CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1996 Clasa a V-a 1. Să se determine două numere naturale a și b astfel încât c.m.m.d.c.pa,bq 12 și c.m.m.m.c.pa, bq 216. Câte soluții are problema? 2. Să se afle ultimele două cifre ale numerelor N 1 1 `7`7 2 `7 3 ` `7 1996 și N 2 1 `7`7 2 `7 3 ` `7 1997. 3. Într-un oraș sunt 5 librării A, B, C, D, E. acestea. Se știe că: În fiecare lună un elev vizitează trei dintre 1. dacă elevul a vizitat librăria B, atunci el a vizitat în aceeași lună și librăria A; 2. dacă într-o lună a vizitat librăria C, în luna următoare el nu a mai vizitat-o; 3. în fiecare lună elevul a vizitat o singură librărie din cele vizitate în luna precedentă; 4. în prima lună a vizitat librăriile A, B, C. Să se afle: a) librăriile vizitate în luna a doua; b) librăriile vizitate în luna a treia Justificați răspunsurile. 1
Clasa a VI-a 1. Se știe că 2 n are 30 cifre. Să se arate că există o cifră care se repetă cel puțin de 4 ori. 2. În plan se consideră patru puncte, oricare trei necoliniare. Fiecare din cele șase segmente cu capetele în două dintre aceste puncte se colorează cu roșu sau cu albastru. a) Să se arate că dacă există un punct cu proprietatea că segmentele care pleacă din el sunt la fel colorate, atunci există un triunghi cu laturile la fel colorate. b) Formulați reciproca afirmației de la punctul a) și arătați că ea este adevărată. 3. Se consideră triunghiul isoscel ABC (AB AC). Perpendiculara din mijlocul M al laturii pabq pe AB intersectează perpendiculara din mijlocul N al laturii pacq pe AC în O. a) Arătați că triunghiul BOC este isoscel. b) Arătați că AO K BC. c) Dacă O P pbcq, arătați că triunghiul MON este dreptunghic și că mp Aq 2mp Bq. 4. Fie a, b, c P Z astfel încât a `b 2c c a 2b `c b 2a `b`c. a Să se determine valoarea raportului pa `bqpb `cqpc `aq. abc 2
Clasa a VII-a 1. Determinați mulțimea A tpa,bq P Z ˆZ a 2 b `ab a 2 a 3b 2u. 2. Considerăm o mulțime X cu 5 elemente, numere naturale. Să se arate că există o submulțime a lui X care are proprietatea că suma elementelor sale se divide cu 5. 3. Fie ABC un triunghi oarecare, D un punct pe AB și C 1 un punct pe BC astfel încât B este între A și D, iar C este între B și C 1. Prin D ducem o paralelă la BC care taie AC în E. și AC 1 în F. Dacă O este intersecția dintre DC 1 și BF, iar P intersecția lui AO cu DE, arătați că: 2 DP BC BC 1 DE. 4. Fie O un punct în interiorul triunghiului ABC și A 1, B 1, C 1 centrele de greutate ale triunghiurilor OBC, OAC și respectiv OAB. Săse aratecă AA 1, BB 1, CC 1 sunt concurente. 3
Clasa a VIII-a 1. Fie f : N Ñ Z, fpnq p 1q 1 p 1q n n 1996 ` p 1q 2 p 1q n`1 pn `1q 1996 ` `p 1q 3 p 1q n`2 pn `2q 1996 ` p 1q 4 p 1q n`3 pn `3q 1996. Să se determine n P N astfel încât fpnq 6. 2. Să se determine soluțiile naturale ale sistemului # x `2y `3z 50 x 2 `y 2 `z 2 180. 3. Fie p a 0 `a 1 X `a 2 X 2 ` `a 2n`1 X 2n`1 P RrXs un polinom de grad impar, n ě 1, astfel încât a 0 ď a 1 ď... ď a 2n`1. Dacă px `1q 2 p, demonstrați că X 1 p. 4. Fie două plane distincte π 1 π 2. În planul π 1 considerăm un cerc de rază R (R ą 0). Să se găsească locul geometric al punctelor M din planul π 2 pentru care există un punct N pe cerc astfel încât distanța dintre M și N este egală cu numărul dat α (α ą 0). 5. Fie triunghiul OAB dreptunghic în O. Pe perpendiculara în O pe planul poabq se ia un punct C. Arătați că EF 2 CD AB2 pbc 2 `AC 2 AB 2 q, 2 2 BC 2 AC 2 unde E și F sunt proiecțiile pe laturile AC, respectiv BC ale unui punct arbitrar D al segmentului pocq. 4
Clasa a IX-a 1. Fie M un punct în interiorul triunghiului ABC și MD, ME, MF bisectoarele unghiurilor BMC, CMA, respectiv AMB (D P pbcq, E P pacq, F P pabq). Să se arate că AD, BE, CF sunt concurente. 2. Să se arate că dacă a, b P r4, 8q, atunci ecuația are cel puțin o rădăcină reală. abx 4 ` pa 2 `b 2 qx 3 ` pa `ab `bqx 2 ` pa `bqx `1 0 3. Să se găsească numerele reale x 1, x 2, x 3 care verifică $ & ax 2 1 `bx 1 `c x 2 ax % 2 2 `bx 2 `c x 3 ax 2 3 `bx 3 `c x 1, unde a, b, c P R, a ą 0 și pb 1q 2 4ac. 4. Fie ABC un triunghi și d o dreaptă care trece prin centrul de greutate al triunghiului și care intersectează laturile AB și AC în M respectiv N. Să se arate că Când are loc egalitatea? 4 MB NC ď AM AN. 5
Clasa a X-a 1. Să se determine soluțiile reale ale sistemului $ x 1 x 2 2 x 2 4 & x 2 x 2 1 x2 3 x 3 2x 2 x 4 % x 4 2x 1 x 3. 2. Să se determine numerele naturale x și y astfel încât? log 5 px `1q `log? 5 x2 `9 log1 px `121q y. 5 3. Să se determine funcțiile injective f : Z Ñ Z cu proprietatea pf fqpxq fpxq 1 0. 4. Fie ABC un triunghi, D piciorul bisectoarei din A (D P pbcq). Prin A se duce o dreaptă δ ce face un unghi de 45 cu dreapta AD. Dacă? lungimea perpendicularei comune 2 dintre dreptele δ și BC este mai mare sau egală cu BC, atunci să se demonstreze că 2 A ď arccos 3 5. 5. Fie triunghiul OAB dreptunghic în O. Pe perpendiculara în O pe planul poabq se ia un punct C. Arătați că: a) σ 2 poabq σpabcq σphabq, undeh esteproiecțiapunctului O peplanul pabcq. 1 b) σphabq ` 1 σphbcq ` 1 σphacq ě 9 σpabcq. 6
Clasa a XI-a 1. Se consideră șirul px n q ně0 definit prin x 0 a P R, x n`1 ω 4 ` x2 n, p@q n ě 0, unde ω P r0,1q este fixat. Să se determine mulțimile: a) C ta P R px n q este convergentu; b) L ta P R px n q are limitău; c) M ta P R px n q este monotonu; d) S ta P R pdqm P N astfel încât x n x n`1, p@qn ě mu. 2. Fie f : M 2 pcq Ñ C o funcție cu proprietatea că fpa Bq fpaq fpbq, p@qa,b P M 2 pcq. Să se arate că următoarele afirmații sunt echivalente: a) fpaq detpaq, p@q A P M 2 pcq; b) fpa `I 2 q fpaq `fpi 2 q `TrpAq, p@q A P M 2 pcq. 3. Fie M 1 ta P M 2 prq detpa 2 2I 2 q 0u și M 2 ta P M 2 pqq detpa 2 2I 2 q 0u. Determinați mulțimile: D 1 tx P R pdqa P M 1 astfel încât detpaq xu, D 2 tx P R pdqa P M 2 astfel încât detpaq xu. 4. Fie A Ă R și f, g : A Ñ A două funcții continue astfel încât f g este bijecție. a) Arătați că dacă A R, atunci f și g sunt bijecții. b) Rămâne proprietatea de la a) adevărată dacă A p0, 8q? 7
Clasa a XII-a 1. a) Fie f 1, f 2 : R Ñ R două funcții astfel încât f 1 admite primitive, iar f 2 este derivabilă cu derivata continuă. Să se arate că f 1 f 2 admite primitive. b) Fief : R Ñ R astfelîncât g, h : R Ñ R, gpxq fpxqpx 2`1qcosxșihpxq fpxqsinx admit primitive. Demonstrați că f admite primitive. 2. Fie f : R Ñ R continuă și injectivă, iar F o primitivă a sa. Să se studieze monotonia lui F. 3. Fie pg, q un grup și H un subgrup al său. a) Cercetați dacă există o aplicație f : H Ñ GzH astfel încât fpxyq fpxqfpyq, p@qx,y P H. b) Arătați că dacă G este infinită și H G, atunci GzH este infinită. 4. Fie x un element al unui inel cu proprietatea că există n P N astfel încât x n 0. Arătați că: a) 1 x 2 este inversabil; b) p1 x p q q p1 `x r q s este inversabil pentru orice p, q, r, s P N. 8