008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 008 m matematikos valstybinio brandos egzamino VERTINIMO INSTRUKCIJA Pagrindinė sesija 7 uždavinių atsakymai I variantas Užd Nr 4 5 6 7 Ats C E D D C C B II variantas Užd Nr 4 5 6 7 Ats B B C A C D B Kitų uždavinių sprendimo nurodymai ir atsakymai 8 8 40000 : 750000 Ats: 750 000 akcijų 8 Lt 96 % x Lt 00 % 00 x 5 96 Ats: 5 Lt pasirinkimą (pvz teisingos proporcijos sudarymą; lygties 0 96x sudarymą) 9 4 9 ( x ) > 0 4 x > 0 Ats: x > 5x x 7 9 0 x pasirinkimą (teisingai atlikti x 5x + 7 nelygybės pertvarkiai) (arba 0 ) x 5x x 7 0 D < 0 5x x 7 < 0 Už skaitiklio reikšmių ženklo nustatymą su visomis realiomis x reikšmėmis (arba x 5x + 7 > 0 su visomis realiomis x reikšmėmis) Ats: x ( 0; + ) Pastabos: Jeigu mokinys sprendžia nelygybę 9 kitu būdu (pvz: braižo parabolės eskizą ženklui nustatyti; intervalų metodu ir pan) ir gauna teisingą atsakymą skiriami visi taškai Jeigu mokinys nelygybę 9 sprendžia taip: 7 5 x 0 x x 5x x 7 0 x 5x + 7 0 D < 0 x R (arba x ( ;0) U (0; + ) ) tai jo sprendimas vertinamas tašku
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 0 x 0 x x 5 x 5 Ats: x 5 x x+ 0 ( + 9) 7 x x x (arba 9 + 7 7 ) x+ 7 7 x+ x + 0 x Ats: x Pastabos: Jeigu mokinys spręsdamas 0 atspėja kad 5 x ir patikrina raštu kad ši reikšmė yra lygties sprendinys jam skiriamas taškas Jeigu mokinys spręsdamas 0 atspėja kad x ir patikrina raštu kad ši reikšmė yra lygties sprendinys jam skiriamas taškas Ats: f ( x) cos x + Už teisingai apskaičiuotą išvestinę Ats: k f ( π) Už teisingai apskaičiuotą liestinės krypties koeficientą sin x ctg x cos x sin x sin x cos x x π k k Ζ Kadangi sin x 0 x π k tai lygtis neturi sprendinių Ats: Sprendinių nėra Už teisingą ctg x išreiškimą santykiu ir suprastinimą Už teisingą lygties cos x bendrąjį sprendinį Už argumentuotai gautą teisingą atsakymą Pastaba Sąlygą k Ζ uždavinio sprendime užtenka nurodyti bent vieną kartą
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA būdas sin( α + β)sin( α β) sin αcos β cos αsin β pasirinkimą (teisingai gauta išraiška sin αcos β cos αsin β) ( cos α)cos β cos α( cos β) Už bent vieną sin α (arba cos β cos α cos β cos α + + cos αcos β cos β cos α sin β ) išreiškimą cos α (arba cos β ) Už gautą teisingą išraišką būdas cos β cos α (cos β cosα)(cosβ + cosα) Už teisingą kosinusų skirtumo β + α β α β + α β α ir sumos keitimą sandauga sin sin cos cos β + α α β β + α α β sin sin cos cos Už trigonometrinių funkcijų α + β α + β α β α β lyginumo savybių taikymą sin cos sin cos Už sinuso dvigubo kampo formulės pastebėjimą ir sin( α + β)sin( α β) teisingą pritaikymą Pastaba Mokinys gali teisingai įrodyti tapatybę ir kitais būdais Už tai jam skiriami visi taškai 4 4 4 0 + a + b + 05 a + b 0 55 E X 0 0 + a + b + 0 5 Po tašką už kiekvieną teisingai sudarytą lygtį a + b + 075 a + b + 075 55 a + b 08 a + b 055 a + b 055 4 Už teisingai apskaičiuotas a a + b 08 b 05 ir b reikšmes a 0 b 05 Ats: a 0 b 05 4 Ρ( X ) Ρ( X ) + Ρ( X ) 05 Ats: 05 Pastaba Jeigu mokinys spręsdamas 4 apskaičiuoja neteisingai a ir b reikšmes ir su jomis teisingai sprendžia 4 jam skiriamas taškas
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 5 5 π 07 5 S pav 0 769 m Už teisingai apskaičiuotą gaubto paviršiaus plotą 0 9 m 00 % 0 07 m x % pasirinkimą (pvz sudaroma 00 007 x proporcija santykis ir pan) 09 x 45 % Ats: 4 5 % 5 B A l r l C Rl Rl būdas πr πr πr πl r l Δ ABC lygiakraštis nes AB BC AC r būdas πr S puskr S šon πrl πr πl πrl πrl l r l r ΔABC lygiakraštis nes AB BC AC r Už teisingą išvadą Už teisingą išvadą Pastabos: Jeigu mokinys teiginį 5 teisingai įrodys su konkrečia kūgio sudaromosios reikšme skiriami taškai Jeigu mokinys įrodys atvirkščią 5 teiginį jam skiriamas taškas l 07 m jam 4
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 6 5 6 x 0 x B (; 0) x x x + x 0 x arba x A (; ) Ats: B( ;0) A(;) 6 S S + S S x dx 0 S 5 S + 6 Ats: 6 5 Po vieną tašką už teisingai surastas taškų A ir B koordinates Po vieną tašką už kiekvieną teisingai apskaičiuotą ploto dalį Pastaba Jei mokinys spręsdamas 6 uždavinį teisingai apskaičiavo tik taškų A ir B abscises jam skiriamas taškas 7 B C A A B O M D D C N būdas Kadangi MN OC tai ieškomasis kampas yra C OC Δ OCC kraštinės yra: OC ir CC tg C OC C OC arctg Ats: C OC arctg būdas Kadangi MN OC tai ieškomasis kampas yra C OC Sakykime koordinačių sistemos pradžios taškas yra B Tada: MN ( ;;0) ir OC ( ;; ) 5 Už teisingai apskaičiuotus Δ OCC kraštinių ilgius Už teisingai užrašytas vektorių MN ir OC koordinates
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA cos COC MN OC MN OC 6 COC arccos Ats: COC arccos būdas cos( MN; OC) MN OC MN OC OC + OC + CC MN CC MN OC MN( MN + CC) MN + MN CC MN + O MN (arba MN ) cos( MN ; OC MN OC ) 6 MN MN OC Už teisingą vektorių skaliarinės sandaugos išreiškimą (arba apskaičiavimą) Ats: ( MN ; OC ) arccos Pastaba Jeigu mokinys kampo didumą pateikia teisingai suapvalintą (pvz: sprendime užrašo kad C OC arctg arba OC arccos 55 ; 5474 C tai jam skiriami visi taškai ar kitą) bet savo 6
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 8 8 Įvykiai nepriklausomi todėl Ρ (atvirto trys karaliai) 4 Ats: 4 8 SK I II KS KK SS SK I III II III KK KK SK SK KK pasirinkimą (pvz: variantų perrinkimas galimybių medis ir pan) KK SK Iš viso įvykių n 4 Palankių įvykių (abu karaliai) m 5 5 Ρ (abu karaliai) 5 Ats: Pastaba Jeigu mokinys spręsdamas 8 uždavinį naudoja sąlygines tikimybes 5 ( + + ) ir gauna teisingą atsakymą jam skiriami visi taškai 9 N P M A O B ANB BMA nes remiasi į tą patį lanką (arba ANB BMA 90 nes remiasi į skersmenį arba MBN NAM nes remiasi į tą patį lanką) Δ ANP ~ ΔBMP pagal du kampus (pvz: ANP BMP (anksčiau įrodyta) APN BPM kaip kryžminiai) Jei trikampiai panašūs tai AN AP AN BP BM AP BM BP Už pastebėjimą ir pagrindimą kad atitinkami įbrėžtiniai kampai lygūs Už pastebėjimą ir pagrindimą kad trikampiai yra panašūs Už teisingą proporciją ir teisingą išvadą 7
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 0 5 0 Pagal Pitagoro teoremą AD 0000 + x m Už teisingai išreikštus DB 400 x m atstumus AD ir DB Tada dujotiekio tiesimo kaina: K ( x) 0 5 0000 + x + 0(400 x ) 50 0000 + x + (400 x) 0 0(5 0000 + x 4x + 600) kai 0 x 400 5x 0 ( ) 0 4 K x 0000 + x 5x K ( x) 0 4 0000 + x 0 + 5x 4 0000 + x 5x 6(0000 + x ) 9x 60000 x 60000 9 400 400 x arba x (netinka) + K ' (x) 400 400 K(x) K ( 00) < 0 K ( 00) > 0 Ats: Dujotiekio mažiausia tiesimo kaina 400 bus kai x m Už gautą teisingą dujotiekio tiesimo kainos išraišką Už teisingai surastą funkcijos K(x) išvestinę Už teisingai surastą x reikšmę su kuria išvestinė lygi 0 Už teisingą pagrindimą kad 400 su reikšme x dujotiekio tiesimo kaina bus mažiausia (pvz mokinys parodo kad K ( 00) < 0 o K ( 00) > 0) Pastabos: Jeigu mokinys spręsdamas 0 uždavinį užrašė tik dujotiekio atstumo nuo taško A iki gyvenvietės B išraišką (t y d 0000 + x + 400 x ) jam skiriamas taškas Jeigu mokinys spręsdamas 0 uždavinį neteisingai apskaičiuoja funkcijos K (x) išvestinę ir pagal jo tolimesnius teisingus skaičiavimus kritinis taškas neegzistuoja arba nepriklauso intervalui 0 x 400 tačiau teisingai pagrindžia kad mažiausia dujotiekio nutiesimo kaina yra kai x 400 m jam skiriami taškai Jeigu mokinys spręsdamas 0 uždavinį teisingai apskaičiuoja funkcijos K (x) išvestinę bet neteisingai sprendžia lygtį K ( x ) 0 ir gauna kad kritinis taškas neegzistuoja arba nepriklauso intervalui 0 x 400 tačiau teisingai pagrindžia kad mažiausia dujotiekio nutiesimo kaina yra kai x 400 m jam skiriami taškai 8
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA 4 būdas Tarkime kad salėje iš viso buvo N kėdžių sustatytų po n kėdžių kiekvienoje eilėje kai kėdės buvo sustatytos į eilių Tada: N 7( n 7) Už teisingai užrašytą kėdžių N 7n 9 skaičiaus N išraišką Taip pat n < N < n nes trylikta eilė nepilna n < N arba N < n n < 7n 9 < n 7n 9 > n 7n 9 < n 5n > 9 4n < 9 5 8 < n < n nes n 7 natūralusis skaičius N 7 9 59 (kėdės) Ats: 59 kėdės būdas Tarkime kad salėje iš viso buvo N kėdžių sustatytų po n kėdžių kiekvienoje eilėje kai kėdės buvo sustatytos į eilių Tada: N 7( n 7) N 7n 9 Kadangi trylikta eilė nepilna tai N < n 7n 9 < n 5 n < 7 Kadangi n yra natūralusis skaičius tai n { ; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; ; ; } Suskaičiuokime N reikšmes su gautomis n reikšmėmis Kai n [ ; 7] N < 0 todėl netinka Kai n 8 N 4 Kai n 9 N 5 Kai n 0 N 78 Kai n N 05 Kai n N Kai n N 59 n { 8; 9; 0} netinka nes netenkina sąlygos kad pastačius eilėje 7 kėdėmis mažiau paskutinėje eilėje trūktų kėdžių Kai n tai N 05 bet ankstesnių eilių buvo pilnos: > 05 9 Už teisingą kėdžių skaičiaus įvertinimą (dviguba nelygybė arba nelygybių sistema) Už gautą teisingą dvigubos nelygybės arba nelygybių sistemos sprendinį Už teisingai užrašytą kėdžių skaičiaus N išraišką Už gautas N reikšmes kai n [ ; ] n N ir neigiamų N reikšmių atmetimą Už argumentuotą reikšmių kai n 8; atmetimą N [ ]
008 M MATEMATIKOS VALSTYBINIO BRANDOS EGZAMINO UŽDUOTIES VERTINIMO INSTRUKCIJA N 05 negali būti Kai n tai N bet ankstesnių eilių buvo pilnos: 44 44 > N negali būti Kai n tai N 59 59 : Taigi eilių pilnų o trylikta nepilna Ats: 59 kėdės 0