Osnove matematične analize 2016/17

Σχετικά έγγραφα
Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije več spremenljivk

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

Kotni funkciji sinus in kosinus

Kotne in krožne funkcije

Matematika. Funkcije in enačbe

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

Funkcije dveh in več spremenljivk

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

INŽENIRSKA MATEMATIKA I

PRIMER UPORABE FUNKCIJ 2. FUNKCIJE ENE SPREMENLJIVKE DEFINICIJA IN LASTNOSTI FUNKCIJE. Upogibni moment. M(X )=F A x qx2 2

Tretja vaja iz matematike 1

Množico vseh funkcijskih vrednosti, ki jih pri tem dobimo, imenujemo zaloga vrednosti funkcije f. Oznaka: Z f

Splošno o interpolaciji

cot x ni def. 3 1 KOTNE FUNKCIJE POLJUBNO VELIKEGA KOTA (A) Merske enote stopinja [ ] radian [rad] 1. Izrazi kot v radianih.

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Matematika 4 Pisni izpit 22. junij Navodila

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Matematika 1. Jaka Cimprič

Matematika vaja. Matematika FE, Ljubljana, Slovenija Fakulteta za Elektrotehniko 1000 Ljubljana, Tržaška 25, Slovenija

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik

1 Fibonaccijeva stevila

Algebraične strukture

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

IspitivaƬe funkcija: 1. Oblast definisanosti funkcije (ili domen funkcije) D f

18. listopada listopada / 13

Uporabna matematika za naravoslovce

radni nerecenzirani materijal za predavanja R(f) = {f(x) x D}

ZBIRKA REŠENIH NALOG IZ MATEMATIKE I

DARJA POTOƒAR, FMF

Osnovne lastnosti odvoda

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

SEMINARSKA NALOGA Funkciji sin(x) in cos(x)

AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

vezani ekstremi funkcij

Kateri logični shemi imajo matematični izreki? Matematični izreki imajo logično zgradbo implikacije(a=>b) ali zgradbo ekvivalence(a b)

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti

Reševanje sistema linearnih

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2009/2010

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

Teorija grafov in topologija poliedrov

2. KOLOKVIJ IZ MATEMATIKE 1

Izpit sestavlja 4-5 vprašanj. Vsako ima več podvprašanj.

3.1 Granična vrednost funkcije u tački

Riješeni zadaci: Limes funkcije. Neprekidnost

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

Računalniško vodeni procesi I

IZVODI ZADACI (I deo)

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

KOTNI FUNKCIJI SINUS IN COSINUS

Frekvenčna analiza neperiodičnih signalov. Analiza signalov prof. France Mihelič

1.4 Tangenta i normala

VAJE IZ MATEMATIKE 2 za smer Praktična matematika. Martin Raič

VAJE IZ MATEMATIKE 2 za smer Praktična matematika. Martin Raič

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

Riemannove ploskve in analitična geometrija. Franc Forstnerič

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Dragi polinom, kje so tvoje ničle?

Bézierove krivulje. Fakulteta za matematiko in fiziko, Univerza v Ljubljani. MARS 2009, Koper, / 54

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

LJUDSKA UNIVERZA NOVA GORICA. MATEMATIKA 1 2. del. EKONOMSKI TEHNIK PTI gradivo za interno uporabo. Pripravila: Mateja Strnad Šolsko leto 2011/12

22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

Matrike. Poglavje II. Matrika je pravokotna tabela realnih števil. Na primer: , , , 0 1

Transcript:

Osnove matematične analize 216/17 Neža Mramor Kosta Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani Kaj je funkcija? Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D f R priredi natanko določeno število f (x) R. f : D f R x f (x) Če D f ni podano, je največja množica, kjer ima predpis f smisel. x neodvisna spremenljivka y = f (x) odvisna spremenljivka f (A) = {f (x) ; x A} slika množice A D f Z f = f (D f ) zaloga vrednosti funkcije f

Graf Graf funkcije f : D f R, D f R je krivulja v ravnini: Γ(f ) = {(x, f (x)) ; x D f } R R Graf funkcije f je krivulja v ravnini. Graf funkcije seka poljubno navpično premico največ v eni točki. Projekcija grafa na os x je D f, projekcija grafa na os y pa je Z f. Predpis lahko podamo na več načinov. eksplicitno: y = f (x), denimo y = 1 x 2 1..8.6.4.2 1..5.5 1. implicitno: F (x, y) =, denimo x 2 + y 2 1 =, y parametrično: x = x(t), y = y(t), denimo x = cos t, y = sin t, t [, π]

Primera 1. f (x) = x 2.5 2. 1.5 1..5 3 D f = R, Z f = [, ) 1, x > 2. g(x) = sign(x) =, x = 1, x < D f = R, Z f = { 1,, 1} Sode in lihe funkcije Funkcija f (x) je soda, če je f ( x) = f (x) za vsak x D liha, če je f ( x) = f (x) za vsak x D. Primeri: f (x) = x, g(x) = x 2k, k Z h(x) = cos x so sode funkcije f (x) = sign(x), g(x) = x 2k+1, k Z, h(x) = sin x so lihe funkcije f (x) = e x, g(x) = ln x, h(x) = x 2 + 2x + 1 niso ne sode in ne lihe funkcije

Sode in lihe funkcije Velja: graf sode funkcije je simetričen glede na os y, graf lihe pa glede na koordinatno izhodišče vsota sodih funkcij je soda funkcija, vsota lihih je liha funkcija produkt dveh sodih ali dveh lihih funkcij je soda funkcija, produkt lihe in sode funkcije je liha funkcija Injektivne in surjektivne funkcije Funkcija f : D f R je injektivna, če različni točki x y D f preslika v različni vrednosti f (x) f (y) Z f. Graf injektivne funkcije seka poljubno vodoravno premico v največ eni točki. Funkcija f : D f R je surjektivna, če je Z f = R. Vsaka vodoravna premica seka graf surjektivne funkcije v vsaj eni točki. Funkcija f : D f R je bijektivna, če je injektivna in surjektivna.

Kompozitum ali sestavljena funkcija Naj bo f : D f R in g : D g R. Če je Z f D g, potem funkcijo g f : D f R, definirano s predpisom (g f )(x) = g(f (x)), in imenujemo kompozitum funkcij g in f. V splošnem f g g f. Inverzna funkcija Naj bo f : D f R injektivna funkcija. Potem funkcijo f 1 : Z f D f, za katero velja (f 1 f )(x) = x za vsak x D f, imenujemo inverzna funkcija funkcije f. Ekvivalentno: f 1 (x) = y f (y) = x. Definicijsko območje in zaloga vrednosti se zamenjata: D f 1 = Z f, Z f 1 = D f. Inverzno funkcijo f 1 eksplicitno podane funkcije f izračunamo tako, da zamenjamo vlogi spremenljivk y = f (x), torej x = f (y), in nato izrazimo y kot funkcijo x. Graf inverzne funkcije f 1 dobimo tako, da prezrcalimo graf funkcije f prek simetrale lihih kvadrantov.

Računanje s funkcijami Naj f : D R in g : D R. (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) (f g)(x) = f (x) g(x) f g f (x) (x) = g(x), kjer je g(x) za vsak x D. Transformacije funkcij Transformacija funkcije g(x) = f (x a) g(x) = f (x) + c g(x) = f ( x a ) g(x) = cf (x) g(x) = f (x g(x) = f ( x) Transformacija grafa navpični premik za c navzgor navpični premik za c navzgor vodoravni razteg za faktor a navpični razteg za faktor c zrcaljenje preko osi x zrcaljenje preko osi y

Primer Denimo, da znamo narisati graf funkcije y = f (x). f (x) + 1 f (2x) 1.5 2 1..5 1 1..5.5 1. 1.5 1..5.5 1..5 1 1. f (x 1) 1.5 2f (x) 2 2 1 1 1..5.5 1. 1.5 2. 1..5.5 1. 1.5 1 1 2 Limita funkcije Zanima nas, kako se funkcija f obnaša v okolici točke a, torej na nekem intervalu (a δ, a + δ), δ >, torej, kaj se dogaja z vrednostjo f (x), ko se x približuje a. y f (a) + ε f (a) f (a) ε a δ a a + δ x

Limita funkcije Število L je limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x) L < ε, če je < x a < δ. Torej je L limita funkcije f v točki a, če je vrednost f (x) poljubno blizu L, če je le x dovolj blizu a (a ne enak a). Pišemo: L = lim x a f (x) Če je podatek a podan dovolj natančno (z napako manjšo od δ), bo vrednost f (a) izračunana z napako manjšo od ε. Zgledi Limita funkcije f v točki a ni odvisna od vrednosti funkcije f v točki a. Ali obstajajo limite naslednjih funkcij v točki, torej L = lim x f (x)? 1. f (x) = x 2 { 1, x Z, 2. f (x) =, x / Z. 3. f (x) = x2 +x x 4. f (x) = sign(x)

Leva in desna limita Število L je leva limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x) L < ε, če je a δ < x < a. Označimo: L = lim x a f (x). Število L je desna limita funkcije f v točki a, če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x) L < ε, če je a < x < a + δ. Označimo: L = lim x a f (x). Funkcija f ima v točki a limito natanko tedaj, ko ima v točki a tako levo kot desno limito in sta ti dve limiti enaki. Limita funkcije in limita zaporedja Funkcija f ima v točki a limito L natanko tedaj, ko za vsako zaporedje (a n ) n, ki konvergira proti a, velja lim n f (a n) = L. Za računanje limit veljajo enaka pravila kot pri zaporedjih. Naj bo lim f (x) = L in lim g(x) = K. Potem je x a x a lim (f (x) + g(x)) = L + K x a lim (αf (x)) = αl za vsak α R x a lim f (x)g(x) = LK x a če je K, je lim x a f (x) g(x) = L K.

Primeri 3 y 2 1 x 2 1 1 2 3 4 5 1 2 3 4 Primeri 2. lim x (1 + x) 1 x 3. lim x sin x x = 1 = e

Asimptotične vrednosti Če za vsako število M R obstaja tak δ >, da je f (x) > M, če le a δ < x < a, potem pišemo lim f (x) =. x a Podobno definiramo simbol lim f (x) =, če za vsako število x a m R obstaja tak δ >, da je f (x) < m, če le a δ < x < a. Če za vsako število M R obstaja tak δ >, da je f (x) > M, če le a < x < a + δ, potem pišemo lim f (x) =. x a Podobno definiramo simbol lim f (x) =, če za vsako število x a m R obstaja tak δ >, da je f (x) < m, če le a < x < a + δ. Asimptotične vrednosti Oznaka lim x f (x) = L pomeni, da je število L limita funkcije f, ko gre x čez vse meje, torej da za vsak ε > obstaja tako število M, da je f (x) L < ε za vsak x > M. Podobno definiramo s simbolom lim f (x) = L, da za vsak ε > x obstaja tako število m, da je f (x) L < ε za vsak x < m.

Zveznost Funkcija f je zvezna v točki a natanko tedaj, ko je lim f (x) = f (a) = lim f (x). x a x a Če velja samo leva enakost, je funkcija zvezna z desne, če velja samo desna enakost, pa je zvezna z leve. Izrek Funkcija f : D R je v točki a D zvezna, natanko tedaj, ko za vsak ε > obstaja tak δ >, da je če je x a < δ. f (x) f (a) < ε, Zgled Določimo tak a, da bo funkcija f (x) = { sin x x ; x a ; x = zvezna v točki x =.

Zgled Ali lahko določimo f () = a tako da bo f zvezna v točki, če je { sin 1 1. f (x) = x ; x a ; x = { x sin 1 2. f (x) = x ; x a ; x = Opis zveznosti Graf zvezne funkcije bo v točki (a, f (a)) nepretrgana krivulja. Vse elementarne funkcije so zvezne povsod, kjer so definirane.če je f zvezna v točki a potem se vrednost f (x) v bližnjih točkah malo razlikuje of f (a). Če vrednost f (a) ni definirana, vendar obstaja L = lim f (x), x a lahko funkcijo f razširimo, tako da definiramo f (a) = L. Tako razširjena funkcija je zvezna v točki a. Če sta f in g zvezni funkciji v točki a, potem so tudi αf, f + g, fg zvezne v točki a, funkcija f g pa je zvezna v a, če je g(a).

Zveznost Izrek Če je lim x a g(x) = L in je funkcija f zvezna v točki L, je lim (f g)(x) = f (L). x a Torej lahko zamenjamo vrsti red računanja limite in vrednosti zvezne funkcije. Če sta f in g zvezni funkciji, sta zvezna tudi kompozituma f g in g f. Zgled Izračunajmo limito lim x e x 1 x.

Zveznost na intervalu Definicija Funkcija je zvezna na odprtem intervalu (a, b), če je zvezna v vsaki točki x (a, b). Funkcija je zvezna na zaprtem intervalu [a, b], če je zvezna v vsaki točki x (a, b), v točki a je zvezna z desne, v točki b pa zvezna z leve. Primer: funkcija f (x) = arcsin x je zvezna na zaprtem intervalu [ 1, 1]. Ničle zveznih funkcij Izrek Če je f zvezna na zaprtem omejenem intervalu [a, b] in je f (a)f (b) <, potem obstaja točka c (a, b), kjer je f (c) =.

Omejenost zveznih funkcij f zvezna na zaprtem intervalu [a, b] f je omejena na [a, b], tj. obstajata M = sup{f (x) ; x [a, b]}, m = inf{f (x) ; x [a, b]} obstajata x m, x M [a, b], kjer je f (x m ) = m in f (x M ) = M, za vsako vrednost y med m in M, m y M, obstaja točka x y [a, b], kjer je f (x y ) = y. Kaj je funkcija več spremenljivk? Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije f. Primeri: f (x, y) = sin x + sin y g(x, y) = 1 x 2 y 2 h(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2

Graf funkcije dveh spremenljivk Γ = {(x, y, f (x, y )) : (x, y ) Df }... je ploskev v R3. f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = sin x + cos y 2 5 1 5-1 2-5 -2-5 -2-2 -5 2 5 Nivojske krivulje Nivojska krivulja funkcije f (x, y ) je krivulja v Df R2, podana z enac bo f (x, y ) = c. f (x, y ) = x 2 y 2 f (x, y ) = sin x + cos y 1 3 2 5 1-1 -5-2 -1-3 -1-5 5 1-3 -2-1 1 2 3

Nivojske krivulje Nivojske krivulje so tudi I izohipse (nivojske krivulje nadmorske vis ine na geografskih kartah) I I izobare (nivojske krivulje tlaka na vremenskih kartah) izoterme (nivojske krivulje temperature na vremenskih kartah) Nivojske krivulje doloc ajo razslojitev definicijskega obmoc ja D: vsaka toc ka (x, y ) D lez i na natanko eni nivojski krivulji. Nivojske ploskve funkcije treh spremenljivk Nivojske ploskve funkcije treh spremenljivk so ploskve v R3, podane z enac bo f (x, y, z) = c. Nivojske ploskve funkcije f (x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 so sfere

Limita in zveznost L je limita funkcije f : R 2 R v točki (a, b), če je vrednost f (x, y) poljubno blizu L, če je le (x, y) dovolj blizu (a, b) (a nujno ne enak (a, b)). Formalno: Število L je limita funkcije f (x, y) v točki (a, b), če za vsak ε > obstaja tak δ >, da je f (x, y) L < ε, za vsako točko (x, y) v krogu s polmerom δ okrog točke (a, b). Krog s polmerom δ okrog (a, b) je množica vseh takšnih točk (x, y), da velja (x a) 2 + (y b) 2 < δ 2. Funkcija f (x, y) je zvezna v točki (a, b), če je lim f (x, y) = f (a, b). (x,y) (a,b) Primera Pri računanju limit si lahko pomagamo s polarnimi koordinatami: lim (x,y) (,) 2x 2 y x 2 +y 2. x lim 2 y 2 (x,y) (,) x 2 +y 2