις βασικές υποθέσεις των απλών και πολλαπλών γραμμικών υποδειγμάτων, υποθέσαμε ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση μεταξύ των διαταρακτικών όρων u t. Αυτή η υπόθεση δηλώνει ότι οι τιμές των διαταρακτικών όρων είναι ανεξάρτητες μεταξύ τους (σειριακή ανεξαρτησία). Δηλαδή για δύο διαφορετικές παρατηρήσεις του διαταρακτικού όρου η συνδιακύμανση τους είναι μηδέν: Cov(u t, u s ) = 0, για t s. Αν αυτή η υπόθεση δεν ισχύει, τότε οι διαταραχές δεν είναι ανεξάρτητες κατά ζεύγη, αλλά αυτοσυσχετιζόμενες κατά ζεύγη (ή σειριακά συσχετιζόμενες). 3
Η αυτοσυσχέτιση μπορεί να θεωρηθεί ως ειδική περίπτωση της συσχέτισης δύο μεταβλητών, αλλά αναφέρεται στη συσχέτιση δύο διαδοχικών τιμών της ίδιας μεταβλητής. Υπενθυμίζουμε ότι ο συντελεστής συσχέτισης του δείγματος μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ δίνεται από τον τύπο: r = T t=1 (Xt X)(Y t Y). t=1 T (X t X) 2 T t=1 (Y t Y) 2 Αν u t και u t 1 είναι δύο διαδοχικές τιμές των καταλοίπων στην εκτίμηση ενός υποδείγματος παλινδρόμησης, τότε u t = 0 και u t 1 = 0 και r ut,u t 1 = T t=2 u t u t 1 T t=1 u2 T t t=2 u2 t 1 4
Η αυτοσυσχέτιση r ut,u t 1 παίρνει τιμές θετικές ή αρνητικές ή μηδέν όταν δεν υπάρχει συσχέτιση μεταξύ των u t, u t 1. Θετική αυτοσυσχέτιση καταλοίπων 5
Αρνητική αυτοσυσχέτιση Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση 6
Υποθέσεις αυτοσυσχέτισης Η 0 : Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στους διαταρακτικούς όρους, δηλαδή οι διαταρακτικοί όροι είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Δηλαδή: Cov(u t, u s ) = 0 για t s Η 1 : Υπάρχει αυτοσυσχέτιση στους διαταρακτικούς όρους, δηλαδή οι διαταρακτικοί όροι δεν είναι ανεξάρτητοι μεταξύ τους. Δηλαδή: Cov(u t, u s ) 0 για t s Η αυτοσυσχέτιση εμφανίζεται πιο συχνά σε δεδομένα χρονολογικών σειρών. Σε διαστρωματικά δεδομένα, μπορούμε να αλλάξουμε τη σύνδεση των δεδομένων χωρίς να διαφοροποιηθούν τα αποτελέσματα. 7
2. Το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης Ο διαταρακτικός όρος u t περιλαμβάνει την επίδραση όλων των παραγόντων που δεν μπορούν να συμπεριληφθούν στα υποδείγματα. Πολλές φορές όμως, η επίδραση πολλών παραγόντων μπορεί να μην αναφέρεται στην τρέχουσα χρονική περίοδο, αλλά σε μελλοντικές. Παράγοντες που προκαλούν αυτοσυσχέτιση Α. Παραλειπόμενες μεταβλητές. π.χ. Υποθέστε ότι η Υ t σχετίζεται με τις Χ 2t και Χ 3t, αλλά λανθασμένα δεν συμπεριλαμβάνουμε την Χ 3t στο υπόδειγμα μας. Η επίδραση της Χ 3t θα συμπεριληφθεί στον διαταρακτικό όρο u t. Εάν η μεταβλητή Χ 3t, όπως οι περισσότερες οικονομικές σειρές, παρουσιάζει μια διαχρονική τάση, τότε η Χ 3t εξαρτάται από τις προηγούμενες τιμές της, δηλ. την Χ 3t 1, Χ 3t 2 κτλ. Ομοίως ο διαταρακτικός όρος u t θα εξαρτάται από τα u t 1, u t 2 κτλ. 8
Β. Λανθασμένη εξειδίκευση του υποδείγματος. π.χ. Υποθέστε ότι η Υ t σχετίζεται με τις Χ 2t μη γραμμικά και συγκεκριμένα ως εξής: Υ t = β 1 + β 2 X 2 2t + u t Αν θεωρήσουμε λανθασμένα ότι η συσχέτιση των Υ t και Χ 2t είναι γραμμική, τότε το υπόδειγμα μας θα εξειδικευτεί λανθασμένα αφού θα οριστεί ως: Υ t = β 1 + β 2 Χ 2t + u t Στην περίπτωση αυτή, τα σφάλματα που εκτιμάμε από την ευθεία παλινδρόμησης οφείλονται στην παράλειψη της X 2 2t. 9
Γ. Συστηματικά σφάλματα μέτρησης π.χ. Υποθέστε ότι μια εταιρία κάνει απογραφή των αποθεμάτων της σε μια δεδομένη περίοδο. Εάν συμβεί ένα συστηματικό σφάλμα κατά την μέτρηση του αποθέματος, τότε η απογραφή του σωρευτικού αποθέματος θα παρουσιάζει συσσωρευμένα σφάλματα μέτρησης. Αυτά τα σφάλματα θα φαίνονται σα μια διαδικασία αυτοσυσχέτισης. Δ. Χρονικές υστερήσεις των μεταβλητών Ε. Η πηγή των στατιστικών στοιχείων και ο τρόπος επεξεργασίας τους 10
3. Μορφές αυτοσυσχέτισης Το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης υπάρχει αν ο διαταρακτικός όρος της περιόδου t συσχετίζεται θετικά ή αρνητικά με το διαταρακτικό όρο μιας άλλης χρονικής περιόδου. Η σχέση εξάρτησης ανάμεσα σε διαδοχικές τιμές του διαταρακτικού όρου μπορεί να πάρει διάφορες μορφές: Αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης Αυτοσυσχέτιση μεγαλύτερης τάξης 11
Αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης Αν η τιμή του διαταρακτικού όρου της περιόδου t εξαρτάται από την περίοδο t 1, είναι της μορφής: u t = ρ u t 1 + ε t, όπου 1 ρ 1 τότε έχουμε την αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης (first order autocorrelation) ή το αυτοπαλίνδρομο σχήμα πρώτου βαθμού (first order autoregressive scheme) που συμβολίζεται με AR(1). Το ρ είναι ο συντελεστής της αυτοσυνδιακύμανσης και μετράει τον βαθμό της συσχέτισης μεταξύ δύο διαδοχικών διαταρακτικών όρων, ενώ ε t είναι ο στοχαστικός διαταρακτικός όρος. 12
Αν ρ = 0, τότε δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση. Αν ρ πλησιάζει το 1, η τιμή της προηγούμενης παρατήρησης του σφάλματος γίνεται πιο σημαντική στον προσδιορισμό της τιμής του τρέχοντος σφάλματος και συνεπώς υπάρχει υψηλός βαθμός αυτοσυσχέτισης. Στην περίπτωση αυτή η αυτοσυσχέτιση είναι θετική. Αν ρ πλησιάζει το -1, τότε έχουμε υψηλό βαθμό αρνητικής αυτοσυσχέτισης. 13
Όταν στο στοχαστικό (διαταρακτικό) όρο u t ισχύουν οι παρακάτω τρεις υποθέσεις: E(u t ) = 0 Var(u t ) = σ 2 Cov (u t, u t+s ) = 0 για t s τότε λέμε ότι ο διαταρακτικός όρος είναι λευκός θόρυβος (white noise error term). 14
Αυτοσυσχέτιση μεγαλύτερης τάξης Δεύτερης τάξης αυτοσυσχέτιση: Η τιμή του διαταρακτικού όρου της περιόδου t εξαρτάται από την περίοδο t 1 και την περίοδο t 2, και είναι της μορφής: u t = ρ 1 u t 1 + ρ 2 u t 2 + ε t Τρίτης τάξης αυτοσυσχέτιση: Η τιμή του διαταρακτικού όρου της περιόδου t εξαρτάται από τις περιόδους t 1, t 2 και t 3, και είναι της μορφής: u t = ρ 1 u t 1 + ρ 2 u t 2 + ρ 3 u t 3 + ε t 15
4. Συνέπειες της αυτοσυσχέτισης Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων είναι αμερόληπτοι και συνεπείς. H αμεροληψία και η συνέπεια δεν εξαρτώνται από την υπόθεση που παραβιάζεται. Οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων θα είναι αναποτελεσματικοί (δεν έχουν την μεγαλύτερη δυνατή διαιύμανση) και συνεπώς δεν θα είναι πια οι καλύτεροι γραμμικοί εκτιμητές. Οι εκτιμημένες διακυμάνσεις των συντελεστών της παλινδρόμησης θα είναι μεροληπτικές και ασυνεπείς, και συνεπώς ο έλεγχος υποθέσεων δεν είναι πια έγκυρος. Στις περισσότερες περιπτώσεις, το R 2 θα είναι υπερεκτιμημένο και τα t-στατιστικά θα τείνουν να είναι υψηλότερα. 16
5. Διαγνωστικοί έλεγχοι διαπίστωσης της αυτοσυσχέτισης Οι περισσότεροι διαγνωστικοί έλεγχοι της αυτοσυσχέτισης βασίζονται στα κατάλοιπα που προκύπτουν από την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων και αναφέρονται σε αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης. Υπάρχουν δύο βασικοί τρόποι διάγνωσης της αυτοσυσχέτισης. Ο πρώτος είναι ο εμπειρικός τρόπος που γίνεται μέσω γραφημάτων. Ο δεύτερος είναι μέσω επίσημων tests για αυτοσυσχέτιση, όπως τα παρακάτω: Κριτήριο Durbin Watson Έλεγχος με την στατιστική t Με τη μέθοδο Breusch-Godfrey 17
Διάγνωση αυτοσυσχέτισης με βάση το διάγραμμα διασποράς των καταλοίπων Μπορούμε να διαπιστώσουμε την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης με βάση το διάγραμμα διασποράς των καταλοίπων, δηλαδή ελέγχοντας την γραφική παράσταση των σημείων ( u t 1, u t ) των εκτιμώμενων καταλοίπων ενός υποδείγματος που προέκυψαν. Θετική αυτοσυσχέτιση Αρνητική αυτοσυσχέτιση 18
Εναλλακτικά μπορούμε να παραστήσουμε τις τιμές των καταλοίπων διαχρονικά, δηλαδή στον άξονα των Χ να έχουμε τον χρόνο t και στον άξονα των Υ τις τιμές των καταλοίπων u t. Αν τα σημεία των διαδοχικών τιμών των καταλοίπων δεν αλλάζουν συχνά, τότε υπάρχει θετική αυτοσυσχέτιση. Αντίθετα αν τα σημεία αλλάζουν συχνά, τότε υπάρχει αρνητική αυτοσυσχέτιση. Θετική αυτοσυσχέτιση Αρνητική αυτοσυσχέτιση 19
Κριτήριο Durbin Watson Πρέπει να ικανοποιούνται oι παρακάτω υποθέσεις: 1. Το μοντέλο παλινδρόμησης περιλαμβάνει μια σταθερά. 2. Η αυτοσυσχέτιση πρέπει να είναι μόνο πρώτης τάξης 3. Η εξίσωση δεν περιλαμβάνει μια εξαρτημένη μεταβλητή με χρονική υστέρηση σαν ερμηνευτική μεταβλητή. Η υπόθεση που θέλουμε να ελέγξουμε είναι: Η 0 : Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης στα κατάλοιπα Η 1 : Υπάρχει αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης στα κατάλοιπα 20
Βήμα 1: Εκτιμούμε το υπόδειγμα παλινδρόμησης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και παίρνουμε τα κατάλοιπα u t. Βήμα 2: Υπολογίζουμε το στατιστικό του ελέγχου DW = d = t=2 T (u t u t 1 ) 2 T t=1 u t 2 Οι τιμές του στατιστικού d κυμαίνονται από 0 έως 4, όπου: d = 0: πλήρης θετική αυτοσυσχέτιση d = 2: δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση d = 4: πλήρης αρνητική αυτοσυσχέτιση Βήμα 3: Συγκρίνουμε την τιμή του στατιστικού d με την κριτική τιμή d L (κάτω τιμή) και d U (άνω τιμή) της αντίστοιχης κατανομής των DW (από πίνακα). 21
Βήμα 4: Συμπεράσματα Ύπαρξη θετικής αυτοσυσχέτισης α. Αν d < d L β. Αν d > d U Ύπαρξη αρνητικής αυτοσυσχέτισης α. Αν (4 d) < d L β. Αν (4 d) > d U Δεν καταλήγουμε σε συμπέρασμα α. Αν d L < d < d U β. Αν d L < (4 d) < d U 22
Θετική αυτοσυσχέτιση Αρνητική αυτοσυσχέτιση Οι περιοχές της απόρριψης της Η 0 παρουσιάζονται γραφικά. Περιοχή μη απόφασης Δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση Περιοχή μη απόφασης 0 d L d U 2 4-d U 4-d L 4 23
Έλεγχος με την στατιστική t Ο έλεγχος αυτός πραγματοποιείται μόνο σε μεγάλα δείγματα για την εύρεση αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης. Η διαδικασία ελέγχου ακολουθεί τα παρακάτω βήματα. Βήμα 1: Εκτιμούμε το υπόδειγμα παλινδρόμησης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και παίρνουμε τα κατάλοιπα u t. Βήμα 2: Εκτιμούμε το παρακάτω υπόδειγμα των καταλοίπων u t = ρu t 1 + ε t, όπου ε t ο διαταρακτικός όρος Βήμα 3: Η Η 0 : ρ = 0 έναντι της Η 1 : ρ 0 ελέγχεται με τη στατιστική t. Η κριτική τιμή της t δίνεται από τους πίνακες για Τ 1 βαθμούς ελευθερίας και επίπεδο σημαντικότητας α/2 (α = 0. 05). 24
Έλεγχος των Breusch-Godfrey Ο έλεγχος αυτός μπορεί να πραγματοποιηθεί ανεξάρτητα από το σχήμα και την τάξη της αυτοσυσχέτισης. Η διαδικασία ελέγχου ακολουθεί τα παρακάτω βήματα. Βήμα 1: Εκτιμούμε το υπόδειγμα παλινδρόμησης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων και παίρνουμε τα κατάλοιπα u t. Βήμα 2: Εκτιμούμε τη βοηθητική παλινδρόμηση (αυτοσυσχέτιση p τάξης) u t = β 0 + β 1 X 1t + β 2 X 2t +.. +β K X Kt + ρ 1 u t 1 + + ρ p u t p + v t όπου R 2 είναι ο συντελεστής προσδιορισμού. Βήμα 3: Εκτιμούμε τη στατιστική του ελέγχου ΒG = T p R 2 ~Χ 2 με p βαθμούς ελευθερίας. 25
Βήμα 4: Ελέγχεται η μηδενική υπόθεση Η 0 :ρ 1 = ρ 2 = ρ K = 0 (δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση) έναντι της εναλλακτικής Η 1 :ρ 1 0 ή ρ 2 0 ή ή ρ K 0 (υπάρχει αυτοσυσχέτιση p τάξης) Αν ΒG > Χ 2 (p) τότε απορρίπτεται η Η 0. 26
6. Εκτίμηση υποδείγματος όταν υπάρχει αυτοσυσχέτιση Οι οικονομετρικές τεχνικές που χρησιμοποιούνται για την εξάλειψη της αυτοσυσχέτισης διαχωρίζονται σε δυο βασικές κατηγορίες: Όταν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ είναι γνωστός Όταν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ είναι άγνωστος 27
Εκτίμηση του υποδείγματος όταν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ είναι γνωστός Εφαρμόζεται η γενικευμένη μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων. Έστω το υπόδειγμα και Υ t = β 0 + β 1 X 1t + u t, για t = 1,.., Τ u t = ρu t 1 + ε t, όπου ε t ~Ν(0, σ 2 ut ) Γράφουμε το υπόδειγμα για χρονική περίοδο t 1 (υστερούμε την αρχική παλινδρόμηση κατά μια περίοδο): Υ t 1 = β 0 + β 1 X 1t 1 + u t 1, για t = 1,.., Τ Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη με τον συντελεστή συσχέτισης ρ: 28
ρυ t 1 = ρβ 0 + ρβ 1 X 1t 1 + ρu t 1 Αφαιρούμε την παλινδρόμηση αυτή από την αρχική: Υ t ρυ t 1 = β 0 ρβ 0 + β 1 X 1t ρβ 1 X 1t 1 + u t ρu t 1 (Υ t ρυ t 1 ) = (β 0 ρβ 0 ) + β 1 (X 1t ρx 1t 1 ) + (u t ρu t 1 ) Y t = β 0 + β 1 X 1t + ε t Τέλος θέτουμε: Y t = Υ t 1 ρ 2, Χ 1t = Χ 1t 1 ρ 2,ε t = u t 1 ρ 2 Το υπόδειγμα αυτό δεν έχει πρόβλημα αυτοσυσχέτισης. 29
Η μέθοδος των πρώτων διαφορών Αν ρ = 1, τότε χρησιμοποιούμε την μέθοδο των πρώτων διαφορών ως εξής: Το υπόδειγμα Υ t = β 0 + β 1 X 1t + u t, για t = 1,.., Τ μετασχηματίζεται ως Υ t Υ t 1 = β 1 (X 1t X 1t 1 ) + ε t ΔΥ t = β 1 ΔX 1t + ε t Δηλαδή στην θέση των αρχικών μεταβλητών έχουμε τις πρώτες διαφορές και δεν υπάρχει σταθερός όρος. 30
Αν ρ = 1, τότε χρησιμοποιούμε την μέθοδο των πρώτων διαφορών ως εξής: Το υπόδειγμα Υ t = β 0 + β 1 X 1t + u t, για t = 1,.., Τ μετασχηματίζεται ως Υ t + Υ t 1 = 2β 0 + β 1 X 1t + X 1t 1 όπου Υ t Μ = Υ t+υ t 1 2 Υ Μ t = β 0 + β 1 Χ Μ Μ 1t + ε t, Χ Μ t1 = Χ 1t+Χ 1t 1, ε Μ 2 t = u t+u t 1 2 + u t + u t 1 Δηλαδή στην θέση των αρχικών μεταβλητών έχουμε τους κινητούς μέσους δύο περιόδων. 31
Εκτίμηση του υποδείγματος όταν ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ είναι άγνωστος Η τεχνική τoy Durbin Έστω το υπόδειγμα Υ t = β 0 + β 1 X 1t + u t Όπως στην περίπτωση της γενικευμένης μεθόδου ελαχίστων τετραγώνων, σχηματίζουμε το μετασχηματισμένο υπόδειγμα Υ t ρυ t 1 = β 0 ρβ 0 + β 1 X 1t ρβ 1 X 1t 1 + ε t Υ t = β 0 1 ρ + ρυ t 1 + β 1 X 1t ρβ 1 X 1t 1 + ε t Υ t = α 0 + ρυ t 1 + α 1 X 1t + α 2 X 1t 1 + ε t όπου α 0 = β 0 1 ρ, α 1 = β 1, α 2 = ρβ 1 32
Εκτιμάμε τους συντελεστές του μετασχηματισμένου υποδείγματος με τη μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων Υ t = α 0 + ρυ t 1 + α 1 X 1t + α 2 X 1t 1 + ε t και έπειτα υπολογίζουμε τους συντελεστές του αρχικού υποδείγματος Υ t = β 0 + β 1 X 1t + u t από τις σχέσεις α 0 = β 0 1 ρ, α 1 = β 1, α 2 = ρβ 1 33
Άσκηση 1. Να ελέγξετε αν υπάρχει αυτοσυσχέτιση στα κατάλοιπα του απλού γραμμικού υποδείγματος για τα δεδομένα Lecture11_exercise1.xlsx. Λύση Καταχωρούμε τα δεδομένα στο Eviews και εκτιμούμε το απλό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης. 34
Γραφικός έλεγχος (1) Ο εκτιμώμενος διαταρακτικός όρος είναι η μεταβλητή resid (u t ). Για να κάνουμε το διάγραμμα διασποράς των καταλοίπων u t με τα u t 1, επιλέγουμε: (2) View Graph Scatter (1) View Show 35
Γραφικός έλεγχος (2) Για να κάνουμε την γραφική παράσταση των διαταρακτικών όρων resid σε σχέση με τον χρόνο, επιλέγουμε: View Graph Dot Plot 36
Έλεγχος Durbin-Watson Tο στατιστικό του ελέγχου Είναι DW = 0, 927. Οι κριτικές τιμές του ελέγχου είναι d U = 1, 41, d L = 0, 120 (από Πίνακα) για T = 20 παρατηρήσεις, Κ = 1 ερμηνευτική μεταβλητή και επίπεδο σημαντικότητας α = 0. 05. Επειδή DW < d L, απορρίπτουμε την Η 0 ότι δεν υπάρχει αυτοσυσχέτιση, άρα δεχόμαστε ότι υπάρχει αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης. 37
Έλεγχος με τη στατιστική t Σώζουμε τα κατάλοιπα resid ως μια νέα μεταβλητή, π.χ. με το όνομα ET. Επιλέγουμε: Quick Generate Series by Equation Enter Equation: ET = resid 38
Έπειτα εκτιμούμε το υπόδειγμα u t = ρu t 1 + ε t Επιλέγουμε: Quick Estimate Equation Equation Specification: ET C ET( 1) 39
Ελέγχουμε τη σημαντικότητα του συντελεστή ρ του υποδείγματος u t = ρu t 1 + ε t Επειδή Prob. = 0. 0192 < 0. 05 άρα ο συντελεστής ρ είναι στατιστικά σημαντικός, δηλαδή απορρίπτουμε την Η 0 και δεχόμαστε την εναλλακτική, δηλαδή δεχόμαστε την ύπαρξη αυτοσυσχέτισης πρώτης τάξης. 40
Έλεγχος με τη μέθοδο Breusch-Godfrey Εκτιμούμε το απλό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης. Έπειτα επιλέγουμε: View Residual Diagnostics Serial Correlation LM Test Προσδιορίζουμε την τάξη της αυτοσυσχέτισης 41
Έστω ότι ελέγχουμε για αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης. Με βάση την στατιστική F είναι: Prob. = 0. 0191 < 0. 05 Με βάση την στατιστική Χ 2 είναι: Prob. = 0. 0174 < 0. 05 Και στις δύο περιπτώσεις, η Η 0 απορρίπτεται Άρα υπάρχει αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης 42
Εκτίμηση του υποδείγματος που έχει αυτοσυσχέτιση πρώτης τάξης Θεωρούμε ότι ο συντελεστής αυτοσυσχέτισης ρ είναι άγνωστος Η τεχνική τoy Durbin: Θέλουμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές του Υ t = β 0 + β 1 X 1t + u t Σχηματίζουμε το μετασχηματισμένο υπόδειγμα Υ t = α 0 + ρυ t 1 + α 1 X 1t + α 2 X 1t 1 + ε t και το εκτιμάμε με την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων. 43
Οπότε προκύπτει το υπόδειγμα: Υ t = 5. 34 + 0. 71Υ t 1 + 0. 42X 1t 0. 21X 1t 1 + ε t Δημιουργούμε τις μεταβλητές με ρ = 0. 71: Υ t = Υ t 0. 71Υ t 1 Χ t = Χ t 0. 71Χ t 1 44
Εφαρμόζουμε την μέθοδο ελαχίστων τετραγώνων στο μετασχηματισμένο υπόδειγμα Υ t = β 0 + β 1 Χ t + ε t Όπου β 0 = (1 ρ) β 0 οπότε στο αρχικό υπόδειγμα είναι β 0 = 15. 58 και β 1 = 0. 67 45
Βιβλιογραφία Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης - Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg. Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις. 46