ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ

ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΕΣ ΙΑΦΟΡΕΣ ΚΑΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΙΑΦΟΡΩΝ Α. Πεπερασµένες διαφορές Εστω δεδοµένος πραγµατικός αριθµός. Για τυχούσα συνάρτηση f = f() ορίζουµε ως διαφορά (πρώτης τάξης) της f() την συνάρτηση f µε f() = f(+)-f(), όπου αυτή ορίζεται. π.χ. α) αν = και f() =, για, τότε f() = + - = = - ( + ), για {, - }. ( + ) β) αν f()=c σταθερά, τότε f() =c-c=. γ) αν f()=α +β, τότε f() = α(+)+β-α-β = α, (δη. η f() είναι σταθερά). Ως διαφορά -τάξεως της f(),, ορίζουµε επαγωγικά την συνάρτηση f() = - ( f())= - (f (+)-f()), όπου αυτή ορίζεται, θέτοντας f() = f() και f() = f(). π.χ. α) αν = και f() = +, τότε f() = = (f(+)-f()) = f(+)-f(+) - f(+)+f() =

= f(+)-f(+)+f() = = - +,,,. + + + + + β) αν f()= τότε f() = f(+) f(+)+ + f()= (+) (+) + =, και 3 f() = ( ) = - =. γ) ( 3 ) = (+) 3 (+) 3 + 3 = = 6 3 + 6. (Προσοχή: µε θα εννοούµε το () και όχι το ( )). Πρόταση. Εστω ότι η f() έχει -στη παράγωγο f () () στο, τότε f () () = f () lm. Απ. Για = η πρόταση είναι άµεση, από τον ορισµό της παραγώγου. Για, θα δείξουµε µόνο την περίπτωση =: f () (f ( + ) f ()) lm = lm f( + h) - f( + h) + f() h = lm h = lm f ( + ) f ( + ) + f () = f ( + h) - f ( + h) lm h h (κανόνας του L Hosptal) f ( + h) - f () f () - f ( + h) = lm ( + ) h h h f ( + h) - f () f ( + h) - f () = lm - lm = f () f () h h h h = f ( ).

Σύµφωνα µε την προηγούµενη πρόταση µπορούµε να προσεγγίσουµε την -στη παράγωγο µιας συνάρτησης f() µε χρήση της διαφοράς -τάξης: f () d f () f () () =, d όπου η προσέγγιση είναι καύτερη όσο πιο µικρό είναι το. π.χ. Αν f() = και =, τότε µπορούµε f( ) να διαπιστώσουµε ότι f ( ). Πράγµατι: () =, f () =, f ( ) = 8 = 6, (- ) (- ) f 3 f ( ) και = ((f ( + ) f ( + ) + f ( )) = 3 ( - + ) = 6,96.... 498 499 5 Έτσι, µια διαφορική εξίσωση, όπου παρουσιάζεται η άγνωστη συνάρτηση = (), µπορούµε να την προσεγγίσουµε µε µία εξίσωση όπου αντί παραγώγους θα εµφανίζονται διαφορές. Αν θέουµε δε να προσεγγίσουµε τα = (), =,,,, και όχι όη τη συνάρτηση, τότε η διαφορική εξίσωση ανάγεται στην εύρεση µιας ακοουθίας που ικανοποιεί µία εξίσωση. π.χ. η διαφορική εξίσωση + προσεγγίζεται από την = + =. Eπειδή = (+) () και = (+) (+)+(), αν =, τότε 3

= + - = + + +. Οπότε, για την εύρεση των, αρκεί να ύσουµε την εξίσωση + + + + + = + - + + + ( + - ) = 4. Προφανώς, για την ύση της προηγούµενης εξίσωσης, πρέπει να έχει ορισθεί το. Πρόταση. Ισχύουν οι εξής ιδιότητες. α) f() = ( - f()) β) (αf() = α f() γ) (f()+g() = f() + g(). Απ. α) Για = ισχύει. Εστω ότι ισχύει για =m. Θα δείξουµε ότι ισχύει για =m+: m+ f() = m ( f()) = ( m- ( f())) = ( m f()). β) (αf()) = - ( αf()) = - (αf(+)- αf())= = - (α( f()))= =α f(). γ) Από. Πρόταση. Αν = (), για =,,,, τότε για κάθε m =,,. m m +m = ( ), = (Όπου ( m m! ) =, µε m! = 3 m, αν m, και! = ). (m )!! 4

Απ. Για m = είναι προφανής. Έστω ότι ισχύει για m =. Θα δείξουµε ότι ισχύει για m = +. Έχουµε ++ = + + + = ( ( ) ) + ( ) = = + + = ( ) + ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = = = = = = + + + = ( ) (( ) + ( )) + ( + ) = +. + Αά ( ) + ( ) ( ), (η απόδειξη εύκοη). = Άρα ++ = + = ( ). Πρόταση. Αν = (), για =,,,, τότε + = ( )( ) + =. Απ. Για = προφανώς ισχύει. Έστω ότι ισχύει για =. Θα δείξουµε ότι ισχύει για = + : + = ( ) = + ( )( ) + = + = ( )( ) ( + + + ) = = + = ( )( ) + + = + - ( )( ) + = = + + + + = - ( )( ) + + - ( + )( ) + + - (-) = = = = - (-) + + + ++ - (( ) + ( ))( ) + + + - (-) = = + + + = ++ - ( + )( ) + + + (-) + = = + + + + = ( )( ) + =. 5

H προτεευταία πρόταση δείχνει ότι αν µια ακοουθία ικανοποιεί µία εξίσωση, τότε η προσεγγίζεται από µία συνάρτηση () (µε = ()) που είναι ύση µιας διαφορικής εξίσωσης, κατά τον τρόπο που έχουµε περιγράψει: π.χ. η + + + = + µπορεί να γραφεί ( ) + ( ) + ( ) + (( + ( ) ) = + + + + + = + ) ( + ) + + + + =. Η τεευταία εξίσωση, µπορούµε να θεωρήσουµε ότι προέρχεται από τη διαφορική εξίσωση + ( + ) + ( + ) = +, 3 3 θέτοντας =, ()=. Αυτό δικαιοογεί γιατί η µέθοδος ύσης µιας εξίσωσης που ικανοποιεί µια ακοουθία, µπορεί να µοιάζει µε την µέθοδο ύσης µιας διαφορικής εξίσωσης. Επίσης, η τεευταία πρόταση, δείχνει ότι η εξίσωση που ικανοποιούν οι διαφορές µιας ακοουθίας είναι ισοδύναµη µε µία εξίσωση που ικανοποιούν οι όροι της ακοουθίας. π.χ. η εξίσωση + 5 = είναι ισοδύναµη µε την εξίσωση + - + + + 5 5 5+ ( )( ) + = = ( + + ). Έτσι εξηγείται γιατί ονοµάζουµε στη συνέχεια εξίσωση διαφορών την εξίσωση που ικανοποιείται από µία ακοουθία. 6

B. Εξισώσεις διαφορών Εξίσωση διαφορών ονοµάζεται η εξίσωση που ικανοποιείται από τους όρους µιας ακοουθίας, για =,,,. π.χ. η εξίσωση διαφορών ( + ) ( ) =. Μια ακοουθία α θα έγεται ύση της εξίσωσης διαφορών αν την ικανοποιεί π.χ. η ακοουθία α + ( ) = είναι ύση της + = (αποδείξτε το). Το σύνοο των ύσεων µια εξίσωσης διαφορών θα το έµε γενική ύση. π.χ. η εξίσωση + = έχει γενική ύση την = c, όπου c αυθαίρετη σταθερά (αποδείξτε το). Τάξη µιας εξίσωσης διαφορών έµε την διαφορά µεταξύ του µεγαύτερου και του µικρότερου µη σταθερού δείκτη της άγνωστης ακοουθίας π.χ. η εξίσωση ( +4 ) +. +5 +( + ) 3 = έχει τάξη (+5)-(+)=4. Μία εξίσωση διαφορών έγεται γραµµική αν είναι της µορφής s + + s +- + + s = d () όπου τα s, s,, s και η ακοουθία d είναι δεδοµένα. Αν d = σταθερή, τότε η () γίνεται s + + s +- + + s = () και έγεται οµογενής, έµε δε ότι η () είναι η αντίστοιχη οµογενής της (). 7

π.χ. η +8 + 8 +7 + = ηµ είναι γραµµική µε αντίστοιχη οµογενή την +8 + 8 +7 + =. Πρόταση. Έστω α ύση της µη οµογενούς () και β ύση της αντίστοιχης οµογενούς (), τότε η α + β είναι ύση της µη οµογενούς (). Απ. Εύκοη. π.χ. η α = - 3 είναι ύση της + - 4 = και η β =(-) είναι ύση της αντίστοιχης οµογενούς (επαηθεύστε). Άρα και η = (-) + - 3 είναι ύση της + 4 =. Πρόταση Έστω α ύση της µη οµογενούς (). Τότε για την τυχούσα ύση της () υπάρχει ύση β της αντίστοιχης οµογενούς () έτσι ώστε = α + β. Απ. Αρκεί να δούµε ότι η β = -α + είναι ύση της (). Πόρισµα. Για να βρούµε την γενική ύση της () αρκεί να βρούµε µία ύση της καθώς και την γενική ύση της αντίστοιχης οµογενούς () και να τις αθροίσουµε. Απ. Άµεσο, όγω των προηγουµένων. π.χ. η γενική ύση της + 3 = είναι α =c3, c σταθερά, και µία ύση της + 3 = είναι η β =. Άρα η γενική ύση της + 3 = 4 είναι = c3 4, c σταθερά. 8

Πρόταση. Έστω ακοουθίες,,,,,, ( =,,, ) που είναι ύσεις της οµογενούς (). Τότε και η = c, + c, + + c, είναι ύση της (), όπου c, c,, c σταθερές. Απ. Εύκοη. π.χ. οι α =3 και β =(-3) είναι ύσεις της + -9 =, άρα και η = c 3 + + c (-3) είναι ύση, για τυχούσες σταθερές c, c. H εξίσωση s + s - + + s = έγεται χαρακτηριστική εξίσωση της (). π.χ. η χαρακτηριστική εξίσωση της 7 +5 - +3 + = είναι 7 5-3 +=. Πρόταση. Έστω ρίζα της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς (). Τότε: α) Αν R, η είναι ύση της (). β) Αν =+ µιγαδικός ( φανταστική µονάδα,, R), οι ρ συν(φ), ρ ηµ(φ) είναι ύσεις της (), όπου ρ= +, φ=τοξ συν +, (οπότε + = ρ(συνφ+ηµφ)). Απ. Έχουµε s +s - + + s = s + +s +- + + s =. α) Αν το είναι πραγµατικός τότε η τεευταία ισότητα εει ότι είναι ύση της οµογενούς (). β) Αν =ρ(συνφ+ηµφ) τότε =ρ (συν(φ)+ηµ(φ)), οπότε s ρ + (συν((+)φ) + ηµ((+)φ)) + + s ρ (συν(φ) + ηµ(φ)) = s ρ s + ρ συν(( + ) ϕ) + s ρ + ηµ (( + ) ϕ) + s ρ + + συν(( + ) ϕ) +... + s ηµ (( + ) ϕ) +... + s ρ συν(ϕ) = ρ ηµ (ϕ) =. Οι τεευταίες ισότητες ένε ότι οι ρ η συν(φ), ρ η ηµ(φ) είναι ύσεις της (). 9

π.χ. α) η χαρακτηριστική εξίσωση της +5 - + = είναι 5 - = που έχει ύση την = 3. Άρα η = /3 είναι ύση της +5 - + =. β) η χαρακτηριστική εξίσωση της +3 +8 = είναι 3 +8= που έχει ύση την π π =(συν + ηµ ). Άρα οι συν π π, ηµ 3 3 3 3 είναι ύσεις της +3 +8 =. Πρόταση. Έστω ότι το είναι ύση της χαρακτηριστικής εξίσωσης της οµογενούς (), µε ποαπότητα p. Τότε και οι ακοουθίες είναι ύσεις. p-,,,..., Απ. Θα το αποδείξουµε για την περίπτωση p=. Θέτουµε q()=s κ +s κ- + +s κ. Επειδή το είναι ρίζα της q()= µε ποαπότητα, θα είναι q()=(- ) w(), όπου w() πουώνυµο του. Έχουµε q ()=(- )w()+(- ) w (), οπότε q ( )=. Αά q ()=s κ- +s (-) - - + +s -. Άρα s ( ) +... + s, + + + οπότε s + s ( ) +... + s. = + s = + + κ- Αά s + s +... + s, = επειδή η είναι ύση της (). Οι δύο τεευταίες ισότητες δίνουν s (+) + +s (+-) +- + +s - (+) + +s =. Αυτό σηµαίνει ότι και η είναι ύση της (). π.χ. η χαρακτηριστική εξίσωση της +3-3 + +3 + - = είναι 3-3 +3-= (-) 3 = που έχει ρίζα = µε ποαπότητα 3. Αρα οι ακοουθίες α = = (σταθερή), β = =, και γ = =, είναι ύσεις.

Θεώρηµα. Έστω s s, τότε η οµογενής () είναι τάξης και έχει ύσεις,,,,,, γραµµικά ανεξάρτητες (δηαδή αν, +, + +, =, για κάθε, τότε = = = = ). Οπότε η γενική ύση της () είναι όπου c, c,, c αυθαίρετες σταθερές. = c, +c, + +c, Απ. Παραείπεται. π.χ. η + + = έχει ύσεις τις ακοουθίες α = συν (επαηθεύστε το) οι οποίες είναι γραµµικά ανεξάρτητες: αν συν π π + ηµ = για κάθε, τότε = (για = ) και = (για = ). Αρα η γενική ύση της δεύτερης τάξης εξίσωσης + + = είναι = c συν π π +c ηµ. π π, β = ηµ, Πόρισµα Η οµογενής εξίσωση διαφορών δεύτερης τάξης s + +s + +s = (µε s s ), έχει γενική ύση: α) = c + c, αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει δύο διαφορετικές πραγµατικές ύσεις,. β) = c + c, αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µια διπή ρίζα. γ) = c ρ συν(φ) +c ρ ηµ (φ), αν η χαρακτηριστική εξίσωση έχει µιγαδικές ρίζες ±, όπου ρ= + και φ = Τοξ συν +, δη. ± =ρ(συνφ ±ηµφ). Απ. Λόγω των προηγουµένων, αρκεί να εξεταστεί ότι:

στην περίπτωση α) οι,»» β) οι, είναι γραµµικά ανεξάρτητες, είναι γραµµικά ανεξάρτητες,»» γ) οι ρ συν(φ), ρ ηµ(φ) είναι γραµµικά ανεξάρτητες. Θα εξετάσουµε µόνο την περίπτωση α), (τις άες δείτε τις µόνοι). Εστω + = για κάθε. Για να δείξουµε ότι = =, αρκεί να υποθέσουµε και να φτάσουµε σε άτοπο. Αν τότε = -. Oπότε s ( ) +s +s = και s +s +s =. Συνεπώς s +s =, άρα = -, οπότε =, άρα =, άτοπο. π.χ. α) Η εξίσωση + - = έχει χαρακτηριστική εξίσωση - = = ±. Άρα η γενική ύση είναι =c ( ) + c (- ). β) Η εξίσωση + -4 + +4 = έχει χαρακτηριστική εξίσωση -4+4= (-) = που έχει µία διπή ρίζα =. Αρα η γενική ύση είναι =c +c. γ) Η εξίσωση + +4 = έχει χαρακτηριστική εξίσωση +4= = ±. Είναι δε = (συν π + ηµ π ). Αρα η γενική ύση είναι = c π συν +c π ηµ.

Πρόταση. Η µη οµογενής () έχει µία τουάχιστον ύση που είναι ή της µορφής του όρου d, όπως στον πίνακα: d α α ηµ(α) ή συν(α) β β +β + +β β ηµ(α)+β συν(α) ή είναι ποαπάσιο αυτής της µορφής µε κάποιο από τα,, 3,. Απ. Παραείπεται. π.χ. α) η + = 3 έχει ύση της µορφής = β3 : β3 + -β3 = 3 9β β = β = 7. Άρα µια ύση είναι = 7 3. β) η + = - έχει ύση της µορφής = α+β: α+β(+) (α+β) = - -β α +β = - β = και α =. Άρα µία ύση είναι = +. γ) η εξίσωση +3 +3 + +3 + + = (-) έχει χαρακτηριστική εξίσωση 3 +3 +3+= (+) 3 = που έχει ρίζα = - µε ποαπότητα 3. Αρα οι (-), (-), (-) είναι ύσεις της αντίστοιχης οµογενούς. Αναζητάµε ύση της µορφής = α(-) = α(-) = α (-) = α 3 (-).. 3

Προφανώς οι τρεις πρώτες δεν δίνουν ύση (γιατί;). Άρα εξετάζουµε τη µορφή = α 3 (-) : α(+3) 3 (-) +3 +α3(+) 3 (-) + +α3(+) 3 (-) + +α 3 (-) = (-) α( 3 + + 6) = α = - 6. Συνεπώς η = - 6 3 (-) είναι ύση. Παράδειγµα Να υθεί η + - =. Απ. Πρώτα ύνουµε την αντίστοιχη οµογενή + - =. Αυτή έχει χαρακτηριστική εξίσωση -= ±. Αρα η α =c +c (-) =c +c (-) είναι η γενική ύση της οµογενούς. Αναζητάµε ύση της µη οµογενούς: Πρώτα εξετάζουµε ύση της µορφής =α+β+γ : α+β(+)+γ(+) -(α+β+γ ) = +4γ +β+4γ= (αδύνατo). Εν συνεχεία αναζητάµε ύση της µορφής =(α+β+γ ) : α(+)+β(+) +γ(+) 3 -(α+β +γ 3 ) = Άρα η µη οµογενή έχει ύση την 6γ = 4β + γ = α + 4β + 8γ = γ = / 6 β = / α = / 3. β = ( 3 - + 6 ). Εποµένως η γενική ύση είναι = α +β = c +c (-) + ( 3 - + 6 ). 4

Προβήµατα ) Ζητείται να βρεθεί η τιµή p, η παραγόµενη ποσότητα q και η ποσότητα ζήτησης w ενός προϊόντος την χρονική περίοδο, όταν: α) w = 8 3p (η ζήτηση εξαρτάται από την τιµή). β) q = -3 + 4p - (η παραγωγή εξαρτάται από την τιµή της προηγούµενης περιόδου). γ) w = q (πωείται όη η παραγωγή) δ) q = (η αρχική παραγόµενη ποσότητα είναι µονάδες). ) Για το εθνικό εισόδηµα της -περιόδου, ισχύει η εξίσωση α - + α - = β, όπου <α<, β σταθερές. Να υθεί η εξίσωση για α = ½ και να βρεθεί το οριακό εθνικό εισόδηµα όταν το τείνει στο άπειρο. 3) Ένα χρέος µε επιτόκιο α % ξεπηρώνεται µε ετήσιες δόσεις R ευρώ και στο έτος το υπόοιπο P του χρέους ικανοποιεί την εξίσωση διαφορών P + =( + α)p R. Αν το αρχικό χρέος ήταν P ο = Α, δείξτε ότι P = Α( +α) R( + α) /α + R/α. 4) Για τον πηθυσµό του έτους, ενός είδους ζώου που κινδυνεύει µε εξαφάνιση από ένα νησί, ισχύει η εξίσωση - α - = β, όπου <α< σταθερά και β ο αριθµός των ζώων που µεταφέρονται κάθε έτος στο νησί προκειµένου να ενισχυθεί ο πηθυσµός τους. Να βρεθεί ο οριακός πηθυσµός δηµιουργηθεί. lm + που τείνει να 5) Σε µία αναδασωτέα περιοχή φυτεύονται κάθε χρόνο δενδρύια, ενώ κάθε χρόνο διαπιστώνεται ότι το / από τα φυτευµένα δένδρα των προηγούµενων ετών καταστρέφεται. α) Βρείτε τον αριθµό των δένδρων που προέρχονται από την δενδροφύτευση µετά από χρόνια. β) Βρείτε τον αριθµό Χ των δένδρων που τείνει να αποκτήσει η περιοχή. 5