Περιεχόµενα. 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία... 4

Περιεχόµενα 0.1 Υλη του Μαθήµατος :.................................... 1 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία................................ 4 1 Βασικές Εννοιες 6 1.1 Εισαγωγικές-Θεµελιώδεις Εννοιες............................. 6 1.1.1 Ορισµός Συνήθους ιαϕορικής Εξίσωσης...................... 6 1.1.2 Ταξινόµηση..................................... 7 1.2 Λύσεις µίας Σ Ε...................................... 8 1.3 Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά των Λύσεων.......................... 12 1.3.1 Πεδίο ιευθύνσεων-ολοκληρωτικές Καµπύλες................... 13 1.3.1.i Γραϕική Προσέγγιση Λύσης-Πολύγωνο του Cauchy............ 17 1.3.1.ii Εύρεση Σ Ε από Γνωστή Οικογένεια Καµπυλών.............. 18 1.3.2 Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ Ε......................... 19 1.3.3 Ορθογώνιες Τροχιές................................. 22 1.4 Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών........................ 22 1.5 Καλά Τοποθετηµένα Προβλήµατα.............................. 25 2 Σ Ε Πρώτης Τάξης. 27 2.1 ιαϕορικές Εξισώσεις Πρώτης Τάξεως............................ 27 2.2 Ακριβείς Εξισώσεις..................................... 27 2.3 Εξισώσεις Χωριζοµένων Μεταβλητών............................ 28 2.4 Πολλαπλασιαστές του Euler (Ολοκληρωτικοί Παράγοντες)................ 28 2.4.1 Ιδιότητες Πολλαπλασιαστών Euler.......................... 29 2.4.2 Εύρεση Ολοκληρωτικών Παραγόντων........................ 31 2.5 Γραµµικές Εξισώσεις.................................... 33 2.6 Αυτόνοµες Σ Ε- Ποιοτική Μελέτη Λύσεων......................... 36 2.7 Μετασχηµατισµοί Μεταβλητών............................... 48 2.8 Οµογενείς Εξισώσεις.................................... 49 2.9 Η Εξίσωση Bernoulli.................................... 52 2.10Η Εξίσωση Riccati..................................... 57 2.11Ανακεϕαλαίωση....................................... 61 3 Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης. 65 3.1 Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης.............................. 65 3.1.1 Η ϑεωρία του Picard................................. 66 3.1.1.i Υπολογισµός ιαδοχικών Προσεγγίσεων της Λύσης............ 67 3.1.1.ii Το Θεώρηµα του Picard........................... 69 3.2 Περιβάλλουσα και Ιδιάζουσες Λύσεις............................ 70 3.2.1 Ορισµός και Εύρεση Περιβάλλουσας........................ 70 ii

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ iii 4 Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης 71 4.1 Σ Ε Ανώτερης Τάξης..................................... 72 4.1.1 Ακριβείς Σ Ε Ανώτερης Τάξης............................ 72 4.1.2 Η Εξίσωση y (n) = f(x)............................... 75 4.1.3 Εξισώσεις της µορϕής y (n) (x) = f(y (n 1) (x)).................... 76 4.1.4 Η Εξίσωση της Μορϕής F (x, y (k) (x), y (k+1) (x),..., y (n) (x)) = 0.......... 77 4.1.5 Αυτόνοµες.Ε.Ανώτερης Τάξης........................... 77 4.1.6 Οµογενείς.Ε. Ανώτερης Τάξης........................... 79 4.2 Γραµµικές Σ Ε Ανώτερης Τάξης.............................. 81 4.2.1 Γενικές Εννοιες.................................... 81 4.2.2 Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε-Χώρος Λύσεων...................... 82 4.2.3 Ορίζουσα Wronski-Θεµελιώδες Σύνολο Λύσεων Οµογενούς Γραµµικής Σ Ε... 83 4.2.3.i Η Wronskian των Λύσεων Γραµµικής Οµογενούς Σ Ε.......... 83 4.2.3.ii Ορίζουσα Wronski και Γραµµική Ανεξαρτησία Λύσεων Οµογενούς Γραµ- µικής Σ Ε.................................. 84 4.2.3.iii Γενική Λύση-Θεµελιώδες Σύνολο Λύσεων................. 85 4.2.4 Υποβιβασµός Τάξης Οµογενούς Γραµµικής Σ Ε.................. 87 4.2.4.i Μέθοδος d Alembert............................ 87 4.2.5 Εϕαρµογή Γενικής Θεωρίας : Γραµµικές Εξισώσεις 2ης Τάξης και Ορίζουσα W- ronski........................................ 87 4.2.5.i Υπολογισµός εύτερης Λύσης από Γνώση Μίας Λύσης.......... 87 4.2.5.ii Ο Γραµµικός Οµογενής Μετασχηµατισµός y = gy............ 87 4.2.5.iii Η Κανονική Μορϕή............................. 87 4.2.6 Μη Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε- Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών (Lagrange).. 87 4.2.6.i Μη-Οµογενείς Γραµµικές.Ε., Γενική λύση Μη-Οµογενούς Γραµµικής.Ε...................................... 87 4.2.6.ii Εϕαρµογή : Μέθοδος Μεταβολής των Σταθερών για Γραµµικές Σ Ε 2ης Τάξης.................................... 87 5 Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές. 88 5.1 Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε 2ης Τάξης µε Σταθερούς Συντελεστές............. 88 5.1.1 Χαρακτηριστική Εξίσωση - Πραγµατικές Ρίζες, Μιγαδικές Ρίζες, ιπλή Ρίζα.... 88 5.2 Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε Τάξης n > 2 µε Σταθερούς Συντελεστές............ 88 5.2.1 Χαρακτηριστική Εξίσωση - Πραγµατικές Ρίζες, Μιγαδικές Ρίζες, Ρίζες Πολλαπλότητας k........................................ 88 5.3 Μη Οµογενείς Γραµµικές Σ Ε Τάξης n > 2 µε Σταθερούς Συντελεστές.......... 88 5.4 Μέθοδος των Προσδιοριστέων Συντελεστών......................... 89 5.5 ιαϕορικοί Τελεστές-Απλές Εισαγωγικές Εννοιες..................... 89 5.6 ιαϕορικές Εξισώσεις Euler................................. 89 5.6.1 Σχέση Σ Ε Euler µε Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές......... 89 6 Εϕαρµογές Σ Ε Σε Βασικά Προβλήµατα Μηχανικής 90 6.1 Αυτόνοµα υναµικά Συστήµατα............................... 90 6.2 Κινήσεις Υπό την Επίδραση ύναµης που είναι Συνάρτηση της Ταχύτητας....... 90 6.2.1 Τριβές Ανάλογες µε υνάµεις της Ταχύτητας.................... 91 6.2.2 Κίνηση Σώµατος σε Κεκλιµένο Επίπεδο µε Αντίσταση Αέρα............ 96 6.3 Ταλαντώσεις......................................... 98 6.3.1 Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς Τριβή.................... 98 6.3.2 Ελεύθερη Αρµονική Ταλάντωση µε Τριβή...................... 98 6.3.3 Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση........................ 98 6.3.3.i Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση χωρίς Τριβή............ 98 6.3.3.ii Εξαναγκασµένη Αρµονική Ταλάντωση µε Τριβή.............. 98

iv ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 7 Μετασχηµατισµός Laplace. 99 7.1 Εισαγωγή-Ορισµός Μετασχηµατισµού Laplace....................... 99 7.2 Βασικές Ιδιότητες του Μετασχηµατισµού Laplace..................... 100 7.3 Αντίστροϕος Μετασχηµατισµός Laplace- Βασικές Ιδιότητες................ 100 7.4 Μετασχηµατισµός Laplace Στοιχειωδών Συναρτήσεων................... 100 7.5 Επίλυση ΠΑΤ Γραµµικών Σ Ε µε Μετασχηµατισµό Laplace................ 100 7.5.1 Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές..................... 100 7.5.2 Γραµµικές Σ Ε µε Συντελεστές Πολυώνυµα της Μεταβλητής............ 100 7.6 Μετασχηµατισµός Laplace και Ασυνεχείς Συναρτήσεις................... 100 7.7 Επίλυση ΠΑΤ Γραµµικών Σ Ε Σταθερών Συντελεστών µε Ασυνεχή µη Οµογενή Ορο... 101 7.8 Ανακεϕαλαίωση....................................... 101 7.8.1 Βασικοί Πίνακες Σχετικοί µε το Μετασχηµατισµό Laplace............. 101 7.8.2 Μετασχηµατισµός Laplace Ασυνεχών Συναρτήσεων................. 103 8 Επίλυση Σ Ε µε υναµοσειρές 106 8.1 Βασικοί Ορισµοί-Γενικά περί της Μεθόδου των Σειρών................... 106 8.2 Επίλυση µε Γενικές υναµοσειρές............................. 106 8.3 Μέθοδος Frobenius.................................... 106

Αναλυτικό Πρόγραµµα- Υλη Μαθήµατος 2012-2013 0.1 Υλη του Μαθήµατος : Αντικείµενο του µαθήµατος είναι η µελέτη Συνήθων ιαϕορικών Εξισώσεων. Τον όρο Συνήθης ιαϕορική Εξίσωση ϑα συµβολίζουµε µε (Σ Ε) ενώ, τον όρο Πρόβληµα Αρχικών Τιµών ϑα συµβολίζουµε µε (ΠΑΤ). Η ύλη είναι αυτή που καθορίζεται από το αναλυτικό πρόγραµµα σπουδών του µαθήµατος όπως έχει αναρτηθεί στην ιστοσελίδα : http://www.mie.uth.gr/n_syllabus.asp?id=18 µε πολύ µικρές διαϕοροποιήσεις, όχι ουσιαστικού αλλά τεχνικού περισσότερο περιεχοµένου. 1η Ενότητα : Εισαγωγικές Εννοιες. Εισαγωγή, Ορισµός Σ Ε, Ταξινόµηση. Ορισµός Λύσης, Γενική Λύση, Ιδιάζουσα Λύση, Πλήρης Λύση. Γεωµετρικά Χαρακτηριστικά Λύσεων : Πεδίο ιευθύνσεων-ολοκληρωτικές καµπύλες, Γραϕική Προσέγγιση Λύσης- Πολύγωνο Cauchy, Εύρεση Σ Ε από γνωστή οικογένεια καµπυλών, Κανονικά και Ανώµαλα Σηµεία Σ Ε, Ορθογώνιες τροχιές. Προβλήµατα Αρχικών και Συνοριακών Τιµών. Καλά τοποθετηµένα προβλήµατα. 2η Ενότητα : Σ Ε Πρώτης Τάξης. Ακριβείς Εξισώσεις, Σ Ε 1ης Ταξης χωριζοµένων Μεταβλητών, Μέθοδος Ολοκληρωτικού Παράγοντα Euler, Ιδιότητες πολλαπλασιαστών Euler, Εύρεση Ολοκληρωτικών Παραγόντων. Γραµµικές Σ Ε, Αυτόνοµες Σ Ε-Ποιοτική µελέτη λύσεων Μετασχηµατισµοί µεταβλητών, 1

2 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Οµογενείς Σ Ε, Σ Ε Bernoulli, Σ Ε Ricatti Εϕαρµογές-Μαθηµατικά Μοντέλα Φυσικών Φαινοµένων, 1. Χρόνος υποδιπλασιασµού 2. Πληθυσµιακά Μοντέλα 3. Εϕαρµογές στη Μηχανική Οι περισσότερες από τις πιο πάνω εϕαρµογές περιλαµβάνουν εξισώσεις της κατηγορίας των αυτόνοµων Σ Ε και της Σ Ε Bernoulli. Περισσότερες εϕαρµογές των Σ Ε ειδκότερα στη µηχανική ϐρίσκονται στην Ενότητα 6. 3η Ενότητα : Υπαρξη και Μοναδικότητα Λύσης, Θεώρηµα Picard, Υπολογισµός διαδοχικών προσεγγίσεων λύσης Περιβάλλουσα λύσεων 4η Ενότητα : Σ Ε Ανώτερης Τάξης. Γενική Θεωρία Εξισώσεων ν-οστής Τάξης, 1. Ακριβείς Σ Ε ανώτερης τάξης, 2. Η εξίσωση y (n) = f(x), 3. Εξισώσεις της µορϕής y (n) = f(y (n 1) ) 4. Η εξίσωση της µορϕής F (x, y (k) (x), y (k+1) (x),..., y (n) (x)) = 0, 5. Αυτόνοµες Σ Ε ανώτερης τάξης, 6. Οµογενείς Σ Ε ανώτερης τάξης Γραµµικές Σ Ε Ανώτερης Τάξης, 1. Οµογενείς Σ Ε Ανώτερης Τάξης, 2. Αλγεβρικές ιδιότητες Λύσεων, Ορίζουσα Wronski, 3. Μη-Οµογενείς Σ Ε Ανώτερης Τάξης, 4. Μέθοδος Μεταβολής Σταθερών, Μέθοδος ιαϕορικών Τελεστών, 5. Μέθοδος Υποβιβασµού Τάξης, 6. Εϕαρµογή : Γραµµικές Σ Ε εύτερης Τάξης : Ο γραµµικός οµογενής µετασχηµατισµός y = gy, Η κανονική µορϕή Παρατήρηση : Η µέθοδος των τελεστών δεν µελετήθηκε αναλυτικά. Μεγάλη έµϕαση δόθηκε στη χρήση της ορίζουσας Wronski για τη Μελέτη και Επίλυση των Γραµµικών Σ Ε δεύτερης τάξης, οµογενών και µη οµογενών.

0.1. Υλη του Μαθήµατος : 3 5η Ενότητα : Γραµµικές Σ Ε µε Σταθερούς Συντελεστές Οµογενείς, Χαρακτηριστικό Πολυώνυµο, Γενική λύση οµογενούς-περιπτώσεις Μη Οµογενείς-Μέθοδος Προσδιοριστέων Συντελεστών Σ Ε Euler, Σχέση Σ Ε Euler µε γραµµικές οµογενείς Σ Ε µε σταθερούς συντελεστές. 6η Ενότητα : Εϕαρµογές Σ Ε σε Βασικά Προβλήµατα Μηχανικής. Αυτόνοµα δυναµικά συστήµατα, Κινήσεις υπό την επίδραση δύναµης που είναι συνάρτηση της ταχύτητας, 1. Τριβές ανάλογες µε δυνάµεις της ταχύτητας 2. Κίνηση σωµατος σε κεκλιµένο επίπεδο µε αντίσταση αέρα Εϕαρµογές σε Προβλήµατα υναµικής και Ταλαντώσεων. 1. Ελεύθερη αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβή και µε τριβή 2. Εξαναγκασµένη αρµονική ταλάντωση χωρίς τριβή και µε τριβή, συντονισµός. 7η Ενότητα : Μετασχηµατισµός Laplace Ορισµός-Ιδιότητες, Αντίστροϕος Μετασχηµατισµός Laplace, Μετασχηµατισµός Laplace στοιχειωδών συναρτήσεων, Εϕαρµογή στην Επίλυση ΠΑΤ (Γραµµικών Σ Ε µε σταθερούς συντελεστές ) Ο Μετασχηµατισµός Laplace Ασυνεχών Συναρτήσεων-Εϕαρµογές σε ΠΑΤ, 8η Ενότητα : Επίλυση Σ Ε µε υναµοσειρές. Οµαλά Σηµεία, Ιδιάζοντα σηµεία, ϑεώρηµα Fuchs, Επίλυση µε Γενικές υναµοσειρές, Μέθοδος Frobenius. Παρατήρηση. Για το Ακαδηµαϊκό έτος 2012 2013 στην ύλη του µαθήµατος δεν ϑα περιλαµβάνεται η ενότητα των Συστηµάτων Σ Ε.

4 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ 0.2 Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία Ως συγγράµµατα του µαθήµατος έχουν προταθεί τα ϐιβλία Στοιχειώδεις ιαϕορικές Εξισώσεις και Προβλήµατα Συνοριακών Τιµών.των W. E. Boyce and R.C. DiPrima [9]. Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά [2]. Σε κάθε περίπτωση όµως, οδηγό για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αµϕιθέατρο. Γίνεται προσπάθεια ώστε όλες οι ενότητες του µαθήµατος να περιληϕθούν σε σηµειώσεις οι οποίες αναρτώνται στην ιστοσελίδα του µαθήµατος http://www.mie.uth.gr/n_ekp_yliko.asp?id=18 Το µάθηµα έχει ακολουθήσει σε σηµαντικότατο ϐαθµό την ανάπτυξη του ϑέµατος από τα ϐιβλία α) Συνήθεις ιαϕορικές εξισώσεις του. Σουρλά [3], ϐ) Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις του Σ. Τραχανά [2], γ) Συνήθεις ιαϕορικές Εξισώσεις του Γ. άσιου [1], ενώ, πολύτιµη ήταν η ϐοήθεια των ηλεκτρονικών σηµειώσεων του. Σουρλά : http://www.physics.upatras.gr/main.php?categoryid=4&subcategoryid= 4&name=courseAnalytic&subCatExist=true&courseId=16&lang=en Οµως η ϐιβλιογραϕία δεν περιορίζεται µόνο σε αυτά τα συγγράµµατα και σηµαντικότατη ήταν η ϐοήθεια των [5], [4], [7], [8] και [6] Ενότητες Συγγραµµάτων που Αντιστοιχούν στην Υλη. Από την αναλυτική παράθεση της ύλης στην προηγούµενη ενότητα στην µπορείτε να προσδιορίσετε και τις ενότητες των προτεινόµενων συγγραµµάτων που αντιστοιχούν στην ύλη του µαθήµατος. Οµως, κανένα από τα δύο συγγράµµατα δεν καλύπτει πλήρως την ύλη του µαθήµατος. Τονίζεται για άλλη µία φορά ότι οδηγός για το µάθηµα και τις απαιτήσεις του αποτελούν οι διαλέξεις του διδάσκοντα στο αµϕιθέατρο. Αυτό, διότι ο τρόπος παρουσίασης και ανάπτυξης των ενοτήτων είναι πολύ πιθανόν να είναι διαϕοροποιηµένος, σε αρκετές περιπτώσεις, σε σχέση µε τον αντίστοιχο του συγγράµµατος. Σηµειώσεις του ιδάσκοντα. Πληροϕορίες για την Υλη µπορείτε να πάρετε και από τις σηµειώσεις που ακολουθούν, οι οποίες είναι όµως ηµιτελείς. Οµως, τόσο ο πίνακας περιεχοµένων όσο και σηµειώσεις στα διάϕορα κεϕάλαια αποτελούν τον καλύτερο ίσως οδηγό για τις απαιτήσεις του µαθήµατος. Σε κάποια Κεϕάλαια υπάρχει στο τέλος ενότητα ανακεϕαλαίωσης η οποία περιέχει συνήθως ϐασικές έννοιες και χρήσιµους πίνακες. Απορίες : Απορίες ή παρατηρήσεις µπορούν να σταλλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση : anzoupas@uth.gr.

0.2. Συγγράµµατα, Βιβλιογραϕία 5 Παρατηρήσεις-Σχόλια Αναγνωστών : Σχόλια και παρατηρήσεις είναι όχι µόνο ευπρόσδεκτα αλλά ϑεωρούνται και αναγκαία. Χωρίς σχόλια και αλληλεπίδραση µε τους αναγώστες οποιαδήποτε είδους ϐελτίωση είναι πρακτικά αδύνατη. Τυχόν σχόλια µπορούν να σταλούν στην παρακάτω ηλεκτρονική διεύθυνση : anzoupas@uth.gr.