ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ

ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ - ΠΑΡΑΓΟΥΣΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων ( ) = ( +) ( -) log ( -) γ ( ) = ( +) ( - ) +, > ln( -) ln( -) ( ) = + 5, > δ ( ) = 5 +, > Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων - ln =, > ( ) = ( +) γ ( ) + ( ) =( ημ + συν ) δ ( ) =- Ν ρείτε τις ράγουσες Fτων ρκάτω συνρτήσεων +- ( ) = + γ ( ) = +++ln +, > ++7+log( +) ( ) ( ) + ( ) =5 δ ( ) = Ν ρείτε τις ράγουσες F των ρκάτω συνρτήσεων - -- - ( ) =, > ( ) =,< - + +- συν, =, > ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΗ : ΤΟ ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΙΝΑΙ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5 Ν ρείτε τις ράγουσες F της συνάρτησης ( ),στο διάστημ [-,] Η ΑΡΧΙΚΗ 6 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ: (ι) 5- d (ii) 5 d (iii) συν( +5)d 7 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ ι) ( ηµ χ+συνχ)d ii) d + iii) ( )( +) d iv) εφd ηµ + v) εφ d vi) d ηµ vii) + d + + 5 viii) + συν d + συν i) ln d ΕΥΡΕΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ 6

8 N ρεθεί συνάρτηση τέτοι, ώστε η γρφική της ράστση ν διέρχετι ό το σημείο A(, ) κι ν ισχύει '(χ) = ημχ + συνχ,, γι κάθε R 9 Ν ρείτε τη συνάρτηση ν '(χ) = ημχ + συνχ, χ R κι η c διέρχετι ό την ρχή των ξόνων Έστω η συνεχής συνάρτηση : [, + ) R,με ( ( ) ( )) ( ) γι κάθε > κι ( ) = Ν ρείτε τον τύο της - = y= Έστω η συνάρτηση :R-{ } R, με ( ) ( ), γι κάθε Ν ρείτε την συνάρτηση ( ) - =, Ν ρείτε τη συνάρτηση : R R, ν η εφτομένη της C έχει σε κάθε σημείο της συντελεστή διεύθυνσης τετρλάσιο ό την τετμημένη του σημείου υτού κι () = 6 Ν ρείτε τη συνάρτηση : R R, ν ( ) =, () = κι η είνι άρτι Ν ρείτε τη συνάρτηση : R * R ν γι κάθε ισχύει: ( ) = - κι ()= 5 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της Αν () = κι γι κάθε R είνι () = -F(), ν ρεθεί η 6 Έστω η συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της με την ιδιότητ ()F() = - - γι κάθε R Αν () =, ν ρεθεί η 7 Έστω η συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της με την ιδιότητ ()F(-) = γι κάθε R Αν ( ) =, ν οδείξετε: (ι) (-)F() = (ii) [F()F(-)] = (iii) F( ) = (iv)f()f(-)= v)()=f(), (vi)f()= (vi()= 8 Έστω η συνεχής συνάρτηση : R R κι F μι ρχική της στο R με F (), Αν γι κάθε R ισχύει F() = F(-) ν λύσετε την εξίσωση ()= 9 N ρεiτε συvάρτηση ργωγiσιμη στo R v ( + ) = ( + ) () = 5, R κi Εστω η ργωγισιμη συνρτηση στο [, ] ώστε () () = + (), [,] N δειξετε ότι + ( ) = + ( ) Εστω η συνρτηση : (, + ) + R, ώστε ν ισχυει () + ( ) =, > + 7

Ι) Ν δειχθει ότι () = + ii) N ρεθει το () d Αν F είνι ρχικη της κι ισχυει F( ) + F( ) = 6, R Ν ρειτε τις τιμες () κι () Δίνετι ότι η συνάρτηση ( ) : R R F είνι ράγουσ της συνάρτησης κι ισχύει ( ) ( ) F( - ) +F( - ) +F + = 6 - + + γι κάθε R Ν ρείτε τις τιμές ( ) κι ( ) Αν η είνι ργωγίσιμη στο R,ν δείξετε ότι: i) Η C τέμνει τον άξον σ έν τουλάχιστο σημείο = ii)υάρχει ( ), έτσι ώστε ( ) ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν οδείξετε ότι: 6 + 6 d d = + 9 + 9 6 5 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R, ν γρφούν στη μορφή ()d οι ρκάτω συνρτήσεις: 5 (i) ()d+ ()d+ ()d (ii) ()d- ()d+ ()d - 5 - - 6 Ν υολογίσετε την τιμή του κ R γι την οοί ισχύει: κ 8 d d = + + 7 Αν, ν οδείξετε ότι 8 Ν οδείξετε ότι: κ ( )d 5 5 d d + 9 Ν οδείξετε ότι ν, τότε ( + )d Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο [,5], ν οδείξετε ότι: 5 5 + ()d () d Αν οι συνρτήσεις κι g είνι συνεχείς στο R, ν οδείξετε ότι: d d (t)g()d dt = (t)g()dt d g g 8

Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι ()d = ()d, γ ()d = ()d d d ν οδείξετε ότι: γ Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο R κι ισχύει () γι κάθε R Ν οδείξετε ότι: 9 8 (i) ()d ()d (ii) ()d ()d - Έστω, g συνεχείς στο [,] Ν οδείξετε ότι : i) Aν () g() γι κάθε [,] τότε ii) Aν m η ελάχιστη κι Μ m(-) ()d Μ(-) iii) ()d g()d η μέγιστη τιμή της στο [,] τότε ()d ()d 5 Αν η συνάρτηση είνι συνεχής στο διάστημ [,] με () γι κάθε [,] κι ()d=, ν οδείξετε ότι ()d ΙΙ ΑΜΕΣΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 6 Ν υολογισθούν τ ορισμέν ολοκληρώμτ: ) t ( + )dt ) t (+ -ημ( ))d γ) 5 ( ) d δ) + d ε) + ημ d στ) -συν 8 6 (εφ +εφ )d ΙΙΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΜΕ ΑΠΟΛΥΤΑ 7 N υολογιστούν τ ολοκληρώμτ: + d ( )d ( + ) d ( t + t )dt 5 ( t + t + + t )dt ν 6 ( ) 8 Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ / συν d 7 + 5 d -ημ d 9 Δίνετι η ( ) = - - )Ν την μελετήσετε ως ρος την μονοτονί-κρόττ 9

)Ν ρείτε το ρόσημο της γ) Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ - - d Δίνετι συνεχής συνάρτηση d κι ( ) = - - :R Rγι την οοί ισχύει οτι ()- + >, R ) N δείξετε οτι η διτηρεί στθερό ρόσημο στο R το οοίο κι ν ρείτε ) N υολογίσετε το ολοκλήρωμ Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ () + + 5d -8 + + d 5 - + / 7 5 Ν υολογίσετε τo ολοκλήρωμ ( ) / - - + - - + + d Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ I = IV ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ Αν ισχυει ότι 8 7 ()d = -, τοτε ν υολογισετε το ολοκληρωμ 5 N υολογιστούν τ ολοκληρώμτ: 9 7 8 () t dt d 6 χ dt d χ (t t) dt d γ χ t ( + t) dt d 6 Ν υολογιστούν τ ρκάτω ολοκληρώμτ: V ΕΥΡΕΣΗ ΤΗΣ ΟΤΑΝ ΔΙΝΕΤΑΙ ΤΟ ()d 7 Ν ρειτε τον τυο της συνεχους συνρτησης : 8 Ν ρειτε τον τυο της συνεχους συνρτησης : 9 Ν ρειτε τον τυο της συνεχους συνρτησης : [, + ) ( ) 6 d ( ) R R ότν = + R R ότν ()= 6 ( ) d R ότν ( ) = ( ) + ( t) dt 5 Ν ρείτε όλες τις συνεχείς συνρτήσεις στο [,] ώστε ( ) d = 5 Έστω συνεχής στο [,] ώστε: + ( ) = ( ) Ν ρείτε τον τύο της t t dt t t dt

5 Έστω :R Rργωγίσιμη : της 5 Αν ( t) dt ( t) dt = = ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ () + () = (t)dt= k, R Βρείτε τον τύο Ν δείξετε ότι ()= γι κάθε [,] ΜΕΘΟΔΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ Ι ΠΑΡΑΓΟΝΤΙΚΗ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ 5 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ι) d ιι) συν d ιιι) ( ) + + d ιv) ηµ ηµ d v) d vi) d ηµ vii) ln( + ) d viii) ln d i) n ln d ln ) d i) (ln ) d ( ) = [ () + ()] d 55 Ν οδειχθει ότι 56 Αν ()= (), ν οδειξετε ότι ()d = ( ) ( ) 57 Αν () = (), ν ρειτε το ολοκληρωμ () ηµ χ d 58 Αν η συνρτηση εχει συνεχη ργωγο στο [,] κι ()= ν υολογισετε το ολοκληρωμ [ () + () ]d 58 Αν οι, g έχουν συνεχή δεύτερη ράγωγο στο [, ] κι η συνάρτηση F, όου ( ) F( ) = g ( ), ληρεί τις ροϋοθέσεις του Θ Roll στο [, ] με g ( ) = g = g d = g d ( ) ν δειχθεί ότι : ( ) ( ) ( ) ( ) 59 Έστω η συνάρτηση με συνεχή δεύτερη ράγωγο στο, γι την οοί ( ) ( ) ισχύει ότι = d Αν η ρουσιάζει κρόττο στο =

κι εφάτετι στον στο =, ν ρεθεί το () Κτόιν ν δειχθεί ότι υάρχει έν τουλάχιστον ξ (,) στο οοίο η εφτομένη της είνι ράλληλη στην δ: + y + = ΑΝΑΓΩΓΙΚΟΙ ΤΥΠΟΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ 6 Αν = ν 6 Αν ν = ν I d, ν οδειχθει ότι Ι ν+ +(ν+) Ι ν Ν ρεθει το I ν I ημ d Ν οδειχθει ότι Ι ν = ν ν Ι ν- ν n 6 Αν I = (ln ) d n ν οδειξετε ότι + ν ν Iν I = 6 Βρείτε μι νδρομική σχέση γι τ ν ν Iν = d ν N I = d / 6 Έστω I = ν ν εφ d (ν N * -{} ): δείξτε ότι ν ν N I ( n) d n = ν N, n ) I < ν + Iν ) + + Iν = γ) ν Iν < I < ν + ν ν ΙΙ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ 65 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ d ι) ιι) du ιιι) + u(ln u) ιv) ( + + ) (8 + ) d v) + + ( 5) d vi) viii) ηµ ( + ηµ t) dt i) ln ln + συν (5 + ηµ ) d d vii) ηµ ( + ) d t i) ηµ + d ) συν d + d d ii) + συν ( ) 66 N υολογισετε τ ολοκληρωμτ + ι) d d ιι) ln ιιι) + d ιv) + d

ΕΙΔΙΚΕΣ ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ ΜΕ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗ Α ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 67 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ d ι) ιι) d 5 + 6 ιιι) + + ( )( + ) d ιv) + + d d v) + + vi) + d ( + ) 68 Ν υολογίσετε τ ολοκληρώμτ ) - + I = d ) - + + I = d - + - - Ι = d + + 69 Ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ I = - - + +- d Β ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΑΡΡΗΤΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ d d d i) ii) iii) iv) d + + + 7 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ Ι) d + ιι) d ιιι) + d ιv) d v) + dt vi) + t ( + + ) d + Γ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΩΝ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 7 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ

ι) ημ συν d ιι) ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ημ d ιιι) 5 ημ συν d ιv) ημ d v) 7 συν d ημ vi) ημ( + )ημ d vii) ημ5 συν7 d viii) o d ημ i) Δ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗΣ εφd συν (ημ συν ) + 7 Έστω ( ) [, ] γνησίως φθίνουσ, με συνεχή ράγωγο στο [, ] ) Ν οδειχθεί ότι ( y) dy = ( ) d 7 Αν ργωγίσιμη κι ντιστρέψιμη στο [,, ] ν οδειχθεί ότι : ( ) ( y) dy = ( ) ( ) ( ) ( ) d κι σύνολο τιμών το 75 Ν δειχθεί ότι η ( ) = + ντιστρέφετι Κτόιν ν υολογίσετε το ολοκλήρωμ Ι= ( ) d 76 Έστω ( ) γνησίως ύξουσ, με συνεχή ράγωγο στο [, ] [, ] ) Ν δειχθεί ότι ( y) dy = ( ( ) ) d ) Αν 77 Αν 78 Αν ρ, ρ των + ( ) = ν ρεθεί το ολοκλήρωμ ( y) dy κι σύνολο τιμών το ( ) + ( ) = +, ν δειχθεί ότι η ντιστρέφετι Ν ρεθούν οι ρίζες ( ) = κι ( ) = κθώς κι το ( ) d ( ) + ( ) =, ν δειχθεί ότι η ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η ( ) Κτόιν ν υολογιστεί το Ι= ( ) d 79 Αν ( ) = ln( + ),, > ν ρεθεί το Ι= ( y) dy 8 ) Ν δειχθεί ότι > γι κάθε ) Έστω συνάρτηση ( ), ργωγίσιμη στο, γι την οοί, γι κάθε, ισχύει ( ) ( ) ( ) = ) Ν ρεθεί το ρόσημο της ( ) στο ) Ν δειχθεί ότι η ντιστρέφετι κι ν ρεθεί η γ) Ν ρεθεί το Ι = ( ) ( ) ( )( ( ) + ) d 8 Αν είνι συνεχης στο [,], γνησιως υξουσ με () κι ν

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( ) οδειξετε ότι ( ) d + ( ) ( ) d = ( ) ( ) ( ) Ε ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΕΚΘΕΤΙΚΗΣ - ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗΣ ** Αν στο Ι έχουμε ( ) θ θέτουμε = u = ln u με ** Αν στο Ι έχουμε (ln ) θ θέτουμε ln u = u = με d = du u u d = du 8 Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ Ι= d + 8 Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ Ι= ( ln )( ln ) 8 Ν υολογιστεί το ολοκλήρωμ ( ln ) d Ι= συn d ΣΤ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ ΑΡΤΙΑΣ- ΠΕΡΙΤΤΗΣ ΜΕ ΑΝΤΙΘΕΤΑ ΑΚΡΑ 85 Αν η συνρτηση : [,] R είνι συνεχης κι εριττη ν οδειξετε οτι: ( ) d = Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ : 7 χ συνχ i) 6 + ημ χ d συνχ( ) ii) d + :, R είνι συνεχης κι ρτι ν οδειξετε οτι: 86 Αν η συνρτηση [ ] ( ) d = ( ) d Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ : i) 5 χ ημ χ συνχ + ημ χ d ii) συνχ ημ χ χ 6 + ΘΕΩΡΗΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΗΝ ΜΕΘΟΔΟ ΤΗΣ ΑΝΤΙΚΑΤΑΣΤΑΣΗΣ d ln ln ln 87 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ ι) d d ιι) ( + 9) ιιι) 6 d με = +, = 6 + 5

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( BAC Dijon, Milno, Milno 88 Αν είνι συνεχης στο [, ] κι c,δ R δειξτε ότι + c d ( ) d = ( c) d = d + c d d d 89 Ν υολογισετε τ ολοκληρωμτ ι) συν d ιι) ( ) d ιιι) ημ ( συν ) d 9 Ν οδειξετε ότι ι) ν ν ( ) d = ( ) d ιι) ( ) d = ( ) d, > 9 ι) Αν η είνι συνεχης στο [,] δειξτε ότι ιι) Υολογιστε το 67 d ( ) d = ( ) d ν ν ν 9 Αν είνι συνεχης στο R, ν οδειξετε ότι ι) ( ) = ( ) d d ιι) [ ] [ ] ( ) d = ( + ) + ( ) d = ( ) + ( ) d = ( ) d = ( + ) d 9 Αν είνι συνεχης στο R κι (-) = - () ν οδειξετε ότι ι) ( ) d = ιι) ( ) d = ( ) d 9 Αν είνι συνεχης στο [-,] κι (χ)+ (-χ)= δειξτε ότι ( ) d = 95 Αν η είνι συνεχης στο [-,] κι ισχυει (χ)+ (-χ)=, [,] ν οδειξετε ι) ()+(-)=, [, ] ii) ( ) d = 96 Aν η είνι συνεχης στο [,] κι ()+ (-)=-, δειξτε ότι 97 Αν η είνι συνεχης R κι (-) = (), δειξτε ότι υολογιστε το ολοκληρωμ 86 ημd 98 Αν είνι συνεχης στο R κι (-)+ (+)= δειξτε ότι οδειξετε ότι ( ) d = ( ) + ( ) ( ) d = () t dt = () t dt κι ( ) d = Ν 6

99 Αν η είνι συνεχης στο [,] κι ()= ( +-) ν οδειξετε ότι + + ( ) d = ( ) d = ( + ) ( ) d Αν η είνι συνεχης στο [,] ν οδειξετε ότι (ημ ) d = (ημ ) d = (ημ ) d κι ν υολογισετε το ημ ν ημ ν + συν ν d Με την ντικτστση = +-t, ν οδειξετε ότι Ν δειξετε ότι συν d ημ d = = συν + ημ συν + ημ ( t) dt = ( t) + t ( ) ΙΙΙAΝΙΣΟΤΗΤΕΣ ΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Ν δείξετε ότι : Α 5 t dt Α t + / φ / d Α t dt t Α /συνt dt Α5 /6 t dt + συν t Έστω συνεχής στο [,] m = min ( ), M m ( ) ( ) t mln dt Mln t [, ] =, > τότε δείξτε ότι [, ] + t dt 5 ) [,] δείξτε ότι ln ( + ), ) δείξτε τώρ ότι: ln ( ) 6 Αν > κι [,] δείξτε ότι + d + Ποιο το lim d + + / d 7 Δείξτε ότι: 6 + εφ 8 Αν είνι συνεχής στο + 6 κι στην συνέχει δείξτε ότι: (, ) () =,ln (), (, + ) τότε ν μελετήσετε την μονοτονί κι τ κρόττ της Ν δείξετε ότι η δεν έχει σύμτωτους κι ότι η εξίσωση () = m έχει μονδική λύση 7

9 Χρησιμοοιήστε την τυτότητ ( ) ( ) d ( ) συνd = ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ ( ) ( ( ) ) ηµ + συν κι με δεδομένο ότι ηµ = δείξτε ότι γι την συνεχή συνάρτηση ισχύει: ( ) d Αν () =, () (), [, + ) δείξτε ότι θ ισχύει : (t)dt () Έστω (), ()=, ()= κι η συνεχής συνάρτηση στρέφει τ κοίλ άνω τότε δείξτε ότι: ( ) d ( ) κι ( ) d Β Δείξτε ότι: t dt Β Δείξτε ότι: ln( + t ) dt + t Με μι γεωμετρική ερμηνεί της υόθεσης ()> [,] δείξτε ότι: + ( t) dt ( )( ( ) ( )) Κι άλι με γεωμετρικό τρόο μορείτε ν δείξετε ότι ν ()< [,] τότε ( ) ' ( ) ( ) d ( ) ( ) 5 Αν η συνεχής συνάρτηση στρέφει τ κοίλ άνω στο [,] δείξτε ότι: ) ( ) ( ) + ( ) κι { ( ) + ( + ) } + + ) ( ) d ( ( ) + ( )) 6 Έστω ργωγίσιμη κι ()=, ()= τότε ' ( ) ( ) d, ( ) d ( ) 7 Έστω ()>, ύξουσ κι ()= δείξτε ότι: () (), [,] 8 Έστω ύξουσ κι συνεχής, [,] τότε δείξτε ότι: ( ) d ( )d 9 Έστω συνεχής στο [,] Ονομάζουμε με I = ( ) ( ) ( )d Βρείτε την ελάχιστη τιμή του Ι κθώς κι την ντίστοιχη ου ελχιστοοιεί το Ι Έστω ργωγίσιμη κυρτή κι, ()=, ()= Δείξτε ότι: 8

+ ( ) ', ) ( ) + ( ) '( ) [,], ) ( ) ( ) ( ) ( ) γ) ( ) d ( )d Έστω ύξουσ κι συνεχής δείξτε ότι: ( ) ( ) + ( +) '( ) [-,], ( ) d ( ) + ( ) IV ΕΜΒΑΔΑ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΕΜΒΑΔΑ ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ C ΤΟΝ ΧΧ ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΥΘΕΙΕΣ χ=, χ= Στις ρκάτω σκήσεις ν υολογίσετε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C τις ευθείες =, = κι τον άξον ότν: 5 n Α ()= - =-, = Α()=συν+συν =, = Α()= n Α ()= + =-λ, =λ, < λ < Α5 ()= =, = + Α6 ()= ( ) =, = Α7 ()= +λ =-, =λ> Α8 ()= =, =λ> Α9()= 5 =-, = + Α ()= n =, = Α n ()= =, = Δίνετι η συνάρτηση : R * (, + ) γι την οοί ισχύουν () = () κι = = () = - ) Ν οδείξετε ότι ο τύος της είνι () = ) Ν υολογίσετε το εμδόν της ειφάνεις ου ερικλείετι ό τη γρφική () ράστση τη συνάρτησης g () =,τον άξον κι τις ευθείες = κι = Βρείτε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C: ()= - ( ++)+ κι τις ευθείες =, = όου στο, η ρουσιάζει κρόττ 5 Βρείτε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C: ()=(-) κι τις ευθείες =, = όου στο η ρουσιάζει κρόττο κι στο κμή 9

6 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της ( ) = + +, τον κι τις ευθείες =, = 7 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις της ( ) = 5 + κι τον 8 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των ( ) = σϕ, κι τις ευθείες =, = 9 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις της ( ) =, κι τις ευθείες =, = ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΤΗΝ C ΤΗΝ C g ΚΑΙ ΤΙΣ ΕΥΘΕΙΕΣ χ=, χ= Ν υολογίσετε λοιόν τ εμδά των χωρίων του ειέδου ου ερικλείοντι ό τις κμύλες με εξισώσεις: Α y=, +y =8 Α y =+, -y-= Α6 n y =, y = n Α7 + y= Α8 y=, y= Ν ρείτε ευθεί ου διέρχετι ό το (,) κι χωρίζει σε ισεμδικά χωρί το εμδόν ου ερικλείετι ό την y=- κι τον άξον Ν ρείτε ευθεί ου διέρχετι ό το (,) κι χωρίζει σε δυο ισεμδικά χωρί το χωρίο ου ερικλείετι ό τον άξον κι την γρφική ράστση της () = ( )( ),< < Ν ρείτε ευθεί της μορφής = ώστε τ εμδά ου ερικλείοντι ό τις: y= 5, y=(), = κι y= 5, =>, y=() ν είνι ίσ Βρείτε το εμδόν ου ερικλείετι ό την C: ()=ημ+συν κι τις ευθείες y=(), ψ=() όου στο η ρουσιάζει ελάχιστο στο [,] κι στο η ρουσιάζει μέγιστο στο [,] Βρείτε το εμδόν (ως κάοιο όριο ή ν χρειστεί κι ως δύο όρι) ου ερικλείετι μετξύ της C κι της ή των σύμτωτων της Αν μορείτε κάντε έν σχεδιάγρμμ θ οηθήσει κτά ολύ την δισφήνιση του τι κριώς ζητείτι, όου C είνι:

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 9 Ο ΓΕΛ ΠΕΡΙΣΤΕΡΙΟΥ / Α ( ) =, Α ( ) = Α ( ) 5 ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου Α Β Δ ) Ν υολογίσετε το εμδόν του σκισμένου χωρίου = 8 6 Δίνετι η συνάρτηση () = + ) Ν μελετηθεί κι ν ρστθεί γρφικά 5 ) Ν οδείξετε ότι () d γ) Ν υολογίσετε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, τον άξον κι τις ευθείες = κι = δ) Ν ροσδιορίσετε την κάθετη ευθεί στον άξον ου χωρίζει το χωρίο του ροηγούμενου ερωτήμτος σε δύο ισεμδικά χωρί 7 Δίνετι η συνάρτηση h () = ) Ν ρείτε μι άρτι συνάρτηση κι μι εριττή συνάρτηση g στο R, τέτοιες ώστε () + g () = h () ) Ν ρείτε τη μονοτονί κι τ κρόττ των, g γ) Ν υολογίσετε το εμδόν Ε (λ) του χωρίου ου ερικλείετι ό τις, g κι τις ευθείες = κι = λ > δ) Ν ρείτε το lim Ε (λ) λ + 8 N ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό τις γρφικες ρστσεις των συνρτησεων () = + κι g() = + Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των ( ) = g, ( ) = κι των =, = 5 9 Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις των = ( ) =, g ( ) = + κι της ευθείς ΕΜΒΑΔΟΝ ΧΩΡΙΟΥ ΠΟΥ ΟΡΙΖΕΤΑΙ ΑΠΟ ΔΥΟ Η ΠΕΡΙΣΣΟΤΕΡΕΣ ΓΡΑΦΙΚΕΣ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΙΣ

Ν ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό την γρφικη ρστση της () =, την εφτομενη της c στο σημειο Α(-,) κι τον ξον χ χ Ν ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό τις γρφικες ρστσεις των συνρτησεων ψ=, ψ=, χ=, ψ= Ν ρειτε το εμδον του χωριου ου ερικλειετι ό την c την εφτομενη της στο σημειο Α(, 8 ) κι τον ψ ψ Δινετι η συνρτηση ( ) =, Ν ρειτε τις συμτωτες της γρφικης ρστσης της ) Ν ρειτε τις συμτωτες της c ) Η οριζοντι συμτωτη της c, ο ξονς χχ κι οι ευθειες χ= κι χ= με > οριζουν έν ορθογωνιο Ν ρειτε γι οι τιμη του η c χωριζει το ορθογωνιο σε δυο ισεμδικ χωρι Βρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις γρφικές ρστάσεις της ( ) = κι της g( ) = 5 Ν δειχθεί ότι οι συνρτήσεις ( )= κι g ( ) = ln έχουν κοινή εφτομένη κι κτόιν ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις ( ), g ( ) κι την y = 6 Δίνετι η ρολή C : = py, p > Ν δειχθεί ότι εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την C, τον κι ό μί εφτομένη της C σε σημείο της P(, y ) με >, είνι ίσο με E= y 7 ) Έστω ( ) = ( )( ) Ν ρεθούν τ,, ώστε οι εφτόμενες της στ = κι = ν είνι οι y = κι y = + ) Ν υολογιστεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κι την εφτομένη της στο = γ) Ν υολογιστεί το εμδόν ου ερικλείετι ό την κι τις δύο ράνω εφτόμενες 8 Ν δειχθεί ότι η ( ) ln ( ) χωρίου ου ερικλείετι ό την = + + ντιστρέφετι κι ν ρεθεί το εμδόν του, τον κι την ευθεί = 9 Έστω οι ργωγίσιμες, g στο [, + ] ου διέρχοντι ό το ίδιο σημείο του yy κι γι υτές ισχύει ότι g ( ) = κι g ( ) ( ) + = γι κάθε [, + ] Ν ρεθεί

το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τις, g κι τις ευθείες =, = 5 Δείξτε ότι η ( ) = + ντιστρέφετι κι ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την τον κι την = 5 Δείξτε ότι η ( ) = + ντιστρέφετι κι ρείτε το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την κι τους άξονες, yy 5 Αν η ( ) στρέφει τ κοίλ κάτω στο κι στο σημείο (,) Α εμφνίζει κρόττο, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την, τον κι τις =, = ν ισχύει ότι ( ) + () = 5 Έστω ( ) συνάρτηση με συνεχή ράγωγο γι την οοί ισχύουν () = κι () = Αν ( ) + γι κάθε [,], ν ρεθεί το εμδόν Ε του χωρίου ου ερικλείετι ό την τους άξονες, yy κι την = 5 Έστω συνάρτηση με συνεχή ράγωγο ( ) < στο, η οοί ερνά ό τ Α(,) κι Β(,)Αν το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την συνάρτηση g ( ) = ( ) κι τους άξονες, yy ισούτι με, ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό την h ( ) = ( ) κι τους άξονες, yy 55 Έστω ( ) συνάρτηση με συνεχή ράγωγο γι την οοί ισχύουν () = κι () = Αν ( ) ln γι κάθε [ ], ν ρεθεί το εμδόν Ε του χωρίου ου ερικλείετι ό την τον άξον κι τις ευθείες =, = ln +, < < =, = ln, > Δ Ν δείξετε ότι η είνι συνεχής στο (,+ ) (μονάδες ) κι ν ρείτε, ν υάρχουν, τις κτκόρυφες σύμτωτες της γρφικής ράστσης της 56 Δίνετι η συνάρτηση ( ) Δ Ν οδείξετε ότι το = είνι το μονδικό κρίσιμο σημείο της Δ i) Ν οδείξετε ότι η εξίσωση ( ),+ (μονάδες ) ii) Αν Ε είνι το εμδόν του χωρίου ου ερικλείετι ό τη γρφική ράστση της, τον άξον των κι τις ευθείες = κι =, όου η μονδική ρίζ της εξίσωσης ( ) = στο (,+ ), ν οδείξετε ότι + Ε = (μονάδες ) = έχει μονδική ρίζ στο ( )

, +, ν οδείξετε ότι Δ Αν F είνι μι ράγουσ της στο [ ) ( ) F( ) F( ) F( ) + > + γι κάθε > (μονάδες +5+7+8) 57 Δίνετι συνάρτηση ορισμένη κι δύο φορές ργωγίσιμη στο R, με συνεχή δεύτερη ράγωγο, γι την οοί ισχύει ότι: ( ) ( ) ( ) ( ) + ηµ d = = κι ( ( )) ( ) lim = ηm ( ) + = + γι κάθε κι

Δ Ν δείξετε ότι ( ) =(μονάδες ) κι ( ) = (μονάδες ) Δ ) Ν δείξετε ότι η δεν ρουσιάζει κρόττ στο R (μονάδες ) ) Ν δείξετε ότι η είνι γνησίως ύξουσ στο R (μονάδες ) Δ Ν ρείτε το Δ N δείξετε ότι ηm + συν lim + ( ) ( ) ln < d < Μονάδες 7 Μονάδες 6 Μονάδες 6 Μονάδες 6 "Οι μεγάλοι άνθρωοι μιλούν γι ιδέες Οι μεσίοι άνθρωοι μιλούν γι γεγονότ Οι μικροί άνθρωοι μιλούν γι τους άλλους" Πλάτωνς 5