άρα : p= hf c = h λ λ= h p

De Broglie (195) E=hf = h ω E = p c +m o c 4 E= pc για m o =0. άρα : p= hf c = h λ λ= h p f x = 1 f u t φ=κ x ωt u= dx dt φ=σταθ = ω k f =C o cos (kx ωt ) φ φ 1 = κ ( x x 1 ) λ= π k u= λ f f ( x,t )=C o e i ( kx ω t ) f ( x,t )= C n e i (k nx ω t ) διακριτές συχνότηες n f ( x,t )= 1 π c (k ) e i (kx ω t ) dk c (k )= 1 f (x,t ) e i( kx ω t ) dx π inf Αν προσθέσουμε αρκετά κύματα προκύπτει μια εικόνα που μοιάζει με κυματοπακέτο, η οποία μετακινείται στον χώρο. Παρομοιάζει την κίνηση ενός σωματιδίου στον χώρο άν c (k )= ( a π ) 1 a k e

τότε f ( x,0 )= ( 1 a π ) 1 x a e Το εύρος της γκαουσιανής C(K) : ΔΚ ( 1 a) Ομοίως της Άλλης Δ x a (ΔΚ)( Δχ) 1 Το ΔΚ έχει να κάνει με την ορμή ενώ το Δχ έχει να κάνει με την θέση f (x,t ) dx= c (k ) dk=n (Θεώρημα Parseval ) x> 1 N x x> x f (x,t ) dx= 1 N Το Δχ για το χ δίνει πληροφορία για το εύρος της κατανομής Κύματα στις 3 διαστάσεις f ( r,t )= 1 ( π ) 3/ C ( k )e i ( k r ω t ) dk d k=d v k Κυματοσυνάρτηση ελευθερου σωματιδίου Ε= p m ω= E ħ p=ħ K Αντικαθιστώ στις προηγούμενες εξισώσεις όπου βρίσκω μεγέθη που συνδέονται με κύματα τα αντίστοιχα μεγέθη που συνδέονται με σωματιδιακή συμπεριφορά (π.χ. Ε,p )

i ħ Ψ ο ( x,t )=a ( p) e ( px Et ) (f ( x,t )=c (k ) e i ( kx ω t) ) (Αντικατάσταση κυματικών μεγεθών με σωματιδιακά) i ħ a ( p ) e ( px Et ) dp 1 Ψ ( x,t )= πhbar Γενικεύοντας στις 3 διαστάσεις: Ψ ( r,t )= 1 (πhbar ) 3 1 ħ a ( p ) e ( p r Et ) d p(1.1) Τι οδήγησε στην Εξίσωση Schrodinger 1. E= p m, p=ħ k, E=ħ ω. ψ 1,ψ λύσεις ψ=c 1 ψ 1 +c ψ ( πρέπει ογραμμικός συνδιασμός να είναι επίσης λύση ) Πρέπειεπίσης να περιέχει γραμμικούς όρους ψ,και ανώτερων παραγώγων ψ t. 3. Αν V =0 ( ελεύθερη κίνηση σωματιδίου ) πρέπει να υπάρχει μια συμμετρία ώς προς τον χώρο. f = 1 f u t, 1 u = p E ψ ( r, t )= p Ψ E t

Για δοκιμή: ψ ( r,t )=a Ψ t Προκύπτει το α: χρησιμοποιώντας την Ψ απο την( 1.1) Ψ x = 1 1 hba r ( πhbar ) 3 ( p x hba r ) ψ ( r, t ) d p Άρα π h ψ= 1 1 h bar 3 Ψ t = 1 ( π ħ) 3 a ( p ) ( ie h ) e i ħ ( p r Et ) d p= 1 3 ( πhbar ) ( i ħ m ) a ( p ) p e i ( p r Et ) ħ Απο εδώ προκύπτει h ( )=a ( i h m) 1 ħ m Ψ=iħ Ψ t

Schrodinger ħ m Ψ=iħ ψ t Τελεστής Ενέργειας : Ε ^Ε=iħ t Τελεστής ορμής: p ^p= iħ r ^r L= r p ^L=^r ( iħ ) Τελεστής του Hamilton (Σε περίπτωση που υπάρχει δυναμικό) ^Η= ħ m +V ( r,t ) Και η εξίσωση του Schrodinger γίνεται: iħ Ψ t =^H Ψ iħ ψ t = ( ħ m +V ( r,t ) ) Συνδέεται με κινητική ενέργεια Αν Ψ η λύση της προηγούμενης εξίσωσης τότε Η πιθανότητα P=Ψ Ψ dp=ψ Ψ dxdy dz dp=σταθ(ανεξάρτητοτου χρόνου) σε όλοτον χώρο

Ορθοκανονικόσύστημα : y n ( x), n=1,,3,4 x [a, b ] b ( y n, y m )= a y n ( x ) y m ( x )dx=δ mn b Έστω a y n ( x) y n ( x) dx=n Κανονικοποιούμε την y n ( x ) διαιρώντας με N, b Μετά θα έχουμε a y n ( x ) N y n (x ) N dx=1 Οι συντελεστές Μια πιθανή βάση είναι η y n (x )= 1 π x L e L n=0,±1, x [ L, L ] Αν έχω μια οποιαδήποτε συνάρτηση f ( x ) μπορώ να την Αναπτύξω στην βάση y n (x ) f ( x )= c n y n (x ) n=1 c n εκφράζουν την πιθανότητα το σωματίδιο βρεθεί στην κυματοσυνάρτηση y n (x ) + f ( x )= c n y n (x ) n=1 b a y m ( x) y n (x)dx c n y m ( x ) f (x ) dx= n=1,,3.. + ( y m, f )= n=1 c n δ mn ( y m, f )=c m,

y n ( x) f ( x ) dx c n =( y n,f )= Όσο πιο κοντά μοιάζει το γράφημα της f(x) με την y n (x ) τόσο το c n πλησιάζει στο 1. Ιδιότητα: + c n =1 n=1 Π.χ. αναναπτύξω την f(x)=x(x-π) σε βάση που έχει μέσα στοιχείο το sinx στο (0,π), επειδή οι δυο συναρτήσεις μοιάζουν πολύ το c_1 θα πλησιάζει στην μονάδα Όταν ένας τελεστής ^Α δρά στην ψ(χ) μας δίνει μια καινούργια συνάρτηση φ(χ) ^A Ψ (x )=Φ ( x ) Αν ^A= d dx : ^A ( x )= x Αν f (x)=x 3 ^f x=x 3 (τελεστής )

. 1. Τελεστές: ^A=^B αν^a y=^b y ^Π ψ ( χ )=ψ ( χ ) ( parity ή ομοτίμιος ) ^T a =ψ (x+a ) 3. 4. ^p= iħ 5. Μηδενικός τελεστής ^0 Ψ=0 6. Ταυτοτικός Τελεστής ^I Ψ =Ψ Στην φυσική είναι χρήσιμοι οι γραμμικοί τελεστές: ΓΡΑΜΜΙΚΟΙ ΤΕΛΕΣΤΕΣ ^A (c 1 ψ 1 +c ψ )=c 1^A ψ1 +c ^A ψ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ^D=^A+^B αν^d Ψ=^A Ψ +^B Ψ (^Α+^B )Ψ=( ^B+^A )Ψ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΤΕΛΕΣΤΩΝ ^D=^A ^B αν^dψ =^A (^B Ψ ) ^Α (^B Ψ ) ^B (^A Ψ )

π. χ.^α= ( φ) φ Όταν οι τελεστές είανι διαφορετικού δείκτη τότε μπορούν να αντιμετατεθούν (π.χ. Τελεστές ^p x, ^u z, ^y ) Αν οι τελεστές δεν αντιμετατείθενται τότε τα μεγέθη που περιγράφουν δεν μπορούμε νατα μελετήσουμε ακριβώς ταυτόχρονα (ορμή θέση) Αντιμεταθέτης : [^A, ^B ]=^A ^B ^B ^A Αν ο αντιμετθέτης είναι ίσος με 0 τότε οι τελεστές αντιμετατείθονται. Αν τα μεγέθη δεν αντιμετατείθονται (ο αντιμεταθέτης δεν είναι 0), τότε: ( Δ ^A )( Δ^B ) ħ

[ ^x, ^p x ]=iħ ^A ^B ^B ^A [^A, ^B ]= [^B,^A ] [^A, ^B ^C ]=[^A, ^B ]^C+^B [^A,^C ] ABC BCA= ( AB BA )C+B ( AC CA ) ABC BCA= ABC BAC +BAC BCA ισχύει ^Α n =^A ^A ^A Όπως έχω συναρτήσεις μεταβλητών : F ( z )=a o +a 1 z+a z Μπορώ να έχω συναρτήσεις τελεστών: ^F (^A )=ao ^I+a 1^A +a^a Ή G (^A )=e λ^a =^I+ λ^α + λ ^A +

Ιδιοτιμές- Ιδιοσυναρτήσεις: ^A y n =a n y n y n :ιδιοσυνάρτηση α n :ιδιοτιμή της συνάρτησης y n ^H y n =E y n ^Π ψ ( x )=ψ ( x ) λ?, y λ ( x )? ^Π y λ ( x )= y λ ( x) ^Π ( y λ ( x ) )=^Π y λ ( x )= y λ (x) ^Π ^Π y λ ( x )=λ y λ ( x ) ^Π y λ ( x )=λ y λ ( x ) Άρα λ =1 λ=±1 Kανονική δράση: ^Π y 1 ( x )= y 1 ( x ) Δράση μέσω ιδιοτιμής: ^Π y 1 ( x )=1 y 1 ( x ) Άρα y 1 ( x )= y 1 ( x ) Όλες οι άρτιες συναρτήσεις είναι ιδιοσυναρτήσεις του Π ^Π y 1 ( x )= y 1 ( x ) ^Π y 1 ( x )= 1 y 1 (x ) y 1 ( x )= y 1 ( x)

Όλες οι περιττές συναρτήσεις είναι επίσης ιδιοσυναρτήσεις του Π Σχήμα 4.1 ^L z = iħ d dφ Πρέπει Φ λ (φ+π)=φ λ (φ ) λόγωφυσικής ^L z Φ λ ( z )=λ Φ λ ( z) ^L z Φ λ ( z )= iħ d Φ λ ( z ) d φ Άρα dφ (z ) λ = i Φ λ ( z ) ħ λd φ i ħ Φ λ (φ )=ce λφ Όμως Φ λ (φ+ π )=Φ λ (φ ) i ħ c e λ ( φ+π) =c e i ħ λ (φ ) i ħ e λ π =1 λ=mħ,m=0,± 1,± Φ m (φ )=c e Iφ κανονικοποίηση: π Φ m (φ ) Φ m (φ ) dφ=1 c= 1 0 π Φ m (φ)= 1 π eimφ

Aποδυκνείεται ότι: ^P x = iħ d dx Να βρείτε τις ιδιοτιμές και τις ιδιοσυναρτήσεις του. ^P x y n ( x )=n y n ( x ) ^P x y n ( x )= iħ d y n ( x ) dx d y n ( x ) = n y n ( x ) iħ dx n iħ y n (x )=ce x c>0

^xδ ( x x o )=x o δ ( x x o ) ^H Ψ n =E n Ψ n (1) ^H= ħ m d d x +V ( x ) () Απο 1, προκύπτει Ε n,ψ n ( x ) Εαν η κυματοσυνάρτηση Ψ ενός σωματιδίου αποτελεί ιδιοσυνάρτηση και της ενέργειας και της ορμής, αυτό σημαίνει πως μπορούμε να γνωρίζουμε και την ενέργεια, αλλα και τήν ορμή ταυτόχρονα (εφαρμόζοντας τους κατάλληλους τελεστές). Ισχύει: ^Α y n =a n y n F (^A ) yn =F (a n ) y n ^F (^A ) y n = k c k ^A k y n = k c k a n k y n= ( k c k a n k) y n =F ( a n ) y n Αν [^A, ^B ]=0 τότε μπο ρούμε να μετρήσουμε τα μεγέθη που αντιστοιχούν στα Α,B ταυτόχρονα. ^H= ^p x m +V ( x ) Αν V(x)=0 -> ^H ^p x άρα [ Η, p x ]=[ p x, p x ]=0 (προφανώς ) a)ικανή και αναγκαία συνθήκη για να έχουν δύο τελεστές ενα κοινό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων, είναι να αντιμετατείθενται.

b)vice versa-> Αν έχουν ενα κοινό σύνολο ιδιοσυναρτήσεων δύο τελεστές Απόδειξη για το a) Αντιμετατείθενται ( [^A, ^B ]=0. Aν ^A,^B έχουν ενα κοινό σετ ιδιοσυναρτήσεων τότε ο αντιμεταθέτης τους είναι 0 [^Α,^B ] f ( x)=0 ) y n, ^A y n =a n y n ^B y n =b n y n άρα ^B^A y n =a n^b y n =a n b n y n ^A ^B y n =b n^a yn =a n b n y n. Άρα [^Α, ^B ] y n =0 Οποιαδήποτε συνάρτηση μπορεί να γραφτεί ως γραμμικός συνδιασμός των διανυσμάτων y n της βασης. f ( x )= k [^A, ^B ]f ( x )= k c k y k. c k [^A,^B ] y k =0.

Μέση τιμή Αβεβαιότητα,Τελεστή Ψ ( x),^a ^A > (Ψ,^A Ψ ) (Ψ,Ψ ) (Ψ,^Α Ψ )= Ψ (x )^A Ψ (x ) dx (Το (Ψ,Ψ ) είναι για κανονικοποίηση ^x> ψ x ψ dx ^p x > ψ ( iħ d dx ) ψ dx ^H > ψ ^H ψ dx Έστω Ψ ( x)=n e x. ^H= ħ m d d x + 1 k x Αντικαθιστώ και βρίσκω το ^H E> x > ψ x ψ dx= Aν y nιδιοσυνάρτηση τουτελεστή^α Τότε: ^Α y n =a n y n ^A > ( y n,^a y n )=( y n,a n y n )=a n ( y n, y n )=a n (υποθέτουμε πως η y n είναι κανονικοποιημένη )

Έστω η συνάρτηση που περιγράφει ενα σωματίδιο Ψ είναι γραμμικός συνδιασμός των y ιδιοσυναρτήσεων n ενός τελεστή ^A. (Ψ,Ψ )= ( k Ψ= k c k y k ( x ) (Ψ,Ψ )=1 < δ kn c k c n ( y k, y n ) n c k y k, n c k =1 k (P k =c k ) c n y n ) = k Αν (ψ,ψ )=1 c 1 =1 k c n y n c k y k,^a k n A > (Ψ,^A ψ )= k n c k c n ( y k,^a y n )= k n c k c n a n ( y k, y n )= c k a k k

^A > (ψ,^a ψ )= ψ (^A ψ ) dx Ψ= n c n y n οπου ^A y n =a n y n <^A> c n a n n Ομως αν οι συναρτήσεις y n δεν ειναι ιδιοσυναρτήσεις του τελεστή Β, τότε μπορούμε να υπολογίσουμε το ^Β> μόνο μέσω του ολοκληρώματος. Εστω ενας τελεστής ^Α. Με ποια βεβαιότητα ή αβεβαιότητα γνωρίζω τοφυσικό μέγεθος που αντιστοιχεί στον τελεστή Α; Ορίζουμε οτι ^A ^A > ( Δ ^Α ) = ^Α +^A ^A<^A> Ψ, ( Ψ ) ( ΔΑ ) = (Ψ,^A Ψ )+(Ψ,<^Α Ψ ) (^Α<^A >Ψ,Ψ ) <^Α >+^A <^A >(Ψ,^A Ψ ) <^A >+^A <^A ( ΔΑ ) = ^A > ^A Aν ^Α y n =a n y n Ψ= y n ν. δ.ο. ( ΔΑ )=0 <^A ^A ^A > ( y n,^a y n )=( y n,a n y n )=a n y (n,^a y n )=a n ^A = Άρα ^A ><^A

Αν όμως ^Α y n =a n y n καιψ = c n y n n ( Δ ^Α )=? ( Δ ^Α ) =^A > ^A ^A > (Ψ,^A Ψ )= ( k c k y k,^a n c n y n ) k n c k c n ( y k,^a y n )= k n <^A > c n a n n ^A > c n a n n c k c n a n δ kn = c n a n n Άρα γενικά ^Α k > c n k a n n ^I> c n n (συντελεστής κανονικοποίησης) Ερμιτιανοί τελεστές ^A <^A > (Ψ,^A Ψ ) Πρέπει το αποτέλεσμα της μέσης τιμής να είναι πραγματικός αριθμός για να έχει φυσική σημασία. Άρα: (Ψ,^A Ψ ) =(Ψ,^Α Ψ ) Ψ (^A Ψ ) dx= (^A Ψ ) Ψ dx (Ψ,^A Ψ )=(^A Ψ,Ψ ) (Ψ,^Α Ψ )= Ψ (^Α Ψ ) dx (^Α Ψ,Ψ )= (^Α Ψ ) Ψ dx

Ερμιτιανοί είναι οι τελεστές των οποίων οι μέσες τιμές είναι πραγματικοί αριθμοί. Σαν συνέπεια σε όποιο μέρος του εσωτερικού γινομένου και να δράσει το αποτέλεσμα είναι το ίδιο. Ο τελεστής ^iδεν είναι ερμιτιανός επειδή : ψ (iψ ) dx (i ψ ) ψ dx Ν.δ.ο. ^p x ερμιτιανός,οπου ^p x = iħ d dx b (Ψ,^p x Ψ )= a iħ [Ψ Ψ b ] a iħ Ψ dψ ψ ( iħ d b dx Ψ ) dx= iħ Ψ dψ a Υπάρχει η υπόθεση στην κβαντομηχανική οτι στα άκρα ΨΨ*(α)=ΨΨ*(β) iħ dψ dx ψ dx= ( iħ d dx Ψ ) Ψ dx ( ^p x ψ ) ψ dx=( ^p x ψ, ψ ) Aρα ο τελεστής είναι ερμιτιανός. (ψ,^x ψ )= ψ xψ dx= xψ ψdx=(^xψ, ψ) (Ψ,^Α Ψ )=( ^Β Ψ, Ψ ) Αν ο Α είναι ερμιτιανός τότε Α=Β Αν όχι, ο Β καλείται ερμιτιανός συζηγής. ^B=^A t

Αν Α ερμιτιανός-> ^A=^A t. Εστω^A ερμιτιανός με ^A y n =a n y n a) Ν.Δ.Ο. a n R ( y n,^a y n )=a n (^A y n, y n )=a n Αφου είναι ερμιτιανός -> a n =a n α n R ( y k,^a y n )=a n ( y n, y k ) b) Ν.Δ.Ο. ( y n, y k )=0αν n k (^A y k, y n )=a k ( y n, y k ) (a n a k ) ( y n, y k )=0 a n a k γιa n k ( y n, y k )=0

Εχω ^A, ^B ερμιτ. Α) νδο^α +B ερμιτ. Β) αν [^Α, ^B ]=0 ^A ^B: ερμιτ Γ) Αν [^Α,^B ] 0 [^A, ^B ]=i^c οπου^c ερμιτ δ ^A ^B+^B ^A ερμιτ a) προφανές Β) Εαν [Α,Β]=0 (^Α ^B=^B^A ) (^A ^BΨ,Ψ )=(Ψ,^A ^B Ψ ) (Ψ,^A ^B Ψ )=(^A Ψ,^Β Ψ )=(^B ^Α Ψ,Ψ )=(^Α ^B Ψ,Ψ ) ερμιτιανός 1 ο βήμα (αφού Α ερμιτιανός) ο βήμα ( αφού Β ερμιτιανός) 3 ο βήμα (αφού Α,Β αντιμετατείθενται) γ) Εαν Α, B δεν αντιμετατείθενται νδο C= [ A, B ] i αρκει νδο: (C Ψ, Ψ )=(Ψ,C Ψ ) :ερμιτ (^C Ψ,Ψ )=( i [ A,B ] Ψ,Ψ )=i ( [ A, B ]Ψ, Ψ )=i (^A ^B Ψ ^Β^A Ψ,Ψ ) i[ (^A ^B ψ, ψ ) (^B^A ψ,ψ ) ] i[(ψ,βαψ ) (ψ, ΑΒψ ) ]=i (ψ, [ Α,Β ]ψ )= (ψ, i [ A,B ]ψ)= (ψ,c ψ ) Aρα C αντιμετατείθεται Δ) unanswered mystery that will haunt your soul forever Αν Α, Β δεν αντιμετατείθονται : i ^c > ( ΔΑ ) ( ΔΒ )

^A,^B ερμιτιανοί [ Α,Β ] 0 [ A,B ]=i^c όπου ^C : Ερμιτιανός ^A ' =^A ^A > ^B ' =^B ^B> Ισχύει [ A,B]= [ A ',B ' ] ^A ^A>, ^B ^B> [ A ', B ' ]= Απόδειξη αβεβαιότητας Heisenberg: [^Α, ^B ]=i^c Θα δείξουμε ότι: ^C> Δ ^Α Δ^B 1 ^C> (ψ,^c ψ ) ^A ^A > ^B ^B> ( Δ ^A ) ( Δ^Β ) = <^A ' >^B ' > (ψ,^a ' ψ ) (ψ, ^B ' ψ ) I διότητα ερμιτιανού τελεστή : (ψ, Αψ )=( Αψ, ψ ) άρα: (^Α ' ψ,^a ' ψ ) (^B' ψ,^b ' ψ ) Ανισότητα Cauchy Schwartz: (^A' ψ,^a ' ψ )( ^Β' ψ, ^B ' ψ ) (^A ' ψ, ^B ' ψ) ^A ' ^B' =^A ' ^B' +^B ' ^A ' + ^A ' ^B' ^B ' ^A ' =^A ' ^B' +^B '^A' + [^A',^B ' ]

Αν ^A ' ερμιτιανός,^β ' ερμιτιανός (^Α ' ^B' +^B '^A' ):ερμιτιανός (Απόδειξη->) ^Α (' ^B ' +^B '^A' )ψ ψ, ^Α (' ^B ' +^B ' ^A ' )ψ,ψ ^Α (' ^B ' +^B '^A ' )ψ,ψ = (^Α ' ^B ' ψ,ψ)+(^b '^A ' ψ,ψ )=(ψ, (^Α ' ^B ' +^B ' ^A ' )ψ) ( Δ ^Α ) ( Δ^Β ) ( ψ, ^A ' ^B' +^B ' ' ^A ψ) +i ( ψ, c ) ψ Kαι οι δύο συντελεστές μέσα στο απόλυτο είναι πραγματικοι αριθμοί γιατί έχουμε δείξει πως και οι δύο τελεστές είναι ερμιτιανοί (άρα οι μέσες τιμές τους είναι πραγματικοί αριθμοί) a+ib =a +b ( Δ ^Α ) ( Δ^Β ) = ^A ' ^B' +^B ' ^A ' ^C > ( Δ ^Α ) ( Δ^Β ) ^C > ( Δ ^Α )( Δ^Β ) + ^C [ ^x, ^p x ]=iħ ( Δx ) ( Δ p) iħ =ħ

( ΔΕ ) ( Δt) ħ < όχιαυστηρά βασισμένη μαθηματικά,ο χρόνος δεν έχειτελεστή. Ε= p m ΔΕ= p Δ p x x m, p =m Δ x x Δt ( ΔΕ, Δt )=( Δ p x, Δ x ) ħ

Συμβολισμός Dirac a>+b c 1 y 1 + 1 y Ket : a> Bra <a y y []dx λ α > <α λ y λ= ( λy) [] dx=λ < y ^A y> y ' > y ^A= (^A y ) [ ]dx O xώρος των Bra με τον χώρο τον Ket συνδέονται μέσω του εσωτερικού γινομένου y n y m >< y n y m >< y n [ ]dx y m > y n y m dx ( y n, y m )= y n y m > a b><a b> 0 κάθετες α α>1 α :κανονικοποιημένη στην μονάδα α> ψ ( χ) a ψ []dx Αν a={ a 1 a a 3 a a (a 1,a, a 3 ) ( a 1 a 3 3) = i=1 a 3 a i a i = ai i=1

c a,i B i > όπουc a,i = B i a> a> i c a,i <Bj B i > B j a> i B j a> i c a,i δ ij =c a, j

Εξωτερικό Γινόμενο: ^A= Β> <a ^A γ > Β> < a γ > Όμως <a γ>=(α,γ)= αριθμός <α γ> Β> ^Α= B>a ^A γ=a γ >B> γ ^A= γ B>a = (γ, Β )<α ^Α <γ <γ ^A Προβολικός τελεστής (Sos οι ιδιότητές του) Εστω μια ορθοκανονική βάση α, α α>1 ^P a = a> a a a>:αριθμός α > <a :τελεστής ^P a B a>a B> (a,b ) a> Έστω α>= c a,n n> n

Όπου c a,n =n a> n a>n> a> n ( n n>n ) a> ^I n a> Όπου ^Ι n = n>n n ^I n ταυτοτικός τελεστής.οταν εφαρμόζεταισε μια κατάσταση δίνει την ίδια κατάσταση: ^Ι n a> a> a a>1 c n,a =1 n SUPERSOS ασκησεις ακολουθούν: νδο ^P n =^P n ( ^P n = n> n Αρκεί νδο ^P n a ^P n a> ^P n a> n>n a><n a>n> ^P n a ^P n ( a> n>n <n a> n n> n a>n n> n>n,a> ^P n Ποιες οι ιδιοτιμές του προβολικού τελεστή; ^P n y> λ y>

^P n y>^p n λ y> λ ^P n y> λ y> ^P n y>^p n y> λ=λ λ=0,1 Νδο οτι^p n :ερμιτιανός (^Α ψ,ψ )=(ψ,^a ψ ) ^P n (a ^P n ) a><a a n> (a ^P n ) a> (a n>n ) a><a n>n a> a n =n a > ^P n a n> ( a><a n> n a> a Tελεστής Στροφορμής: r, p l= r p ^l=^r ^p= i j k x y z p x p y p z = ^l x i+ ^l y j+ ^l y k ^l x = y ^P z z ^P y = iħ ( y z z y )

^l y =z ^P x x ^P z = iħ ( z x x z ) ^l z =x^p y y^p x = iħ ( x y y x ) ^l= ^l x i+ ^l y j+ ^l z k ^l = ^l x + ^l y + ^l z Νδο οτι ^l x, ^l y, ^l z, ^l ερμιτιανοί : ^l x : Βάσει της πιο πάνω σχέσης, το ^l x είναι άθροισμα δυο όρων, των οποίων ο κάθε όρος είναι ερμιτιανός τελεστής. Αυτο ισχύει επειδή κάθε όρος είναι γινόμενο δύο όρων που αντιμετατείθονται. Άρα και το άθροισμα των όρων, άρα και το ^l x είναι ερμιτιανός τελεστής. [ ^l x, ^l y ] 0 Επειδή ο l προκύπτει απο r και p Που δεν αντιμετατείθονται, έτσι δεν μπορούμε να γνωρίζουμε και τις συνιστώσες του l ταυτόχρονα.

^l x = y ^P z z ^P y Oμοίως για ^l y, ^l z [ ^l i, ^l j ] 0 για i j ( Δl i ) ( Δ l j ) c [ ^l x, ^l y ]=iħ ^l z [ ^l y, ^l z ]=iħ ^l x [ ^l z, ^l x ]=iħ ^l y [^A, ^B ^C ]=[^A, ^B ]^C+^B [^A,^C ] [^A ^B,^C ]=^A [^B,^C ]+[ ^A,^C ]^B [ ^l x, ^l y ]=[ y ^P z z^p y, z^p x x^p z ] [ y ^P z, z^p x x^p z ] [ z ^P y, z ^P x x ^P z ] [ y ^P z, z^p x ] [ y ^P z, x^p z ] [ z ^P y, z ^P x ]+[ z ^P y, x^p z ] Οι δύο μεσσαίοι όροι είναι 0 γιατί αντιμετατείθονται οι τελεστές που περιέχουν. Τελεστές της μορφής [x,px] 0, αλλα παρότι έχουμε κοινή μεταβλητή και αριστερά και δεξιά, ο αντιμεταθέτης είναι 0 αφού εκφράζεται και αριστερά και δεξιά με τον ίδιο τρόπο. [ y ^P z, z^p x ]=[ y ^P z, z ] ^P x +z [ y ^P z,^p x ]< 0 [ y ^P z, z ]^P x =( y [^P z, z ]+[ y, z ] ^P z ) ^P x = iħy ^p x Όμοια: [ z ^P y, x^p z ]=i x ħ ^P y [ ^l x, ^l y ]= iħy ^p x +iħx ^p y =iħ (x ^p y y ^p x )=iħ ^l z

^ Ι Ι (Sos εξετάσεις θέμα)

^l = ^l x + ^l y + ^l z l: διανυσματικός τελεστής, ^l : αλγεβρικός τελεστής [ ^l, ^l x ]=0 [ ^l, ^l y ]=0 [ ^l, ^l z ]=0 Απόδειξη της πρώτης σχέσης: [ ^l, ^l x ]=[ ^l x + ^l y + ^l z, ^l x ]=[ ^l x, ^l x ]+[ ^l y, ^l x ]+ [ ^l z, ^l x ] ^l y = ^l y ^l y [ ^l y ^l y, ^l x ]+[ ^l z ^l z, ^l z ]= ^l y [ ^l y, ^l x ]+ [ ^l y, ^l x ] ^l y + ^l z [ ^l z, ^l x ]+[ ^l z, ^l x ] ^l z ^l y ( iħ ^l z )+( iħ ^l z ) ^l y + ^l z (iħ ^l y )+(iħ ^l y ) ^l z =0 Αν έχω ένα πρόβλημα 3 διαστάσεων και το δυναμικό που εφαρμόζει είναι κεντρικό: Γενικα:V =V ( r ) V (r,θ,φ) (Για κεντρικά δυναμικά V ( r )=V (r) Για αυτά τα δυναμικά : [^H, ^l ]=0 [^H, ^l ]=0 [^H, ^l i ]=0

^A > iħ d Αν Α,H αντιμετατείθενται τότε το πάνω είναι 0 άρα η μέση τιμή του Α μένει σταθερή και το Α αποτελεί μια σταθερά της κίνησης. Συνεπώς η μέση τιμή των στροφορμών παραμένει σταθερή. ^H= ħ mr r ( r ( ^l 1 = ħ sinθ r ) + ^l +V (r ) mr θ sinθ θ + 1 sinθ φ ) Εφόσον ο Η δρα μόνο στο r και ο ^l δρά μονο σε θ και φ τότε μπορούν να δράσουν με διαφορετική σειρά ^H ^l Ψ (r,θ, φ )= ^l ^H Ψ (r,θ, φ ) αντιμετατείθονται οι^h, ^l

[ ^l, ^l z ]=0 y l m (θ, φ )ιδιοσυναρτήσεις των ^l, ^l z. Όπου l=0,1, m ( l, l ) Αποδυκνείεται ότι : ^l y l m (θ,φ )=ħ l (l+1) y l m (θ,φ ) ^l y 5 (θ,φ )=ħ 5 (5+1 ) y 5 =30ħ y 5 l = ħ l (l+1 ) ^l z y m l (θ,φ )= ħm y m l (θ,φ ) ^l z y 5 =ħ y 5 Ενα σωματίδιο περιγράφεται παο μια συνάρτηση y 5 o καθορισμένα τα l και l z, τότε είναι σαφώς Αν όμως y= 1 Φ (θ, φ )= y 1 + 1 y 0 ^l Φ= 1 ħ (+1 ) y 1 + 1 (+1) y 0 =ħ 6Φ ^l z Φ (θ,φ )= 1 ħ1 y 1 + 1 0 ħ y 0 Φ (θ,φ ) ΤΟ αποτέλεσμα δεν βγαίνει ίδιο επειδή έχουμε για τις δύο ιδιοσυναρτήσεις διαφορετικά m. Αν Φ(θ,φ)= 1 y 1 + 1 y 1 1 ^l z Φ= 1 ħ y 1 + 1 ħ y 1 1=ħΦ

Όταν η συνάρτηση που περιγράφει το σωματίδιο εκφράζεται απο ενα l μπορώ να γνωρίζω με ακρίβεια το l. Αλλιώς μπορώ να λαμβάνω μόνο μέσο όρο l > Αν η Φ (θ,φ )=a y 3 4 +b y 5 Τότε δεν έχω ούτε καθορισμένο l ούτε m άρα η Φ δεν είναι ιδιοσυνάρτηση ούτε του ^l z όύτε του ^l Άρα ^l z Φ λφ Και ^l Φ μφ y l m (θ, φ )= y lm (θ,φ )=lm>(διαφορετικοί συμβολισμοί ) ( y lm, y l ' m ' )=δ l l 'δ m m ' Για να είναι το αποτέλεσμα 1 πρέπει και l=l αλλα και m=m ^l y l m =ħ l (l+1) y l m ^l z y m m l = ħm y l Ορίζουμε τον τελεστή αναβίβασης += ^l x +i ^l y ^l Και τον τελεστή υποβιβασης = ^l x i ^l y ^l +ερμιτιανός συζηγης του ^l νδο ^l

Άρα Ψ > +Ψ Ψ ><Ψ ^l ^l (?) +ψ l ψ d Ω Ψ ^lx ψ d Ω+ ( ^l y Ψ ) ( i ) ΨdΩ ψ ^l ψd Ω Ψ ^lx ψ d Ω+ ψ ( i ^l y )ψ d Ω= +, ^l ^l =ħ ^l z νδο [ ^l z, ^l ± ]=±ħ ^l ± [ ^l, ^l ± ]=0 + lm>c (l,m ) l,m+1> ^l lm>c (l,m ) l,m 1> ^l + 5,4> c 5,5> ^l + 5,5>0(γιατιτο m δεν γίνεται να είναι μεγαλύτερο απο το l) ^l

+= ^l x +i ^l y ^l = ^l x i ^l y ^l [ ^l z, ^l ± ]=±ħ ^l ± [ ^l, ^l ± ]=0 ^l ± lm> ^l ^l + ^l lm> + + ^l z lm>+ħ ^l lm> ^l ^l z + lm>+ħ ^l + lm>+ħ ^l + + ^l z ^l + ^l lm> + ^l lm> ^l z

Όμως ^l z lm> ħ m lm> Αρα, εφόσον δρά και ο τελεστής αναβίβασης το m γίνεται m+1 + lm>ħ (l m) (l+m+1 ) ^l lm+1> c lm> ħ (l+ m ) (l m+1) ^l lm 1> c + l, m=l> 0 ^l l,m= l>0 ^l lm 1 ^l y l m > += ^l x +i ^l y ^l = ^l x i ^l y ^l + ^l i ^l ^l y = l + ^l i ^l y =^ Αντι για τα +,l l x,l y δουλέυω με τα l lm 1 ^l z l m ><lm 1 ħm l m > ħm <l m 1 l m > ħm δ m1 m

+ ^l + l m > 1 i ( l m 1 ^l ^l 1 i ( ^l ) lm 1 + l, m >c l,m +1> ^l l m > c l,m 1> ^l C<l m 1 l m +1> c <lm 1 lm 1> 1 i 1 i ( cδ m1,m +1 c δ m1,m 1) iħ Ψ t =^H Ψ Ψ=Ψ ( r,t ) Ψ dv=1 f (t ) d dt (Ψ,Ψ )= ( Ψ t,ψ ) + ( Ψ, Ψ t ) = ( 1 iħ ^H Ψ,Ψ ) + ( Ψ, 1 iħ ^H Ψ ) 1 iħ (^H Ψ,Ψ )+ 1 iħ (Ψ,^H Ψ ) 1 iħ ( (Ψ,^H Ψ ) (^Η Ψ,Ψ ))=0

Άρα P V= R 3 f (t )

Πυκνότητα ρεύματος πιθανότητας. Σχημα 11.1 t Ψ dv =0 d dt v ρdv όπου ρ= Ψ (Ψ Ψ ) dv = t ( Ψ V t Ψ + Ψ Ψ t ρ v t dv = V ) dv όμως Ψ t = ħ m Ψ +V Ψ. μετά απο πράξεις προκύπτει: iħ m (Ψ Ψ Ψ Ψ ) dv Έτσι ορίζω: J ( r,t )= iħ m (Ψ Ψ Ψ Ψ ) ρ t dv + ( j ( r,t ) ) dv =0 V Εφόσον ανεξαρτητα των ορίων τα δυο ολοκληρώματα είναι ίδια, τότε και οι εσωτερικές συναρτήσεις είναι ίσες. ρ t + j ( r,t )=0 Σε μία διάσταση ορίζουμε το ρεύμα ώς εξής: J (x )= iħ m ( Ψ d Ψ Ψ dψ dx dx )

i ħ ( p r Et) α ( ρ ) e ()d V p = 1 Φ ( p,t ) e (πħ ) 3/ Ψ = 1 (π ħ) 3 i ħ p r dv p Όπου i ħ Φ ( p,t )=α ( p ) e Et Φ ( p,t )= 1 ( πħ ) 3 i ħ Ψ ( r, t )e p r dv Φ : πιθανότητα να βρώ σωματίδιο με ορμή p στον χρόνο t. Φ: μετασχηματισμός Fourrier της Ψ στον χώρο των ορμών. Η αντίστοιχη εξίσωση του Schrodinger στον χώρο των ορμών είναι: φ ( p,t ) iħ = p t m φ ( p, t )+^V (iħ p,t ) φ ( p, t ) ^r r, ^p=i ħ r, χωρος θεσεων r=i ħ p, ^p= p χώρος ορμών Χωρος θέσεων Ψ(r,t) r> ψ r ψ dv = P rdv F ( r )> ψ F ( r ) ψ dv = P F ( r ) dv F (^p )> Ψ F ( iħ )Ψ dv Ο τελεστής πρέπει πρώτα να δράσει στο Ψ και μετά να πολλαπλασιαστεί με το Ψ*. Επομένως δεν μπορούμε να εκφράσουμε το εσωτερικό του ολοκληρώματος ως γινόμενο P με F(p). Χώρος Ορμών:

φ ( p,t ) ^p > φ p φ d V p F (^p ) φ F ( p) φ dv p ^r> φ (iħ P )φ d V p F ( ^r )> φ F (iħ p ) φ d V p p = p x i+ p y j+ p z k

Χώρος θέσεων ^p iħ ^r r ^G ( ^p ) ^G ( iħ ) ^L ^r ( iħ ) ^H= ħ m +V ( r ) Χώρος ορμών ^p p r iħ p F ( ^r ) F ( ħ p ) ^G ( ^p ) ^G ( p) ^L=(iħ p ) p H= p m +V (iħ p ) ^F ( ^r, ^p )> Ψ ^F ( ^r, i ħ ) Ψ dv μέση τιμή στον ώρο των θέσεων: ^F ( ^r, ^p )> Φ ^F (i ħ p, p) φ ( p,t ) dv p μέση τιμή στον χώρο των ορμών ψ r ψ dv = φ (iħ p φ)d V p r> Εξίσωση Schrodinger:

iħ Ψ =^H Ψ t ^Η= ħ m +V ( r) Η Λύση θα είναι της μορφής Ψ ( r,t ) Για να βρώ λύση, δοκιμάζω να δώ αν ψ ( r,t )=T (t ) u ( r ) Αντικαθιστώ την πιθανή λύση στην εξίσωση του Schrodinger iħu ( r ) dt dt =T (t )^H u ( r ) iħ dt dt T =^H u ( r ) u( r) =Ε Εφόσον έχω διαφορετικές μεταβλητές αριστερά και δεξιά η μόνη περίπτωση να ισχύει η ισότητα είναι να έχουμε και τα δύο μέλη ίσα με μια σταθερά τα οποία τα θέτουμε ίσα με Ε. dt T = i ħ E dt T E (t )=ce i E ħ t ^H u E ( r )=E u E ( r ) Ψ=e i E ħ t u E ( r ) Ψ ( r,t=0 ) Τελεστής Χρονικής εξέλιξης : ^S Ψ ( r,t=0)=ψ ( r,t) ^S iħ Ψ ( r,t ) =^H ψ ( r,t ) t

iħ ^S t ψ (r,0 )=^H ^Sψ ( r, 0) ( iħ S t ^H ^S ) ψ ( r,0 )=0 Πρέπει:iħ ^S t =^H ^S Αν ^H t =0 ^S (t )=e i ^H ħ t ^H u E ( r )=E u E ( r ) ^H i ħ ^S u E ( r )=e t u E ( r )=e i E ħ t u E ( r ) Ψ ( r,t )=^SΨ (r, 0)= i Ψ ( r,0 )= c i u E i ( r ) i c i ^S u E i ( r )= i c i e i ^H ħ t u Ei ( r )= c i e i E ħ t u E i ( r ) i ^H u E ( r )=E u E ( r ) i) Αν ψ ( r )=u E ( r ) <^H >? ii) E> <^H > ψ ( r )= c i u i ( r ) <^H >? i i) ^H > (u E ( r ),^H u E ( r ) )=(u E ( r ), E u E ( r ) )=E (u E,u E )=E Η μέση τιμή της ενέργειας όταν η κυματοσυνάρτηση δεν αποτελεί γραμικό συνδιασμό διαφορετικών ενεργειών είναι η ίδια η ενέργεια της κυματο-συνάρτησης ^Η > (Ψ,^H Ψ )= i ( c u,^h i i c j u j j )

i j c i c j (u i,^h u j )= i ^H > c i E i i P i = c i c i =1 i ^H > c i E i i ^H n > c i n E i i c i c j E j δ ij j ^H u i =E i u i t=0 u ( x)= 1 ( u 1 ( x )+u (x ) ) u 1 : αρτια u : περιττή ^H u 1 =E 1 u 1 ^H u =E u u 1,u :κανονικοποιημένες,πραγματικές συναρτήσεις Δηλαδή (u 1,u 1 )=1,( u,u )=1 a) ^H ><E> 1 ( E 1 +E ), ( ΔΕ )= 1 Ε 1 Ε b) x t =0 <x t = x 0 cos (ωt ) όπου ω= E E 1 ħ

u ( x,t )= 1 (e i E 1 ħ t u 1 +e ( i E ħ t ) u ) Α) ^H > c i E i = 1 i E + 1 1 E = 1 ( E 1 +E ) ( ΔΕ )= ^H > ^H c i E i = 1 ( E 1 +E ) ^H > i ( ΔΕ )= 1 ( E 1 +Ε ) ( 1 ( Ε 1 +Ε ) ) = = ( 1 ( E 1 E ) ) = 1 E 1 E x t =0 =(u ( x ),xu ( x ) )= 1 ( u 1 +u, x (u 1 +u )) 1 [ ( u 1,x u 1 )+(u 1,x u )+(u, xu 1 )+(u, xu ) ] 1 [ ( u 1,x u )+(u, xu 1 )] (ολοκλήρωμα απο μέχρι+ δίνει 0περιττής συνάρτησης ) (u 1,x u ) <x t =0 =(u 1, xu ) x t =(u ( x,t ),xu ( x, t ) )= 1 (e i E 1 ħ t u 1 +e i E ħ t u, x (e i E 1 ħ t u 1 +e i E ħ t u )) = 1 [ (..u 1, x..u )+(..u, x..u 1 )]= 1 i(e 1 E ) [e t ħ ( u 1, xu )+e i (E 1 E ) t ħ ( u, xu 1 )] 1 ( u 1,x u ) [e i ωt +e i ω t ]=x t =0 cos (ω t)

u ( x)=n (u 1 ( x )+ u ( x )+u 3 ( x ) ) u 1,u,u 3 ιδιοσ ^A a 1 = 1,a =0,a 3 =1 ^A u 1 = 1u 1 ^A u =0 ^A u 3 =1u 3 a) N=? (κανονικοποίηση) c i =1 i N +4 N + N =1 N = 1 6 u ( x)= 1 6 ( u 1 +u +u 3 ) b) ^A >? ^A > (u,^a u)= c i a i = i ( 1 6 ) (a 1 + a +a 3 ) 1 ( 1+4 0+1)=0 <^A>0 6 c) ( Δ ^A )= 1 3 ( Δ ^Α )= ^A > ^A c i a i = 1 6 (1 a 1+4 a +1a 3 ) ^A > (u,^a u)= i 1 6 (1+1 )= 1 3

(Δ ^Α )= 1 3 = 1 3 Αν επίσης γνωρίζω πως ^Α=^H Και ζητείται η χρονική εξέλιξη u ( x,t ). u ( x,t )= 1 i a 6 (e 1 ħ t i a ħ u 1 ( x )+e t i a 3 ħ u ( x)+e t u 3 (x ))=.. ) Έστω Ψ=Ν ψ 1 + ψ +ψ 3 α Ν=? c i =1 i N N + ( i N )+ ( i N )=1 6 N =1 N = 1 6 N= 1 6 3) Κανονικοποιείστε της κυματοσυναρτήσεις για x (,+ ) : α Ψ ( x )=N

a β Ψ ( x )=N e x + Α) ψ ψ dx=1. Το ολοκλήρωμα όμως δεν συγκλίνει. Η Ψ δεν είναι κυματοσυνάρτηση, γιατί το ολοκλήρωμα Ψ Ψ dx δεν συγκλίνει. + Β) N e a x dx=1 N = ( a π ) 1 4 ^G> d Αν [^G,^H ]>0 <^G>:ολοκλήρωμα της κίνησης. ih Ψ t =^H Ψ ^G> d ( 1 iħ ^Η Ψ,^G Ψ ) + ( Ψ, 1 iħ ^G^H Ψ ) = 1 iħ (^H Ψ,^GΨ )+ 1 iħ (Ψ,^G^Η Ψ ) 1 iħ (Ψ,(^G^H ^H ^G )Ψ )= 1 iħ < [^G,^H ]>

^G> ^G,^H > d [V ( r ), r]=0 I ħ [^H, r ]= I 1 ħ [ m (^p x +^p y +^p z )+V ( r ), r ] ^H= ^p m +V (r )= I ħ [ 1 m ( ^p x +^p y +^p z ),x ^i+ y ^j+ z ^k] i ħ ([^p x,x]i+[^p y, y ] j+ [^p z,z ] k )= i ħ ( iħ( ^p x i+^p y j+^p z k ))=^p όπου [ p x,x]=^p x [ p x,x]+[ p x,x ] p x = iħ^p x και τα λοιπα για y,z ^H u E =E u E ^p UE =(u E, ^p u E )= ( u E, I ħ [^H, r ] u E) u E, r^h u E (u E,^H r u E ) ( ]= I ħ [ ( E u E, ru E ) (U E,E r u E )] I ħ I ħ ( E (u E, r u E ) E (u E, r u E ))=0 Αντιστοιχίζουμε τις μέσες τιμές μεγεθών που υπολογίζονται απο κβαντομηχανική (<x>,<p>), με τα κλασσικά μεγέθη που αντιστοιχούν (x,p). r> ^p> m d r dt = p m d

r> [ ^r,^h ]> ^p> m d Δεδομένου ότι ^p= I ħ [^H, ^r ] ΝΔΟ d <^p> ( V (r ) )> ψ ( V (r ) )ψ dv d<^p> dt = V >( δηλαδή ( dp dt =F )) d <^p> dt = 1 iħ <[ ^p,^h ]> 1 ^p < iħ [^p, m ] +V (r ) > 1 < [^p, V (r ) ]> iħ 1 < ^pv ( r )> 1 <V ( r ) ^p> iħ iħ ^pv (r )> (ψ (r ), ^p (V (r ) ψ (r ) )) ( p= iħ ) iħ (ψ, (V Ψ ) )= iħ (Ψ, V Ψ ) iħ (Ψ, V Ψ ) V ^p>(ψ,v ( iħ )Ψ )=iħ (Ψ,V Ψ ) d<^p> dt = 1 iħ ( iħ (Ψ, ( V )Ψ ) )=(Ψ,( V ) Ψ )= V > Άρα

Ndo x > d x > d [ x,^h ]=[ x, ( x ^p x +^p x x ) iħ p x m ] [ +V ( x ) = x, p x m ] =x [ x, ^p x ]+[ x, ^p x ] x= x > d Σωματίδιο κινείται ελέυθερα-> V(x)=0 -> ^H= ^p m d<^p> =0,< x> c t dt νδο : d<^p> dt = 1 iħ < [^p x,^h ]> 1 iħ [^p, ^p x x m ] =0 Δείξαμε ότι: p> m d<x> dt = d<^p> dt =0 < ^p> σταθ

d<^x> dt = c m <^x>ct ^H u E ( x )=E u E (x ) ^H= ^p +V (x ) m ^H ' =^H +V o ^H ' u E =(^H +V o )u E =^H u E +V o u E =(E+V o ) u E ( x ) Αρα αν προσθέσουμε εναν σταθερό όρο στην χαμιλτονιανή αλλάζουν μόνο προσθετικά οι ιδιοτιμές και οι ιδιοσυναρτήσεις παραμένουν ίδιες. Νδο x ^p x > d dt d dt <x ^p > 1 x iħ < [ ^x ^p x,^h ]> 1 iħ [ < x ^p, ^p x x m ] + [ x ^p x, V (x ) ]> Με p x =iħ d dx.. = i dv <i ħ x ħ dx i ħ m ^p x><^t > x dv dx > (Δεδομένου ότι ^T = ^p m ) νδο, οτι αν βρισκόμαστε σε ιδιοσυνάρτηση του Hamilton: d dt <x ^p x>0 <^T ><x dv dx > (Αντίστοιχο του θεωρήματος Virial)

d dt <x p x> 1 iħ < [ x ^p x,^h ]> [ x ^p x,^h ] ue =(u E,x ^p x^h u E ) (u E,^H x ^p x u E ) E (u E,x ^p x u E ) E (u E, x ^p x u E )=0 Εστω φ(x): κανονικοποιημένη Ψ(x)=φ(x) e ikx + ^p > ^p >? ως προς ψ ( χ ) Ψ ( iħ d + dx ) Ψ dx= iħ Ψ ' Ψ dx + iħ φ e ikx (φ ' e ikx +φ ik e ikx )dx iħ φ d φ dx dx+ ħk φ dx ο πρωτος ορος ειναι0 γιατί φ ( )=φ ( )=0 ħk

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner

Scanned by CamScanner