ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ

Σχετικά έγγραφα
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ. Εξισώσεις διαφορών

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2005

Κεφάλαιο 3. Ελεύθερα Πρότυπα. στοιχείων του Μ καλείται βάση του e λ παράγει το Μ, και ii) κάθε m M γράφεται κατά µοναδικό

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

Ακολουθίες στον R n. ακολουθία διανυσµάτων στον. 1 1 ακολουθία στον 2 k. εφόσον 1+ e. k + R δεν είναι συγκλίνουσα. Πράγµατι αν

a n = 3 n a n+1 = 3 a n, a 0 = 1

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4: ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΟΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

Μαθηµατικά Ιβ Σελίδα 1 από 5

ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΙΙ

Τρίτη, 31 Μαΐου 2005 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Παραδείγματα Ιδιοτιμές Ιδιοδιανύσματα Ι. Λυχναρόπουλος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3ο: ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 5: ΘΕΩΡΗΜΑ ROLLE [Θεώρημα Rolle του κεφ.2.5 Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ

Κεφάλαιο 1. Πρότυπα. Στο κεφάλαιο αυτό εισαγάγουµε την έννοια του προτύπου πάνω από δακτύλιο που θα παίξει σηµαντικό ρόλο στα επόµενα κεφάλαια.

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

Παρουσίαση 1 ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ

3Τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι. y A, για κάθε λ [ 0,1]

11. Η έννοια του διανύσµατος 22. Πρόσθεση & αφαίρεση διανυσµάτων 33. Βαθµωτός πολλαπλασιασµός 44. Συντεταγµένες 55. Εσωτερικό γινόµενο

x - 1, x < 1 f(x) = x - x + 3, x

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 9

Όρια συναρτήσεων. ε > υπάρχει ( ) { } = ± ορίζονται αναλόγως. Η διατύπωση αυτών των ορισµών αφήνεται ως άσκηση. x y = +. = και για κάθε (, ) ( 0,0)

ΜΑΘΗΜΑ ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ. Αντίστροφη συνάρτηση. ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ Συνάρτηση 1-1. Θεωρία Σχόλια Μέθοδοι Ασκήσεις

α β γ α β γ ( α β )( β γ )( γ α )

Το πρόβλημα των μηδενικών ιδιοτιμών.

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ - ΥΠΟ ΕΙΞΕΙΣ ΣΤΙΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ

Γραµµικη Αλγεβρα Ι Επιλυση Επιλεγµενων Ασκησεων Φυλλαδιου 8

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4

e είναι ακέραια ρίζα του Ρ(χ), να βρεθούν

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Προτεινοµενες Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2. Mεγιστικές συναρτήσεις/τελεστές

14. ΜΕΘΟ ΟΙ ΓΙΑ ΤΗΝ ΕΠΙΛΥΣΗ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ

2.2. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Oµάδας

Ασκήσεις για το µάθηµα «Ανάλυση Ι και Εφαρµογές» (ε) Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία άρρητων αριθµών συγκλίνει σε άρρητο αριθµό.

Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03

x y x z για κάθε x, y, . Ένας δακτύλιος R καλείται μεταθετικός αν

Παρουσίαση 1 ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 4. ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος :

4 η ΕΚΑ Α. = g(t)dt, x [0, 1] i) είξτε ότι F(x) > 0 για κάθε x (0, 1] ii) είξτε ότι f(x)g(x) > F(x) για κάθε x (0, 1] και G(x) για κάθε x (0, 1]


ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 9

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 8

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 ΡΟΠΟΓΕΝΝΗΤΡΙΕΣ

KΕΦΑΛΑΙΟ 4 AΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου Κανιστράς Δημήτριος. Συναρτήσεις Όρια Συνέχεια Μια πρώτη επανάληψη Απαντήσεις των ασκήσεων

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων

τη µέθοδο της µαθηµατικής επαγωγής για να αποδείξουµε τη Ϲητούµενη ισότητα.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2013 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει τo κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2014

7 η ΕΚΑ Α ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 61. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη στο R, τέτοια ώστε. (e + 1)dt = x 1

ΘΕΩΡΙΑ: Έστω η οµογενής γραµµική διαφορική εξίσωση τάξης , (1)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

ΟΡΙΑ ΣΥΝΕΧΕΙΑ: Τύποι - Βασικές έννοιες

Σ Υ Ν Α Ρ Τ Η Σ Ε Ι Σ

ΜΑΘΗΜΑ ΣΥΝΕΠΕΙΕΣ ΤΟΥ Θ.Μ.Τ

Κεφάλαιο 7 Βάσεις και ιάσταση

1 Ορισµός ακολουθίας πραγµατικών αριθµών

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 27 Απριλίου 2014 ιάρκεια Εξέτασης: 3 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑΣ Β ΛΥΚ. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ-ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. f x > κοντά στο x0.

Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.

Κεφάλαιο 2. Παραγοντοποίηση σε Ακέραιες Περιοχές

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 9: ΤΟΠΙΚΑ ΑΚΡΟΤΑΤΑ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ ΘΕΩΡΗΜΑ FERMAT

Εφαρμοσμένα Μαθηματικά ΙΙ 10ο Σετ Ασκήσεων (Λύσεις) Ιδιοτιμές - Ιδιοδιανύσματα

Συνέχεια Συνάρτησης. Λυγάτσικας Ζήνων. Βαρβάκειο Ενιαίο Πειραµατικό Λύκειο. 1 εκεµβρίου f(x) = f(x 0 )

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Ασκησεις - Φυλλαδιο 4

Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης, Καθηγητής Ιωάννης Μπεληγιάννης

Κεφάλαιο 3. Γραµµικές ιαφορικές Εξισώσεις 2 ης (και ανώτερης) τάξης. Στο Κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε κυρίως µε γραµµικές δ.ε. 2 ης τάξης, διότι:

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2008

Κεφάλαιο 5 Οι χώροι. Περιεχόµενα 5.1 Ο Χώρος. 5.3 Ο Χώρος C Βάσεις Το Σύνηθες Εσωτερικό Γινόµενο Ασκήσεις

Να συµπηρωθεί ο παρακάτω πίνακας µονοτονίας και χαρακτηρισµός των τοπικών ακροτάτων. 3 f () f Μονάδες ΘΕΜΑ ο Α. Το σηµείο Α κινείται όπως δείχνει το δ

5 Γενική µορφή εξίσωσης ευθείας

Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )

Ψηφιακή Επεξεργασία Σημάτων

x x = ( x) = 0, = = f x x x = συν x e e = ;

Δρ Χρήστου Νικολαϊδη

Μη πεπερασµένα όρια και όριο στο άπειρο

( t) ( ) ( 0,1) ( ) ( ) ( ) ( ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα (Central Limit Theorem Lindeberg Levy) τότε η τ.μ. Sn

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 10: ΕΥΡΕΣΗ ΤΟΠΙΚΩΝ ΑΚΡΟΤΑΤΩΝ

2.3. Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας A Οµάδας. Να βρείτε τα µέτρα των µιγαδικών : 1 + i, 1 i, 3 + 4i, 3 4i, 5i, 4, 1 i, 1 i.

12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο

ΣΤΑΘΕΡΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. Το Θεώρημα και το Πόρισμα ισχύουν σε διαστήματα και όχι σε ένωση διαστημάτων.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΘΕΤΙΚΩΝ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ

Ορισμός παραγώγου Εξίσωση εφαπτομένης

Εισαγωγή στην Τοπολογία

KΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΥΝΑΜΟΣΕΙΡΕΣ-ΣΕΙΡΕΣ TAYLOR

Συνεκτικά σύνολα. R είναι συνεκτικά σύνολα.

1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗΣ 2014

f (x) = l R, τότε f (x 0 ) = l. = lim (0) = lim f(x) = f(x) f(0) = xf (ξ x ). = l. Εστω ε > 0. Αφού lim f (x) = l R, υπάρχει δ > 0

Μέθοδος Α. Β 3. Η γραφική παράσταση της f τέμνει τον άξονα των xx σε ένα σημείο με τετμημένη ξ [α,β],

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1ο Συναρτήσεις - Όρια - Συνέχεια (Νο 1) ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ : Π. Δ. ΤΡΙΜΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ. 1. Να υπολογίσετε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης : ln

ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΑΝΩ ΜΕΓΙΣΤΑ ΚΑΤΩ ΦΡΑΓΜΑΤΑ

Εισαγωγή στην Τοπολογία

ΙΙ ιαφορικός Λογισµός πολλών µεταβλητών. ιαφόριση συναρτήσεων πολλών µεταβλητών

0.4 ιαφόριση συναρτήσεων

Thanasis Xenos ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΗΜΑΘΙΑΣ

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β. Να μελετήσετε ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα τις παρακάτω συναρτήσεις: f (x) = 0 x(2ln x + 1) = 0 ln x = x = e x =

ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Ασκησεις - Φυλλαδιο 5

ΛΥΣΕΙΣ ΦΥΛΛΑΔΙΟΥ 5 ΠΟΛΙΤΙΚΟΙ ΜΗΧΑΝΙΚΟΙ/ Διανυσματικοί χώροι

Transcript:

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() = f(+)-f(), όπου αυτή ορίζεται. π.χ. α) αν = και f() =, για, τότε f() = + - = = - ( + ), για {, - }. ( + ) β) αν f()=c σταθερά, τότε f() =c-c=. γ) αν f()=α +β, τότε f() = α(+)+β-α-β = α, (δη. η f() είναι σταθερά). Ως διαφορά -τάξεως της f(),, ορίζουµε επαγωγικά την συνάρτηση f() = - ( f())= - (f (+)-f()), όπου αυτή ορίζεται, θέτοντας f() = f() και f() = f(). π.χ. α) αν = και f() = +, τότε f() = = (f(+)-f()) = f(+)-f(+) - f(+)+f() =

= f(+)-f(+)+f() = = - +,,,. + + + + + β) αν f()= τότε f() = f(+) f(+)+ + f()= (+) (+) + =, και 3 f() = ( ) = - =. γ) ( 3 ) = (+) 3 (+) 3 + 3 = = 6 3 + 6. (Προσοχή: µε θα εννοούµε το () και όχι το ( )). Πρόταση. Εστω ότι η f() έχει -στη παράγωγο f () () στο, τότε f () () = f () lm. Απ. Για = η πρόταση είναι άµεση, από τον ορισµό της παραγώγου. Για, θα δείξουµε µόνο την περίπτωση =: f () (f ( + ) f ()) lm = lm f( + h) - f( + h) + f() h = lm h = lm f ( + ) f ( + ) + f () = f ( + h) - f ( + h) lm h h (κανόνας του L Hosptal) f ( + h) - f () f () - f ( + h) = lm ( + ) h h h f ( + h) - f () f ( + h) - f () = lm - lm = f () f () h h h h = f ( ).

Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση µπορούµε να προσεγγίσουµε την -στη παράγωγο µιας συνάρτησης f() µε χρήση της διαφοράς -τάξης: f () d f () f () () =, d όπου η προσέγγιση είναι καύτερη όσο πιο µικρό είναι το. π.χ. Αν f() = και =, τότε µπορούµε f( ) να διαπιστώσουµε ότι f ( ). Πράγµατι: () =, f () =, f ( ) = 8 = 6, (- ) (- ) f 3 f ( ) και = ((f ( + ) f ( + ) + f ( )) = 3 ( - + ) = 6,96.... 498 499 5 Έτσι, µια διαφορική εξίσωση, όπου παρουσιάζεται η άγνωστη συνάρτηση = (), µπορούµε να την προσεγγίσουµε µε µία εξίσωση όπου αντί παραγώγους θα εµφανίζονται διαφορές. Αν θέουµε δε να προσεγγίσουµε τα = (), =,,,, και όχι όη τη συνάρτηση, τότε η διαφορική εξίσωση ανάγεται στην εύρεση µιας ακοουθίας που ικανοποιεί µία εξίσωση. π.χ. η διαφορική εξίσωση + προσεγγίζεται από την = + =. Eπειδή = (+) () και = (+) (+)+(), αν =, τότε 3

= + - = + + +. Οπότε, για την εύρεση των, αρκεί να ύσουµε την εξίσωση + + + + + = + - + + + ( + - ) = 4. Προφανώς, για την ύση της προηγούµενης εξίσωσης, πρέπει να έχει ορισθεί το. Πρόταση. Ισχύουν οι εξής ιδιότητες. α) f() = ( - f()) β) (αf() = α f() γ) (f()+g() = f() + g(). Απ. α) Για = ισχύει. Εστω ότι ισχύει για =m. Θα δείξουµε ότι ισχύει για =m+: m+ f() = m ( f()) = ( m- ( f())) = ( m f()). β) (αf()) = - ( αf()) = - (αf(+)- αf())= = - (α( f()))= =α f(). γ) Από. Πρόταση. Αν = (), για =,,,, τότε για κάθε m =,,. m m +m = ( ), = (Όπου ( m m! ) =, µε m! = 3 m, αν m, και! = ). (m )!! 4

Απ. Για m = είναι προφανής. Έστω ότι ισχύει για m =. Θα δείξουµε ότι ισχύει για m = +. Έχουµε ++ = + + + = ( ( ) ) + ( ) = = + + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = = = = = + + + = ( ) (( ) + ( )) + ( + ) = +. + Αά ( ) + ( ) ( ), (η απόδειξη εύκοη). = Άρα ++ = + = ( ). Πρόταση. Αν = (), για =,,,, τότε + = ( )( ) + =. Απ. Για = προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για =. Θα δείξουµε ότι ισχύει για = + : + = ( ) = + ( )( ) + = + = ( )( ) ( + + + ) = = + = ( )( ) + + = + - ( )( ) + = = + + + + = - ( )( ) + + - ( + )( ) + + - (-) = = = = - (-) + + + ++ - (( ) + ( ))( ) + + + - (-) = = + + + = ++ - ( + )( ) + + + (-) + = = + + + + = ( )( ) + =. 5

H προτεευταία πρόταση δείχνει ότι αν µια ακοουθία ικανοποιεί µία εξίσωση, τότε η προσεγγίζεται από µία συνάρτηση () (µε = ()) που είναι ύση µιας διαφορικής εξίσωσης, κατά τον τρόπο που έχουµε περιγράψει: π.χ. η + + + = + µπορεί να γραφεί ( ) + ( ) + ( ) + (( + ( ) ) = + + + + + = + ) ( + ) + + + + =. Η τεευταία εξίσωση, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι προέρχεται από τη διαφορική εξίσωση + ( + ) + ( + ) = +, 3 3 θέτοντας =, ()=. Αυτό δικαιοογεί γιατί η µέθοδος ύσης µιας εξίσωσης που ικανοποιεί µια ακοουθία, µπορεί να µοιάζει µε την µέθοδο ύσης µιας διαφορικής εξίσωσης. Επίσης, η τεευταία πρόταση, δείχνει ότι η εξίσωση που ικανοποιούν οι διαφορές µιας ακοουθίας είναι ισοδύναµη µε µία εξίσωση που ικανοποιούν οι όροι της ακοουθίας. π.χ. η εξίσωση + 5 = είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση + - + + + 5 5 5+ ( )( ) + = = ( + + ). Έτσι εξηγείται γιατί ονοµάζουµε στη συνέχεια εξίσωση διαφορών την εξίσωση που ικανοποιείται από µία ακοουθία. 6

B. Εξισώσεις διαφορών Εξίσωση διαφορών ονοµάζεται η εξίσωση που ικανοποιείται από τους όρους µιας ακοουθίας, για =,,,. π.χ. η εξίσωση διαφορών ( + ) ( ) =. Μια ακοουθία α θα έγεται ύση της εξίσωσης διαφορών αν την ικανοποιεί π.χ. η ακοουθία α + ( ) = είναι ύση της + = (αποδείξτε το). Το σύνοο των ύσεων µια εξίσωσης διαφορών θα το έµε γενική ύση. π.χ. η εξίσωση + = έχει γενική ύση την = c, όπου c αυθαίρετη σταθερά (αποδείξτε το). Τάξη µιας εξίσωσης διαφορών έµε την διαφορά µεταξύ του µεγαύτερου και του µικρότερου µη σταθερού δείκτη της άγνωστης ακοουθίας π.χ. η εξίσωση ( +4 ) +. +5 +( + ) 3 = έχει τάξη (+5)-(+)=4. Μία εξίσωση διαφορών έγεται γραµµική αν είναι της µορφής s + + s +- + + s = d () όπου τα s, s,, s και η ακοουθία d είναι δεδοµένα. Αν d = σταθερή, τότε η () γίνεται s + + s +- + + s = () και έγεται οµογενής, έµε δε ότι η () είναι η αντίστοιχη οµογενής της (). 7

π.χ. η +8 + 8 +7 + = ηµ είναι γραµµική µε αντίστοιχη οµογενή την +8 + 8 +7 + =. Πρόταση. Έστω α ύση της µη οµογενούς () και β ύση της αντίστοιχης οµογενούς (), τότε η α + β είναι ύση της µη οµογενούς (). Απ. Εύκοη. π.χ. η α = - 3 είναι ύση της + - 4 = και η β =(-) είναι ύση της αντίστοιχης οµογενούς (επαηθεύστε). Άρα και η = (-) + - 3 είναι ύση της + 4 =. Πρόταση Έστω α ύση της µη οµογενούς (). Τότε για την τυχούσα ύση της () υπάρχει ύση β της αντίστοιχης οµογενούς () έτσι ώστε = α + β. Απ. Αρκεί να δούµε ότι η β = -α + είναι ύση της (). Πόρισµα. Για να βρούµε την γενική ύση της () αρκεί να βρούµε µία ύση της καθώς και την γενική ύση της αντίστοιχης οµογενούς () και να τις αθροίσουµε. Απ. Άµεσο, όγω των προηγουµένων. π.χ. η γενική ύση της + 3 = είναι α =c3, c σταθερά, και µία ύση της + 3 = είναι η β =. Άρα η γενική ύση της + 3 = 4 είναι = c3 4, c σταθερά. 8

Πρόταση. Έστω ακοουθίες,,,,,, ( =,,, ) που είναι ύσεις της οµογενούς (). Τότε και η = c, + c, + + c, είναι ύση της (), όπου c, c,, c σταθερές. Απ. Εύκοη. π.χ. οι α =3 και β =(-3) είναι ύσεις της + -9 =, άρα και η = c 3 + + c (-3) είναι ύση, για τυχούσες σταθερές c, c. H εξίσωση s + s - + + s = έγεται χαρακτηριστική εξίσωση της (). π.χ. η χαρακτηριστική εξίσωση της 7 +5 - +3 + = είναι 7 5-3 +=. Πρόταση. Έστω ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς (). Τότε: α) Αν R, η είναι ύση της (). β) Αν =+ µιγαδικός ( φανταστική µονάδα,, R), οι ρ συν(φ), ρ ηµ(φ) είναι ύσεις της (), όπου ρ= +, φ=τοξ συν +, (οπότε + = ρ(συνφ+ηµφ)). Απ. Έχουµε s +s - + + s = s + +s +- + + s =. α) Αν το είναι πραγµατικός τότε η τεευταία ισότητα εει ότι είναι ύση της οµογενούς (). β) Αν =ρ(συνφ+ηµφ) τότε =ρ (συν(φ)+ηµ(φ)), οπότε s ρ + (συν((+)φ) + ηµ((+)φ)) + + s ρ (συν(φ) + ηµ(φ)) = s ρ s + ρ συν(( + ) ϕ) + s ρ + ηµ (( + ) ϕ) + s ρ + + συν(( + ) ϕ) +... + s ηµ (( + ) ϕ) +... + s ρ συν(ϕ) = ρ ηµ (ϕ) =. Οι τεευταίες ισότητες ένε ότι οι ρ η συν(φ), ρ η ηµ(φ) είναι ύσεις της (). 9

π.χ. α) η χαρακτηριστική εξίσωση της +5 - + = είναι 5 - = που έχει ύση την = 3. Άρα η = /3 είναι ύση της +5 - + =. β) η χαρακτηριστική εξίσωση της +3 +8 = είναι 3 +8= που έχει ύση την π π =(συν + ηµ ). Άρα οι συν π π, ηµ 3 3 3 3 είναι ύσεις της +3 +8 =. Πρόταση. Έστω ότι το είναι ύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς (), µε ποαπότητα p. Τότε και οι ακοουθίες είναι ύσεις. p-,,,..., Απ. Θα το αποδείξουµε για την περίπτωση p=. Θέτουµε q()=s κ +s κ- + +s κ. Επειδή το είναι ρίζα της q()= µε ποαπότητα, θα είναι q()=(- ) w(), όπου w() πουώνυµο του. Έχουµε q ()=(- )w()+(- ) w (), οπότε q ( )=. Αά q ()=s κ- +s (-) - - + +s -. Άρα s ( ) +... + s, + + + οπότε s + s ( ) +... + s. = + s = + + κ- Αά s + s +... + s, = επειδή η είναι ύση της (). Οι δύο τεευταίες ισότητες δίνουν s (+) + +s (+-) +- + +s - (+) + +s =. Αυτό σηµαίνει ότι και η είναι ύση της (). π.χ. η χαρακτηριστική εξίσωση της +3-3 + +3 + - = είναι 3-3 +3-= (-) 3 = που έχει ρίζα = µε ποαπότητα 3. Αρα οι ακοουθίες α = = (σταθερή), β = =, και γ = =, είναι ύσεις.

Θεώρηµα. Έστω s s, τότε η οµογενής () είναι τάξης και έχει ύσεις,,,,,, γραµµικά ανεξάρτητες (δηαδή αν, +, + +, =, για κάθε, τότε = = = = ). Οπότε η γενική ύση της () είναι όπου c, c,, c αυθαίρετες σταθερές. = c, +c, + +c, Απ. Παραείπεται. π.χ. η + + = έχει ύσεις τις ακοουθίες α = συν (επαηθεύστε το) οι οποίες είναι γραµµικά ανεξάρτητες: αν συν π π + ηµ = για κάθε, τότε = (για = ) και = (για = ). Αρα η γενική ύση της δεύτερης τάξης εξίσωσης + + = είναι = c συν π π +c ηµ. π π, β = ηµ, Πόρισµα Η οµογενής εξίσωση διαφορών δεύτερης τάξης s + +s + +s = (µε s s ), έχει γενική ύση: α) = c + c, αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγµατικές ύσεις,. β) = c + c, αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µια διπή ρίζα. γ) = c ρ συν(φ) +c ρ ηµ (φ), αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µιγαδικές ρίζες ±, όπου ρ= + και φ = Τοξ συν +, δη. ± =ρ(συνφ ±ηµφ). Απ. Λόγω των προηγουµένων, αρκεί να εξεταστεί ότι:

στην περίπτωση α) οι,»» β) οι, είναι γραµµικά ανεξάρτητες, είναι γραµµικά ανεξάρτητες,»» γ) οι ρ συν(φ), ρ ηµ(φ) είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Θα εξετάσουµε µόνο την περίπτωση α), (τις άες δείτε τις µόνοι). Εστω + = για κάθε. Για να δείξουµε ότι = =, αρκεί να υποθέσουµε και να φτάσουµε σε άτοπο. Αν τότε = -. Oπότε s ( ) +s +s = και s +s +s =. Συνεπώς s +s =, άρα = -, οπότε =, άρα =, άτοπο. π.χ. α) Η εξίσωση + - = έχει χαρακτηριστική εξίσωση - = = ±. Άρα η γενική ύση είναι =c ( ) + c (- ). β) Η εξίσωση + -4 + +4 = έχει χαρακτηριστική εξίσωση -4+4= (-) = που έχει µία διπή ρίζα =. Αρα η γενική ύση είναι =c +c. γ) Η εξίσωση + +4 = έχει χαρακτηριστική εξίσωση +4= = ±. Είναι δε = (συν π + ηµ π ). Αρα η γενική ύση είναι = c π συν +c π ηµ.

Πρόταση. Η µη οµογενής () έχει µία τουάχιστον ύση που είναι ή της µορφής του όρου d, όπως στον πίνακα: d α α ηµ(α) ή συν(α) β β +β + +β β ηµ(α)+β συν(α) ή είναι ποαπάσιο αυτής της µορφής µε κάποιο από τα,, 3,. Απ. Παραείπεται. π.χ. α) η + = 3 έχει ύση της µορφής = β3 : β3 + -β3 = 3 9β β = β = 7. Άρα µια ύση είναι = 7 3. β) η + = - έχει ύση της µορφής = α+β: α+β(+) (α+β) = - -β α +β = - β = και α =. Άρα µία ύση είναι = +. γ) η εξίσωση +3 +3 + +3 + + = (-) έχει χαρακτηριστική εξίσωση 3 +3 +3+= (+) 3 = που έχει ρίζα = - µε ποαπότητα 3. Αρα οι (-), (-), (-) είναι ύσεις της αντίστοιχης οµογενούς. Αναζητάµε ύση της µορφής = α(-) = α(-) = α (-) = α 3 (-).. 3

Προφανώς οι τρεις πρώτες δεν δίνουν ύση (γιατί;). Άρα εξετάζουµε τη µορφή = α 3 (-) : α(+3) 3 (-) +3 +α3(+) 3 (-) + +α3(+) 3 (-) + +α 3 (-) = (-) α( 3 + + 6) = α = - 6. Συνεπώς η = - 6 3 (-) είναι ύση. Παράδειγµα Να υθεί η + - =. Απ. Πρώτα ύνουµε την αντίστοιχη οµογενή + - =. Αυτή έχει χαρακτηριστική εξίσωση -= ±. Αρα η α =c +c (-) =c +c (-) είναι η γενική ύση της οµογενούς. Αναζητάµε ύση της µη οµογενούς: Πρώτα εξετάζουµε ύση της µορφής =α+β+γ : α+β(+)+γ(+) -(α+β+γ ) = +4γ +β+4γ= (αδύνατo). Εν συνεχεία αναζητάµε ύση της µορφής =(α+β+γ ) : α(+)+β(+) +γ(+) 3 -(α+β +γ 3 ) = Άρα η µη οµογενή έχει ύση την 6γ = 4β + γ = α + 4β + 8γ = γ = / 6 β = / α = / 3. β = ( 3 - + 6 ). Εποµένως η γενική ύση είναι = α +β = c +c (-) + ( 3 - + 6 ). 4

Προβήµατα ) Ζητείται να βρεθεί η τιµή p, η παραγόµενη ποσότητα q και η ποσότητα ζήτησης w ενός προϊόντος την χρονική περίοδο, όταν: α) w = 8 3p (η ζήτηση εξαρτάται από την τιµή). β) q = -3 + 4p - (η παραγωγή εξαρτάται από την τιµή της προηγούµενης περιόδου). γ) w = q (πωείται όη η παραγωγή) δ) q = (η αρχική παραγόµενη ποσότητα είναι µονάδες). ) Για το εθνικό εισόδηµα της -περιόδου, ισχύει η εξίσωση α - + α - = β, όπου <α<, β σταθερές. Να υθεί η εξίσωση για α = ½ και να βρεθεί το οριακό εθνικό εισόδηµα όταν το τείνει στο άπειρο. 3) Ένα χρέος µε επιτόκιο α % ξεπηρώνεται µε ετήσιες δόσεις R ευρώ και στο έτος το υπόοιπο P του χρέους ικανοποιεί την εξίσωση διαφορών P + =( + α)p R. Αν το αρχικό χρέος ήταν P ο = Α, δείξτε ότι P = Α( +α) R( + α) /α + R/α. 4) Για τον πηθυσµό του έτους, ενός είδους ζώου που κινδυνεύει µε εξαφάνιση από ένα νησί, ισχύει η εξίσωση - α - = β, όπου <α< σταθερά και β ο αριθµός των ζώων που µεταφέρονται κάθε έτος στο νησί προκειµένου να ενισχυθεί ο πηθυσµός τους. Να βρεθεί ο οριακός πηθυσµός δηµιουργηθεί. lm + που τείνει να 5) Σε µία αναδασωτέα περιοχή φυτεύονται κάθε χρόνο δενδρύια, ενώ κάθε χρόνο διαπιστώνεται ότι το / από τα φυτευµένα δένδρα των προηγούµενων ετών καταστρέφεται. α) Βρείτε τον αριθµό των δένδρων που προέρχονται από την δενδροφύτευση µετά από χρόνια. β) Βρείτε τον αριθµό Χ των δένδρων που τείνει να αποκτήσει η περιοχή. 5