Capiolul 7. Transerul e călură 7..Forme e ranser e călură Procesele naurale şi inusriale au loc în majoriaea cazurilor cu schim e călură şi e aceea ese imporană cunoaşerea propagării şi ransmierii călurii, suiul enomenelor ermice şi variaţia lor în imp, eerminarea relaţiilor caniaive e schim e călură (ex. eerminarea energiei ermice maxime sau minime care poae i ransmisă prin uniaea e supraaţă sau a ranamenului opim e uilizare a unor surse e călură). Propagarea călurii se realizează prin conucţie, convecţie şi raiaţie. Conucţia ermică reprezină ransporu irec al călurii in ineriorul aceluiaşi corp maerial, în care exisă zone cu ierie emperauri sau în corpuri ierie aunci cân acesea se ală în conac şi înre ele exisă o ierenţă e emperaură. Conucţia ese speciică corpurilor solie, iin prousă prin iuzia elecronilor lieri, iar la lichie şi gaze inervenin numai în sraul limiă aoriă oscilaţiei moleculare. Convecţia ese o ransmiere e călură macroscopică speciică luielor în mişcare care ransporă energie ermică in locul cu emperaură mai mare căre locul cu emperaură mai mică. Raiaţia reprezină moul e ransmiere a călurii su orma e energie raiană, care inervine inre oua supraeţe avân emperauri ierie, isanţae şi separae înre ele prinr-un spaţiu care permie raiaţia (evenual vi). Transormarea energiei calorice in energie raiana şi invers, ese un enomen inraaomic. Fenomenele reae e ransmiere a călurii se ac prin oae cele rei mouri e propagare, care au legi e ransmiere ierie, ar e oicei unul in mouri ese ominan. Acese enomene sun variaile în imp, iin ireversiile, iincă ierenţa e emperaură ese iniă şi nu poae i consieraă nicioaă inini mică. Temperaura epine e cooronae e spaţiu şi e imp. Dacă se consieră o porţiune e spaţiu iecare punc are asocia la un momen a o valoare a emperaurii locale upă o reparizare oarecare, posiiă în spaţiu, creân un câmp e emperaură. Ecuaţia e einiţie a câmpuui e emperaura se poae ace în ierie siseme e cooronae, careziene, cilinrice, serice, vecoriale, ese e orma : (x,y,z,τ); (r,φ,z, τ ); (r,φ,ψ, τ); (r, τ ). Câmpul are e oicei valori ierie ale emperaurii şi ese coninuu acă la eplasări elemenare corespun variaţii elemenare ale emperaurii. Daca variaţia mperaurior are valori inie penru eplasări ininiezimale, aunci câmpu e emperaura ese isconinuu. Locu geomeric al puncelor e emperaura egală se numeşe supraaţă cura izoermă. Aunci cân emperaura variază in imp, câmpul e emperaura ese variail sau nesaţionar, iar cân emperaura ese consană câmpul e emperaură ese permanen sau saţionar. Dacă câmpuui e emperaură ese saţionar aunci ecuaţia sa ese (x,y,z).de pe supraaţa izoermă se po uce o ininiae e irecţii care se inersecează cu ale
supraeţe izoerme e ală emperaură. Fiin ae ouă supraeţe izoerme e câmp şi, irecţia penru care variaţia e emperaură uniara ese maximă ese aă e normala n, usa la cele oua supraeţe izoerme. Fig.6.Direcţii e variaţie a emperaurii În câmpu e emperaură se poae eermina, înr-un punc oarecare, un vecor a cărui irecţie ese irecţia perpenicularei celei mai scure înre izoerme, pe care variaţia e emperaură ese maximă şi a cărui valoare asoluă ese egală cu valoarea variaţiei e emperaură pe uniaea e lungime a acesui rum. Aces vecor se numeşe graien e emperaură, iar sensul acesui vecor ese poziiv în irecţia e creşere a emperaurii. gra lim n 0 n n Călura ransmisă în uniaea e imp se numeşe lux ermic, acesa iin o mărime vecorială. Fluxul ermic, în cazul regimului saţionar şi nesaţionar : Q Φ τ Q τ τ 0 Q τ [ W ] lim în care Q reprezină caniaea e călură ransmisă în inervalul e imp τ. Dacă luxul ermic se împare la supraaţă se oţine ensiaea luxului ermic sau eiul e călură propaga prin uniaea e supraaţă normală pe irecţia lui: q Φ Q W A τ A m 7..Conucţia.Ecuaţia generală Legea ransmierii călurii prin conucţie, legea lui Fourier, exprimă proporţionaliaea inre ensiaea luxului ermic şi căerea e emperaură (-gra ) q ( -gra ) - gra Sensul vecorului q ese invers celui al graienului, aică ese acelaşi cu sensul căerii e emperaura eoarece propagarea călurii are loc in irecţia variaţiei maxime e emperaura şi in sensu emperaurilor escrescăoare (conorm celui e al oilea principiu al ermoinamicii). Facorul e proporţionaliae in legea lui Fourier, se numeşe conuciviaea ermicã sau coeicien e conuciiliae ermicã şi reprezină călura care se ransmie în
uniae e imp, prinr-o supraaţă uniară, penru o căere e emperaură e un gra, pe uniaea e lungime l. q Q l W m W gra τ A m K mk Coeicienu exprimă proprieaea corpurior e a conuce energia ermică şi are valori proprii penru ierie maeriale, epinzân e srucură, ensiae, umiiae şi emperaură. Dinre maeriale mealele şi aliajele lor au conuciviaea ermică cea mai mare (argin - 40 W/mK, cupru 395,aur 94,ier 45),cea mai mică maerialele izolane (lemn 0,093 W/mK, pluă 0,05, poliurean 0,05 ). Ecuaţia generală a conucţiei ermice se saileşe prin separarea in corpul omogen şi izorop prin care are loc conucţia călurii a unui paralelipipe elemenar cu laurile paralele cu axele e cooronae. Călura părunsă pe irecţia x prin aţa ABCD care are emperaura în inervalul e imp τ ese: Q x Aτ yzτ x x Fig.6.Fluxul ermic pe cele rei irecţii Călura elieraă in paralelipipe pe irecţia x în inervalul e imp τ prin aria EFGH ese: Q x xyzτ yzτ xyzτ x x x x Călura reţinuă în paralelipipe ese Qx Q x Q x xyzτ Vτ x x Penru celelale irecţii se po scrie relaţiile analoge Q y Vτ y, Q z Vτ z Variaţia călurii pe cele rei irecţii ese Q Qx Q y Qz Vτ x y z
Călura ransmisă elemenului e volum prouce o creşere a emperaurii elemenului e masă m cu valoarea, iar Q mc τ τ x y Vτ sau τ z cρ x y z a une mărimea a ese iuziviaea ermică a exprimaă prin m /h, iar ese cρ operaorul Laplace sau laplacianul. Noă: semnul ela a os îngroşa penru a arage aenţia asupra semniicaţiei sale, el nu reprezină în aces caz o ierenţă e emperaură, ci operaorul laplacian aplica emperaurii. Dacă în ineriorul paralelipipeului sun surse e călură punciorme uniorm reparizae în volum, ecuaţia lui Fourier evine luxul ermic pe uniaea e volum a surselor inerne. 7... Conucţia călurii în regim saţionar τ cρ x y qv z ρc une q v Regimul ermic saţionar ese caraceriza e ensiaea luxului ermic consană aică se consieră că emperaura supraeţelor izoerme ale corpurilor ese consană în imp sau alel spus caniaea e călură care inră în uniaea e supraaţă reuie să o şi părăsească. Se vor consiera câeva cazuri clasice e conucţie penru pereţi plani, cilinrici şi serici: a) Pereele plan Se consieră un peree plan paralel, inini şi omogen e grosime δ avân conuciviaea ermică consană şi pe irecţia x perpeniculară pe planul pereelui apare o variaţie e emperaură pe eţele pereelui cu valorile şi.aces câmp e emperaură ese uniirecţional ( numai upă irecţia x ), iar legea lui Fourier se scrie: Fig.63.Disriuţia câmpului e emperaură în pereele plan
Prin inegrare penru x 0, şi penru x δ, W ( ) ( ) ( ) W q δ δ m sau q δ m δ Raporul se numeşe rezisenţă ermică conucivă a pereelui şi ese o mărime analogă rezisenţei elecrice. Fiin aă ensiaea luxului ermic q se calculează luxul ermic Ф Călura care se ransmie prin peree în impul τ ese: Temperaura la isanţa x e la supraaţa laerală a pereelui se oţine prin inegrarea expresiei ensiăţii e lux ; Înr-un peree plan omogen cu conuciviaea ermică consană emperaura are o variaţie lineară escrescăoare cu grosimea pereelui. Dacă pereele are mai mule srauri (n srauri ) e grosimi δ i şi conuciviăţi i aunci ensiaea e lux ermic sau luxul ermic uniar q ese: ( ) W q n δ m i i i Fluxul ermic oal care rece prin supraaţa pereelui A, are expresia Ф: ( ) Φ qa n A [W] δ i i i
)Peree cilinric Se consieră un u omogen e secţiune circulară consană,cu conuciviae ermică consană şi lungime suicien e mare penru ca emperaura să varieze numai raial. Temperaura inerioară a uului cilinric ese iar cea exerioară, cu > Fig.64. Disriuţia câmpului e emperaură în pereele cilinric Se consieră un inel imaginar în u e grosime r şi rază r limia e ouă supraeţe izoerme cilinrice.în regim saţionar luxul ermic ese consan şi are expresia aă e legea lui Fourier : Φ qa A π rl Cum conuciviaea ermică şi luxul ermic sun consane se r r separă variailele şi se inegrează pe conur penru r r şi penru r r Rezulă Fluxul ermic uniar linear Ф l ese luxul ermic ransmis prinr-un u lung e meru:
Φ l ( ) ( ) R ln π Rezisenţa ermică conucivă a pereelui ese R, R.ln π Densiăţile luxurilor ermice penru cele ouă supraeţe ale uului Relaţiile e epenenţă inre luxul ermic uniar linear şi ensiăţile e lux sun ae e expresia: Înr-un peree cilinric omogen cu conuciviaea ermică consană emperaura are o variaţie logarimică cu grosimea pereelui. Dacă pereele cilinric are mai mule srauri (n srauri ) e grosimi δ i şi conuciviăţi i aunci luxul ermic uniar linear ese: ( ) ( ) Φl n R i ln π i c)peree seric i i Se consieră un peree seric, cu conuciviae ermică consană. Temperaura inerioară a serei ese, iar cea exerioara, cu >.Se consieră un inel imaginar în seră e grosime r şi rază r limia e ouă supraeţe izoerme serice.în regim saţionar luxul ermic ese consan şi are expresia aă e legea lui Fourier. Cum
conuciviaea ermică şi luxul ermic sun consane se separă variailele şi se inegrează pe conur penru r r şi penru r r iar Ф ese luxul ermic rapora la seră. Fig.65. Disriuţia câmpului e emperaură în pereele seric φ 3 A { q 4π r - r r φ -4π r e une Inegrân upă r şi upă, la el ca mai sus, rezulă: ( ) ( ) Φ Rezisenţa ermică conucivă ese R R. π π Înr-un peree seric omogen cu conuciviaea ermică consană, emperaura are o variaţie hiperolică cu raza serei. Dacă pereele seric are mai mule srauri (n srauri ) e grosimi δ i şi conuciviăţi i aunci luxul ermic rapora la seră Ф are expresia: ( ) ( ) Φ R n i π i i i
7.3.Convecţia Convecţia - procesul e ranser e călură înre supraaţa unui corp soli şi un lui în prezenţa unui graien e emperaură şi care se aorează mişcării luiului; - ouă orme a) convecţia lieră (naurală) caracerizaă la vieze mici e mişcare care se aorează neuniormiăţii câmpului e emperaură care generează graienţi e ensiae în lui şi ) convecţie orţaă caracerizaă e vieze mari e mişcare a luiului generae e ierenţe e presiune realizae prin mijloace mecanice (venilaoare, pompe). Convecţia e inluenţaă e: - proprieăţile luiului (, c, a, ensiaea, vâscoziaea) - geomeria supraeţelor e schim e călură şi orienarea acesora aţă e irecţia e curgere - regimul e curgere: a) laminar, speciic viezelor mici şi în care procesul conveciv ese reus şi ) urulen speciic viezelor mari şi în care procesul conveciv ese ominan. Fluxul ermic ransmis prin convecţie nu se poae calcula cu legea lui Fourier căci nu se cunoaşe graienul e emperaură la supraaţa e conac peree lui. De aceea se uilizează legea lui Newon care eermină luxul ermic pe care supraaţa unui corp soli cu emperaură s o ranseră unui lui în mişcare. Q ( )S & Q q ( ) s s luiului coeicienul e convecţie & S W m k s - emperaura corpului soli, - emperaura Coeicienul e convecţie epine e o serie e variaile ( l,w,,,,c, ρ, υ,a) l - lungimea caracerisică a curgerii w-vieza e curgere - coeicienul e conuciviae ermică c p - călura speciică la presiune consană a luiului ρ - ensiaea luiului υ - viscoziaea cinemaică a luiului a - coeicienul e iuziviae Coeicienul e convecţie ese eini ca iin caniaea e călura ce se schimă conveciv pe uniaea e supraaţă în uniaea e imp penru o ierenţă e emperaură e 0 C. Aces coeicien ese eermina experimenal oţinânu-se rezulae penru cazuri concree iar penru generalizări se aplică eoria similiuinii. Teoria similiuinii sau a asemănării se azează pe apul că ouă enomene sau siseme se consieră asemenea in punc e veere ermic acă mărimile ermice asociae unui enomen sau sisem se găsesc înr-un rapor consan cu mărimile caracerisice omologe s p
ale celuilal enomen sau sisem, mărimile iin eerminae în punce asemenea şi la impi asemenea. Teoria similiuinii se poae aplica şi alor enomene izice, nu numai celor e naură ermică, ci şi enomenelor inamice, hiraulice, ec. Ieea e similiuine a porni e la similiuinea geomerică în care a os suia comporamenul unor siseme prooip ( original) aţă e cele ale unui moel înre care exisa o ierenţă e scară (exemplu: enomenele e poranţă a aripii e avion, enomenele e rezisenţă la înainare a unui vapor ). Similiuinea izică se ocupă cu suiul asemănării enomenului prin suierea pe moel a enomenelor originalului. Fenomenele izice escrise e aceleaşi moele maemaice ormează o clasă e enomene asemănăoare. Similiuinea izică se azează pe rei axiome şi rei legi. A ) orice enomen izic poae i moela maemaic; A ) o lege valailă penru un elemen al omeniului ese valailă penru înreg omeniul enomenului. A 3 ) moelul maemaic al unei clase e enomene asemănăoare ese invarian la ransormările enomenelor clasei. Legile similiuinii: - se enunţă einin crieriul e similiuine ca iin un grup aimensional e mărimi izice care caracerizează enomene asemănăoare. L ) Newon: enomenele izice sun asemănăoare acă crieriile cu similiuine omoloage au aceeaşi valoare; enomenele A şi B sun asemenea acă crieriul e similiuine П are aceeaşi valoare penru enomenul A şi B aică П A П B. L ) Vaschy Buckingham-Feerman: orice enomen izic poae i exprima penru o relaţie crierială. Exemplu: O relaţie înre paramerii izici poae i înlocuiă prinr-o relaţie crierială ( ρ,c,,v,,w,l) F( Π, Π, Π 3 ) 0 L 3 ) Kirpicev-Guhman: Coniţia necesară şi suicienă ca ouă enomene să ie asemănăoare ese ca crieriile e similiuine omoloage să aiă valori egale. Crieriile sun aimensionale şi reprezină cominaţii e mărimi care caracerizează un proces. Exemplu: se consieră eplasarea a ouă luie prin ouă conuce. w şi w ϕ w τ ϕ w τ cum procesul e eplasare în cele conuce ese asemănăor (similar) aunci w l ϕ k w kl kτ w l τ
τ k k k l w sau τ l w k k k sau cons an l w l w τ τ - crieriu e homocroniciae consan l w τ Revenin la schimul e călură conveciv se consieră că crieriul e similiuine epine e mărimile care inluenţează enomenul conveciv, ar nu ese cunoscuă puerea la care se ală acese mărimi. Se noează cu a,, c,, e, şi g exponenţii acesor mărimi şi se impune coniţia ca suma exponenţilor să ie zero penru iecare imensiune, iincă crieriul П ese aimensional. g e c a cp w ρ η Π [ ] g e c a T M T L L M L M L L T ML Π 3 3 3 Rezulă aunci penru iecare imensiune unamenală masa, lungime, imp, emperaură câe o ecuaţie isincă care generează un sisem omogen cu paru ecuaţii şi şape necunoscue neeermina: [ ] [ ] [ ] [ ] 0 0 3 3 0 3 0 g a T g a e c a L g e a M imp Soluţiile se eermină penru variailele inepenene cu g paricular,, g, aunci a- c- - e iar Π ρ η cp w se grupează upă,, g c p w Π η ρ η Raporul Nu ese crieriul Nussel Raporul Pr a c c p p υ ρ ρ η η ese crieriul Pranl
Raporul w ρ w η υ Re ese crieriul Reynols Ecuaţia crierială Nu C( Pr) ( Re) caracerizează ecuaţia schimului e călură conveciv în mişcare orţaă Ecuaţia crierială Nu C( Pr) a ( Gr) caracerizează ecuaţia schimului e călură conveciv în mişcare lieră, în care Gr reprezină invarianul Grassho. 3 βgl Gr υ β în care T m ese emperaura meie inre peree şi lui in K, T m g- acceleraţia graviaţională l- imensiunea caracerisică a curgerii - ierenţa e emperaură inre peree şi lui υ - viscoziaea cinemaică a luiului. 7.4. Raiaţia ermică Raiaţia ermică ese un schim e călură care are loc înre corpuri siuae la isanţă chiar şi în vi şi se azează pe proprieaea corpurilor e a emie şi a asori raiaţii. Raiaţia ermică ese eecul asorţiei unelor elecromagneice eerminae e oscilaţia elecronilor şi a ionilor care se ransormă în energie ermică. Raiaţia are caracer e ună şi e corpuscul ( emisie e ooni),iar raiaţia ermică ese speciică specrului inraroşu cu lungimi e ună înre 0,8µm-0,8mm. Penru corpurile solie şi lichie la care isanţele inre molecule sun e orinul e mărime al lungimii e ună a raiaţiei ermice raiaţia se prouce pe o grosime oare mică a sraului e la supraaţă şi asorţia şi emisia e raiaţie are loc pe un specru coninuu e lungimi e ună. Penru gaze şi vapori la care isanţele inre molecule sun mai mari ecâ lungimea e ună a raiaţiei ermice raiaţia se prouce în înreg volumul şi pe enzi specrale isconinue speciice iecărei susanţe în pare. Corpurile care asor înreaga energie e raiaţie incienă se numesc corpuri asolu negre, iar corpurile care nu asor in oaliae energia incienă se numesc corpuri cenuşii. Exisă mai mule legi ale raiaţiei inre care mai imporane sun: Legea Sean-Bolzman Energia raiaă e corpul asolu negru în oae irecţiile şi pe oae lungimile e ună, e uniaea e supraaţă în uniaea e imp ese proporţională cu puerea a para a emperaurii asolue a corpului Cu ale cuvine, ensiaea e lux ermic q ese proporţională cu emperaura asoluă la puerea a para a corpului.
q r C 0 4 T 00 Legea lui Kirchho- Energia raiaă e un corp cenuşiu în oae irecţiile şi pe oae lungimile e ună pe uniaea e supraaţă şi în uniaea e imp ese 4 T q r ε C0 în W/m cu ε- coeicienul e emisie al corpului cenuşiu şi cu C 0 00 coeicienul e raiaţie a corpului asolu negru C 0 5,768 W/m K 4 Fluxul ermic raian ransmis înre ouă plăci plane paralele ese a e expresia : 4 4 T T q ε C0 [W/m ],iar caniaea e călură ransmisă prin raiaţie 00 00 Q r T ε C0 00 4 T 00 4 S, [W], 7.5 Schimul gloal e călură înre luie separae e pereţi Transerul e călură înre ouă luie separae e pereţi se esăşoară în realiae simulan prin cele rei moaliăţi: conuciv, conveciv şi raian, enomenele inluenţânu-se reciproc şi e aceea ese nevoie e evaluarea gloală a ranserului ţinân con e enomenul ominan. La conacul inre un lui şi un peree înre care exisă ierenţă e emperaură au loc simulan convecţia şi raiaţia. Nicioaă convecţia nu poae i separaă e raiaţie, are uneori, mai ales la emperauri scăzue, raiaţia poae i neglijaă. Caniaea e călură ransmisă e la peree la lui Q Q c Qr ca sumă a călurilor ransmise conveciv şi raian. Păsrân orma e ranser e călură aă e legea lui Newon se poae scrie că Qr r ( p )S, iar ese coeicienul gloal e schim e călură prin convecţie şi raiaţie. Fig.65. Fluxul ermic e la peree la lui
Dacă se consieră că convecţia ese ominană se poae scrie luxul ermic raian su orma urmăoare în care ensiaea luxului raian păsrează orma ecuaţiei schimului e călură conveciv c -coeicienul e schim e călură conveciv r -coeicienul e schim e călură raian Dacă se consieră că raiaţia ese ominană se poae scrie luxul ermic conveciv su orma urmăoare în care ensiaea luxului conveciv păsrează orma ecuaţiei schimului e călură raian Expresia coeicienului e emisie aora enomenului e convecţie ε c egaliaea anerioară c ( p ) ε c Tp C0 00 4 4 T 00 rezulă in A. Peree plan Dacă se consieră schimul înre ouă luie prinr-un peree plan aunci vom avea e la sânga la reapa un schim e călură conveciv raian e la luiul la pereele,un schim e călură conuciv prin peree ( cu scăere emperauri e la p la p ) şi un schim e călură conveciv raian e la peree la luiul. În regim saţionar luxul ermic gloal Ф înre cele ouă luie ese egal cu luxurile ermice prin cele rei meii aică Fig.66.Fluxul ermic prin luie espărţie e un peree plan
K - coeicien gloal e schim e călură Analog se eermină ecuaţiile penru iecare ip e peree uncţie e rezisenţa sa ermică. B. Peree cilinric Fig.67. Fluxul ermic prin luie espărţie e un peree cilinric Coniţia e regim saţionar ese : φ π l p p ( - ) πl π l ( - ) p - ln ca şi la pereele plan, calculăm cele rei ierenţe pe care le aunăm spre a oţine p
φ ln π - l ( ) l K - ln π φ 44444 4 8 44444 64 7 C. Peree cilinric sraiica: Fig.68. Fluxul ermic prin luie espărţie e un peree cilinric sraiica ( ) l K n n i i i i - ln π φ 4444444 4 8 4444444 64 7 E. Peree nervura
Fig.69. Fluxul ermic prin luie espărţie e un peree plan nervura parea nervuraă, e arie A, se ispune acolo une coeicienul e convecţie e (mul) mai mic ( < < ) nervurile sun relaiv suţiri, aşa încâ ranserul inermeiar, prin conucţie, se poae aproxima consierân oar pereele propriu-zis, e grosime δ Coniţia e regim saţionar ese: φ A ( ) ( - ) A ( - ) - p p p p δ ca şi în cazurile anerioare, calculăm cele 3 ierenţe pe care le aunăm spre a oţine - e une rezulă φ 644447K 44448 δ A A A ( ) -