P t w x t e w w e

ΚΒΑΝΤΟΜΗΧΑΝΙΚΗ Ι Τειηθή Εμέηαζε: 31 Γελάξε 17 (Δηδάζθσλ: ΑΦ Τεξδήο) ΘΕΜΑ 1 Θεσξνύκε θβαληηθό ζύζηεκα πνπ πεξηγξάθεηαη από Φακηιηνληαλή Η ε νπνία ζε κνξθή πίλαθα είλαη H όπνπ πξαγκαηηθνί Σην πίλαθα ηεο Φακηιηνληαλήο ρξεζηκνπνηήζεθαλ νη ηδηνζπλαξηήζεηο 1 θαη εξκηηηαλνύ ηειεζηή O κε ηδηνηηκέο o θαη 1 o αληίζηνηρα (α) Να βξεζεί ε ηηκή ηνπ Θεσξνύκε θπζηθό κέγεζνο πνπ πεξηγξάθεηαη από ηνλ ηειεζηή W κε W w 1 1 όπνπ w ζεηηθόο πξαγκαηηθόο (β) Να βξεζνύλ νη ηδηνηηκέο θαη ηα ηδηνδηαλύζκαηα ηνπ ηειεζηή W Σε κέηξεζε ηνπ θπζηθνύ κεγέζνπο πνπ ζρεηίδνληαη κε ηνλ ηειεζηή W τελ ρξνληθή ζηηγκή t= βξίζθνπκε w (γ) Να βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζπζηήκαηνο (δ) Επίζεο λα βξεζεί ε ρξνλνεμαξηώκελε πηζαλόηεηα κέηξεζεο ηεο ζεηηθήο ηδηνηηκήο ηνπ ηειεζηή W (ε) Φξεζηκνπνηώληαο ηνλ κεηαζέηε ησλ ηειεζηώλ Ο θαη W λα απνδείμεηε όηη δελ κπνξνύλ ηα θπζηθά κεγέζε πνπ ζρεηίδνληαη κε απηνύο ηνπο ηειεζηέο λα κεηξεζνύλ ηαπηόρξνλα (α) Καζώο ε Φακηιηνληαλή είλαη εξκηηηαλόο ηειεζηήο έρνπκε όηη (β) Ερνπκε w W w Απαηηνύκε 1 H H 1 w w w w w det Γηα ην πξώην ηδηνδηάλπζκα (λ=+w) ρξεηάδεηαη λα ιύζσ ην αιγεβξηθό ζύζηεκα κε ην πεξηνξηζκό ηεο w w x θαλνληθόηεηαο x y 1 (πξνζνρή x y είλαη γεληθά κηγαδηθνί) w w y = 1 w Γηα ην δεύηεξν ηδηνδηάλπζκα (λ=-w) ρξεηάδεηαη λα ιύζσ ην αιγεβξηθό ζύζηεκα κε ην πεξηνξηζκό ηεο w w x θαλνληθόηεηαο x y 1 w w y = 1 w (γ) H θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζπζηήκαηνο γηα t = είλαη (δ) * it / 1 e 1 ( x t ) w ( x t) it it it it 1 1 1 1 1 1 e e it ( ) ( ) 1 sin w P t w x t e w w e (ε) Ο κεηαζέηεο W O είλαη κε κεδεληθόο θαζώο W O WO OW w 1 1 o1 1 1 o o1 1 1 o w 1 1 wo 1 o1 1 wo1 1 o 1 wo o1 1 1

ΘΕΜΑ Ηιεθηξόλην βξίζθεηαη πεξηνξηζκέλν ζε απεηξόβαζν πεγάδη δπλακηθνύ εθηεηλόκελν ζηελ πεξηνρή L Η αξρηθή λνξκαιηζκέλε θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ειεθηξνλίνπ είλαη x x ( xt ) sin i+cos / L L L (α) Να βξεζεί ε ( xt) (β) Να ππνινγηζηεί ε κέζε ελέξγεηα ηνπ ζπζηήκαηνο (γ) Να ππνινγηζηεί ε κέζε ρξνλνεμαξηώκελε ζέζε θαη ε κέζε ρξνλνεμαξηώκελε νξκή ηνπ ζπζηήκα ηνο ηελ ηπραία ρξνληθή ζηηγκή t θαη λα επαιεζεπηεί ην 1 ν ζεώξεκα ηνπ Ehrenfest Υπόδειξη: i Η γεληθή κνξθή ηεο θπκαηνζπλάξηεζεο είλαη ( x t ) c e ab ( x) c ( x) Η κέζε ηηκή ηνπ ηπραίνπ ηειεζηή W είλαη i Wba Wba e θαη E E / b a a a b b W ( t) c W c W c c W cos( t ) όπνπ a aa b bb a b ba ab Ιδηνζπλαξηήζεηο απεηξόβαζνπ πεγάδηνύ δπλακηθνύ πάρνπο L ( ) sin( n x ) ( ) ( ) n x x L x L L Τέινο ηζρύνπλ νη ζρέζεηο L n x m x L nm L n x m x Ln xsin sin dx sin cos dx L L n m L L n m Η δεύηεξε ζρέζε ηζρύεη όηαλ n m είλαη πεξηηηόο αθέξαηνο Έρνπκε x x i x 1 x x i x 1 x i 1 ( x t ) sin i+ cos / L sin sin cos cos sin 1 L L L L L L L L L L L i ie1t / 1 iet / (α) Άξα ( x t) 1e e όπνπ E θαη E E1 1 ml 5E1 5 (β) E PE 1 1 P E1 5 E1 E 5E1 E1 8mL (γ) Έρνπκε x t c x c x c c x t x x x t x 11 ( ) cos( ) / cos( ) όπνπ 1 11 1 1 1 11 1 1 L L x 1x L 16L 16L i x x1 x sin sin dx x1 x1 e νπόηε L L L L L 1 3 9 9 16L L 16L x1 1 / θαη x ( t) sin( t) 9 9 Έρνπκε p ( t) c p c p c c p cos( t ) p sin( t ) όπνπ 1 11 1 1 1 1 L x 1 x i L x 1 x p1 x sin sin sin cos i dx dx L L x L L L L L i L x 1 x i L 8i 8 i / sin cos dx e L L L L 1 3L 3L 8 νπόηε / p1 8 θαη p ( t) cos( t) 3L 3L E E1 3 Τώξα ml d x () t d L 16L 16Lm 16Lm 3 8 θαη m m sin( t) cos( t) cos( t) cos( t) p ( t) dt dt 9 9 9 ml 3L

ΘΕΜΑ Αξκνληθόο ηαιαλησηήο βξίζθεηαη ζηηο δύν πξώηεο άξηηεο ελεξγεηαθέο θαηαζηάζεηο ηνπ (ζεκειηώδε θαη ε δηεγεξκέλε) κε κέζε ελέξγεηα 15 θαη κέζε δπλακηθή ελέξγεηα 75 γηα t= (α) Να βξεζεί ε θπκαηνζπλάξηεζε ηνπ ζπζηήκαηνο γηα t= (β) Υπνινγίζηε ηελ χπονοεξαπτώμενη κέζε ηηκή ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο ρξεζηκνπνηώληαο ηελ ζρέζε νξηζκνύ ( x t) V ( x) ( x t) (γ) Υπνινγίζηε ηελ χπονοεξαπτώμενη κέζε ηηκή ηεο νξκήο ρξεζηκνπνηώληαο ηνπο ηειεζηέο aa Υπόδειξη: x n x 13 (n 1) 1 x / x / 1 x / 1 1 n ( ) e dx x e dx e xe x e (α) Έρνπκε E P E P E (1/ ) P (5/ ) P 15 θαη θαζώο PP 1 βξίζθνπκε P c P c 1/ Αθόκα γλσξίδνπκε όηη V x / όπνπ x ( t ) c x c x c c x cos( ) Τώξα 1 x 1 1 1 ( ) ( ) 1 x 1 6 x ( ) ( ) 1 x x x x dx x e dx x x x x dx x x e dx x x x e dx 1 135 13 1 1 15 1 3 5 3 1 1 1 x 1 x x ( x) x ( x) dx x 1 x e dx x x e dx 1 13 1 1 1 x 1 3 1 3 1 1 3 Άξα x ( t) cos( ) V x / cos( ) Αθνύ V cos( ) i Έηζη ε θπκαηνζπλάξηεζε είλαη ( xt ) 5 1 (β) Έρνπκε γηα ηελ χπονοεξαπτώμενη κέζε ηηκή ηεο δπλακηθήο ελέξγεηαο ( ) V t x t c x c x c c x t t ( ) / ( ) cos( ) / 75 sin / (γ) Η ρξνλνεμαξηώκελε θπκαηνζπλάξηεζε είλαη it / i5 t / ie e ( xt ) ή it / i5 t / it / i5 t / a a i a a i e e i e e p () t i it / i5 t / it / i5 t / i5 t / i e e ia e a e a e i it / i5 t / it / i5 t / i5 t / i e e i 1 e 1 e 3 3 e i i e e it / i5 t/ άξα

ΘΕΜΑ 5 Θεσξνύκε θπβηθή θβαληηθή ηειεία πιεπξάο 1nm (α) Να γξάςεηε ηηο ηδηνζπλαξηήζεηο ηεο 1 εο δηεγεξκέλεο ελεξγεηαθήο θαηάζηαζεο (β) Να ππνινγηζηεί ε ελέξγεηα ηεο θαηάζηαζεο απηήο ζε ev Από ηηο παξαδόζεηο ηνπ καζήκαηνο θαη από ηηο ζεκεηώζεηο ζην ηζηόηνπν ηνπ καζήκαηνο γλσξίδνπκε όηη ε θβαληηθή ηειεία κπνξεί λα πεξηγξαθεί από έλα ηξηζδηάζηαην απεηξόβαζν πεγάδη δπλακηθνύ ml (α) Άξα έρνπκε nx ny nz κε x y z 11 11 11 θαηάζηαζε είλαη εθθπιηζκέλε κε εθθπιηζκό 3 (β) Γηα θπβηθή θβαληηθή ηειεία πιεπξάο 1nm έρνπκε n n n Δειαδή ε 1 ε δηεγεξκέλε ελεξγεηαθή -68 h 6666 1-19 1 1 6 6 361 J 5eV -31-18 ml ml 8mL 8911 1 ΘΕΜΑ 6 Η θαηάζηαζε ηνπ ειεθηξνλίνπ ζε έλα άηνκν πδξνγόλνπ πεξηγξάθεηαη ζε κηα νξηζκέλε ρξνληθή ζηηγκή από ηελ it ( ) ( ) / it r t N r e i ( r) e /8 Να βξεζνύλ (δειαδή λα εμεγεζνύλ θπκαηνζπλάξηεζε 1 K1 επαξθώο θαη λα θαίλνληαη νη ππάξειρ) (α) ν θβαληηθόο αξηζκόο Κ (β) ν ζπληειεζηή θαλνληθνπνίεζεο Ν Αθόκα (γ) ε E (δ) ε r t l θαη ηέινο (ε) ην χπονοεξαπτημένο κέζν y Υπόδειξη: n! 1 1 r 1 1 r e dr e 1 e re cos re sine 8 n r r r / r / r / i n1 1 1 11 (α) ) Ιζρύεη γηα ηνλ θβαληηθό αξηζκό Κ K n1 11 νπόηε K ή 1 m 1έηζη K 1 * ( r) ( r) dr * N * ( r) e it i / ( r) e it N ( r) e i / ( r) e it dr N 1 (β) 1 11 1 K1 Οπόηε N 1/ θαη P1 P11 1/ 1 1 1 1 1 5 (γ) Η ελέξγεηα πξνζδηνξίδεηαη E P1 P11 1 8 16 (δ) Τν t είλαη κεδεληθή θαζώο ly * * 1 11 1 11 1 11 * * 1( r) i11 1 K αιιά ζηελ K1 * * l l * * l l ly ( r ) ly( r ) dr ( r ) ( r) dr 1( r) i 11( r ) 1( r) i 11( r ) dr i i ( r ) i ( r ) l ( r ) il ( r ) l ( r ) il ( r ) dr / i ( r) i i ( r) dr / i όπνπ γηα ηνλ κεδεληζκόο ησλ νινθιεξσκάησλ ρξεζηκνπνηήζακε ηηο ζρέζεηο νξζνγσληόηεηαοη παξαπάλσ ιύζε έγηλε ρσξίο ηα εθζεηηθά ηεο ρξνλνεμάξηεζεο αιιά είλαη νινθάλεξν όηη ε παξνπζία ηνπο δελ ζα άιιαδε ηίπνηα ν

(ε) Τώξα γηα ην χπονοεξαπτημένο κέζν r t έρνπκε * * / * /8 / /8 r( t) ( r) r( r ) dr ( r) e i ( r ) e r ( r ) e i ( r ) e dr / it it it it 1 11 1 K1 ( r) r ( r) dr / ( r) r ( r) e dr / ( r) r e dr / ( r) r ( r) dr / * * 3 it /8 * 3 it /8 * 1 1 1 11 1 11 11 11 ( r ) r ( r ) dr / ( r ) r ( r ) dr / * * 1 1 11 11 ν κεδεληζκόο ησλ δύν ρξνλνεμαξηώκελσλ νινθιεξσκάησλ πξνθύπηεη από ηηο ζρέζεηο νξζνγσληόηεηαο ησλ ζθαηξηθώλ αξκνληθώλ * 1 r 1 r r 3 3! 3 1( r) r1 ( r) dr e r e r drd e r dr * r / i r / i 5 r 3 11 r r 11 r dr re e r re e r dr d d r e dr d d 6 8 8 1 1 1 5! ( ) ( ) sin sin sin sin 5 6 6 1 3 Η ρξεζηκνπνηώληαο ηηο ζθαηξηθέο αξκνληθέο δειαδή γξάθσληαο ηελ ηδηνζπλάξηεζε σο 1 1 8 3 1 r / i r / i r / 11 re sine re sine re Y11 8 8 3 8 * 1 r / * 1 r / 1 5 r * 1 5! 11( r) r11 ( r) dr re Y11 r re Y11r drd r e dr Y11Y 11d 5 6 1 Άξα r t 15 5 / 35

Πάτπα3//17