Matematično modeliranje 3. poglavje Dinamično modeliranje: diferencialne enačbe, sistemi diferencialnih enačb Fakulteta za računalništvo in informatiko Univerza v Ljubljani 2017/2018 Za kaj rabimo diferencialne enačbe? Z diferencialnimi enačbami opišemo deterministične procese: nek znan zakon določa zvezo med neko količino, ki je odvisna od ene spremenljivke (na primer od časa), in pa hitrostjo (pospeškom,... ) njenega spreminjanja. Če je odvisnih spremenljvik več, dobimo sistem diferencialnih enačb. Z diferencialno enačbo zapišemo fizikalne, kemijske, informacijske,... zakone, z njimi modeliramo obnašanja kompleksnih sistemov v ekonomiji, ekologiji, medicini,... Obravnavali bomo navadne diferencialne enačbe in sisteme: neodvisna spremenljivka je ena sama, na primer čas (ne pa parcialnih diferencialnih enačb, kjer je neodvisnih spremenljivk več).
Diferencialna enačba reda n: F (x, y, y,..., y (n) ) = 0 Rešitev diferencialne enačbe reda n je funkcija y = y(x), ki je vsaj n krat odvedljiva zadošča identiteti F (x, y(x), y (x),..., y (n) (x)) = 0 za vsak x. Primeri Toplotni zakon: T (t) je temperatura homogenega telesa (pločevinke piva) ob času t, T 0 začetna temperatura ob času t 0 = 0, T tmeperatura okolja, k konstanta (toplotna prevodnost) T = k(t T ) Radioaktivni razpad: y(t) količina radioaktivnega izotopa ob času t, t 1/2 razpolovni čas: ẏ(t) = ky(t), k = log 2 t 1/2 Radiometrično datiranje (carbon dating): (Willard Libby, 1949, Nobelova nagrada za kemijo 1960) določanje starosti organskih izkopanin na podlagi razmerja med nestabilnim izotopom C 14 stabilnim C 12.
Primer: navpični met Žogico z maso 1kg vržemo v zrak z začetno hitrostjo v 0 = 25 m/s in počakamo, da pade na tla ob predpostavki, da zračnega upora ni, ob predpostavki, da velja linearni zakon upora: F u = kv. Vprašanje: Ali bo dlje letela navzgor ali navzdol? Primerjava Enačba Hitrost in pot žoge Rešitev ma = F g v = 10 v(t) = t + 25 x(t) = t 2 /2 + 25t ma = F u F g v = v 10 v(t) = 10(1 e t ) x(t) =...
Diferencialna enačba 1. reda y = f (x, y) Spološna rešitev: enoparametrična družina funkcij y = y(x, C). Začetni problem je diferencialna enačba skupaj z začetnim pogojem: y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 Partikularna rešitev je funkcija iz splošne rešitve, ki reši začetni problem. Singularna rešitev: posebna rešitev, ki ne spada v splošno rešitev. Velika večina diferencialnih enačb analitično ni rešljivih! Linearna DE 1. reda y + f (x)y = g(x) Splošna rešitev je vsota y(x) = y p (x) + Cy h (x), kjer je y p ena partikularna rešitev, Cy h pa splošna rešitve homogene enačbe. Partikularno rešitev dobimo z variacijo konstante, tj. z nastavko, y p = C(x)y h, kjer C ni več konstanta ampak neznana funkcija. Primer: x 2 y + xy = 1, y(1) = 2
Grafično reševanje Diferencialna enačba y = f (x, y) v vsaki točki (x, y) iz definicijskega območja funkcije f (x, y) določa smer, v kateri gre rešitev enačbe skozi to točko. Dobimo polje smeri. Splošna rešitev je družina krivulj, ki ustreza temu polju: skozi vsako točko gre natanko ena krivulja y = y(x), ki ima tangento v smeri, predpisani s poljem smeri. Partikularna rešitev je krivulja iz te družine, ki gre skozi eno konkretno točko (x 0, y 0 ), tj. zadošča začetnemu pogoju y(x 0 ) = y 0. Primer: zakoni rasti y(t) je velikost populacije (na primer zajcev ali bakterij) ob času t. Naravna rast: ẏ = ky Rast z omejitvami: ẏ = ky(1 y/y max ) (logistični zakon), y max je kapaciteta okolja, tj. maksimalna populacija, ki se lahko v njem vzdržuje Splošni model ẏ = k(y, t)f (y), ta enačba je analitično rešljiva samo v zelo posebnih primerih
y = ky y = ky(1 y) Numerično reševanje Za začetni problem y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0 namesto funkcije y(x) iščemo zaporedje približkov y i = y(x i ) za točke na rešitvi, kjer je x i = x 0 + ih in h korak. Obstaja cela vrsta numeričnih metod za reševanje začetnih problemov za diferencialne enačbe 1. reda in sisteme diferencialnih enačb 1. reda.
Eulerjeva metoda Najbolj logična in preprosta metoda. Na vsakem koraku naslednjo točko (x i+1, y i+1 ) dobimo tako se za h pomaknemo vzdolž tangente na rešitev skozi (x i, y i ), i = 0,..., i m ax: začetni približek: (x 0, y 0 ) za vsak i > 0 je: x i+1 = x i + h, y i+1 = y i + hf (x i, y i ). Točka (x i+1, y i+1 ) leži na drugi partikularni rešitvi kot (x i, y i ): napaka na vsakem koraku je reda O(h 2 ). Kumulativna napaka z vsakim korakom narašča. Metoda Runge-Kutta Precej bolj natančna, zelo popularna metoda: začetni približek: (x 0, y 0 ) za vsak i > 0 je kjer je x i+1 = x i + h, y i+1 = y i + (k 1 + 2k 2 + 2k 3 + k 4 )/6, k 1 = hf (x i, y i ), k2 = hf (x i + h/2, y i + k 1 /2), k3 = hf (x i + h/2, y i + k 2 /2) in k4 = h f (x i + h, y i + k 3 ) Napaka je precej manjša kot pri Eulerjevi metodi: na vsakem koraku je reda O(h 2 ), kumulativna napaka pa je reda O(h 4 ).
Primerjava Rešujemo diferencialno enačbo y = y 1, y(0) = 1, korak je h = 0.3 Rdeča krivulja je prava rešitev y = 2e x 1. Eulerjeva metoda Runge-Kutta Obstoj rešitve Začetni problem y = f (x, y), y(x 0 ) = y 0, kjer je funkcija f (x, y) zvezna in parcialno odvedljiva na y na kvadratu [x 0 a, x 0 + a] [y 0 b, y 0 + b] ima natanko eno rešitev y(x), definirano vsaj za x na intervalu [x 0 α, x 0 + α], kjer je 0 < α a. (Obstajajo boljše ocene... ).
Sistemi DE 1. reda Iščemo funkcijo x(t) = (x 1 (t),..., x n (t)), ki zadošča enačbi x = f ( x, t) Izpisano: ẋ 1 = f 1 (x 1,..., x n, t). ẋ n = f n (x 1,..., x n, t) Splošna rešitev je družina parametriziranih krivulj x(t, C 1,..., C n ). Začetni pogoj: x(t 0 ) = x 0 Sistem DE 1. reda za vsak t določa smer tangente x(t) na rešitev skozi točko x(t). Numerične metode za sisteme Rešujemo sistem x = f ( x, t) z začetnim pogojem x(t 0 ) = x 0. Eulerjeva metoda: t i+1 = t i + h, x i+1 = x i + hf ( x i, t i ), i = 1,..., n 1. Runge Kutta: t i+1 = t i + h, x i+1 = x i + ( k 1 + 2 k 2 + 2 k 3 + k 4 )/6, kjer je k1 = h f ( x i, t i ), k2 = h f ( x i + k 1 /2, t i + h/2), k 3 = h f ( x i + k 2 /2, t i + h/2), k4 = h f ( x i + k 3, t i + h)
Sistem je avtonomen, če je funkcija f neodvisna od t: x = f ( x) Za avtonomne sisteme je smer tangente na rešitev odvisna samo od točke x, od časa t pa je neodvisna. Avtonomen sistem dveh DE 1. reda ẋ = f 1 (x, y), ẏ = f 2 (x, y) določa polje smeri v ravnini (x, y). Točke, kjer je x 0 = 0, so stacionarne točke ali ravnovesna stanja sistema. Rešitev sistema x(t) z začetnim pogojem v stacionarni točki x 0 je konstantna funkcija x(t) = x 0. Primer: model plenilec-plen (predator-prey) Dve populaciji, ki živita skupaj, vzajemno vplivata ena na drugo. Zajci Z(t) imajo dovolj hrane in prostora, volkovi V (t) se hranijo z zajci. Če bi živeli vsak zase, bi za zajce veljal zakon naravne rasti, volkovi pa bi hirali: Z = kz, V = rv, k, r > 0. Skupaj pa, (če zanemarimo vse druge vplive) na zajce slabo vpliva število srečanj z volkovi, na volkove pa dobro vpliva število srečanj z zajci: Z = kz azv, V = rv + bvz, a, b > 0.
Z = 0.3Z 0.004ZV V = 0.2V + 0.001ZV Na levi: polje smeri, stacionarne točke so V = 0, Z = 0 in V = k/a, Z = r/b. Na desni: zaporedje približkov za začetni pogoj Z(0) = 500, V (0) = 50 z Eulerjevo metodo, korak h = 0.5. 4.2.3 Linear systems of 1st order DEs A linear system of DEs is of the form ẋ = A(t)x + f (t), where A(t) is an n n matrix with coefficients possibly depending on t (i.e. function of t), and f : R R n is a function. The system is homogeneous is f (t) = 0, has constant coefficients, if the matrix A is constant, i.e. independent of t. A homogeneous system with constatnt coefficients is an autonomous system.
4.2.3.1 An autonomous linear systems of 1st oredr DEs is of the form or in coordinates: ẋ = Ax ẋ 1 = a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n. ẋ n = a n1 x 1 + a n2 x 2 + + a nn x n : x(t 0 ) = x 0. Poseben primer: A je diagonalna matrika Naj bo A (realna) diagonalna matrika: ẋ 1 λ 1... 0 x 1. =......, ẋ n 0... λ n x n tj. ẋ 1 = λ 1 x 1. ẋ n = λ n x n. Splošna reštev je C 1 e λ 1t C 2 e λ 2t x(t) =. C n e λ nt = C 1e λ 1t 1 0. 0 +C 2e λ 2t 0 1. 0 +C ne λ nt 0 0. 1
A ima n lastnih vektorjev Če ima A n linearno neodvisnih lastnih vektorjev v 1,... v n, lahko rešitev x(t) zapišemo kot linearno kombinacijo x(t) = ϕ 1 (t) v 1 + + ϕ n (t) v n. Iz sistema x = A x, dobimo ϕ 1 (t) v 1 + + ϕ n (t) v n = ϕ 1 (t)λ 1 v 1 + + ϕ n (t)ϕ n v n, torej za vsak i velja, da je Splošna rešitev sistema je ϕ i (t) = λ i ϕ i (t), torej ϕ i (t) = C i e λ i t. x(t) = C 1 e λ 1t v 1 + + C n e λ nt v n. Lastne vrednosti λ i so lahko tudi kompleksna števila, v tem primeru je splošna rešitev izražena v kompleksni obliki. Avtonomni sistemi dveh linearnih diferencialnih enačb ẋ 1 = a 11 x 1 + z 12 x 2, ẋ 2 = a 21 x 1 + a 22 x 2. Točka (0, 0) je edina stacionarna točka sistema. Obnašanje rešitev okrog stacionarne točke je odvisno od lastnih vrednosti in lastnih vektorjev matrike A. Če ima matrika dva linearno neodvisna lastna vektorja v 1 in v 2, je splošna rešitev x(t) = C 1 e λ 1t v 1 + C 2 e λ 2t v 2, Konstanti C 1 in C 2 sta določeni z začetnim pogojem: x 0 = C 1 v 1 + C 2 v 2.
Primer 1 ẋ 1 = x 1 + x 2, ẋ 2 = 4x 1 2x 2 x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 1 Točka (0, 0) je sedlo. Primer 2 ẋ 1 = 2x 1 + 9x 2, ẋ 2 = 2x 1 7x 2 Točka (0, 0) je točkast ponor.
A ima kompleksne lastne vrednosti Poglejmo primer matrike 2 2 z lastnima vrednostma in lastnima vektorjema λ 12 = α ± iβ, v 12 = u ± i w. Splošna rešitev je x(t) = C 1 e (α+iβ)t ( u + i w) + C 2 e (α iβ)t ( u i w) = e αt C 1 (cos(βt) u sin(βt) w) + e αt C 2 (sin(βt) u + cos(βt) w) Primer 3 Nihanje: ẋ = v, v = ω 2 x Točka (0, 0) je center.
Klasifikacija stacioanrnih točk Realne lastne vrednosti: točkasti izvor: 0 < λ 1 < λ 2 sedlo: λ 1 < 0 < λ 2 točkasti ponor λ 1 < λ 2 < 0 Konjugirano kompleksni lastni vrednosti Vijačni izvor: 0 < Re(λ) Center: Re(λ) = 0) Vijačni ponor Re(λ) < 0, Smer vretnja vijačnice je: pozitivna, če je Im(λ) > 0 in negativna, če je Im(λ) < 0.
Nelinearni sistemi ẋ = f 1 (x, y), ẏ = f 2 (x, y) Stacionarne točke: f 1 (x 0, y 0 ) = f 2 (x 0, y 0 ) = 0. Tip stacionarne točke (x 0, y 0 ) določimo tako, da sistem okrog stacionarne točne lineariziramo: [ (f1 ) L f (x, y) = Df (x 0, y 0 )( r r 0 ) = x (x 0, y 0 ) (f 1 ) y (x 0, y 0 ) (f 2 ) x (x 0, y 0 ) (f 2 ) y (x 0, y 0 ) ] in določimo tip stacionarne točke (0, 0) dobljenega linearnega sistema. Primer ẋ = x xy ẏ = xy y Stacionarni točki: (0, 0) in (1, 1) Linearizacija: [ ẋ ẏ ] = V točki (0, 0) dobimo matriko V točki (1, 1) dobimo matriko [ 1 y x y x 1 [ 1 0 0 1 [ 0 1 1 0 ] ], točka je sedlo. ], točka je center.
Poleg stacionarnih točk ima lahko nelinearen sistem 2 2 tudi limitne cikle. Limitni cikel je periodična rešitev (x(t), y(t)) za katero velja, da se vse rešitve z začetnim pogojem v neki njegovi okolici tej rešitvi približujejo, ko gre t (ω-limitni cikel) ali ko gre t (α-limitni cikel). Sistemi več diferencialnih enačb 1. reda imajo bistveno bolj zanimivo dinamiko, poleg stacionarnih točk in limitnih ciklov, se lahko pojavijo še kaotični atraktorji. Diferencialne enačbe 2. reda ẍ = f (t, x, ẋ) Splošna rešitev je dvoparametrična družina funkcij x = x(t, C 1, C 2 ). Začetni pogoj: x(t 0 ) = α 0, ẋ(t 0 ) = α 1 Robni pogoj: x(a) = x 0, x(b) = x 1.
Diferencialna enačba reda n x (n) = f (t, x, ẋ,..., x (n 1) ) Splošna rešitev je n-parametrična družina fukcij x = x(t, C 1,..., C n ). Partikularna rešitev je določena z začetnim pogojem: x(t 0 ) = α 0,... x (n 1) (t 0 ) = α n 1 ali robnimi pogoji: vrednosti funkcije ali odvodov v različnih točkah. Prevedba na sistem Diferencialni enačbi ẍ = f (t, x, ẋ) lahko priredimo sistem dveh diferencialnih enačb 1. reda: Začetni pogoj [ ẋ v ] [ = v f (x, v, t) ] x(t 0 ) = α 0, ẋ(t 0 ) = α 1 se pri tem prevede na začetni pogoj [ ] x(t0 ) = v(t 0 ) Z robnimi pogoji so težave... [ α0 α 1 ].
Podobno lahko vsaki diferencialni enačbi reda n x (n) = f (t, x, ẋ,..., x (n 1) ) priredimo sistem n diferencialnih enačb 1. reda, tako da vpeljemo nove odvisne spremenljivke x 1 = x, x 2 = ẋ,..., x n = x (n 1) in zanje dobimo sistem ẋ 1 ẋ 2. ẋ n = x 2 x 3. f (x, v, t). Linearna DE reda n Homogena: x (n) + a 1 (t)x (n 1) + + a n (t)x = 0 Nehomogena: Začetni pogoj: Robni pogoji: x (n) + a 1 (t)x (n 1) + + a n (t)x = f (t) x(t 0 ) = α 0, ẋ(t 0 ) = α 1,..., x (n 1) (t 0 ) = α n vrednosti funkcije ali odvodov v različnih točkah.
Homogena LDE Če sta x 1 in x 2 rešitvi, je tudi poljubna linearna kombinacija C 1 x 1 + C 2 x 2 rešitev. Splošna rešitev je množica vseh linearnih kombinacij y = C 1 x 1 + + C n x n n različnih linearno neodvisnih rešitev. Če so funkcije a 1 (t),..., a n (t) zvezne, obstaja za poljubne vrednosti α 0,..., α n natanko ena rešitev, ki zadošča začetnemu pogoju x(t 0 ) = α 0, ẋ(t 0 ) = α 1,..., x (n 1) (t 0 ) = α n. Homogena LDE 2. reda s konstantnimi koeficienti aẍ + bẋ + cx = 0 Rešitev je funkcija oblike x = e λt, kjer je λ rešitev kvadratne karakteristične enačbe aλ 2 + bλ + c = 0. Splošna rešitev je linearna kombinacija C 1 x 1 + C 2 x 2, kjer je 1. x 1 = e λ 1t in x 2 = e λ 2t, če ima karakteristična enačba dve realni rešitvi, 2. x 1 = e αt cos βt in x 2 = e αt sin βt, če ima karakteristična enačba kompleksen par rešitev λ 12 = α ± iβ, 3. x 1 = e λt, x 2 = te λt, če ima karakteristična enačba eno dvojno realno rešitev. Homogeni LDE s konstantnimi koeficienti ustreza avtonomen linearen sistem 1. reda.
Lastno nihanje Nihanje brez upora: mẍ + kx = 0, m, k > 0, karakterističan enačba mλ 2 + k = 0 ima rešitve λ = ±ωi, ω 2 = k/m, splošna rešitev x(t) = C 1 cos ωt + C 2 sin ωt. Rešitve so periodične s periodo ω. V fazni ravnini (x, v) je stacionarna točka (0, 0) center. Nihanje z uporom: mẍ + βẋ + kx = 0 Ločimo tri primere predušeno nihanje, D = β 2 4km > 0: x(t) = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t, λ 12 < 0, nihalo drsi proti stabilni legi, kritično dušeno, D = 0: x(t) = C 1 e λt + C 2 te λt, λ < 0, drsalo po enem nihaju drsi proti stabilni legi, dušeno nihanje, D > 0, x(t) = e αt (C 1 cos βt + C 2 sin βt). V fazni ravnini (0, 0) je prvih dveh primerih je točka (0, 0) ponor, v zadnjem pa je vijačni ponor.
Nehomogena LDE Če sta x 1 in x 2 rešitvi nehomogene enačbe, je razlika x 1 x 2 rešitev pripadajoče homogene enačbe. Splošna rešitev nehomogene enačbe je vsota x p + x h = x p + C 1 x 1 + + C n x n, kjer je x p partikularna rešitev nehomogene enačbe, x 1,..., x n pa so linearno neodvisne rešitve homogene enačbe. Partikularno rešitev dobimo s pametnim ugibanjem ali z metodo variacije konstant. Primeri Partikularno rešitev x p lahko pogosto uganemo (ali uganemo vsaj njeno obliko): 1. ẍ + ẋ + x = t 2 2. ẍ 3ẋ + 2x = e 3t, x(0) = 1, ẋ(0) = 0 3. ẍ x = e x
Primer: vsiljeno nihanje Nedušeno: mẍ + kx = f (t) Naj bo f (t) = A sin µt: 1. vsiljena frekvenca je drugačna od lastne: µ ω, partikularna rešitev je x p = a sin µt, kjer a določimo tako, da je enačba izpolnjena, splošna rešitev je sestavljeno nihanje x(t) = C 1 sin ωt + C 2 cos ωt + a sin µt. 2. resonanca, vsiljena frekvenca je enaka lastni: µ = ω, x p = at sin ωt, splošna rešitev x(t) = C 1 sin ωt + C 2 cos ωt + at sin µt s časom narašča, ni omejena. Dušeno vsiljeno nihanje: mẍ + βẋ + kx = f (t)...