ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΠΑΝΕΛΛΗΝΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΚΑΙ ΕΣΠΕΡΙΝΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΡΑΣΚΕΥΗ 9 ΙΟΥΝΙΟΥ 7 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Ε Ν Δ Ε Ι Κ Τ Ι Κ Ε Σ Α Π Α Ν Τ Η Σ Ε Ι Σ Θ Ε Μ Α Τ Ω Ν ΘΕΜΑ Α Α. Θεώρημα σχολικό βιβλίο, σελ. 5 Α. α) Ψ β) Για αράδειγμα η συνάρτηση:,, Είναι συνεχής στο, ενώ δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Αόδειξη Είναι: Είναι:, άρα, εομένως η συνεχής στο. Εομένως, η δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Α. Ορισμός σχολικό βιβλίο, σελ. 7 Α. α) Λ, β) Σ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ ΘΕΜΑ Β Β. Η συνάρτηση έχει εδίο ορισμού το D,, ενώ η g το,, Η συνάρτηση g ορίζεται όταν: D g.
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr Dg και g D g Άρα, η g έχει εδίο ορισμού το D g,, g ln,, Β. Θα δείξουμε ότι η h αντιστρέφεται Η h είναι αραγωγίσιμη ως σύνθεση αραγωγίσιμων, με: h, στο,, άρα η h είναι, Άρα αντιστρέφεται.. Εομένως, ορίζεται η g, και είναι:, οότε είναι και. Λύνουμε την εξίσωση: Εύρεση του τύου της h ως ρος, ln,,, διότι με, για κάθε, ου ισχύει για κάθε IR Άρα Β. h Η Φ, IR είναι αραγωγίσιμη στο IR, με:, για κάθε IR Φ Άρα Φ IR και δεν έχει ακρότατα. Η Φ είναι αραγωγίσιμη στο IR, με:
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr Είναι Φ Φ Φ Το ρόσημο της Φ και η κυρτότητα της Φ φαίνονται στον αρακάτω ίνακα: Εομένως, η Φ είναι: Β. Εειδή: Κυρτή στο, Κοίλη στο, και αρουσιάζει καμή στο, ενώ στο σημείο καμής είναι το Φ και Φ D.L. Η ευθεία είναι οριζόντια ασύμτωτη της C Φ στο ασύμτωτη στο. K,., ενώ η είναι οριζόντια
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr ΘΕΜΑ Γ. Γ. Η είναι αραγωγίσιμη στο,, με: συν Έστω (ε) η ζητούμενη εφατομένη και, M το σημείο εαφής. Τότε: (ε):, η οοία διέρχεται αό το A,, αν και μόνον αν A, (ε). ημ συν συν ημ συν συν Αρκεί, λοιόν, να δειχθεί ότι η εξίσωση: (Ε): ημ συν συν, έχει ακριβώς δυο ρίζες στο, Θεωρούμε τη συνάρτηση: g ημ συν συν,, Είναι: g ημ Το ρόσημο της g και η μονοτονία της g, φαίνονται στον αρακάτω ίνακα:. Αό τον ίνακα, ροκύτει ότι: g, g, Είσης, g g, και για : g g g
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr Εομένως, g στο, g g g. Άρα, η εξίσωση g (Ε) έχει δυο ακριβώς ρίζες στο,, τις και. Εομένως, υάρχουν ακριβώς δυο εφατόμενες ευθείες ου διέρχονται αό το Α: η (ε ) στο, με εξίσωση (ε ):, και η (ε ) στο, με εξίσωση (ε ): Γ. Η συνάρτηση ημ,, συν ημ, στο, και συνεχής στο,,. Εομένως, η είναι κυρτή στο Όως φαίνεται στο σχήμα, έχουμε: είναι κυρτή, αφού: E ημ d ημd συν ΟΑΒ, όου ΑΗ Το εμβαδόν του τριγώνου ΟΑΒ, είναι: ΟΒΑΗ τ.μ. Και Ε ΟΑΒ Ε τ.μ. 5
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr Ε Εομένως, Ε 8 Γ. Εειδή η είναι κυρτή, η εφατομένη (ε ):, βρίσκεται κάτω αό τη C, με εξαίρεση το σημείο εαφής. Άρα,, για κάθε, Δηλαδή,, στο, Άρα Είσης,, και η ισότητα ισχύει μόνο για., στο, και. Έτσι, τελικά. Γ. Έχουμε δείξει ότι για κάθε, ισχύει:. Άρα, για κάθε, Τέλος,, για κάθε, d d d d.. Οότε: ln και η ισότητα ισχύει μόνο για ΘΕΜΑ Δ Δ. Στο : Για κάθε,, έχουμε συναρτήσεων. Για κάθε,, έχουμε ημ συναρτήσεων. ημ, συνεχής, ως σύνθεση συνεχών, συνεχής, ως γινόμενο συνεχών 6
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr και ημ Άρα,. Δηλαδή, η είναι συνεχής στο, οότε συνεχής στο,. Κρίσιμα σημεία της είναι τα εσωτερικά σημεία του, αράγωγος μηδενίζεται ή δεν ορίζεται. Για κάθε, είναι:. Η είναι αραγωγίσιμη, με, στο,, άρα στο, κρίσιμα σημεία., στα οοία η δεν έχει Για κάθε,, η ημ είναι αραγωγίσιμη με ημ συν Λύνουμε την εξίσωση Οότε, η έχει κρίσιμο σημείο το Άρα, ημ συν συν, διότι ημ σφ. ημ συν ημ, για κάθε, σφ σφ, αφού, Θα εξετάσουμε αν η είναι αραγωγίσιμη στο ημ. ημ D.L. Εομένως, η δεν είναι αραγωγίσιμη στο. Άρα, η έχει κρίσιμο σημείο και το. Δηλαδή, τα κρίσιμα σημεία της είναι τα: και Δ. Για κάθε,, είναι:. 7
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr Για κάθε,, είναι Η είναι συνεχής και διαφορετική αό το, στα διαστήματα διατηρεί ρόσημο σε κάθε ένα αό αυτά. Και εειδή:, και,, άρα, είναι για κάθε, 5 5 5 5 5 5 6 6 6 ημ συν 6 6 6,, είναι για κάθε,. Εειδή η είναι συνεχής στο,, αό τον ίνακα ροκύτει ότι:, Οότε η αρουσιάζει:,,,, στο τοικό μέγιστο, το στο τοικό ελάχιστο, το στο τοικό μέγιστο, το στο τοικό ελάχιστο, το ος τρόος: Ειλέον, η ως συνεχής στο κλειστό διάστημα, έχει μια μέγιστη και μια ελάχιστη τιμή. Η μέγιστη τιμή είναι το ( η μεγαλύτερη αό τα τοικά μέγιστα) και η ελάχιστη, το. Είναι:, αληθής. 8
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr Εομένως το σύνολο τιμών της είναι το:, ος τρόος, Η συνεχής και στο, Δ, άρα Δ,, Η συνεχής και στο, Η συνεχής και στο, Οότε, το σύνολο τιμών της είναι το: Α Δ Δ Δ Δ. E g d Για κάθε, Άρα Δ, άρα Δ,, Δ, άρα Δ,, ημ 5 d 5 ημ ημ ημ ημ,, διότι για κάθε ισχύει: και και ημ. 5 5 Εομένως E ημ d ημ d d ημ Θέτουμε: Ι ημ d ημ d ημ συν d συν ημ I συν συν Ι 5 d () 5 d συν d I Αό (), () έχουμε: Ι () 9
ΚΩΛΕΤΤΗ 9- -68 86 8767 www.iraklits.gr E 5 Δ. Για κάθε, 6 5 η εξίσωση γράφεται 8 Προφανής ρίζα το Η αρουσιάζει μόνο στο Οότε για κάθε Άρα Εομένως το 6 6 6 6 8 μέγιστο το. ισχύει. και. είναι μοναδική ρίζα της εξίσωσης.