ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Ενότητα 9: Οικονομετρικά προβλήματα: Παραβίαση των υποθέσεων Α μέρος: Πολυσυγγραμμικότητα Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana 1
Περιεχόμενο ενότητας 1. Εισαγωγή 2. Είδη πολυσυγγραμμικότητας 3. Συνέπειες της πολυσυγγραμμικότητας 4. Τρόποι διαπίστωσης της πολυσυγγραμμικότητας 5. Τεχνικές εκτίμησης υποδειγμάτων με πολυσυγγραμμικτότητα 2
1. Εισαγωγή Μια από τις βασικές υποθέσεις του κλασικού γραμμικού υποδείγματος είναι πως δεν υπάρχουν γραμμικές σχέσεις μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών. Όταν μεταξύ των ανεξάρτητων μεταβλητών υπάρχει κάποια γραμμική συσχέτιση, τότε στο υπόδειγμα πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης εμφανίζεται το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας (multicollinearity). Τα οικονομικά φαινόμενα χαρακτηρίζονται από αλληλοεξάρτηση, επομένως έχουν ως αποτέλεσμα την εμφάνιση γραμμικών σχέσεων μεταξύ τους. 3
Στις οικονομικές μεταβλητές, κυρίως στις μακροοικονομικές, υπάρχει μια ισχυρή τάση να μεταβάλλονται μαζί διαχρονικά. Σε περιόδους ανάπτυξης, οι μεταβλητές αυτές αυξάνονται μαζί, ενώ μειώνονται σε περιόδους ύφεσης. Άρα σε περιόδους ανάπτυξης και ύφεσης, η ύπαρξη τάσης στις μεταβλητές είναι δυνατόν να δημιουργήσει υψηλό βαθμό πολυσυγγραμικότητας. Το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας μπορεί να εμφανιστεί όταν στο πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα παλινδρόμησης χρησιμοποιούμε επιπρόσθετες ανεξάρτητες μεταβλητές με χρονική υστέρηση. 4
Επειδή οι περισσότερες οικονομικές μεταβλητές έχουν κάποιο βαθμό συσχέτισης μεταξύ τους, το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας εμφανίζεται συχνά και δυσχεραίνει τον προσδιορισμό του βαθμού της επίδρασης κάθε ανεξάρτητης μεταβλητής στην εξαρτημένη. Η πολυσυγγραμικότητα είναι ένα φαινόμενο που εμφανίζεται συνήθως στις χρονολογικές σειρές, επειδή οι μεταβλητές αυτές μεταβάλλονται διαχρονικά. Εμφανίζεται όμως και σε διαστρωματικά στοιχεία. Ο υψηλός βαθμός πολυσυγγραμικότητας προκαλεί πρόβλημα και στα λογισμικά πακέτα, καθώς η μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων δεν μπορεί να εφαρμοστεί σωστά. 5
Η παραβίαση των υποθέσεων του κλασσικού γραμμικού υποδείγματος, όπως στην περίπτωση της ύπαρξης πολυσυγγραμικότητας, δημιουργεί σοβαρά προβλήματα στην εκτίμηση και την αξιοπιστία των συμπερασμάτων. Τα προβλήματα που δημιουργούνται και η ανάπτυξη εναλλακτικών μεθόδων εκτιμήσεως είναι κάτι που διαφοροποιεί την Οικονομετρία από την Στατιστική. 6
2. Είδη πολυσυγγραμικότητας Η συγγραμικότητα (collinearity) είναι μια γραμμική σχέση μεταξύ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών. Δηλαδή λέμε ότι δύο μεταβλητές είναι συγγραμικές αν υπάρχει μια ακριβής γραμμική σχέση μεταξύ τους. Η πολυσυγγραμικότητα μας παραπέμπει σε μια κατάσταση όπου δύο ή περισσότερες ανεξάρτητες μεταβλητές, σχετίζονται με υψηλή γραμμική σχέση. Αν η συσχέτιση μεταξύ δύο ανεξάρτητων μεταβλητών είναι ίση με + 1 ή 1, τότε λέμε ότι υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμικότητα. 7
Σε πολλαπλά γραμμικά υποδείγματα παλινδρόμησης όπου υπάρχουν περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές, μπορεί να υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμικότητα χωρίς ο συντελεστής συσχέτισης να είναι ίσος με 1. Μαθηματικά, σε ένα σύνολο μεταβλητών υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμικότητα, αν υπάρχουν μια ή περισσότερες ακριβείς σχέσεις ανάμεσα σε ορισμένες από τις μεταβλητές. Έστω ότι στο παρακάτω πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμικότητα: Υ t = β 0 + β 1 Χ 1t + + β Κ Χ Κt + u t 8
Με την βοήθεια μητρών, ορίζουμε αρχικά την μήτρα των ανεξάρτητων μεταβλητών: Χ = 1 Χ 11 Χ 1Κ 1 Χ 21 Χ 2Κ.... 1 Χ Τ1 Χ ΤΚ Κ: πλήθος ανεξάρτητων μεταβλητών Τ: πλήθος παρατηρήσεων Για την εκτίμηση των συντελεστών του υποδείγματος αυτού με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων, πρέπει να μπορούμε να υπολογίσουμε τον πίνακα (Χ Χ) 1 (Αντίστροφος του Χ Χ). Όταν υπάρχει πολυσυγραμμικότητα, η μήτρα (Χ Χ) ονομάζεται ιδιάζουσα, και δεν έχει αντίστροφη μήτρα. 9
Ανάμεσα στις δύο ακραίες περιπτώσεις, δηλαδή της τέλειας πολυσυγγραμικότητας και της έλλειψης συσχέτισης μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών, υπάρχουν διάφοροι βαθμοί γραμμικής εξαρτήσεως. Στην πράξη, δεν βρίσκουμε καμία από τις δύο ακραίες περιπτώσεις. 10
3. Συνέπειες της πολυσυγγραμικότητας Στην προηγούμενη ενότητα αναφέραμε ότι αν σε ένα πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα υπάρχει πλήρης συσχέτισης μεταξύ δυό τουλάχιστον ερμηνευτικών μεταβλητών, τότε δεν μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές του υποδείγματος. Έστω το παρακάτω πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα τριών μεταβλητών: Υ t = β 0 + β 1 Χ 1t + β 2 Χ 2t + u t όπου Χ 2t = λχ 1t, λ:σταθερός όρος (τέλεια γραμμική συσχέτιση) Ο εκτιμητής ελαχίστων τετραγώνων για τους συντελεστές β 1, β 2 του υποδείγματος είναι: 11
β 1 = β 2 = x 1y x 2 2 x 2 y x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 x 2y x 1 2 x 1 y x 1 x 2 x 1 2 x 2 2 x 1 x 2 Αν αντικαταστήσουμε στις παραπάνω σχέσεις όπου Χ 2t = λχ 1t, έχουμε: β 1 = λ2 x 1 y x 1 2 λ 2 x 1 y x 1 2 λ 2 x 1 2 x 2 2 λ 2 x 1 x 2 β 2 = λ x 1 y x 1 2 λ x 1 y x 1 2 λ 2 x 1 2 x 2 2 λ 2 x 1 x 2 = 0 0 = 0 0 όπου y = Y t Y x 1t = X 1t X 1t x 2t = X 2t X 2t 12
Όταν οι ανεξάρτητες μεταβλητές Χ 1 και Χ 2 έχουν τέλεια συσχέτιση, τότε δεν μπορούμε να εκτιμήσουμε τους συντελεστές β 1 και β 2. Η απροσδιοριστία των εκτιμητών οφείλεται στο φαινόμενο της πλήρους (τέλειας) πολυσυγγραμικότητας. Επομένως οι συνέπειες της πλήρους πολυσυγγραμικότητας είναι: Δεν μπορούν να προσδιοριστούν οι εκτιμητές β 1, β 2,, β Κ του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης με την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων. Οι διακυμάνσεις των εκτιμητών της πολλαπλής γραμμικής παλινδρόμησης τείνουν στο άπειρο. Οι διακυμάνσεις των εκτιμητών β 1, β 2 δίνονται από τους τύπους: 13
Var β 1 = Τ t=1 σ u 2 x 1 2 (1 r x1 x 2 2 ), Var β 2 = Τ t=1 σ u 2 2 ) x 2 2 (1 r x1 x 2 όπου σ u 2 είναι η εκτίμηση της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου και r x1 x 2 είναι ο συντελεστής συσχέτισης των μεταβλητών Χ 1 και Χ 2. Αν r x1 x 2 = 1 τότε Var β 1 = σ u 2 0 και Var β 2 = σ 2 u. 0 Αν στο πολλαπλό γραμμικό υπόδειγμα υπάρχουν περισσότερες από δύο ανεξάρτητες μεταβλητές, η διακύμανση των εκτιμητών β Κ είναι: Var β Κ = σ u 2 Τ x 1 2 (1 R i 2 ) t=1 όπου R i 2 είναι ο συντελεστής προσδιορισμού όταν η ανεξάρτητη μεταβλητή παλινδρομείται με τις υπόλοιπες ανεξάρτητες μεταβλητές. 14
Συνέπειες της μερικής (ατελούς) πολυσυγγραμικότητας 1. Αν η τιμή της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου σ 2 u είναι υψηλή και οι τιμές των συντελεστών συσχέτισης r x1 x 2, x 2 2 1, x 2 είναι χαμηλές, τότε οι διακυμάνσεις των β 1 και β 2 θα είναι υψηλές. Άρα τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητών β 1 και β 2 θα είναι υψηλά και οι εκτιμητές β 1 και β 2 δεν θα είναι στατιστικά σημαντικοί. 2. Αν η τιμή της διακύμανσης του διαταρακτικού όρου σ 2 u είναι χαμηλή και οι τιμές των συντελεστών συσχέτισης r x1 x 2, x 2 2 1, x 2 είναι υψηλές, τότε οι διακυμάνσεις των β 1 και β 2 θα είναι μικρές. Άρα τα τυπικά σφάλματα των εκτιμητών β 1 και β 2 θα είναι υψηλά και οι εκτιμητές β 1 και β 2 θα είναι στατιστικά σημαντικοί. 15
3. Αν ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού R 2 i και η διακύμανση του διαταρακτικού όρου σ 2 u παίρνουν μεγάλες τιμές, και η ποσότητα i=1 K x 2 i έχει μικρή τιμή, τότε οι διακυμάνσεις και τα τυπικά σφάλματα των β 1 και β 2 θα είναι υψηλές. Άρα οι εκτιμητές β 1 και β 2 δεν θα είναι στατιστικά σημαντικοί (με βάση την t κατανομή), σε αντίθεση με την στατιστική F που θα παίρνει ψηλή τιμή που δηλώνει ότι όλοι οι συντελεστές είναι στατιστικά σημαντικοί. 4. Αν ο συντελεστής πολλαπλού προσδιορισμού R 2 i, η διακύμανση του διαταρακτικού όρου σ 2 u και η ποσότητα i=1 K x 2 i παίρνουν μικρές τιμές, τότε οι διακυμάνσεις και τα τυπικά σφάλματα των β 1 και β 2 θα είναι μικρά. Άρα οι εκτιμητές β 1 και β 2 θα είναι στατιστικά σημαντικοί, σε αντίθεση με την στατιστική F που θα είναι μικρή και δηλώνει ότι οι συντελεστές δεν είναι στατιστικά σημαντικοί. 16
Η ατελής πολυσυγγραμικότητα είναι βασικό χαρακτηριστικό του δείγματος και όχι του πληθυσμού. Και στην περίπτωση της ατελής πολυσυγγραμικότητας, οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων παραμένουν οι καλύτεροι γραμμικοί, αμερόληπτοι (η αναμενόμενη τιμή τους είναι ίση με τον μέσο όρο του πληθυσμού) και αποτελεσματικοί εκτιμητές (με την μικρότερη διακύμανση). Όμως οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων έχουν υπερεκτιμημένες διακυμάνσεις και συνδιακυμάνσεις. Κατά συνέπεια, τα διαστήματα εμπιστοσύνης των εκτιμητών παλινδρόμησης είναι μεγάλα και οι συντελεστές στατιστικά μη σημαντικοί. 17
Συνοψίζοντας: Αν υπάρχει τέλεια πολυσυγγραμικότητα, οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων δεν μπορούν να εκτιμηθούν. Αν υπάρχει ατελής πολυσυγγραμικότητα, οι εκτιμητές ελαχίστων τετραγώνων είναι οι καλύτεροι γραμμικοί, αμερόληπτοι και αποτελεσματικοί εκτιμητές, με τις συνέπειες που αναφέραμε παραπάνω. 18
4. Τρόποι διαπίστωσης της πολυσυγγραμικότητας Στις οικονομετρικές εφαρμογές, μας ενδιαφέρουν δύο βασικά ερωτήματα σχετικά με την πολυσυγγραμικότητα: Ποιες τεχνικές πρέπει να χρησιμοποιήσουμε για να διαπιστώσουμε την ύπαρξη πολυσυγγραμικότητας. Ποια κριτήρια πρέπει να χρησιμοποιήσουμε ώστε η πολυσυγγραμικότητα να μην προκαλέσει προβλήματα αξιοπιστίας στα εξαγόμενα αποτελέσματα. Επειδή η πολυσυγγραμικότητα είναι χαρακτηριστικό του δείγματος και όχι του πληθυσμού, δεν μπορεί να γίνει έλεγχος με τη στατιστική έννοια του όρου. Οι διάφοροι τρόποι ελέγχου της πολυσυγγραμικότητας αναφέρονται στην διαπίστωση και τη μέτρηση και όχι στον έλεγχο αυτής. 19
Όταν το υπόδειγμα περιλαμβάνει δύο μόνο ερμηνευτικές μεταβλητές, η τιμή του συντελεστή απλής συσχέτισης μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών είναι ικανοποιητικό μέτρο του βαθμού της πολυσυγγραμικότητας που υπάρχει στο δείγμα. Όσο αυξάνει όμως ο αριθμός των ερμηνευτικών μεταβλητών, τόσο δυσκολότερη γίνεται η διαπίστωση και η μέτρηση της πολυσυγγραμικότητας. Η εξέταση των συντελεστών απλής συσχέτισης μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών δεν είναι αρκετή, καθώς μπορεί να οι συντελεστές απλής συσχέτισης να είναι χαμηλοί αλλά να υπάρχει πολυσυγγραμικότητα. 20
Παρακάτω αναφέρονται τα βασικά κριτήρια και δείκτες που χρησιμοποιούνται για την διαπίστωση της πολυσυγγραμικότητας: 1. Το κριτήριο του Frisch 2. Το κριτήριο του Klein 3. Το κριτήριο των Farrar-Glauber 4. Το κριτήριο της στατιστικής F 5. Εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης 6. Εκτιμητής ανεκτικότητας 21
1. Το κριτήριο του Frisch Υπάρχει πολυσυγγραμικότητα μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών, όταν ισχύουν τα παρακάτω: Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 είναι πολύ μεγάλος. Οι έλεγχοι της στατιστικής t student στους εκτιμητές των ανεξάρτητων μεταβλητών είναι μη στατιστικά σημαντικοί, δηλ. οι συντελεστές του υποδείγματος είναι ίσοι με μηδέν σύμφωνα με τη t-στατιστική. Η στατιστικής F για το σύνολο των εκτιμητών της παλινδρόμησης είναι υψηλή, δηλ. σύμφωνα με την F-στατιστική, απορρίπτουμε την Η 0 ότι όλοι οι συντελεστές του υποδείγματος είναι ίσοι με μηδέν. 22
2. Το κριτήριο του Klein Υπάρχει πολυσυγγραμικότητα μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών, όταν οι συντελεστές συσχέτισης μεταξύ ερμηνευτικών μεταβλητών είναι υψηλοί. Η πολυσυγγραμικότητα αυτή είναι επιβλαβής όταν r Χ1 Χ 2 > R 2 για Χ 1 Χ 2, όπου r Χ1 Χ 2 είναι ο απλός συντελεστής γραμμικής συσχέτισης και R 2 ο συντελεστής προσδιορισμού. 23
3. Το κριτήριο των Farrar-Glauber Υπάρχει ένδειξη για πολυσυγγραμικότητα μεταξύ των ερμηνευτικών μεταβλητών, όταν ισχύουν τα παρακάτω: Ο συντελεστής προσδιορισμού R 2 είναι υψηλός. Οι συντελεστές μερικής συσχέτισης μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής και των ερμηνευτικών μεταβλητών είναι χαμηλοί Η στατιστικής F για το σύνολο των εκτιμητών της παλινδρόμησης είναι υψηλή, δηλ. σύμφωνα με την F-στατιστική, απορρίπτουμε την Η 0 ότι όλοι οι συντελεστές του υποδείγματος είναι ίσοι με μηδέν. 24
4. Το κριτήριο της στατιστικής F Η πολυσυγγραμικότητα είναι επιβλαβής όταν F i = R j 2 /(K 1) (1 R j 2 )/(T K) > F K,T K,a όπου R j 2, j = 1,.., K είναι ο συντελεστής προσδιορισμού που προέρχεται από την παλινδρόμηση με εξαρτημένη μια ερμηνευτική μεταβλητή Χ 1t του αρχικού μας υποδείγματος πάνω στις υπόλοιπες (Κ 1) ερμηνευτικές μεταβλητές Χ 2t,, Χ Κt. 25
5. Εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης Ο εκτιμητής διόγκωσης της διακύμανσης (Variance Inflation Factor) δείχνει την ταχύτητα αύξησης της διακύμανσης ενός εκτιμητή όταν υπάρχει το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας και ορίζεται ως εξής: VIF β j = Var β j Var β j = 1 1 R j 2 όπου Var β j είναι η διακύμανση του εκτιμητή β j, Var β j είναι η δυνητική (ιδανική) διακύμανση του εκτιμητή β j (αν ίσχυε R 2 j = 0) και R j 2, j = 1,.., K είναι ο συντελεστής προσδιορισμού που προέρχεται από την παλινδρόμηση με εξαρτημένη την ερμηνευτική μεταβλητή Χ j του αρχικού μας υποδείγματος πάνω στις υπόλοιπες (Κ 1) ερμηνευτικές μεταβλητές. 26
Όσο μεγαλύτερη είναι η τιμή του εκτιμητή διόγκωσης της διακύμανσης (VIF) τόσο μεγαλύτερο είναι το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας. Δεν υπάρχει κριτική τιμή για να συγκρίνουμε την τιμή που παίρνει το VIF στο δείγμα που εξετάζουμε. Ένας πρακτικός κανόνας είναι ότι όταν η τιμή του VIF είναι μεγαλύτερη του 10 (δηλ. R j 2 > 0, 90) λέμε ότι η αντίστοιχη μεταβλητή Χ j δημιουργεί το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας. 27
6. Εκτιμητής ανεκτικότητας Ο εκτιμητής ανεκτικότητας (Tolerance Index) είναι το αντίστροφο του εκτιμητή διόγκωσης της διακύμανσης και ορίζεται ως εξής: TOL β j = 1 VIF β j = 1 R j 2 όπου R j 2 είναι ο συντελεστής προσδιορισμού που προέρχεται από την παλινδρόμηση με εξαρτημένη την ερμηνευτική μεταβλητή Χ j του αρχικού υποδείγματος πάνω στις υπόλοιπες (Κ 1) ερμηνευτικές μεταβλητές. Αν TOL β j = 0 τότε υπάρχει πλήρης (τέλεια) συσχέτιση ανάμεσα στην μεταβλητή Χ j και στις άλλες ανεξάρτητες μεταβλητές του γραμμικού πολλαπλού υποδείγματος. Επομένως υπάρχει πλήρης πολυσυγγραμικότητα. Αντιθέτως αν TOL β j = 1, δεν υπάρχει. 28
5. Τεχνικές εκτίμησης υποδειγμάτων με πολυσυγγραμμικτότητα Όπως στην εξακρίβωση της πολυσυγγραμικότητας, έτσι και στις προτεινόμενες λύσεις δεν υπάρχουν ασφαλείς τρόποι για την αποφυγή του προβλήματος. Οι προτεινόμενες λύσεις όταν η πολυσυγγραμικότητα είναι επιβλαβής, είναι οι εξής: Αποκλεισμός μεταβλητών Μπορούμε να εξαιρέσουμε από την ανάλυση κάποια ανεξάρτητη μεταβλητή δευτερεύοντας σημασίας ώστε να λυθεί το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας. 29
Μετασχηματισμός των μεταβλητών Πιθανών με τον μετασχηματισμό των στοιχείων κάποιας μεταβλητής να λυθεί το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας. Ο πιο συνηθισμένος τρόπος, είναι να δημιουργηθεί ο λόγος δύο συγγραμμικών μεταβλητών όταν έχουμε διαχρονικά ή διαστρωματικά στοιχεία. Επίσης ο μετασχηματισμός των μεταβλητών του υποδείγματος από τα επίπεδά τους (levels) σε πρώτες διαφορές (first differences) για τα διαχρονικά στοιχεία, είναι ένας μετασχηματισμός που μπορεί να λύσει το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας. Άλλες μορφές μετασχηματισμού των μεταβλητών είναι η λογαρίθμηση των στοιχείων. 30
Το πρόβλημα που δημιουργείται όταν χρησιμοποιούμε τον λόγο δύο συγγραμμικών μεταβλητών είναι το πρόβλημα της ετεροσκεδαστικότητας. Το πρόβλημα που δημιουργείται όταν χρησιμοποιούμε τις πρώτες διαφορές των διαχρονικών στοιχείων είναι το πρόβλημα της αυτοσυσχέτισης. Αύξηση μεγέθους του δείγματος Το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας μπορεί να διορθωθεί αν αυξήσουμε τις παρατηρήσεις του δείγματος. Έχει παρατηρηθεί ότι αν αλλάξουμε τα στατιστικά στοιχεία ενός δείγματος π.χ. από ετήσια σε τριμηνιαία ή μηνιαία, αυτό συντελεί στην διόρθωση του προβλήματος της πολυσυγγραμικότητας καθώς αυξάνει το πλήθος των παρατηρήσεων. 31
Αλλαγή στην μαθηματική διατύπωση του υποδείγματος Σε ορισμένες περιπτώσεις, έχει διαπιστωθεί ότι το πρόβλημα της πολυσυγγραμικότητας οφείλεται στην μέθοδο της μαθηματικής διατύπωσης του υποδείγματος, δηλαδή στην μαθηματική εξειδίκευση του υποδείγματος. Η μέθοδος της ραχοειδούς παλινδρόμησης Η μέθοδος αυτή συνίσταται στην αντικατάσταση της μήτρας (Χ Χ) με μια νέα μήτρα (Χ Χ + λι), όπου λ ένας πολύ μικρός αριθμός. Δηλαδή προσθέτουμε στις διακυμάνσεις των εκτιμητών μια σταθερά, με αποτέλεσμα να μικραίνει ο συντελεστής συσχέτισης ανάμεσα στις ανεξάρτητες μεταβλητές του πολλαπλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης. Δοκιμάζονται διάφορες τιμές λ ώστε να βρεθεί το κατάλληλο που δίνει λογικά αποτελέσματα. 32
Ερωτήσεις κατανόησης 1. Δίνεται το υπόδειγμα Υ t = β 0 + β 1 Χ 1t + β 2 Χ 2t + β 3 Χ 1t Χ 2t + β 4 Χ 1t Χ 2t + u t Μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους του υποδείγματος; Αν όχι, πως μπορούμε να μετασχηματίσουμε το υπόδειγμα ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους τους; 2. Έστω τα ακόλουθα υποθετικά δεδομένα Υ -6-4 -2 0 2 4 6 8 Χ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Χ 2 3 5 7 9 11 13 15 17 Μπορούμε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους του υποδείγματος; Αν όχι, πως μπορούμε να μετασχηματίσουμε το υπόδειγμα ώστε να εκτιμήσουμε τις παραμέτρους τους; (Υπόδειξη: Χ 2 = 2Χ 1 1) 33
Επαναληπτική άσκηση Δίνονται στοιχεία σχετικά με την ζήτηση του χρήματος (M1) στην Ελληνική Οικονομία, η οποία προκύπτει σε συνάρτηση του ακαθάριστου εγχώριου προϊόντος (GDP) και του επιτοκίου (r ή IR). (Κατεβάστε τα δεδομένα από το αρχείο Lecture6_exercise.xlsx) 34
1. Να εκτιμηθεί η συνάρτηση ζήτησης του χρήματος της Ελληνικής Οικονομίας. Είναι: M 1t = 940, 273 + 0, 043GDP t 186, 083r t 35
2. Να κατασκευάσετε ένα 95% διάστημα εμπιστοσύνης για τους συντελεστές β 0, β 1, β 2 της γραμμής παλινδρόμησης του πληθυσμού. Είναι: 1628, 169 < β 0 < 252, 378 0, 038 < β 1 < 0, 048 235, 013 < β 2 < 137, 154 36
3. Να ελεγχθεί η συνάρτηση ζήτησης του χρήματος σε επίπεδο σημαντικότητας 5% ως προς την ποιότητα των αποτελεσμάτων της. α) Βρήκαμε ότι: M 1t = 940, 273 + 0, 043GDP t 186, 083r t Τα πρόσημα των συντελεστών της συνάρτησης ζήτησης του χρήματος συμφωνούν με την Οικονομική θεωρία ( β 1 > 0, β 2 < 0). β) Οι συντελεστές της συνάρτησης ζήτησης του χρήματος είναι στατιστικά σημαντικοί με βάση την t κατανομή (με βάση τα επίπεδα σημαντικότητας Prob. < 0, 05). 37
γ) R 2 = 0, 897: υψηλός ο συντελεστής προσδιορισμού Το υπόδειγμα ερμηνεύει το 89, 7% της συνολικής μεταβλητότητας της συνάρτησης ζήτησης του χρήματος. 4. Να ελέγξετε αν η ζήτηση του χρήματος επηρεάζεται ταυτόχρονα από το ακαθάριστο εγχώριο προϊόν και το επιτόκιο. Ελέγχουμε την υπόθεση Η 0 : β 1 = β 2 = 0 με εναλλακτική την Η 1 :β 1 0 ή β 2 0. Η Η 0 απορρίπτεται διότι Prob. < 0, 05 (F μεγάλο). 38
5. Να ελέγξετε αν ο συντελεστής προσδιορισμού είναι στατιστικά σημαντικός. Ελέγχουμε την υπόθεση Η 0 : R 2 = 0 με εναλλακτική την Η 1 :R 2 0. Η Η 0 απορρίπτεται διότι Prob. < 0, 05 (F μεγάλο). 39
6. Να εκτιμήσετε την συνάρτηση ζήτησης του χρήματος με ερμηνευτική μεταβλητή την GDP και να συγκρίνετε με την αρχική συνάρτηση (με δύο ερμηνευτικές μεταβλητές). M 1t = 2682, 079 + 0, 044GDP t Υπόδειγμα 1 (δύο ερμηνευτικές μεταβλητές) R 2 = 0, 892 Υπόδειγμα 2 (μια ερμηνευτική μεταβλητή) R 2 = 0, 761 Το υπόδειγμα (1) εξηγεί μεγαλύτερο μέρος της συνολικής μεταβλητότητας της Μ1. 40
7. Να εκτιμήσετε τους απλούς συντελεστές συσχέτισης. Είναι: r M1,GDP = 0, 875 ισχυρή θετική συσχέτιση (Prob. < 0, 05) r M1,r = 0, 399 ασθενής αρνητική συσχέτιση (Prob. < 0, 05) r GDP,r = 0, 04 δεν υπάρχει γραμμική συσχέτιση (Prob. > 0, 05) 41
8. Να εκτιμήσετε τους μερικούς συντελεστές συσχέτισης. Είναι: r M1GDP,r = 0, 936 ισχυρή θετική συσχέτιση (Prob. < 0, 05) r M1r,GDP = 0, 748 μέτρια αρνητική συσχέτιση (Prob. < 0, 05) r GDPr,M1 = 0, 691 μέτρια γραμμική συσχέτιση (Prob. < 0, 05) 42
9. Υπάρχει ένδειξη για ύπαρξη πολυσυγγραμικότητας στο υπόδειγμα με τις δύο ερμηνευτικές μεταβλητές; Όχι α) Σύμφωνα με το Kριτήριο του Frisch: R 2 μεγάλο, στατιστικά σημαντικοί οι συντελεστές με βάση την F κατανομή, αλλά στατιστικά σημαντικοί οι συντελεστές και με βάση την t κατανομή. Άρα δεν υπάρχει πολυσυγγραμικότητα. β) Σύμφωνα με το Kριτήριο του Klein: O συντελεστής συσχέτισης μεταξύ ερμηνευτικών μεταβλητών είναι μικρός, r GDP,r = 0, 04, και r Χ1 Χ 2 < R 2. Άρα δεν υπάρχει πολυσυγγραμικότητα. 43
γ) Σύμφωνα με το Κριτήριο των Farrar-Glauber: R 2 μεγάλο, στατιστικά σημαντικοί οι συντελεστές με βάση την F κατανομή, αλλά οι συντελεστές μερικής συσχέτισης μεταξύ της εξαρτημένης μεταβλητής και των ερμηνευτικών μεταβλητών είναι υψηλοί (r M1GDP,r = 0, 936, r M1r,GDP = 0, 748). Άρα δεν υπάρχει πολυσυγγραμικότητα. 44
Βιβλιογραφία Χρήστου Κ. Γεώργιος (2007) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Τόμος 1, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Stock H. James, Watson W. Mark, επιμέλεια Πραγγίδης Ιωάννης - Χρυσόστομος (2017) Εισαγωγή στην Οικονομετρία, Εκδότης: Γ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ - Κ. ΔΑΡΔΑΝΟΣ Ο.Ε. Χρήστου Κ. Γεώργιος (2006) Εισαγωγή στην Οικονομετρία Ασκήσεις, Εκδόσεις Gutenberg. Δριτσάκη Ν. Χάιδω, Δριτσάκη Ν. Μελίνα (2013) Εισαγωγή στην Οικονομετρία με τη Χρήση του Λογισμικού EViews, Κλειδάριθμος ΕΠΕ Εκδόσεις. 45