Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI Laboato n. 9 Cupin 9. Modelaea matematiă a itemelo ontinue 9. Sitem meani eot-maă amotizat şi item eleti RLC 9.. ExeiŃiu 9. FunŃii de tanfe. 9. Modelele diagamei blo 9.. ExeiŃii 8 9. Modelaea matematiă a itemelo ontinue Analiza şi inteza itemelo de ontol e bazează pe pe modelele matematie ale itemelo fizie omplexe. Modelele matematie ae e obńin pe baza legilo fizie ale poeelo unt în geneal euańii difeenńiale neliniae. Pe de altă pate, multe iteme fizie au popietatea de liniaitate în juul anumito punte de funńionae, atfel ă ete poibil a avea o apoximae liniaă a itemelo fizie. Dezvoltaea în eie Taylo ete în geneal utilizată pentu liniaizaea poeelo. Apoximaea liniaă a itemelo fizie ete deiă de o euańie difeenńială liniaă u oefiienńi ontanńi. Tanfomata Laplae ete un mod potivit de a alula oluńia unei euańii difeenńiale. Tanfomata Laplae poate fi de aemenea foloită pentu a obńine deieea intae-ieşie a itemelo liniae, invaiante în timp, ub foma funńiei de tanfe. MATLAB-ul poate fi utilizat pentu tudiul itemelo liniae invaiante în timp date în foma deieii u funńia de tanfe deieea intae-ieşie au ub foma deieii intae-tae-ieşie. În aeată luae vom utiliza MATLAB-ul pentu analiza itemelo de odinul doi meanie au eletie foloind modelele matematie. Cu ajutoul MATLAB-ului vom fae o analiză inteativă apabilă ă pună în evidenńă efetele fatoului de amotizae ξ şi al pulańiei natuale ω n aupa ăpunului itemelo de odinul doi. Analiza e bazează pe faptul ă avem o oluńie analitiă ae deie ăpunul în timp al aeto iteme pentu o anumită măime de intae. Tot în aeată luae e diută funńiile de tanfe şi diagamele blo. În patiula ne inteeează foloiea MATLAB-ului în alulul polilo şi zeouilo funńiei de tanfe, alulul funńiilo de tanfe ehivalente, edueea diagamelo blo şi alulul ăpunului itemelo la o măime de intae teaptă unitaă. 9. Sitem meani eot-maă amotizat şi item eleti RLC Sitemul meani eot-maă-amotizae ete pezentat în Fig.9., deplaaea maei, notată yt xt Figua 9., ete deiă de euańia difeenńială 9.:... t B y t k y t f t SoluŃia yt a euańiei difeenńiale 9. deie deplaaea maei în funńie de timp. FunŃia de intae fońae ete epezentată de ft. Deteminaea modelului matemati al aetui item meani e bazează pe utilizaea unui eot şi amotizae ideale, ae apoximează elementele eale. Modelul itemului meani eot-maăamotizae, dat de euańia 9. ete apoximańia liniaă şi invaiantă în timp a poeului fizi; el ete valabil numai în egimuile unde fońa eotului ete o funńie liniaă de deplaaea maei şi unde fońa de feae amotizaea ete o funńie liniaă de viteză. Şi alte poee fizie unt deie de modele matematie ontinue analogie de tipul 9.. Un exemplu de item eleti tipi ete iuitul RLC, dat în Fig.9.. În aet az modelul matemati ete analogi, unde viteza y& t şi M y 9. Fig.9. Sitem meani eot-maă amotizat teniunea u t unt vaiabile analogie. Aetă nońiune de iteme analogie ete impotantă în modelaea itemelo. Analiza itemelo deie de modelul 9. ete impotantă nu numai în azul itemelo meanie şi eletie da şi al elo temie şi hidaulie. Răpunul nefońat pentu ft, yt, al itemului meani Fig.9. ete: y ξω y t e n t inωn ξ tϕ ξ 9. unde ϕ aoξ. Deplaaea inińială ete y. Răpunul tanzitoiu 9. ete ubamotizat daă ξ <, upaamotizat daă ξ > şi amotizat iti daă ξ. Putem utiliza MATLAB-ul pentu a vizualiza ăpunul nefońat tanzitoiu dat de 9. u ondińia inińială y. În azul în ae doim o imulae a funńionăii unui item u eańie atuni vom vaia intăile şi ondińiile inińiale ale itemului şi vom alula în MATLAB oluńiile numeie şi apoi oluńia gafiă pe diplay. 9.. Exeiţiu RepezentaŃi ăpunul nefońat al itemului meani pentu t[:.:7] ia elańia matematiă ete pezentată în elańia 9.:
Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI ad Cazul upaamotizat: y,5m; ωn ; ξ ; ad Cazul ubamotizat: y,5m; ωn ; ξ. 9. FunŃii de tanfe. FunŃia de tanfe epezintă o deiee intae-ieşie a itemelo şi e obńine apliând tanfomata Laplae în ondińii inińiale nule euańiei difeenńiale 9.. În azul itemelo liniae ontinue în timp, funńia de tanfe ete dată de un apot de două polinoame de vaiabilă omplexă, adiă ete de foma: Y a a m m m m n n U bn K a a K b b unde m n. Rădăinile polinomului de la număătoul lui e nume zeouile itemului, ia ădăinile polinomului de la numitoul lui e nume polii itemului. În MATLAB pentu eaea unei funńii de tanfe e foloeşte funńia tf ae ae umătoaea intaxă: ytfnum,den, unde num, den epezintă număătoul, epetiv numitoul funńiei de tanfe, ezultând atfel un item ontinuu. EuaŃia obńinută pin egalaea u zeo a numitoului lui e numeşte euańia aateitiă a itemului: n n b K b b 9. n Răpunul tanzitoiu al itemului ete deteminat de epatińia loalizaea în planul a polilo şi zeouilo. Putem utiliza pogamul MATLAB pentu analiza itemelo deie de funńii de tanfe. Deoaee funńia de tanfe ete un apot de două polinoame putem utiliza MATLAB-ul pentu ezolvaea polinoamelo. În MATLAB polinoamele unt epezentate de vetoi linie onńinând oefiienńii polinomului în odinea deeătoae a puteilo vaiabilei. În ontinuae ete dat un exemplu de alul al ădăinilo pentu polinomul: p 9.5 >> p [ ]; >> ootp -.55.777.77i.777 -.77i Daă p ete un veto linie onńinând oefiienńii lui p în odine deeătoae a puteilo, atuni ootp ete un veto oloană onńinând ădăinile polinomului p. Inve, daă ete un veto oloană onńinând ădăinile unui polinom, atuni p poly ete un veto linie e onńine oefiienńii polinomului în odinea deeătoae a puteilo vaiabilei. 9. Pentu a înmulńi două polinoame e utilizează funńia onv, ia pentu a evalua valoaea polinoamelo pentu o valoae dată a vaiabilei e utilizează funńia polyval. În ontinuae ete exemplifiată utilizaea funńiilo onv şi polyval pentu a alula valoaea polinomului: h în puntul -5. >> h[ ]; >> h [ ]; >> h onvh,h h 9 >> v polyvalh,-5 v -66 Repezentae gafiă pentu loalizaea pol-zeo în planul omplex e fae foloind funńia pzmap, atfel: pzmapnum,den. 9. Modelele diagamei blo Peupunem ă avem modelele matematie în foma funńiilo de tanfe pentu intalańia tehnologiă poe şi pentu egulato. Putem avea şi alte omponente ale itemului a enzoi şi eńele de oeńie. Ne popunem ă onetăm aete elemente pentu a obńine un item de ontol. Vom utiliza funńiile MATLAB pentu tanfomaea digamelo blo deie în uul de Modelaea poeelo fizio-himie/poee i fenomene himie. Poeul ontolat ete aătat în figua 9.. Un item de ontol în bulă dehiă poate fi obńinut pin onetaea în eie a poeului u egulatoul, aşa um e vede în figua 9.. X Poe Y Figua 9. Sitem dehi X Poe Putem utiliza MATLAB-ul pentu alulul funńiei de tanfe Y/U aşa um e vede în exemplul 9.. Exemplul 9. - Conetaea eie Fie poeul intalańia tehnologiă dat de funńia de tanfe u şi fie 5 egulatoul, epezentat de funńia de tanfe u. Putem utiliza funńia eie pentu a lega în aadă două funńii de tanfe şi aşa um e vede în figua 9.5. U Regulato Y Figua 9. Sitem de ontol dehi
Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI 5 6 Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI ± U Ε - Regulato X Poe Y Figua 9.5 FunŃia eie FunŃia de tanfe ete alulată utilizând funńia eie şi ete aătată în figua 9.6. FunŃia de tanfe ehivalentă ae ezultă ete: num den 5 U Ε Sitem _ Y Figua 9.8 Sitem de ontol u eańie unitaă Exită două funńii ae pot utiliza poeul de eduee a diagamei blo pentu alulul funńiei de tanfe a itemului înhi monobulă şi multibulă şi anume funńiile loop şi feedbak. Figua 9.6 ApliaŃie a funńiei eie. Diagama blo e obńine şi pentu legaea în paalel foloind funńia paallel, deiă în figua 9.7. U Sitem Sitem - Y Figua 9.9 FunŃia loop FunŃia loop alulează funńia de tanfe a itemului înhi aşa um ete aătat în figua 9.9 în ae apae şi onfiguańia itemului u eańie unitaă. FunŃia feedbak ete aătată în figua 9. în ae apae şi onfiguańia itemului ae inlude patea de eańie. U Ε Sitem - Sitem Y Figua 9.7 FunŃia paallel Putem onidea aum intodueea unui emnal de eańie obńinând un item în bulă înhiă u eańie unitaă, aşa um e vede în figua 9.8. Semnalul Ε ete emnalul de eoae, ia U ete emnalul de efeinńă de intae. În aet item de ontol egulatoul ete pe alea dietă şi funńia de tanfe a itemului înhi u eańie ete: Figua 9. FunŃia feedbak
Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI 7 8 Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI Pentu ambele funńii, loop şi feedbak, daă emnul intăii ign ete omi, atuni eańia negativă ete peupuă ă exită. În exemplul 9. ete aătat modul de utilizae al funńiei loop, ia în exemplul 9. ete aătat modul de utilizae al funńiei feedbak. Exemplul 9. - FunŃia loop. Fie poeul şi egulatoul din exemplul 9. figua 9.. Apliăm funńia loop utilizând în pimul ând funńia eie pentu alulul lui, ia apoi funńia loop pentu bula înhiă. SevenŃa de omandă ete dată în figua 9.. FunŃia de tanfe a itemului înhi dat în figua.8 ete: num den 5 num den 5 Figua 9. ApliaŃie a funńiei feedbak FunŃiile MATLAB eie, loop şi feedbak pot fi utilizate şi pentu diagamele multibulă. 9.. Exeiţii Figua 9. ApliaŃie a funńiei loop Altă onfiguańie de item u eańie ete ea în ae egulatoul ete amplaat pe alea de eańie, onfiguańie pezentată în figua 9.. Semnalul de eoae Ε ete de aemenea utilizat în aeată onfiguańie. FunŃia de tanfe a itemului înhi ete: ± U Ε Sitem - Sitem Y. Conideăm funńiile de tanfe: 6 şi i i CalulaŃi şi epezentańi polii şi zeouile funńiei de tanfe, euańiei aateitie a lui şi ezultatul împăńiii lui u număul de poli ete mai mae au el mult egal u număul de zeoui.. RealizaŃi pogamul pentu edueea itemul multibulă dat în figua 9. şi alulati funńia de tanfe ehivalentă: Y U În adul itemului dat în figua 9. avem umătoaele funńii de tanfe: ; ; ; 6 şi ; ; Figua 9. Sitem înhi u egulatoul amplaat pe alea de eańie Exemplul 9. - FunŃia feedbak. Fie înă odată poeul şi egulatoul din exemplul 9.. Calulăm funńia de tanfe a itemului înhi u egulatoul pe alea de eańie utilizând funńia feedbak. SevenŃa de omandă ete dată în figua 9., ia funńia de tanfe a itemului înhi ete:
Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI 9 Modelaea poeelo fizio-himie IS; Poee i fenomene himie CTI U Y - Etapa 5: Se elimină bula ămaă şi alulăm. U Rezultatul obţinut u pogamul i în MATLAB ete: 5 num 6 6 5 6 5 den 5 66 57 8 96 7 Y Figua 9. Sitem u mai multe bule de eańie. Pentu ezolvaea aetui exemplu tebuie paue umătoaele etape: - Etapa : Intodueea funţiilo de tanfe ale blouilo omponente în MATLAB. - Etapa : Se deplaează bloul în inteioul bulei u pe eaţie. Daă e alulează polii şi zeouile lui e ontată ă e poate da fato omun la număăto şi la numito, dei funńia de tanfe e implifiă. Aeată implifiae e poate fae u ajutoul funńiei mineal [num, den]minealnum,den. U. RealizaŃi pogamul pentu edueea hemei blo din figuă:.5 - - - Y U Y 5 - Etapa : Se elimină bula. U Y - Etapa : Se elimină bula u / pe eaţie. U Y