3. Vectori şi valori proprii

Transcript

1 Valori şi vectori proprii 7 Vectori şi valori proprii n Reamintim că dacă A este o matrice pătratică atunci un vector x R se numeşte vector propriu în raport cu A dacă x şi există un număr λ (real sau complex) astfel încât Ax λx Numărul λ se mai numeşte şi valoarea proprie Valorile proprii ale matricei A sunt rădăcinile polinomului caracteristic P( λ) det( A λi) şi sunt invariante la transformările de similitudine ale lui A; acest lucru înseamnă că valorile proprii ale matricei A coincid cu valorile proprii ale matricei C AC oricare ar fi matricea nesingulară C Dacă matricea A este simetrică atunci valorile sale proprii sunt reale şi există o bază ortonormală formată din vectori proprii deci cu proprietatea Avi λ ivi i n în raport cu care matricea A se reduce la forma diagonală λ λ D () λn Baza v v n se poate alege astfel încât λ λ λn Dacă în plus A este şi pozitiv definită atunci λ λ şi n > Ax x λ A sup x x x Fie V matricea de trecere de la baza canonică a spaţiului R n la baza Se verifică imediat că V V deci V este ortogonală Rezultă că v v v n I V V şi că D V AV În practică valorile proprii ale matricei A nu se determină rezolvând numeric ecuaţia caracteristică det ( A λ I) deoarece aşa cum vom arăta în continuare rădăcinile unui polinom sunt foarte sensibile la orice modificare a coeficienţilor polinomului Într-adevăr fie polinomul

2 8 Bazele Analizei Numerice şi fie n n f ( x) an x + an x + + ax + a h( x) f ( x) + ε g( x) polinomul modificat în care ε > este arbitrar iar n n g( x) bn x + bn x + + b x + b este un polinom oarecare Cum g este arbitrar putem considera că bi ai i n sau bi pentru i j şi b j a j etc Aşadar cazul considerat este practic cazul cel mai general Fie x x x n rădăcinile polinomului f Pentru simplificare vom presupune că aceste rădăcini sunt simple deci că f ( x ) şi f ( x ) n Să presupunem că vrem să determinăm rădăcinile ecuaţiei h(x) cu una din metodele numerice cunoscute de exemplu metoda Newton - Raphson Ne aşteptăm ca pentru ε > foarte mic rădăcinile ecuaţiei h(x) să fie apropiate de rădăcinile ecuaţiei iniţiale f(x) Notăm cu z o rădăcină oarecare a ecuaţiei h(x) Conform algoritmului Newton avem z x Dacă notăm cu atunci h( x h ( x ) x ) [ f ( x ) + ε g ( x )] ε g( x ) f ( x ) + ε g ( x g( x ) q( ε ) f ( x ) + ε g ( x ) g( x ) g ( x ) q ( ε ) () q ( ) q() + ε q ( Cum ε ) pentru ε > suficient de mic din () şi () rezultă g( x ) g( x ) g ( x ) g( x ) z x ε ε x ( ) ε () f x [ f ( x )] f ( x ) Să presupunem că b i pentru i j şi b j a j Aşadar modificarea polinomului f constă în faptul că se înlocuieşte coeficientul a j cu coeficientul a ~ j ( + ε ) a j iar ceilalţi coeficienţi rămân neschimbaţi Din () rezultă z Exemplul Fie j a j x x ε (5) f x ) ( ) () Evident f ( x) ( x ) ( x )( x )( x )

3 Valori şi vectori proprii 9 x şi f ( x ) ( ) ( )!( )! Conform (5) avem j a j z x ε ( )!( )! Se poate arăta că a Să presupunem că ε ceea ce înseamnă că modificarea coeficientului a7 se face cu cantitatea ε a Acest lucru este oricând posibil datorită erorilor inerente la introducerea datelor Să analizăm efectul acestei modificări asupra rădăcinii x 9 9 a ecuaţiei f(x) Un calcul direct ne arată că z 9 x9 7 Aşadar modificând un singur coeficient şi anume a 7 cu 7 rădăcina x 9 se modifică cu Raportul dintre modificarea rădăcinii x 9 şi modificarea coeficientului a 7 este ceea ce arată sensibilitatea rădăcinilor unui polinom la modificarea coeficienţilor Din cele de mai sus rezultă că nu se recomandă determinarea valorilor proprii ale unei matrice pe calea rezolvării numerice a ecuaţiei caracteristice Metoda recomandată este să se aducă printr-un procedeu oarecare matricea la forma diagonală şi atunci valorile proprii se determină global (toate odată) ele fiind de fapt elementele de pe diagonala principală Se urmăreşte deci ca prin transformări de similitudine care nu modifică valorile proprii să micşorăm eventual până la dispariţie elementele nediagonale ale matricei astfel încât în final să obţinem practic matricea diagonală Metoda rotaţiilor a lui Jacobi Fie A o matrice simetrică Metoda Jacobi constă în efectuarea unei suite de transformări de similitudine ale matricei A utilizând cele mai simple matrice ortogonale netriviale (matricele de rotaţie) de forma

4 Bazele Analizei Numerice p q O cosϕ sinϕ U M O sinϕ cosϕ Aşadar elementele matricei U sunt: uii dacă i p şi i q u pp cosϕ u pq sinϕ uqp sinϕ uqq cosϕ uij în rest O M p q O asemenea matrice este ortogonală ( U U I şi deci U U ) şi reprezintă din punct de vedere geometric o rotaţie de unghi ϕ în planul determinat de direcţiile ep şi e q Notăm cu A U A şi cu A A U U AU În cazul particular n 5 p şi q matricea A arată astfel a a cosϕa sinϕ a a sinϕ+a cosϕ a 5 a cosϕ a cos ϕa sinϕ a cosϕ (a a )sinϕcosϕ+ a 5 cosϕ a sinϕ cosϕ+a sin ϕ a sinϕ a cosϕ a 5 sinϕ a a cosϕa sinϕ a a sinϕ+a cosϕ a 5 a sinϕ+ (a a )sinϕ a sinϕ+ a sin ϕ+a sinϕ a 5 sinϕ+ a cosϕ cosϕ+a cosϕ a cosϕ cosϕ+ a cos ϕ a 5 cosϕ a 5 a 5 cosϕa 5 sinϕ a 5 a 5 sinϕ+a 5 cosϕ a 55 În general elementele matricei A sunt aij aij dacă i p şi i q a pj a pj cosϕ aqj sinϕ aqj a pj sinϕ + aqj cosϕ j n () iar cele ale matricei A sunt () ()

5 Valori şi vectori proprii aij aij dacă j p şi j q aip aip cosϕ aiq sinϕ aiq aip sinϕ + aiq cosϕ i n () Din () şi () rezultă a pp a pp cos ϕ a pq cosϕ sinϕ + aqq sin ϕ aqq a pp sin ϕ + a pq cosϕ sinϕ + aqq cos ϕ (5) a pq ( a pp aqq )sinϕ cosϕ + a pq cos ϕ aqp a pq Cum intenţia noastră este ca elementul nediagonal cel mai mare (în valoare absolută) să se anuleze în urma rotaţiei vom alege liniile p şi q astfel încât a pq să fie cel mai mare element (în valoare absolută) de deasupra diagonalei principale şi vom pune condiţia ca Ţinând seama de (5) rezultă a pq ( a pq pp a qq )sin ϕ + a pq cos ϕ şi mai departe aqq a pp ctgϕ a (6) Aşadar unghiul de rotaţie se află din relaţia (6) Introducem notaţiile aqq a pp θ şi tg ϕ t (7) a pq tg ϕ Cum ctgϕ din (6) şi (7) rezultă t + θ t Rezolvând tgϕ această ecuaţie obţinem t θ ± θ + θ ± θ + Pentru a evita ca numitorul să fie mic luăm dacă θ t θ + sgn( θ ) θ + (8) dacă θ Conform unor formule elementare de trigonometrie avem

6 Bazele Analizei Numerice c cosϕ s sinϕ Din (8) şi (9) rezultă că + t t + t (9) t c s şi deci că π π ϕ Dacă notăm cu S(B) suma pătratelor elementelor nediagonale ale unei matrice B oarecare atunci din () şi () un calcul direct ne conduce la S A ) S( A) a pq + a [ ] ( pq Aşadar dacă alegem unghiul rotaţie ϕ conform (8) şi (9) rezultă a şi deci S A ) S( A) a () pq ( pq Deoarece aij a pq pentru i j vom avea S( A) n( n ) a pq sau S( A) a pq n( n ) () Din () şi () rezultă S ( A ) S( A) < ( ) ( ) S A n n pentru n () Să considerăm acum un şir de rotaţii în urma cărora se obţin matricele A A A A unde A A A A A A etc Din () rezultă S( A ) S( A) n( n ) () Cum ( ) pentru n > din () rezultă lim S( A ) n( n ) Aşadar la limită şirul { A } tinde la matricea diagonală Se poate demonstra următoarea teoremă () eorema Fie λ i valorile proprii ale matricei A şi fie a jj elementele diagonale ale matricei A Atunci ( ) a jj λ j S( A ) Deoarece () a pq nediagonal al matricei A rezultă este cel mai mare (în valoare absolută) element

7 Valori şi vectori proprii ( ) ( ) S ( A ) ( n n)( a pq ) < n ( a pq ) Din eorema obţinem ( ) ( ) a jj λ j < n a pq () Inegalitatea () poate fi luată drept criteriu de oprire Din inegalitatea () n a pq < ε va rezulta numărul al rotaţiilor necesare pentru a aproxima valorile proprii λ j ale matricei A cu elementele diagonale () a jj ale matricei A Şirul de matrice A se calculează recursiv A U A U (5) A A Algoritm pentru determinarea valorilor proprii prin metoda rotaţiilor a lui Jacobi Intrare A ε ; Repetă Determină : max : elementul maxim în valoare absolută de deasupra diagonalei principale a matricei A ; Fie (p q) poziţia acestui element ; Calculează cu formulele (7) (8) (9) respectiv θ t c s ; Determină U prin înlocuirea în I n a elementelor i pp şi i qq cu c şi i pq cu s iar i qp cu -s ; Calculează A : U A U ; calculează S : i j până când S<ε n n a ij Exemplul Pentru matricea A a ; p ; q ; θ ; t ; c s U ; ; ; ; A U AU a p q 9 θ ; + θ ; t ; + t ; c ; s 8 j i

8 Bazele Analizei Numerice U ; A U AU Rezultă: λ ; λ 5 ; λ 5 Metoda Householder pentru tridiagonalizarea matricelor simetrice Pentru matricele simetrice tridiagonale există o metodă specială de determinare a valorilor proprii bazată pe conceptul algebric de şir Sturm; această metodă va fi prezentată în paragraful următor Prezintă deci interes cunoaşterea unor metode de tridiagonalizare a matricelor simetrice Cele mai cunoscute metode din această categorie sunt metoda Givens şi metoda Householder n Aşa cum am văzut în Capitolul I pentru orice vector x R x există o matrice Householder H astfel încât Hx σ e unde σ este un număr real Algoritmul pentru determinarea matricei H este prezentat în () respectiv () Fie A M n (R ) o matrice simetrică şi fie ai ( a i ai ani ) i n vectorii săi coloană Căutăm o matrice Householder H astfel încât a () a H a M ~ Pentru aceasta alegem H de forma H ~ unde H este H matricea Householder de ordinul (n-) cu proprietatea că

9 Valori şi vectori proprii 5 a () a ~ H M a n Conform algoritmului () descris în Capitolul I avem: / s ( a + + an ) β ( s( a + s) u ( a + s sgn( a) a a n ) ~ sgn( a ) dacă a H I n βuu Dacă notăm cu a ~ ( a ) atunci a n s sgn( a ) ~ Ha ~ M a s sgn( a) a a Mai departe avem H a ~ ~ ~ H ~ a H a M Fie A H AH Atunci a s sgn( a) () () () s sgn( a) a a an () () () a a an A () () () an an ann În continuare se caută o matrice Householder H cu proprietatea că elementele () a i ( i n) din matricea A H A H sunt nule etc Algoritm pentru tridiagonalizarea matricei A A : A ; Pentru i:n- calculează / n s : ; : aij β i+ i s j i+ ( s( a + )) ;

10 6 Bazele Analizei Numerice ( a + s a ) a a ) u i+ i sgn( i+ i i+ i n i ; dacă a ii+ atunci sgn(a ii+ ) : altfel sgn(a ii+ ) : ; ~ H : I β u u ; i n Ii : ~ ; H i H i Ai : H i Ai H i sfârşit pentru i ; Determinarea valorilor proprii ale matricelor simetrice tridiagonale Următoarea teoremă precizează mulţimea din planul complex (respectiv intervalul din R ) în care se află valorile proprii ale unei matrice eorema (Gerschgorin) Fie A o matrice pătratică de ordinul n n ri aij şi Di { z C ; z aii < ri } ; i n j j i Dacă λ este valoarea proprie a matricei A atunci λ Demonstraţie Fie λ o valoare proprie a matricei A şi fie U n D i i x ( x x n ) vector propriu corespunzător lui λ Atunci x şi Ax λx Rezultă ai x + + aii xi + + ain xn λxi sau n aij x j (λ aii ) xi j i n () j i Fie { n} astfel încât x x > p p Din () rezultă Aşadar λ D p D i x λ a a r U n i pp n j n a pj j x p j j p j p pj p un

11 Valori şi vectori proprii 7 În cazul particular când A M n (R) şi are toate valorile proprii reale rezultă că U n λ [ aii ri aii + ri ] R i Exemplul Fie A r; r ; r λ [ ] [ 7] [ 5] [ 7 5] O matrice simetrică tridiagonală este de forma a b b a b b a b J bn an bn bn an Pentru o astfel de matrice avem () a a r b ; r b ; r b + b i n ii i ; n n i i i Fie a min ( ai ri ) şi b max( ai + ri ) i n i n Valorile proprii ale matricei A vor aparţine intervalului [ab] Definiţia Un şir ordonat şi finit de polinoame reale f n f n f f numeşte şir Sturm dacă: Polinoamele vecine nu au rădăcini comune; f nu are rădăcini reale; Dacă x α este o rădăcină a unuia din polinoamele intermediare f i i n atunci f i ( α) f i + ( α) < ; Dacă f n ( α ) atunci pentru h > suficient de mic avem fn ( α h) fn ( α + h) sgn şi sgn + fn ( α h) fn ( α + h) În continuare pentru orice x R notăm cu S(x) numărul schimbărilor de semn din şirul f n ( x) f n ( x) f( x) f ( x) după ce am eliminat elementele nule eorema (Sturm) Fie f n f n f f un şir Sturm de polinoame Dacă numerele reale a şi b a < b nu sunt rădăcini ale polinomului f n şi se

12 8 Bazele Analizei Numerice dacă polinomul f n nu are rădăcini multiple atunci S(a) S(b) şi diferenţa S(a)S(b) este egală cu numărul rădăcinilor reale ale polinomului fn din intervalul (a b) Demonstraţie Deoarece polinoamele sunt funcţii continue atât timp cât x crescând nu întâlneşte nici o rădăcină a vreunuia din polinoamele din şir semnele polinoamelor din şir nu se schimbă şi deci S(x) rămâne neschimbat Rămâne să analizăm următoarele cazuri posibile: a) x α este rădăcină pentru unul din polinoamele intermediare Fie i { ( n) } astfel încât f i ( α) Din Definiţia rezultă f i ( α ) f i + ( α ) < Să presupunem că f i ( α ) < şi fi+ ( α ) > Din continuitate rezultă că există h > astfel încât f i ( x) < şi f i + ( x) > pentru orice x α h α + h Avem următoarea situaţie [ ] x fi--(x) f i (x) f i+ (x) α-h - ± + α - + α+h - m + Rezultă S(α + h) S( α - h) În mod analog dacă f i( α ) > şi fi+ ( α ) < avem următorul tabel ale semnelor x f i- (x) f i (x) f i+ (x) α - h + ± - α + - α + h + m - Rezultă de asemenea S(α + h) S( α- h) b ) x α este o rădăcin ă a polinomului f n Evident în acest caz f n- (α) (Definiţia proprietatea ) Din continuitate şi din proprietatea a Definiţiei rezultă că nu putem avea decât următoarele situaţii x f n- (x) f n (x) α-h - + α - α+h - - x f n- (x) f n (x) α-h + - α + α+h + + Aşadar la trecerea printr-o rădăcină a polinomului f n S scade cu o unitate (S( α + h) S(α h) ) În definitiv am demonstrat că numărul rădăcinilor reale ale polinoamelor f n cuprinse în intervalul (ab) este egal cu

13 Valori şi vectori proprii 9 S(a) -S(b) Exemplul Fie polinoamele: f ( x) x x + ; f ( x) x x + ; f ( x) x ; f ( x) Din reprezentarea grafică a polinoamelor se observă că ele formează un şir Sturm Alegem a şi b f () ; f () 5; f () ; f () f () ; f () ; f () ; f () ; S() ; S() ; Numărul rădăcinilor reale ale polinomului f cuprinse în intervalul ( ) este Fie J matricea simetrică tridiagonală dată de () şi fie λ a b b λ a b P( λ) det( λi J ) b λ a b n λ a n Introducem următoarele notaţii f ( λ) f( λ) λ a f ( λ) ( λ a ) f( λ) b f ( λ) () f( λ) ( λ a) f ( λ) b f( λ) f n ( λ) ( λ an ) f n ( λ) bn f n ( λ) Se observă imediat că f n ( λ) P( λ) este polinomul caracteristic ataşat matricei A eorema Dacă b i i n atunci fiecare polinom f n are exact rădăcini reale simple Mai mult pentru orice n rădăcinile polinomului f separă rădăcinile polinomului f + f O b y f f f x

14 Bazele Analizei Numerice Demonstraţie Polinomul f admite rădăcina () < b rezultă f ( λ ) b Pe de altă parte deoarece rezultă că există λ Cum λ () a Din () şi din ipoteza f ( λ) λ + şi deci lim f ( λ) + λ ± () () λ rădăcini reale ale lui f astfel încât () () () λ < λ < λ () () () () f ( λ ) b f( λ ) > şi f ( λ ) b f( λ ) < ( λ) λ + avem lim ( λ) şi lim f( λ) λ λ Ţinând din nou seama de () şi de ipoteza b rezultă f f + Aşadar polinomul f admite rădăcini reale simple () () () () () () () λ ( λ ) λ ( λ λ ) şi λ ( λ ) Prin inducţie matematică se poate arăta că f are rădăcini reale simple şi separă rădăcinile polinomului f + f λ () λ () f λ () λ () λ () λ () f Corolarul Orice matrice simetrică tridiagonală ireductibilă are n valori proprii reale distincte Într-adevăr conform Definiţiei Capitolul I dacă matricea J este ireductibilă atunci b i i n Afirmaţia rezultă acum din eorema şi din observaţia că f n ( λ) P( λ) este polinomul caracteristic al matricei J eorema Dacă J este o matrice simetrică tridiagonală ireductibilă şi

15 Valori şi vectori proprii f ( λ ) ; f( λ) λ a; f ( λ) ( λ a ) f ( λ) b f ( λ) n atunci f n f n f f este un şir Sturm Demonstraţie Evident f ( λ) pentru orice λ R Fie { n } şi α R astfel încât f ( α) Atunci f+ ( α) b f( α) Din eorema rezultă f+ ( α) şi f ( α) iar din egalitatea precedentă rezultă f + ( α) f ( α) < Fie x α cea mai mare rădăcină a polinomului f n Din eorema şi din faptul că lim fn( x) lim fn( x) + x x rezultă f n ( α ) > şi mai departe că f ( ) ( ) sgn n α + h f şi sgn n α h fn( α + h) fn( α h) pentru h > suficient de mic Dacă x α este următoarea rădăcină a polinomului f n vom avea f n ( α ) < şi deci pentru h > suficient de mic f ( ) ( ) sgn n α + h f şi sgn n α h fn( α + h) fn( α h) ş a md y f n f n - O α α x

16 Valori şi vectori proprii eorema 5 Fie J o matrice simetrică tridiagonală ireductibilă şi fie a R oarecare Atunci numărul valorilor proprii ale matricei J mai mari ca a este egal cu S(a) Afirmaţia rezultă din eorema eorema şi din observaţia că dacă b>α unde α este cea mai mare rădăcină a polinomului f n atunci S(b) deoarece f i ( b) > i n eorema 5 ne permite să determinăm valorile proprii ale unei matrice simetrice tridiagonale ireductibilă cu metoda înjumătăţirii Fie a b R astfel încât a λ n < < λ < λ < b < Evident S(a) n şi S(b) Fie c mijlocul intervalului [a b] Dorim să localizăm valoarea proprie λ a c λ b Dacă S(c) atunci la dreapta lui c se află valori proprii deci inclusiv λ În acest caz notăm a c b b Dacă dimpotrivă S(c) < atunci λ (ac) şi notăm a a b c a Să presupunem că λ (cb) Fie + b c Dacă S(c ) atunci notăm a c b b iar dacă S(c ) < atunci a a b c etc b a a p + b p Rezultă că λ (a p b p ) unde bp-a p Putem alege λ p b a şi eroarea care se face va fi mai mică decât p Exemplul Fie A Atunci r r r a min( ) ; b max( ) Din eorema Gershgorin rezultă că valorile proprii se află în intervalul [] Fie λ < λ < λ aceste valori proprii Să presupunem că vrem să determinăm valoarea proprie λ Notăm cu a + b c f (λ) ; f (λ) λ ; f (λ) (λ) ; f (λ) (λ) (λ) f () ; f () ; f () ; f () ; S()

17 Bazele Analizei Numerice Rezultă că în intervalul [] se află o singură valoare proprie deci + λ [] Fie c f ) ; f () ; f () ; f () ; S() λ ( 7 ) ( + 7 λ Fie c f ; f ; f ; f ; S( ) 8 7 Aşadar la dreapta lui Rezultă [ ] etc nu se află nici o valoare proprie Rezultă Exerciţii Folosind metoda rotaţiilor a lui Jacobi să se calculeze valorile şi vectorii proprii pentru matricea A R max a ij a i< j p q Rezultă că aqq a pp a a θ şi t a a 6 pq t cosϕ ; sinϕ iar + t + t

18 Valori şi vectori proprii 5 U 5 () U A U A () () max a a ij j i < p q Rezultă că 5 ) ( () () a a a a a a pq pp qq θ şi sgn + + θ θ θ t sin ; cos + + t t t ϕ ϕ iar U

19 6 Bazele Analizei Numerice 6 5 () () U A U A Deoarece S(A () ) am obţinut chiar valorile proprii exacte pentru matricea A 6 6 U U V reprezintă matricea de trecere de la baza în care matricea A este dată ( canonică ) la baza în care A are forma diagonală Se ştie de la cursul de Algebră liniară că această bază este dată de coloanele matricei de trecere Deci vectorii proprii se obţin ca fiind coloanele matricei de trecere astfel: v v v λ λ λ Folosind metoda Jacobi să se determine valorile proprii aproximative ale matricei 5 5 A R Procedând ca în exerciţiul de mai sus se obţin succesiv:

20 Valori şi vectori proprii U A U A U A U

21 8 Bazele Analizei Numerice A şi aşa mai departe se obţine la iteraţia a noua U A S(A 9 )9 valorile proprii exacte fiind: λ 866 λ 87 λ λ 587 Să se determine valorile proprii aproximative ale matricei A 5 5 folosind metoda Jacobi R Procedând ca în exerciţiul de mai sus se obţine succesiv: U 77 77

22 Valori şi vectori proprii A U A U A U A şi aşa mai departe se obţine la iteraţia a zecea

23 Bazele Analizei Numerice U A S(A )5855 valorile proprii exacte fiind: λ 7 λ 688 λ λ 95 Să se aducă la forma tridiagonală matricele următoare folosind metoda Householder A R s a 75 j j β s ( a + s) ~ H I H a + + s 75 u a a β u u

24 Valori şi vectori proprii A H A H ; s a 59 j j β 58 s ( a + s) a + s u a 797 ~ H I β u u H A H A H A R s a j 98 j β 85 s ( a + s)

25 Bazele Analizei Numerice a + + s 75 u a a ~ H I β u u H A H A H ; s a j 9585 β 999 j s ( a + s) a + s u a 699 ~ H I β u u H A H A H Să se găsească cea mai mare valoare proprie în valoare absolută pentru matricea

26 Valori şi vectori proprii A folosind polinoamele Sturm R r r r r iar rădăcinile polinomului caracteristic se află în intervalul [a b] unde : a ( aii ri i min ) max a + r ) min{ } şi b ( ii i max{ } 8 i Polinoamele Sturm pentru această matrice sunt: f (λ) f (λ) λ a λ f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 5) (λ ) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 6)f (λ) f (λ) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 7)f (λ) f (λ) Schimbările de semn în şirul Sturm de mai sus : f (a) f (a) f (a) f (a) f (a) 7 arată că la dreapta lui a se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice f (b) f (b) f (b) f (b) 8 f (b) 7 iar la dreapta lui b nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice Luând a + b c f (c) f (c) 5 f (c) 5 f (c) 75 f (c) 5 la dreapta lui c se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice şi atunci a : c;

27 Bazele Analizei Numerice a + b c f (c) f (c) 75 f (c) 85 f (c) 98 f (c) 898 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 75 f (c) 756 f (c) 678 f (c) 668 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 6875 f (c) 896 f (c) 9 f (c) 8 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 875 f (c) 9966 f (c) 659 f (c) 795 la dreapta lui c nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice b : c ; a + b c f (c) f (c) 7656 f (c) 9 f (c) 8565 f (c) 896 la dreapta lui c nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice ş a m d La iteraţia a 6a se obţine aproximaţia c 7759 iar P(c) P(λ) fiind polinomul caracteristic 7 Să se găsească cea dea doua valoare proprie pentru matricea ( λ > λ > λ > λ )

28 Valori şi vectori proprii 5 5 A folosind polinoamele Sturm R r r r r iar rădăcinile polinomului caracteristic se află în intervalul [a b] unde : a min ( aii ri ) min{ } şi i b max( a ii + ri ) max{ } i Polinoamele Sturm pentru această matrice sunt: f (λ) f (λ) λ a λ5 f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 6) (λ 5) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 6)f (λ) f (λ) f (λ) (λ a ) f (λ) a f(λ) (λ 8)f (λ) f (λ) Schimbările de semn în şirul Sturm de mai sus : f (a) f (a) f (a) f (a) f (a) arată că la dreapta lui a se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice f (b) f (b) 5 f (b) 6 f (b) 59 f (b) 5 iar la dreapta lui b nu se află nici o rădăcină a ecuaţiei caracteristice Luând a + b c f (c) f (c) 5 f (c) 5 f (c) f (c) 5

29 6 Bazele Analizei Numerice la dreapta lui c se află rădăcini ale ecuaţiei caracteristice şi atunci a : c; a + b c f (c) f (c) 5 f (c) 5 f (c) f (c) 99 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice b : c ; a + b c f (c) f (c) 75 f (c) 77 f (c) 876 f (c) 5597 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 85 f (c) 9765 f (c) 899 f (c) 6 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice b : c ; a + b c f (c) f (c) 5975 f (c) 78 f (c) 85 f (c) 9 la dreapta lui c se află două rădăcini ale ecuaţiei caracteristice a : c ; a + b c f (c) f (c) 7 f (c) 675 f (c) 678 f (c) 978 la dreapta lui c se află o rădăcină a ecuaţiei caracteristice ş a m d La iteraţia a a se obţine aproximaţia c 768 iar P(c) P(λ) fiind polinomul caracteristic