DERIBAZIO-ERREGELAK.- ALDAGAI ERREALEKO FUNTZIO ERREALAREN DERIBATUA. Izan bitez D multzo irekian definituriko f funtzio erreala eta puntuan deribagarria dela esaten da baldin f ( f ( D puntua. f zatidurak limite finitua badu -ra hurbiltzen denean. Limite honi, eistitzen bada (finitua zein infinitua, f funtzioaren deribatua puntuan esaten zaio eta honela adierazten da: f ( f ( lim f ( Oro har aldagaiaren aldakuntzari, alegia, h deitzen badiogu, aurreko limitea honela idatziko dugu: f ( + h f( f ( lim h h Baldin f : D deribagarria bada D deribatua (edo deribatua soilik esaten zaio:.- DERIBAZIO ERREGELAK f : D f (..- Batuketa, biderketa eta zatiketaren deribatuak, hurrengo funtzioari f-ren funtzio Izan bitez f eta g bi funtzio deribagarri D. Orduan f + g, f g, k f ( k eta f / g (baldin g ere deribagarriak dira, eta euren deribatuak D puntuan honako hauek dira: f ± g ( f( ± g( f ( ± g ( ( ( f g ( f( g( f ( g( + f( g ( ( ( k f ( k f( k f ( ( ( f f( f ( g( f( g ( ( / g( g g( ( g(
..- Funtzio konposatuaren deribatua Izan bitez f eta g bi funtzio. Baldin f deribagarria bada puntuan eta g deribagarria bada f ( puntuan, orduan g f deribagarria da puntuan eta bere deribatua haue da: g f ( g( f( g ( f( f ( ( ( Formula honi katearen erregela esaten zaio...- Funtzio elkarrekikoaren deribatua Izan bitez f funtzio bijektiboa eta bere funtzio elkarrekikoa f. Baldin f deribagarria bada D puntuan eta f (, orduan f deribagarria da f( puntuan eta bere deribatua hurrengoa da: ( f ( f ( Aurreko formula funtzio konposatuen deribatua lortzeko katearen erregelatik atera daiteke. Honela, baldin f eta f deribagarriak direla ezagutzen badugu eta kontuan izanik f ( f ( egiaztatzen dela (non f( f (, -rekiko deribatzen badugu: f( f ( f ( f ( f ( f ( f f f ( ( (.4.- Logaritmoen bidezko deribazioa. Atal honetan nola lortzen den ( ( ( a funtzio esponentzialaren deribatua erakusten da. Izan bedi a L L( a La. Berdintzako atal bietan aldagaiarekiko deribatzen da, kontuan izanik a dela, hau da, L L( ( funtzio konposatua deribatu behar dela katearen erregela erabiliz. Ondoren, lortu nahi den deribatua, alegia, bakandu besterik ez dugu behar: L La La a La rekiko deribatuz g ( Analogoki, izan bedi orain [ f ( ] deribatua kalkulatzeko aurreko kasuan bezala jokatuko da: L L Eta orain aldagaiarekiko deribatzen da:, non f eta g bi funtzio deribagarri diren. Bere g ( [ f ( ] ] g( L[ f ( ]
f ( g ( L[ f ( ] + g( f ( f ( g ( L f ( + g( f ( g ( Azkenik, deribatua bakandu: [ ] [ ].5.- Oinarrizko deribazio-erregelak Hurrengo taulan funtzio elementalen deribatuak aurkezten dira. n n n n f ( n n f ( n f ( f ( f ( f ( a a L a a, a> a a f ( L a L f f ( L ( f ( sin cos sin f ( f ( cos f ( cos sin cos f ( f ( sin f ( tan cos f tan [ ( ] f ( [ f ] cos ( arcsin arcsin f ( f ( f ( arccos arccos f ( f ( f ( arctan arctan [ ( ] + f ( f + ( [ f ].- ADIBIDEAK.- Frogatu arku sinu, arku kosinu eta arku tangente funtzioen deribatuak direla aurreko taulan agertzen direnak. Funtzio hauek, hurrenez hurren, sinu, kosinu eta tangente funtzio trigonometrikoen elkarrekikoak dira. Beraz,.. atalean adierazitako metodoaren arabera deribatuko ditugu.
arcsin sin Azken ekuazio honetan -rekiko deribatuko dugu, kontuan izanik ( dela eta, beraz, katearen erregela aplikatu behar dugula: cos cos Orain, emaitza hori -ren mende adierazi besterik ez zaigu falta: cos sin arccos cos Aurrekoan bezala, hemen ere -rekiko deribatuko dugu: sin sin Eta emaitza -ren mende adieraziz: sin cos cos sin cos sin + sin cos sin cos sin cos arcsin non π π. Orduan cos cos cos arccos non π. Orduan sin sin sin arctan tan -rekiko deribatuz: cos cos cos sin + cos sin cos tan + + cos cos + 4
.- Kalkulatu funtzioaren deribatua. Funtzio esponentzialaren deribatua kalkulatzeko.4. atalean ikusitako deribazio logaritmikoa erabiliko dugu. ( L L L( Eta azken berdintza honetan -rekiko deribatuko dugu: L( + L( + L( + L( + [ ] [ ].- Kalkulatu + (sin funtzioaren deribatua. Adibide honetan, aurrekoan bezala, deribazio logaritmikoa besterik ez dugu aplikatu behar. + + (sin L L (sin ( + L(sin Eta -rekiko deribatuz: cos + cos L(sin + ( + (sin L(sin ( sin + + sin 4.- Frogatu zeintzuk diren funtzio hiperbolikoen deribatuak. e e e + e Sh e + e e e Ch Beraz, ( Sh Ch eta ( Ch Sh Adierazpen hauetatik, tangente hiperbolikoarena atera daiteke: Sh Ch Sh Th Ch Ch Ch Funtzio hiperbolikoen elkarrekikoak deribatzeko, berriz, funtzio trigonometrikoekin erabilitako metodoari jarraituko diogu. ArgSh Sh -rekiko deribatuz: 5
Ch Ch + Sh + ArgCh Ch -rekiko deribatuz: Sh Sh Ch Ch Sh Ch + Sh Ch + Sh Sh Ch Sh Ch Ch > Ch Ch ArgCh non. Orduan Sh Sh Sh ArgTh Th -rekiko deribatuz: Ch Ch Ch Ch Sh Ch Sh Th Ch Ch 4.- PROPOSATURIKO ARIKETAK Kalkulatu honako funtzio hauen deribatua:. + +.. ( 5 4. sin( 5. sin ( 6. cos 6 5 6
7. 8. 9. e sin. ( + /. L( +. L (sin. arcsin cos + cos 4. arctan [, π 9 5. + 9 + L( + + 9 6. 7. L + + arctan + + a ( ( tan L cos 8. sin 9. 5.- PROPOSATURIKO ARIKETEN SOLUZIOAK. 6 6 4. + 9 5 5. ( 5 4. 5. cos( 6sin ( cos( sin 6. cos 7. L 8. 9. e sin cos L+ sin 7
. L( + + ( + ( +. +.. L(sin + / L cot L (sin arcsin + 4. [, π 5. + 9 4 6. 4 + 7. tan tan( L( cos a La cos ( L( cos + + sin 8. ( sin L cos L sin 9. (L+ L+ 8