Συνδυαστική Ανάλυση Υπολογισμός της πιθανότητας σε διακριτούς χώρους με ισοπίθανα αποτελέσματα: P( A) N( A) N ( ) Ν(Α): πλήθος ευνοϊκών αποτελεσμάτων του Α Ν(Ω): πλήθος συνολικών αποτελεσμάτων του Ω Χρειαζόμαστε εργαλεία που να υπολογίζουν πλήθος αποτελεσμάτων σε διακριτούς χώρους. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 1 )
Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει x 1,2,, i διαφορετικές απαντήσεις, i i Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 2 )
Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει i διαφορετικές απαντήσεις, x 1,2,, i i Κάθε -άδα (x 1 x 2 x ) εκφράζει μία πλειάδα απαντήσεων στα ερωτήματα δηλ. ένα στιγμιότυπο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 3 )
Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει i διαφορετικές απαντήσεις, x 1,2,, i i Κάθε -άδα (x 1 x 2 x ) εκφράζει μία πλειάδα απαντήσεων στα ερωτήματα δηλ. ένα στιγμιότυπο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 4 )
Αρχή της Συνδυαστικής Ανάλυσης Έστω τεστ πολλαπλών επιλογών αποτελούμενο από ερωτήματα x i (i=1,,), κάθε ένα από τα οποία έχει i διαφορετικές απαντήσεις, x 1,2,, i i Κάθε -άδα (x 1 x 2 x ) εκφράζει μία πλειάδα απαντήσεων στα ερωτήματα δηλ. ένα στιγμιότυπο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 5 )
Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 6 )
Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Αναπαριστούμε όλα τα δυνατά ζεύγη απαντήσεων (a i, b j ) με την μορφή ενός πίνακα Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 7 )
Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Αναπαριστούμε όλα τα δυνατά ζεύγη απαντήσεων (a i, b j ) με την μορφή ενός πίνακα, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 8 )
Για =2 (x 1 x 2 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 } και x 2 {b 1, b 2,, b 2 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 2 ερωτημάτων Αναπαριστούμε όλα τα δυνατά ζεύγη απαντήσεων (a i, b j ) με την μορφή ενός πίνακα, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση Έτσι, υπάρχουν συνολικά 1 * 2 διαφορετικά ζεύγη απαντήσεων (στιγμιότυπα) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 9 )
Για =3 (x 1 x 2 x 3 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 }, x 2 {b 1, b 2,, b 2 } και x 3 {c 1, c 2,, c 3 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 3 ερωτημάτων Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 10 )
Για =3 (x 1 x 2 x 3 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 }, x 2 {b 1, b 2,, b 2 } και x 3 {c 1, c 2,, c 3 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 3 ερωτημάτων Χρησιμοποιούμε πίνακα με γραμμές τα ( 1 x 2 ) δυνατά ζεύγη απαντήσεων των (x 1, x 2 ) και στήλες τις 3 απαντήσεις του x 3, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 11 )
Για =3 (x 1 x 2 x 3 ) Έστω x 1 {a 1, a 2,, a 1 }, x 2 {b 1, b 2,, b 2 } και x 3 {c 1, c 2,, c 3 } οι διαφορετικές απαντήσεις των 3 ερωτημάτων Χρησιμοποιούμε πίνακα με γραμμές τα ( 1 x 2 ) δυνατά ζεύγη απαντήσεων των (x 1, x 2 ) και στήλες τις 3 απαντήσεις του x 3, κάθε στοιχείο του οποίου είναι μία πιθανή λύση c 1 c 2 c 3 (a 1 b 1 ) (a 1 b 1 c 1 ) (a 1 b 1 c 2 ). (a 1 b 1 c 3 ) (a 1 b 2 ) (a 1 b 2 c 1 ) (a 1 b 2 c 2 ). (a 1 b 2 c 3 ) Συνολικά 1 x 2 x 3 διαφορετικές 3άδες απαντήσεων (a 1 b 2 ) (a 1 b 2 c 1 ) (a 1 b 2 c 2 ). (a 1 b 2 c 3 ) (a 2 b 1 ) (a 2 b 1 c 1 ) (a 2 b 1 c 2 ). (a 2 b 1 c 3 ). (a 1 b 2 ) (a 1 b 2 c 1 ) (a 1 b 2 c 2 ). (a 1 b 2 c 3 ) Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 12 )
Πολλαπλασιαστική αρχή ή Αρχή του γινομένου Γενικά: Έστω ερωτήματα-αντικείμενα (x 1 x 2 x ) με i δυνατές απαντήσεις (τιμές) το κάθενα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 13 )
Πολλαπλασιαστική αρχή ή Αρχή του γινομένου Γενικά: Έστω ερωτήματα-αντικείμενα (x 1 x 2 x ) με i δυνατές απαντήσεις (τιμές) το κάθενα. To γινόμενο 1 2 εκφράζει: όλους τους διαφορετικούς τρόπους που μπορούμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα. ή όλους τους διαφορετικούς τρόπους επιλογής των αντικειμένων. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 14 )
Πολλαπλασιαστική αρχή ή Αρχή του γινομένου Γενικά: Έστω ερωτήματα-αντικείμενα (x 1 x 2 x ) με i δυνατές απαντήσεις (τιμές) το κάθενα. To γινόμενο 1 2 εκφράζει: όλους τους διαφορετικούς τρόπους που μπορούμε να απαντήσουμε στα ερωτήματα. ή όλους τους διαφορετικούς τρόπους επιλογής των αντικειμένων. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 15 )
Παραδείγματα (α) Θέλουμε να πάμε από την πόλη Α στην πόλη Γ μέσω της πόλης Β. Υπάρχουν 2 εναλλακτικές διαδρομές από την Α στην Β και 4 εναλλακτικές από την Β στην Γ. Πλήθος εναλλακτικών διαδρομών? (β) Για την παραγωγή των 7-ψήφιων αριθμών κυκλοφορίας οχημάτων χρησιμοποιούνται για τα 3 πρώτα γράμματα 14 ελληνο-λατινικοί χαρακτήρες και για τα επόμενα 4 ψηφία 10 αριθμοί [0, 1,, 9]. Πλήθος πινακίδων? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 16 )
Ανάλογα με το είδος της διαδικασίας επιλογής (δειγματοληψία) των αντικειμένων διακρίνουμε τις περιπτώσεις: A. Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη B. Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη C. Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 17 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 18 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 19 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 20 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 21 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 22 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 23 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 24 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1. Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 25 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη 1 2-1. Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Είναι δυνατόν το ίδιο αντικείμενο να το επιλέξουμε περισσότερες από 1 φορές Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 26 )
(Α) Δειγματοληψία με επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα δοχείο που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα με επανάθεση, δηλ. κάθε φορά επανατοποθετούμε το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Έτσι, i = δυνατές τιμές i=1,, σε κάθε επιλογή Έτσι, σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή: 1 x 2 x x = δυνατές επιλογές Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 27 )
Παράδειγμα Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι 2 σφαίρες να είναι ίδιες; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 28 )
Παράδειγμα Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι 2 σφαίρες να είναι ίδιες; Λύση Υπάρχουν 2 δυνατές επιλογές (Ω), ενώ οι επιλογές όπου οι 2 σφαίρες είναι ίδιες (Α) είναι. P(Α=«2 σφαίρες ίδιες») = Ν(Α) / Ν(Ω) = / 2 = 1/ Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 29 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 30 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 1 η επιλογή: Υπάρχουν διαθέσιμες σφαίρες ( επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 31 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη 1 2-1 1 η επιλογή: : Υπάρχουν διαθέσιμες σφαίρες ( επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 32 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη -1 1 2-1 Όχι επανάθεση Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 33 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη -1 1 2-1 2 η επιλογή: Υπάρχουν -1 διαθέσιμες σφαίρες (-1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 34 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη -2 1 2-1 2 η επιλογή: Υπάρχουν -1 διαθέσιμες σφαίρες (-1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 35 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη -2 1 2-1 3 η επιλογή: Υπάρχουν -2 διαθέσιμες σφαίρες (-2 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 36 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη -3 1 2-1 3 η επιλογή: Υπάρχουν -2 διαθέσιμες σφαίρες (-2 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 37 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη -+1 1 2-1. η επιλογή: Υπάρχουν -+1 διαθέσιμες σφαίρες (-+1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 38 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη - 1 2 3.. η επιλογή: Υπάρχουν -+1 διαθέσιμες σφαίρες (-+1 επιλογές) Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση, δηλ. κάθε φορά δεν επανατοποθετούμε στο σύνολο Α το αντικείμενο που επιλέχτηκε. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 39 )
(Β) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και με διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα από ένα σύνολο Α που περιέχει διαφορετικά αντικείμενα χωρίς επανάθεση. Έτσι: 1 η επιλογή 1 = δυνατές επιλογές 2 η επιλογή 2 = -1 δυνατές επιλογές η επιλογή = -(-1) = -+1 δυνατές επιλογές Έτσι σύμφωνα με την πολλαπλασιαστική αρχή υπάρχουν: (-1) (-+1) δυνατές επιλογές ή διατάξεις Διάταξη ανά : κάθε διατεταγμένο υποσύνολο στοιχείων ενός συνόλου αποτελούμενο από στοιχεία. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 40 )
Παραδείγματα (1) Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι σφαίρες να είναι ίδιες; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 41 )
Παραδείγματα (1) Έστω δοχείο με σφαίρες. Επιλέγουμε σφαίρες με επανάθεση. Ποια είναι η πιθανότητα οι σφαίρες να είναι ίδιες; Λύση P( σφαίρες ίδιες) = 1-P(όχι ίδιες) = = 1- P(επιλογή από χωρίς επανάθεση) = = 1 (-1) (-+1)/ Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 42 )
Παραδείγματα (2) Δοχείο με αριθμημένες σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες χωρίς επανάθεση. Ποια η πιθανότητα η 1 η σφαίρα να είναι μεγαλύτερη της 2 ης? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 43 )
Παραδείγματα (2) Δοχείο με αριθμημένες σφαίρες. Επιλέγουμε 2 σφαίρες χωρίς επανάθεση. Ποια η πιθανότητα η 1 η σφαίρα να είναι μεγαλύτερη της 2 ης? Λύση Υπάρχουν (-1) δυνατές επιλογές. Περιπτώσεις όπου 1 η σφαίρα μεγαλύτερη της 2 ης : αν 1 η σφαίρα η => υπάρχουν -1 επιλογές για την 2 η αν >> -1 => >> -2 >> αν >> 2 => >> 1 >> 1 1 2 Έτσι συνολικά 1 2 1 1 2 Άρα P(A) = N(A)/N(Ω) = 2 2 δυν. επιλογες Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 44 )
Μεταθέσεις 1 2-1 Εστω ότι κάνουμε δειγματοληψία χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα με =, Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 45 )
Μεταθέσεις.. 1 2 3 Εστω ότι κάνουμε δειγματοληψία χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα με =, δηλ. επιλέγουμε αντικείμενα από το δοχείο έως ότου αδειάσει. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 46 )
Μεταθέσεις Εστω ότι κάνουμε δειγματοληψία χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα με =, Τότε το πλήθος διατάξεων είναι: *(-1)*(-2)* *2*1 =! ( παραγοντικό )! πλήθος μεταθέσεων, δηλ. διατάξεων αντικειμένων Ισχύει ότι! 2 τύπος του Stirlig. e Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 47 )
Παράδειγμα Έστω σφαίρες τοποθετούνται σε δοχεία, όπου σε κάθε δοχείο επιτρέπεται να τοποθετηθούν περισσότερες από 1 σφαίρες. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα δοχεία να είναι γεμάτα? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 48 )
Παράδειγμα Έστω σφαίρες τοποθετούνται σε δοχεία, όπου σε κάθε δοχείο επιτρέπεται να τοποθετηθούν περισσότερες από 1 σφαίρες. Ποια είναι η πιθανότητα όλα τα δοχεία να είναι γεμάτα? Λύση P(και τα δοχεία γεμάτα) = P(μετάθεση των σφαιρών στα δοχεία) = =! / Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 49 )
(Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 50 )
(Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη - Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 51 )
(Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πλήθος επιλογών: Πλήθος διαφορετικών (μη διατεταγμένων) υποσυνόλων αντικειμένων ενός συνόλου με αντικείμενα. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 52 )
(Γ) Δειγματοληψία χωρίς επανάθεση και χωρίς διάταξη Επιλέγουμε αντικείμενα χωρίς επανάθεση από δοχείο με αντικείμενα και τα τοποθετούμε σε άλλο κουτί χωρίς να μας ενδιαφέρει η διάταξή τους. Πλήθος επιλογών: Πλήθος διαφορετικών (μη διατεταγμένων) υποσυνόλων αντικειμένων ενός συνόλου με αντικείμενα.!!! συνδυασμοί ανά Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 53 )
Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 54 )
Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 55 )
Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 56 )
Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1)!!! Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε: Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 57 )
Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1) Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε:!!! Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 58 ) C C!!!! 1) 1)...( ( 1) 1)...( (!
Τρόπος υπολογισμού: Επιλογή με διάταξη αντικειμένων από τα : (-1) (-+1) Έστω C πλήθος επιλογών από χωρίς διάταξη. Για κάθε επιλογή! διατάξεις (μεταθέσεις). Τότε:!!! Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 59 ) C C!!!! 1) 1)...( ( 1) 1)...( (!
Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 60 )
Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 61 )
Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι?? 1?? 1 x b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 62 )
Παρατηρήσεις Οι είναι οι συντελεστές του διωνυμικού αναπτύγματος Ισχύει ότι 2 1 x x 1 1 b a b a 0 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 63 )
Παρατηρήσεις (συν.) Το εκφράζει το πλήθος διαμερίσεων ενός συνόλου Α αποτελούμενο από αντικείμενα σε δύο (ξένα) υποσύνολα: Α 1 με αντικείμενα και A 2 με - αντικείμενα A A 1 A 2 - Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 64 )
Πολυωνυμικοί συντελεστές: ( ανά 1, 2,, m ) Είναι οι συντελεστές του πολυωνυμικού αναπτύγματος:!!!! 2 1 2 1 m m m m m m m m a a a a a a 2 1 2 1 2 1,,, 2 1 2 1 2 1 m 2 1 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 65 )
Πολυωνυμικοί συντελεστές:!!! 1 2 m 1 2 m! Εκφράζουν το πλήθος των διαμερίσεων ενός συνόλου Α αποτελούμενο από αντικείμενα σε m το πλήθος ξένα υποσύνολα Α 1, A 2,, Α m με 1, 2,, m αντικείμενα, αντίστοιχα. A 1 2 m A 1 A 2 A m 1 2 m Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 66 )
Παραδείγματα Συνδυαστικής (1) Ένας φοιτητής έχει στην διάθεσή του 4 παντελόνια για την καθημερινή του ένδυση. Ποτέ όμως δεν φορά το ίδιο παντελόνι δύο συνεχόμενες ημέρες. Πόσοι είναι οι δυνατές επιλογές παντελονιών σε διάστημα =5 ημερών; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 67 )
(2) Πόσα είναι τα συνολικά 7-ψήφια τηλεφωνικά νούμερα αν το πρώτο ψηφίο δεν μπορεί να είναι 0 ή 1; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 68 )
(3) Για να παραγγείλετε μια πίτσα special χρειάζεται να επιλέξετε 4 συστατικά μεταξύ 15 διαθέσιμων συστατικών. (α) Πόσοι οι διαφορετικοί συνδυασμοί αν επιτρέπεται το ίδιο συστατικό να εμφανιστεί περισσότερες από μία φορές ; (β) Πόσοι σε περίπτωση που απαγορεύεται; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 69 )
(4) Με πόσους διαφορετικούς τρόπους 10 φοιτητές μπορούν να τοποθετηθούν σε 10 θέσεις εργασίας; Με πόσους σε 12 θέσεις; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 70 )
(5) Έστω παρτίδα με 50 μηχανήματα, εκ των οποίων τα 10 είναι ελαττωματικά. Έστω ότι επιλέγουμε 15 μηχανήματα. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν ακριβώς 4 ελαττωματικά? Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 71 )
(6) Έστω τράπουλα με 52 κάρτες. Βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: (α) η 1 η κάρτα που θα επιλέξουμε να είναι άσσος ), (β) να υπάρχουν 2 Βαλέ μεταξύ 7 επιλεγόμενων καρτών, (γ) να υπάρχουν 3 άσσοι και 2 βαλέ μεταξύ 7 επιλεγόμενων καρτών. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 72 )
(7) Σε μία παρτίδα από 100 μηχανήματα ελέγχονται 2 μηχανήματα και η παρτίδα απορρίπτεται αν κάποιο από τα μηχανήματα βρεθεί ελαττωματικό. α) Βρείτε την πιθανότητα αποδοχής της παρτίδας αν γνωρίζεται ότι υπάρχουν 5 ελαττωματικά μηχανήματα. Επαναλάβατε αν υπάρχουν 10 ελαττωματικά. β) Υπολογίστε τις πιθανότητες αποδοχής της παρτίδας του ερωτήματος (α) αν 3 μηχανήματα ελέγχονται και αποδεχόσαστε μία παρτίδα όταν το πολύ ένα από τα 3 μηχανήματα βρεθεί ελαττωματικό. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 73 )
Γενικές Ασκήσεις 1 ης ενότητας 1)Έστω πληθυσμός όπου ο λόγος αντρών προς γυναικών είναι θ. Υποθέτουμε ότι η πιθανότητα ένας άντρας να παρουσιάσει αχρωματοψία είναι q, ενώ η ίδια πιθανότητα στις γυναίκες είναι q 2. Έστω ότι ένα άτομο εκλέγεται τυχαία από τον πληθυσμό. Να υπολογιστούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων (α) να είναι γυναίκα με αχρωματοψία και (β) να παρουσιάζει αχρωματοψία. (γ) να είναι γυναίκα αν παρουσιάσει αχρωματοψία Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 74 )
2)Σε μία συγκεκριμένη διαδρομή η πιθανότητα ένα οποιοδήποτε φανάρι ρύθμισης της κυκλοφορίας να είναι του ιδίου χρώματος με το προηγούμενο είναι 4/5. Αν το πρώτο φανάρι είναι πράσινο με πιθανότητα 3/5 και κόκκινο με πιθανότητα 2/5, να υπολογιστεί η πιθανότητα το τρίτο φανάρι να είναι πράσινο. Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 75 )
3) Σε κάλπη Α υπάρχουν τρεις λευκές και τρεις μαύρες σφαίρες και σε κάλπη Β υπάρχουν έξι λευκές και οκτώ μαύρες σφαίρες. Εξάγονται δύο σφαίρες από την Α και τοποθετούνται στην Β. Ακολούθως από την Β εξάγεται μία σφαίρα. Ποια η πιθανότητα να είναι λευκή; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 76 )
4) Στο σχήμα παρουσιάζεται ένα δυαδικό κανάλι επικοινωνίας, και οι αντίστοιχες δεσμευμένες πιθανότητες μετάδοσης (π.χ. η ε 1 (2) είναι η πιθανότητα μετάδοσης του 1(0) αν η είσοδος του καναλιού είναι 0 (1), που είναι η πιθανότητα σφάλματος για το 0 (1) ). Στην είσοδο του καναλιού μπορούν να εμφανιστούν οι τιμές 0 και 1 με ίση πιθανότητα. α) Βρείτε την πιθανότητα να πάρουμε στην έξοδο το 0. β) Πόση είναι η πιθανότητα η είσοδος του καναλιού να ήταν το 0, αν γνωρίζουμε ότι στην έξοδο εμφανίστηκε το 1 ; Βρείτε επίσης την πιθανότητα η είσοδος να ήταν το 1, αν στην έξοδο εμφανίστηκε το σύμβολο 1. γ) Ποια τιμή της εισόδου είναι η πιο πιθανή ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 77 )
5) Μία παρτίδα 140 μικροτσίπ για την οποία γνωρίζουμε ότι 10 εξ αυτών είναι ελαττωματικά, ελέγχεται επιλέγοντας ένα μικρό δείγμα 5 μικροτσίπ. α) Πόσες είναι οι διαφορετικές επιλογές (δείγματα των 5) που έχουμε; β) Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα να βρεθεί ακριβώς ένα ελαττωματικό μικροτσίπ; γ) Ποια η πιθανότητα σε ένα τυχαίο δείγμα να βρεθεί τουλάχιστον ένα ελαττωματικό μικροτσίπ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 78 )
6) Ένας γιατρός μελετά την σχέση μεταξύ πίεσης αίματος (υψηλή, χαμηλή, κανονική) και κτύπων καρδιάς (κανονικοί, ανώμαλοι) σε ασθενείς. Μετά από μελέτες βρήκε ότι: Το 14% έχουν υψηλή πίεση αίματος, Το 22% έχουν χαμηλή πίεση αίματος Το 15% έχουν ανώμαλους κτύπους καρδιάς Το 1/3 αυτών με ανώμαλους κτύπους καρδιάς έχουν υψηλή πίεση αίματος Το 1/8 αυτών με κανονική πίεση αίματος έχουν ανώμαλους κτύπους καρδιάς Τι ποσοστό έχουν κανονικούς κτύπους καρδιάς και χαμηλή πίεση αίματος ; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 79 )
7) Μία ομάδα οικολόγων μελετούν ένα σπάνιο είδος ζώου σε ορεινό όγκο όπου υπάρχουν δύο τύποι δασών: Α και Β (ίση πιθανότητα για το καθένα). Οι δασικές περιοχές που επιλέγονται τυχαία μπορεί να είναι είτε «ακατάλληλες» για το ζώο και δεν υπάρχει καμία εμφάνισή του, είτε «κατάλληλες» όπου ο αριθμός εμφάνισής τους μπορεί να είναι 0, 1, 2, ή 3 με πιθανότητες 0.1, 0.3, 0.4 και 0.2, αντίστοιχα. Η πιθανότητα μία δασική περιοχή να είναι «κατάλληλη» είναι 0.8 για τύπο δάσους Α και 0.3 για το δάσος τύπου Β. α) Ποια είναι η πιθανότητα μία δασική περιοχή να είναι «κατάλληλη»; β) Ποια είναι η πιθανότητα σε μια δασική περιοχή να υπάρχουν εμφανίσεις του ζώου, όπου {0, 1, 2, 3} ; γ) Αν η ομάδα οικολόγων έχουν ελέγξει μία δασική περιοχή όπου δεν βρέθηκε καμία εμφάνιση του ζώου, ποια η πιθανότητα να είναι τύπου Α; δ) Εάν δεν υπάρχει κανένα ζώο σε μία δασική περιοχή, ποια η πιθανότητα να είναι τύπου Α; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 80 )
(8) Το πρόβλημα των γενεθλίων: Σε ένα δωμάτιο υπάρχουν άτομα. Ποια είναι η πιθανότητα να υπάρχουν τουλάχιστον δύο άτομα που να έχουν την ίδια ημέρα γενέθλια? Υπόθεση: 365 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 81 )
Το πρόβλημα των γενεθλίων: 1 365 365 Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 82 )
(9) Το δίλημμα του φυλακισμένου: Ένας φυλακισμένος που έχει υποβάλει μαζί με άλλους δύο συγκρατούμενούς του αίτηση απονομής χάριτος, μαθαίνει από ένα φίλο του φύλακα, ότι δύο από τους τρεις πρόκειται να αποφυλακισθούν. Επειδή ο φύλακας δε θέλει να αποκαλύψει στον φυλακισμένο αν αυτός είναι ο ένας από τους δύο που αποφυλακίζονται, ο φυλακισμένος σκέπτεται να του ζητήσει να του αποκαλύψει ποιος από τους άλλους δύο πρόκειται να αποφυλακισθεί. Όμως διστάζει γιατί σκέπτεται ότι με την απάντηση του φρουρού μειώνεται η πιθανότητα αποφυλάκισής του από 2/3 σε 1/2. Είναι οι δισταγμοί του φυλακισμένου δικαιολογημένοι; Πιθανότητες & Στατιστική 2017 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Παν. Ιωαννίνων Δ5 ( 83 )