τα βιβλία των επιτυχιών

Τα βιβλία των Εκδόσεων Πουκαμισάς συμπυκνώνουν την πολύχρονη διδακτική εμπειρία των συγγραφέων μας και αποτελούν το βασικό εκπαιδευτικό υλικό που χρησιμοποιούν οι μαθητές των φροντιστηρίων μας. Μέσα από τη διαρκή τους αξιοποίηση στις τάξεις μας διασφαλίζουμε τον εμπλουτισμό τους, τη συνεχή τους βελτίωση και την επιστημονική τους αρτιότητα, καθιστώντας τα βιβλία των Εκδόσεών μας εγγύηση για την επιτυχία των μαθητών. τα βιβλία των επιτυχιών

ΑΝΑΣΤΑΣΙΑ ΑΓΙΑΝΝΙΩΤΑΚΗ ΜΑΡΚΟΣ ΑΡΧΩΝ ΦΥΣΙΚΗ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ Β ΤΟΜΟΣ 2η έκδοση

Κάθε γνήσιο αντίτυπο φέρει την υπογραφή ενός εκ των συγγραφέων Σειρά: Γενικό Λύκειο, Θετικές Επιστήμες Φυσική Γ Λυκείου Θετική-Τεχνολογική Κατεύθυνση, Β τόμος Αναστασία Αγιαννιωτάκη Μάρκος Άρχων Επιστημονική επιμέλεια: Διονύσης Συνοδινός Θεώρηση κειμένου: Κυριάκος Εμμανουηλίδης Στοιχειοθεσία-σελιδοποίηση, εξώφυλλο: Γεωργία Λαμπροπούλου Υπεύθυνος έκδοσης: Αποστόλης Αντωνόπουλος e-mail συγγραφέα: arhonmarkos@gmail.com Copyright 2011 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ, Αναστασία Αγιαννιωτάκη Μάρκος Άρχων για την ελληνική γλώσσα σε όλο τον κόσμο ISBN: 978-960-6881-42-8 SET: 978-960-6881-07-7 Απαγορεύεται η με οποιονδήποτε τρόπο, μέσο και μέθοδο αναδημοσίευση, αναπαραγωγή, μετάφραση, διασκευή, θέση σε κυκλοφορία, παρουσίαση, διανομή και η εν γένει πάσης φύσεως χρήση και εκμετάλλευση του παρόντος έργου στο σύνολό του ή τμηματικά, καθώς και της ολικής αισθητικής εμφάνισης του βιβλίου (στοιχειοθεσίας, σελιδοποίησης κ.λπ.) και του εξωφύλλου του, σύμφωνα με τις διατάξεις της υπάρχουσας νομοθεσίας περί προστασίας πνευματικής ιδιοκτησίας και των συγγενικών δικαιωμάτων περιλαμβανομένων και των σχετικών διεθνών συμβάσεων. Σωτήρος και Αλκιβιάδου 132, Τ.Κ. 185 35 Πειραιάς Τηλ.: 210 4112507 Fax: 210 4116752 www.poukamisas.gr publications@poukamisas.gr

ΠΡΟΛΟΓΟΣ Το παρόν εκπαιδευτικό βιβλίο απευθύνεται στους μαθητές της Θετικής- Τεχνολογικής Κατεύθυνσης της Γ Λυκείου και με τη συγγραφή του επιδιώκουμε να κατανοήσουν σε βάθος την εξεταστέα ύλη των δύο τελευταίων κεφαλαίων της Φυσικής Γ Λυκείου. Για το σκοπό αυτό οι θεματικές ενότητες στις οποίες διαιρείται κάθε κεφάλαιο περιλαμβάνουν:, αναλυτικά γραμμένη σύμφωνα με αυτήν του σχολικού βιβλίου, η οποία επιπλέον περιέχει, όπου χρειάζεται, και βασικές συμπληρωματικές γνώσεις. με αναλυτική λύση, οι οποίες βοηθούν το μαθητή να κατανοήσει θέματα που συναντά συχνά. Ερωτήσεις αξιολόγησης, οι οποίες καλύπτουν όλη τη θεωρία του μαθήματος και βοηθούν το μαθητή να ελέγξει τις γνώσεις του. Διακρίνονται σε ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής, τύπου σωστό-λάθος, αντιστοίχισης, συμπλήρωσης κενών και εναλλακτικής απάντησης με αιτιολόγηση. Ασκήσεις προς λύση, στις οποίες τα ερωτήματα είναι κλιμακούμενης δυσκολίας. Κριτήρια αξιολόγησης, διάρκειας 3 ωρών. Στο τέλος του βιβλίου υπάρχουν οι απαντήσεις των ερωτήσεων και οι λύσεις των ασκήσεων. Θα θέλαμε να ευχαριστήσουμε το συνάδελφο φυσικό Διονύση Συνοδινό, ο οποίος μελέτησε αναλυτικά όλες τις ενότητες και οι εύστοχες παρατηρήσεις και οι επισημάνσεις του βοήθησαν στην επιστημονική πληρότητα του βιβλίου, καθώς και τους Ελένη Καπαράκη, Σοφία Κορνάρου και Μάριο Άρχων για την πολύτιμη βοήθειά τους στη συγγραφή του βιβλίου σε ηλεκτρονική μορφή. Θα θέλαμε, τέλος, να ευχαριστήσουμε τον Αποστόλη Αντωνόπουλο, ο οποίος είχε τη γενική επιμέλεια του βιβλίου, για την άρτια έκδοσή του. Οι συγγραφείς

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Μηχανική στερεού σώματος Τυπολόγιο 11 ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Α. ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 15 23 Ερωτήσεις αξιολόγησης 29 Ασκήσεις προς λύση 36 Β. ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ (ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ) 41 47 Ερωτήσεις αξιολόγησης 52 Ασκήσεις προς λύση 57 ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ 61 65 Ερωτήσεις αξιολόγησης 74 Ασκήσεις προς λύση 82 1ο κριτήριο αξιολόγησης 95 ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ 99 101 Ερωτήσεις αξιολόγησης 105 Ασκήσεις προς λύση 109 ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ 113 114 Ερωτήσεις αξιολόγησης 143 Ασκήσεις προς λύση 155 2ο κριτήριο αξιολόγησης 183 ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ 195 199 Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση 211 220

ΑΡΧΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ 231 234 Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση 241 247 ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΡΓΟ 257 265 Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση 288 300 ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 335 3ο κριτήριο αξιολόγησης 355 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΚΡΟΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΣΧΕΤΙΚΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ Τυπολόγιο 363 ΚΡΟΥΣΕΙΣ 365 373 Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση 409 417 ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER 453 462 Ερωτήσεις αξιολόγησης Ασκήσεις προς λύση 470 476 Επαναληπτικές ασκήσεις 483 4ο κριτήριο αξιολόγησης 499 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΛΥσεις 505

μηχανική στερεού σώματος Οι κινήσεις των στερεών σωμάτων Α. Στροφική κίνηση στερεού σώματος Β. Σύνθετες κινήσεις (κύλιση χωρίς ολίσθηση) Ροπή δύναμης Ισορροπία στερεού σώματος Ροπή αδράνειας Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης Στροφορμή Αρχή διατήρησης της στροφορμής Κινητική ενέργεια Έργο

ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Γωνία στροφής στην ομαλή στροφική κίνηση Χρονική εξίσωση της γωνιακής ταχύτητας στην ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση Χρονική εξίσωση της γωνίας στροφής στην ομαλά επιταχυνόμενη στροφική κίνηση Χρονική εξίσωση της γωνιακής ταχύτητας στην ομαλά επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση Χρονική εξίσωση της γωνίας στροφής στην ομαλά επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση Μέτρο γραμμικής ταχύτητας ενός σημείου του σώματος που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής Μέτρο γραμμικής (ή επιτρόχιας) επιτάχυνσης ενός σημείου του σώματος που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής Αριθμός περιστροφών Μήκος τόξου ενός σημείου του σώματος που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής Κεντρομόλος επιτάχυνση ενός σημείου του σώματος που απέχει απόσταση r από τον άξονα περιστροφής θ = ωt ω = ω 0 + α γων t θ = ω 0 t + 1 2 α γων t 2 ω = ω 0 α γων t θ = ω 0 t 1 2 α γων t 2 υ γρ = ωr α ε = α γρ = α γων r Ν = 2π θ S = rθ α κ = ω 2 r ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 11

ΣΥΝΘΕΤΕΣ ΚΙΝΗΣΕΙΣ (ΚΥΛΙΣΗ ΧΩΡΙΣ ΟΛΙΣΘΗΣΗ) Σχέση του μέτρου της ταχύτητας του κέντρου μάζας του σώματος με το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας Σχέση του μέτρου της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του σώματος με το μέτρο της γωνιακής του επιτάχυνσης Σχέση της μετατόπισης του κέντρου μάζας του σώματος με τη γωνία που διαγράφει υ cm = ωr α cm = α γων R x = θr ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ Μέτρο της ροπής δύναμης ως προς άξονα περιστροφής ή σημείο Μέτρο της ροπής ενός ζεύγους δυνάμεων F 1 και F 2, στο οποίο οι φορείς των δυνάμεων απέχουν απόσταση d τ = Fl τ = F 1 d ΡΟΠΗ ΔΥΝΑΜΗΣ ΙΣΟΡΡΟΠΙΑ ΣΤΕΡΕΟΥ Συνθήκες ισορροπίας Σ F = 0 ή Σ F x = 0 και Σ F y = 0, Στ = 0 ΡΟΠΗ ΑΔΡΑΝΕΙΑΣ ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΝΟΜΟΣ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Ορισμός της ροπής αδράνειας στερεού σώματος Ι = m 1 r 1 2 + m 2 r 2 2 +... Ροπή αδράνειας στερεού σώματος ως προς άξονα που είναι παράλληλος στον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος και απέχει από αυτόν απόσταση d Θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης I = I cm + M d 2, όπου M η μάζα του σώματος και Ι cm η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του. Στ = Ι α γων 12 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

ΣΤΡΟΦΟΡΜΗ ΔΙΑΤΗΡΗΣΗ ΤΗΣ ΣΤΡΟΦΟΡΜΗΣ Μέτρο της στροφορμής ενός υλικού σημείου ως προς άξονα z'z που διέρχεται από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς του και είναι κάθετος στο επίπεδό της Μέτρο της στροφορμής ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από κάποιον άξονα Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός στερεού σώματος Ρυθμός μεταβολής της στροφορμής ενός συστήματος σωμάτων Διατήρηση της στροφορμής για ένα σώμα Διατήρηση της στροφορμής για ένα σύστημα σωμάτων L = mυr L = Iω dl = Στ dt ( dl dt ) = Σ τ εξ συστ Αν Στ = 0 τότε: L = σταθ ή L αρχ = L τελ Αν Σ τ εξ = 0 τότε: L συστ = σταθ ή L συστ(αρχ) = L συστ(τελ) ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 13

ΚΙΝΗΤΙΚΗ ΕΝΕΡΓΕΙΑ ΕΡΓΟ Κινητική ενέργεια λόγω της στροφικής κίνησης ενός στερεού σώματος Κινητική ενέργεια λόγω της μεταφορικής κίνησης ενός στερεού σώματος Συνολική κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος λόγω της σύνθετης κίνησής του (μεταφορική και στροφική κίνηση ταυτόχρονα) Σχέση που συνδέει την περιστροφική κινητική ενέργεια ενός στερεού σώματος με μέτρο της στροφορμής του Κ περ = 1 2 Ι ω 2 Κ μετ = 1 2 Μ υ cm 2 Κ ολ = 1 2 Μ υ cm 2 + 1 2 I ω 2 Κ = L 2 (με απόδειξη) 2I Έργο μίας δύναμης που προκαλεί σταθερή ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του στερεού σώματος Ισχύς μίας δύναμης που προκαλεί σταθερή ροπή ως προς τον άξονα περιστροφής του στερεού σώματος Μέση ισχύς δύναμης σε χρόνο Δt Θεώρημα έργου-ενέργειας στη στροφική κίνηση W = ± τ F θ, το (+) ισχύει αν η ροπή έχει την ίδια φορά με τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος και το ( ) όταν η ροπή έχει αντίθετη φορά με τη γωνιακή του ταχύτητα Ρ F = ± τ F ω, το (+) ισχύει αν η ροπή έχει την ίδια φορά με τη γωνιακή ταχύτητα του σώματος και το ( ) όταν η ροπή έχει αντίθετη φορά με τη γωνιακή του ταχύτητα P = W F Δt ΣW = 1 2 I ω 2 2 1 2 Ι ω 1 2 Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός σώματος λόγω της στροφικής του κίνησης Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός σώματος λόγω της μεταφορικής του κίνησης Ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας ενός σώματος λόγω της σύνθετης κίνησης του (μεταφορική και στροφική κίνηση ταυτόχρονα) Αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας dk dt = ( dk ( dk dt ) = Στω περ ( dk dt ) = ΣFυ μετ dt ) + μετ ( dk dt ) περ = ΣFυ + Στω Ε μηχ(αρχ) = Ε μηχ(τελ) ή Κ αρχ + U βαρ(αρχ) = Κ τελ + U βαρ(τελ) 14 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

ΘΕΩΡΙΑ ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Α. ΣΤΡΟΦΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ Υλικό σημείο ονομάζεται ένα σώμα που έχει όλες τις άλλες ιδιότητες της ύλης εκτός από τις διαστάσεις. Εφόσον ένα υλικό σημείο δεν έχει διαστάσεις, έχει τη δυνατότητα να εκτελεί μόνο μεταφορικές κινήσεις. Στην πραγματικότητα, όλα τα σώματα έχουν διαστάσεις και μπορούν να εκτελούν: μεταφορική κίνηση, περιστροφική κίνηση, όπου αλλάζουν προσανατολισμό στο χώρο, ακόμη και σύνθετη κίνηση, που είναι συνδυασμός μεταφορικής και περιστροφικής κίνησης. Αν σε κάποιο στερεό σώμα ασκηθούν δυνάμεις, το σώμα παραμορφώνεται. Η παραμόρφωση του σώματος μπορεί να είναι μόνιμη ή προσωρινή. Μηχανικά στερεά ονομάζονται τα υποθετικά στερεά, τα οποία δεν παραμορφώνονται όταν τους ασκούνται δυνάμεις. Θεωρούμε ένα στερεό σώμα το οποίο εκτελεί μεταφορική κίνηση. Στη μεταφορική κίνηση κάθε χρονική στιγμή όλα τα σημεία του σώματος έχουν την ίδια ταχύτητα, και το ευθύγραμμο τμήμα που συνδέει δύο τυχαία σημεία του μετατοπίζεται παράλληλα προς τον εαυτό του. Γενικά, στη μεταφορική κίνηση των στερεών σωμάτων ισχύουν οι νόμοι που διέπουν την κίνηση των υλικών σημείων. Θεωρούμε ένα στερεό σώμα το οποίο εκτελεί στροφική κίνηση. Στη στροφική κίνηση το σώμα αλλάζει προσανατολισμό και όλα τα σημεία που βρίσκονται πάνω στον άξονα περιστροφής παραμένουν ακίνητα. Τα υπόλοιπα σημεία του σώματος εκτελούν κυκλική κίνηση. Το μέγεθος το οποίο περιγράφει το πόσο γρήγορα περιστρέφεται ένα στερεό σώμα κάποια χρονική στιγμή είναι η γωνιακή ταχύτητα ω. Το διάνυσμα της γωνιακής ταχύτητας έχει τη διεύθυνση του άξονα περιστροφής. Αν η γωνιακή ταχύτητα ενός σώματος που στρέφεται παραμένει σταθερή, θα λέμε ότι εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση. Θεωρούμε το δίσκο του παρακάτω σχήματος, ο οποίος στρέφεται γύρω από άξονα z z που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Έστω ότι τη χρονική στιγμή t 1 η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι ω 1, ενώ τη χρονική στιγμή t 2 = t 1 + dt η γωνιακή του ταχύτητα είναι ω 2 = ω 1 + d ω. ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 15

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 z ω 1 z dω ω 1 ω 2 z α γων z z z Γωνιακή επιτάχυνση α γων του σώματος τη χρονική στιγμή t ονομάζεται το διανυσματικό μέγεθος το οποίο είναι ίσο με το ρυθμό μεταβολής της γωνιακής ταχύτητας του σώματος. Δηλαδή: α γων = ω d dt 4.1 Η γωνιακή επιτάχυνση έχει την κατεύθυνση του διανύσματος d ω και η μονάδα μέτρησης της στο S.I. είναι το 1 rad/s 2. 16 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

ΒΑΣΙΚΕΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΜΑΤΙΚΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ մմ Ομαλή στροφική κίνηση Θεωρούμε έναν οριζόντιο δίσκο που εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση γύρω από ακλόνητο άξονα z z, ο οποίος διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Στην περίπτωση αυτή η γωνιακή ταχύτητα ω του σώματος παραμένει σταθερή. Η κατεύθυνση της γωνιακής ταχύτητας βρίσκεται με τον κανόνα του δεξιού χεριού. z z ω z Σχήμα 1 z ω Θεωρούμε ένα σημείο Μ του στερεού σώματος το οποίο τη χρονική στιγμή t 1 βρίσκεται στη θέση Α, ενώ τη χρονική στιγμή t 2 βρίσκεται στη θέση Β. Η επίκεντρη γωνία που έχει διαγράψει η επιβατική ακτίνα που ενώνει κάθε χρονική στιγμή το κέντρο Κ της κυκλικής τροχιάς με το σημείο Μ στο χρονικό διάστημα dt = t 2 t 1 είναι ίση με dθ, όπως φαίνεται στο σχήμα 2. ω Κ dθ Α Β Σχήμα 2 Όλα τα σημεία του δίσκου στο χρονικό διάστημα dt διαγράφουν την ίδια γωνία dθ. Tο μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω του δίσκου ισούται με ω = dθ και, αφού dt η γωνιακή ταχύτητα παραμένει σταθερή, ισχύει: ω = dθ dt = Δθ Δt 4.2 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 17

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 մմ Ομαλά μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση Θεωρούμε και πάλι ένα δίσκο, ο οποίος στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Ο δίσκος στρέφεται αντίθετα από τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού και το μέτρο της γωνιακής του ταχύτητας αυξάνεται συνεχώς. Τη χρονική στιγμή t = 0 η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι ω 0, ενώ τη χρονική στιγμή t η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι ω. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης α γων του δίσκου και τα διανύσματα ω 0 και ω έχουν την ίδια φορά. z ω 0 z dω ω 0 ω z α γων z z Σχήμα 3 z Αν το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του δίσκου παραμένει σταθερό, τότε η σχέση 4.1 γράφεται: α γων = ω Δ Δt ή α γων = ω ω 0 t 0 4.3 Αν θεωρήσουμε ως θετική φορά τη φορά της αρχικής γωνιακής ταχύτητας ω 0, τότε από τη σχέση 4.3 προκύπτει: α γων = ω ω 0 t ή ω = ω 0 + α γων t 4.4 Η σχέση 4.4 περιγράφει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε συνάρτηση με το χρόνο t. Η γραφική παράσταση της σχέσης 4.4 φαίνεται στο παρακάτω διάγραμμα. ω ω ω 0 φ Ε Δω 0 t t Σχήμα 4 18 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ

ΟΙ ΚΙΝΗΣΕΙΣ ΤΩΝ ΣΤΕΡΕΩΝ ΣΩΜΑΤΩΝ Από το διάγραμμα του σχήματος 4 προκύπτουν οι παρακάτω πληροφορίες: α. Η κλίση της ευθείας ισούται με την αριθμητική τιμή της γωνιακής επιτάχυνσης. Δηλαδή: εφφ = Δω Δt = α γων β. Η γωνία θ, κατά την οποία έχει περιστραφεί το σώμα από τη χρονική στιγμή t = 0 έως τη χρονική στιγμή t, ισούται με το σκιασμένο εμβαδό που περικλείεται από τη γραφική παράσταση ω = f(t) και του άξονα του χρόνου με όρια τις χρονικές στιγμές 0, t. Πράγματι είναι: ή λόγω της σχέσης 4.4: θ = Ε = ω + ω 0 t, 2 θ = (ω 0 + α γων t) + ω 0 t ή θ = ω 2 0 t + 1 2 α γωνt 2 4.5 մմ Ομαλά επιβραδυνόμενη στροφική κίνηση Θεωρούμε και πάλι το δίσκο του σχήματος 3, ο οποίος τη χρονική στιγμή t = 0 στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω 0. Έστω ότι το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου μειώνεται με σταθερό ρυθμό και τη χρονική στιγμή t, χωρίς να έχει αλλάξει η φορά περιστροφής του, γίνεται ω. Όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα, τα διανύσματα των γωνιακών ταχυτήτων ω 0 και ω έχουν αντίθετη φορά από το διάνυσμα της γωνιακής επιτάχυνσης α γων. ω ω 0 α γων Σχήμα 5 Επειδή το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης (επιβράδυνσης) του δίσκου παραμένει σταθερό, η σχέση 4.1 γράφεται: α γων = ω Δ Δt ή α γων = ω ω 0 t 0 4.6 Αν θεωρήσουμε ως θετική φορά τη φορά της γωνιακής ταχύτητας τη χρονική στιγμή t = 0, τότε από τη σχέση 4.6 προκύπτει: α γων = ω ω 0 t ή ω = ω 0 α γων t 4.7 ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΠΟΥΚΑΜΙΣΑΣ 19