Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων

Μαθηματικά μοντέλα συστημάτων 1. Γενικά Για να κατανοήσουμε και να ελέγξουμε διάφορα πολύπλοκα συστήματα πρέπει να καταφύγουμε σε κάποιο ποσοτικό μοντέλο των συστημάτων αυτών. Έτσι, είναι απαραίτητο να αναλύσουμε τις σχέσεις που υφίστανται μεταξύ των διαφόρων μεταβλητών του συστήματος και να καταλήξουμε σε κάποιο μαθηματικό μοντέλο. Τα περισσότερα από τα συστήματα που εξετάζουμε είναι δυναμικά συστήματα, δηλαδή συστήματα των οποίων τα μεγέθη (οι μεταβλητές) είναι συναρτήσεις του χρόνου και οι εξισώσεις που τα περιγράφουν περιλαμβάνουν μεταβολές αυτών των μεγεθών (παραγώγους ως προς το χρόνο). Επομένως τα συστήματα αυτά περιγράφονται με διαφορικές εξισώσεις. Συνήθως τα συστήματα αυτά παρουσιάζουν πολυπλοκότητα και συχνά δεν γνωρίζουμε διάφορους σημαντικούς παράγοντας. Αυτό μας αναγκάζει να κάνουμε υποθέσεις σχετικά με τη λειτουργία τους. Στις περιπτώσεις αυτές μελετούμε αρχικά το φυσικό σύστημα, στη συνέχεια εισάγουμε μερικές αναγκαίες υποθέσεις ή παραδοχές και τέλος κάνουμε γραμμικοποίηση του συστήματος. Γραμμικοποίηση είναι η διαδικασία προσέγγισης ενός μη γραμμικού συστήματος με ένα γραμμικό σύστημα. Έτσι, χρησιμοποιώντας τους διάφορους φυσικούς νόμους με τη βοήθεια των οποίων περιγράφεται το αντίστοιχο γραμμικό ισοδύναμο του συστήματος που εξετάζουμε, λαμβάνομε ένα σύνολο από γραμμικές διαφορικές εξισώσεις. Ο λόγος που κάνουμε αυτή τη διαδικασία είναι ότι οι γραμμικές διαφορικές εξισώσεις επιλύονται εύκολα με τη βοήθεια διαφόρων μαθηματικών εργαλείων, όπως ο μετασχηματισμός Laplace. Σε πολλές περιπτώσεις η πολυπλοκότητα του συστήματος δεν επιτρέπει τη γραμμικοποίηση ή οι διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία τους δεν έχουν αναλυτική λύση. Για τη μελέτη τέτοιων συστημάτων προσφεύγουμε στην ανάπτυξη μαθηματικών μοντέλων και την επίλυσή τους με αριθμητικές προσεγγιστικές μεθόδους με τη χρήση Η/Υ. Κατά τη μελέτη των δυναμικών συστημάτων ακολουθούμε συνήθως τα ακόλουθα βήματα: 1. Ορίζουμε το σύστημα και τα στοιχεία που το αποτελούν. 2. Διατυπώνουμε το αντίστοιχο μαθηματικό μοντέλο και τις οποιεσδήποτε υποθέσεις ή παραδοχές κρίνονται απαραίτητες. 3. Γράφουμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν τη λειτουργία του συστήματος και, εάν είναι απαραίτητο, τις γραμμικοποιούμε. 4. Επιλύουμε τις παραπάνω εξισώσεις ως προς τις μεταβλητές εξόδου. 5. Εξετάζουμε και επαληθεύουμε τις λύσεις που προκύπτουν και τις παραδοχές που έχουμε κάνει. 6. Εάν τα αποτελέσματα δεν είναι ικανοποιητικά, αναλύουμε και σχεδιάζουμε το σύστημα από την αρχή. 1

Γενικά, μαθηματικό μοντέλο ενός φυσικού συστήματος είναι η μαθηματική σχέση που συνδέει τα μεγέθη ενός συστήματος και εκφράζει κατά προσέγγιση τη συμπεριφορά ή την εσωτερική κατάσταση του συστήματος. x n () φυσική είσοδος Φυσικό σύστημα y m () φυσική έξοδος x() Μαθηματικό μέγεθος εισόδου g Μαθηματική σχέση y() Μαθηματικό μέγεθος εξόδου Εάν η μαθηματική σχέση που χαρακτηρίζει το σύστημα είναι αλγεβρική, τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια αλγεβρική εξίσωση της μορφής: f(x, y) = ή μια αλγεβρική σχέση, που προκύπτει από την επίλυση της εξίσωσης, της μορφής: y = g(x) Αν τα μεγέθη που εξετάζουμε είναι συναρτήσεις του χρόνου (x = x(), y = y()) και στη μαθηματική σχέση που χαρακτηρίζει το σύστημα εμφανίζονται οι μεταβολές των μεγεθών αυτών (δηλαδή οι παράγωγοί τους ως προς το χρόνο), τότε το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια διαφορική εξίσωση. x() g Διαφορική εξίσωση y() Το μαθηματικό μοντέλο του συστήματος θα είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής: f(x(), x (), x (),, x (m) (), y(), y (), y (),,y (n) ()) = Για παράδειγμα, ένα ηλεκτρικό κύκλωμα αντίστασης R, με τάση εισόδου v() και ένταση ρεύματος i(), έχει μαθηματικό μοντέλο: και ένα σώμα μάζας Μ που δέχεται μια εξωτερική δύναμη f() και κινείται με επιτάχυνση γ(), έχει μαθηματικό μοντέλο: 2

Ένα σύστημα λέγεται γραμμικό όταν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, δηλαδή: εάν η είσοδος x 1 () προκαλεί έξοδο y 1 () και η είσοδος x 2 () προκαλεί έξοδο y 2 (), τότε η είσοδος c 1 x 1 () + c 2 x 2 () θα προκαλεί έξοδο c 1 y 1 () + c 2 y 2 () για όλες τις εισόδους x 1, x 2 και όλους τους συντελεστές c 1, c 2. Ένα γραμμικό σύστημα έχει ως μαθηματικό μοντέλο μια γραμμική διαφορική εξίσωση της μορφής: Τάξη της διαφορικής εξίσωσης ονομάζεται ο βαθμός n της μεγαλύτερης παραγώγου της εξόδου y() του συστήματος που περιέχεται στην εξίσωση. Στα φυσικά συστήματα είναι συνήθως n m. Η διαφορική εξίσωση αποτελεί μια μαθηματική παράσταση της εξωτερικής συμπεριφοράς του συστήματος, δηλαδή της σχέσης εισόδου εξόδου του συστήματος και ονομάζεται σχέση μεταφοράς του συστήματος. Οι συντελεστές a, a 1,, a n χαρακτηρίζουν τη συμπεριφορά του ίδιου του συστήματος και ονομάζονται συντελεστές του συστήματος. Οι συντελεστές b, b 1,, b m χαρακτηρίζουν την επίδραση της εισόδου στο σύστημα και ονομάζονται συντελεστές εισόδου. Τα σταθερά γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα χρονικά αμετάβλητα συστήματα, έχουν μαθηματικό μοντέλο γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές a, a 1,, a n, b, b 1,, b m (ανεξάρτητους του χρόνου). Για παράδειγμα, το μαθηματικό μοντέλο ενός αεροπλάνου κατά την πτήση του σε σταθερό ύψος και με χαμηλές ταχύτητες είναι μια διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές: Τα μεταβλητά γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα συστήματα που μεταβάλλονται χρονικά, έχουν μαθηματικό μοντέλο γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με χρονικά μεταβαλλόμενους συντελεστές a (), a 1 (),, a n (), b (), b 1 (),, b m () (δηλαδή τα a i (), b j () είναι συναρτήσεις του χρόνου). Για παράδειγμα, οι συντελεστές συστήματος a i του αεροπλάνου μεταβάλλονται ανάλογα με το ύψος και την ταχύτητα πτήσης, έτσι ώστε το αεροπλάνο να θεωρείται γενικά χρονικά μεταβαλλόμενο σύστημα, με χρονικά μεταβαλλόμενο μαθηματικό μοντέλο: Τα μη γραμμικά συστήματα, δηλαδή τα συστήματα στα οποία δεν ισχύει η αρχή της υπέρθεσης, έχουν μαθηματικό μοντέλο μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις, δηλαδή 3

εξισώσεις στις οποίες οι συντελεστές a i, b j είναι συναρτήσεις των ίδιων των μεγεθών x(), y() ή των παραγώγων τους, για παράδειγμα: Γραμμική προσέγγιση ή γραμμικοποίηση ονομάζεται η διαδικασία προσέγγισης ενός μη γραμμικού συστήματος με ένα γραμμικό σύστημα σε μια ορισμένη περιοχή λειτουργίας του συστήματος. Ένα μη γραμμικό σύστημα μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί γραμμικό μέσα στα όρια μικρών μεταβολών των μεγεθών του, όπως, για παράδειγμα, μια μη γραμμική καμπύλη y = g(x) μπορεί κατά προσέγγιση να θεωρηθεί ευθεία y = ax + b μέσα στα μικρά όρια μεταβολών Δx και Δy. y y=ax+b y=g(x) y Δy Δx x x 2. Μαθηματικό υπόβαθρο 2.1 Βασικά σήματα Τα βασικά σήματα (συναρτήσεις) που έχουν ευρεία εφαρμογή στα συστήματα αυτομάτου ελέγχου είναι τα παρακάτω: i. Μοναδιαία βηματική συνάρτηση u() 1 ή, στη γενικότερη μορφή της, u(-t) u() =, για < u() = 1, για > u() = απροσδιόριστη για = 1 T u(-t) =, για <T u(-t) = 1, για >T u(-t) = απροσδιόριστη για =T Για παράδειγμα, με τη μοναδιαία βηματική συνάρτηση μπορούμε να περιγράψουμε τη λειτουργία του διακόπτη σε ένα κύκλωμα (ο διακόπτης κλείνει τη χρονική στιγμή =T): v() DC i() =T + v R () - v R () =, για <T v R () = v(), για >T v R () = απροσδιόριστη για =T Επομένως, v R () = v()u(-t) 4

ii. Μοναδιαία συνάρτηση πύλης g π () 1 T 1 T 2 g π () = 1, για ϵ(τ 1, Τ 2 ) g π () = 1, για ɇ(τ 1, Τ 2 ) g π () = απροσδιόριστη για = Τ 1 και = Τ 2 Η μοναδιαία συνάρτηση πύλης μπορεί να εκφραστεί ως η διαφορά δύο μοναδιαίων βηματικών συναρτήσεων, g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ), με T 1 < T 2 : u(-t 1 ) 1 u(-t 2 ) 1 T 1 g π () 1 T 2 T 1 T 2 Όταν <T 1 (άρα και <T 2 ), τότε u(- T 1 ) =, u(- T 2 ) =, και g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ) = 1 = 1. Όταν T 1 < < T 2, τότε u(- T 1 ) = 1, u(- T 2 ) =, και g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ) = 1 = 1. Όταν >T 2 (άρα και >T 1 ), τότε u(- T 1 ) = 1, u(- T 2 ) = 1, και g π () = u(-t 1 ) - u(-t 2 ) = 1 1 =. Για παράδειγμα, η μοναδιαία συνάρτηση πύλης χρησιμοποιείται όταν θέλουμε να απομονώσουμε και στη συνέχεια να μελετήσουμε ένα μόνο τμήμα μιας συνάρτησης: Έστω η συνάρτηση f() και y() το τμήμα της για ϵ(τ 1, Τ 2 ). Τότε η συνάρτηση y() = f() g π () θα είναι y() = για <T 1 και >T 2, αφού στα διαστήματα αυτά η συνάρτηση g π () =, και θα είναι y() = f() στο διάστημα T 1 < < T 2 όπου η συνάρτηση g π () = 1. iii. Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση ή συνάρτηση δέλτα ή συνάρτηση Dirac Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() είναι ένα σήμα μοναδιαίου εμβαδού, η οποία μηδενίζεται οπουδήποτε αλλού εκτός από την αρχή των αξόνων: δ() 1 δ() =, για για = 5

Για καλύτερη κατανόηση, προσεγγίζουμε τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση με έναν παλμό e(), όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα. e() 1/a a e() =, για < e() = 1/a, για <<a e() =, για >a Το ολοκλήρωμα της e() ισούται με το εμβαδόν του παραλληλογράμμου(1/a)a. H μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() είναι το όριο της e() όταν η βάση του παραλληλογράμμου a μηδενίζεται, ενώ ταυτόχρονα το ύψος του 1/a απειρίζεται: Στη γενικότερη μορφή της, η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() ορίζεται ως εξής: δ(-t) 1 δ(-τ) =, για Τ T για =Τ Η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ() είναι η παράγωγος της μοναδιαίας βηματικής συνάρτησης u(): και επομένως, Τέλος, μια αξιοσημείωτη ιδιότητα της κρουστικής συνάρτησης είναι η ακόλουθη: Το εμβαδόν (δηλαδή το ολοκλήρωμα) του γινομένου μιας συνάρτησης x() με τη μοναδιαία κρουστική συνάρτηση, x()δ(), ισούται με x(), για κάθε συνάρτηση x() που είναι συνεχής στην αρχή των αξόνων: iv. Συνάρτηση αναρρίχησης r() 45 o r() =, για u() =, για > ή, στη γενικότερη μορφή της, 6

r(-t) T 45 o r(-t) =, για T r(-t) =, για > T Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση u(-τ) είναι η παράγωγος της συνάρτησης αναρρίχησης r(-τ): και επομένως: v. Εκθετική συνάρτηση f()=ae a a> A a= a< vi. Ημιτονοειδής συνάρτηση f()=aημ(ω+θ) A Aημθ ω/2π Παρατήρηση: Όλες οι συναρτήσεις που αναφέρθηκαν παραπάνω μπορούν να παραχθούν από την εκθετική συνάρτηση. Η ημιτονοειδής συνάρτηση είναι ένας γραμμικός συνδυασμός δύο εκθετικών συναρτήσεων: Η μοναδιαία βηματική συνάρτηση για Τ= είναι η εκθετική συνάρτηση για Α=1 και a=. Οι συναρτήσεις δ() και r() παράγονται από την u(), η οποία όπως είπαμε παράγεται από την εκθετική συνάρτηση. 7

2.2 Μετασχηματισμός Laplace Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένα μαθηματικό εργαλείο που χρησιμοποιείται ευρύτατα κατά τη μελέτη και σχεδίαση των συστημάτων αυτόματου ελέγχου και ιδιαίτερα στη μελέτη γραμμικών (μη χρονικά μεταβαλλόμενων) συστημάτων, τα οποία και θα μελετηθούν στη συνέχεια. Ένα από τα σημαντικά πλεονεκτήματα του μετασχηματισμού Laplace είναι η χρήση του στη λύση των γραμμικών διαφορικών εξισώσεων με σταθερούς συντελεστές, αφού την ανάγει σε μία αλγεβρική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί ευκολότερα. Κλασσικό παράδειγμα αποτελεί η εύρεση της συνάρτησης μεταφοράς ενός γραμμικού συστήματος εισόδου-εξόδου, το οποίο αρχικά περιγράφεται από μια n-τάξεως διαφορική εξίσωση, ενώ με τη βοήθεια του μετασχηματισμού Laplace μετατρέπεται σε ένα πηλίκο αθροισμάτων παραγόντων στο πεδίο των συχνοτήτων. Διαφορική εξίσωση L Αλγεβρική εξίσωση Απευθείας επίλυση διαφορικής εξίσωσης με κλασσικές μεθόδους Επίλυση αλγεβρικής εξίσωσης Λύση διαφορικής εξίσωσης L -1 Λύση αλγεβρικής εξίσωσης Ο μετασχηματισμός Laplace είναι ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός με πυρήνα k(s,) = e -s, και διάστημα ολοκλήρωσης (a,b) = (, ): όπου L το σύμβολο του μετασχηματισμού Laplace, και s = σ + jω είναι η μιγαδική μεταβλητή (j 2 = -1), και F(s) η συνάρτηση της μιγαδικής συχνότητας. 2.2.1 Βασικές ιδιότητες του μετασχηματισμού Laplace i. Γραμμικότητα: ii. Μετασχηματισμός παραγώγου συνάρτησης: όπου f() = f(=) iii. Αλλαγή κλίμακας χρόνου: iv. Μετατόπιση στο πεδίο του χρόνου: 8

v. Πολλαπλασιασμός συνάρτησης επί n : vi. Διαίρεση συνάρτησης διά n : vii. Περιοδικές συναρτήσεις: Δηλαδή f i () είναι η f() στην πρώτη περίοδο. viii. Μετασχηματισμός ολοκλήρωσης συνάρτησης: 2.2.2 Μετασχηματισμός Laplace βασικών συναρτήσεων i. Συνάρτηση μοναδιαίας βαθμίδας: ii. Μοναδιαία κρουστική συνάρτηση (Dirac): iii. Συνάρτηση αναρρίχησης: iv. Εκθετική συνάρτηση: 9

Επίσης, για έχουμε Ακόμα ισχύει: L[e a f ()] = F(s + a), με L[ f ()] = F(s) v. Ημιτονική συνάρτηση: vi. Συνημιτονική συνάρτηση: 2.2.3 Θεωρήματα Μετασχηματισμού Laplace i. Θεώρημα αρχικής τιμής: ii. Θεώρημα τελικής τιμής: 2.2.4 Ο αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της F(s) είναι επίσης ένας γραμμικός ολοκληρωτικός μετασχηματισμός που ορίζεται ως εξής: όπου L -1 συμβολίζει τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, και c είναι μία μιγαδική σταθερά. Ο υπολογισμός του ολοκληρώματος είναι αρκετά δύσκολος και γι αυτό συνηθίζεται η χρήση πινάκων, οι οποίοι δίνουν τις χρονικές συναρτήσεις βασικών μιγαδικών συναρτήσεων. 1

Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f() F(s) δ() 1 u() 1 / s 1 / s 2 n n! / s n+1 e -α, α> 1 / (s + α) e -α, α> 1 / (s + α) 2 ημω ω / (s 2 + ω 2 ) συνω s / (s 2 + ω 2 ) (/2ω)sinω s/( s 2 + ω 2 ) 2 e -α ημω, α> ω / [(s + α) 2 + ω 2 ] e -α συνω, α> (s + α) / [(s + α) 2 + ω 2 ] Στην περίπτωση που για κάποια συνάρτηση ο μετασχηματισμός δεν είναι διαθέσιμος σε πίνακες, επιδιώκεται να εκφραστεί η μιγαδική συνάρτηση F(s) ως άθροισμα κλασματικών συναρτήσεων των οποίων οι παρονομαστές να είναι βασικές μιγαδικές συναρτήσεις οι οποίες υπάρχουν σε πίνακες. Έστω λοιπόν η μιγαδική συνάρτηση: Οι ρίζες του πολυωνύμου του αριθμητή είναι και ρίζες της συνάρτησης F(s), ενώ οι ρίζες του πολυωνύμου του παρονομαστή ονομάζονται πόλοι της F(s). Έστω λ 1,..., λ n οι ρίζες του πολυωνύμου A(s), δηλαδή οι πόλοι της F(s). Τότε η συνάρτηση F(s) μπορεί να εκφραστεί ως ένα άθροισμα απλών κλασμάτων (ανάπτυξη σε απλά κλάσματα): Εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace και στα δύο μέλη της παραπάνω σχέσης, θα έχουμε: οπότε το πρόβλημα ανάγεται στον προσδιορισμό των συντελεστών c 1, c 2,, c n, αφού: Ανάλογα με τη μορφή των πόλων της F(s), διακρίνουμε τρεις διαφορετικούς τρόπους υπολογισμού των συντελεστών c i : 11

i. Διακεκριμένες πραγματικές ρίζες: Αλγεβρική μέθοδος Πολλαπλασιάζουμε και τα δύο μέλη της σχέσης για την F(s) με τον παρανομαστή του πρώτου κλάσματος: Μετά την εκτέλεση των πράξεων, το πολυώνυμο που θα προκύψει στο δεύτερο μέλος θα είναι n-βαθμού και θα πρέπει να είναι κατά ταυτότητα ίσο με το πολυώνυμο B(s). Έτσι προκύπτουν και οι ζητούμενοι συντελεστές c 1, c 2,, c n. Μέθοδος των ορίων κ.ο.κ. ii. Πραγματικές ρίζες με βαθμό πολλαπλότητας: Έστω, για παράδειγμα, ότι ο παρανομαστής της συνάρτησης F(s) έχει βαθμό πολλαπλότητας τρία: Τότε ισχύει: Οι υπόλοιποι συντελεστές υπολογίζονται με τη μέθοδο των ορίων της προηγούμενης περίπτωσης. iii. Μιγαδικές ρίζες: Στην περίπτωση αυτή υπολογίζεται σύμφωνα με κάποια από τις προηγούμενες μεθόδους (συνήθως τη μέθοδος των ορίων) ο συντελεστής που είναι αριθμητής στη μία από τις μιγαδικές ρίζες. Άρα ο συντελεστής που είναι αριθμητής στον όρο που έχει παρονομαστή τη συζυγή ρίζα της προηγούμενης, θα είναι συζυγής του πρώτου συντελεστή. 12

3. Ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις Η περιγραφή συστημάτων με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις είναι η παλιότερη μέθοδος. Είναι μια περιγραφή στο πεδίο του χρόνου και έχει εφαρμογή σε πολλές κατηγορίες συστημάτων, όπως για παράδειγμα τα γραμμικά, τη μη γραμμικά, τα χρονικά μεταβαλλόμενα, με μη μηδενικές αρχικές συνθήκες κλπ. Η περιγραφή αυτή αποτελείται από το σύνολο των γραμμικά ανεξάρτητων περιοριστικών εξισώσεων ενός συστήματος, καθώς και των απαραίτητων αρχικών συνθηκών για τον προσδιορισμό μιας ειδικής λύσης των εξισώσεων. Παράδειγμα εφαρμογής της μεθόδου περιγραφής συστημάτων με ολοκληρωδιαφορικές εξισώσεις είναι τα γραμμικά, χρονικά αμετάβλητα (σταθερά) ηλεκτρικά κυκλώματα. Στην περίπτωση αυτή, τα φυσικά μεγέθη τάση v() και ρεύμα i() ενός στοιχείου σχετίζονται με ένα γραμμικό τελεστή T (αντίσταση R, επαγωγή L ή χωρητικότητα C). Έτσι έχουμε τις σχέσεις: Η συμπεριφορά των v() και i() των στοιχείων περιορίζεται από τους νόμους τάσεων και ρευμάτων του Kirchoff. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το κύκλωμα του σχήματος. v() DC = i() + vc () - Από τον νόμο τάσεων του Kirchoff προκύπτει ότι το κύκλωμα περιγράφεται από την ολοκληρωδιαφορική εξίσωση: i L () L R C και οι αρχικές συνθήκες τη στιγμή = που κλείνει ο διακόπτης Δ είναι i L () = I και v C () = V. Η ολοκληρωδιαφορική εξίσωση και οι αρχικές συνθήκες συνθέτουν μια περιγραφή του κυκλώματος. Αντίστοιχα, στα γραμμικά μηχανικά συστήματα τα φυσικά μεγέθη ενός στοιχείου είναι η δύναμη f() και η ταχύτητα v(), που σχετίζονται με ένα γραμμικό τελεστή T (μάζα m, αντίσταση B και σταθερά ελατηρίου K) και προκύπτουν οι ακόλουθες σχέσεις: 13

Ο περιοριστικός νόμος στην περίπτωση αυτή είναι ο νόμος D Alember, σύμφωνα με τον οποίο το αλγεβρικό άθροισμα των δυνάμεων που επενεργούν πάνω σε μια σημειακή μάζα είναι ίσο με το μηδέν. Για παράδειγμα, ας θεωρήσουμε το μηχανικό σύστημα του σχήματος, όπου m η μάζα, y η μετατόπιση (απόσταση), Κ η σταθερά του ελατηρίου και B ο συντελεστής τριβής. K B f() y() Σύμφωνα με τον νόμο του D Alember προκύπτει η διαφορική εξίσωση του συστήματος: με αρχικές συνθήκες: 14

4. Συνάρτηση Μεταφοράς σταθερού γραμμικού συστήματος Ως συνάρτηση μεταφοράς G(s) ενός σταθερού (χρονικά αμετάβλητου) γραμμικού συστήματος ορίζεται ο λόγος (το πηλίκο) του μετασχηματισμού Laplace του σήματος (της μεταβλητής) εξόδου Y(s) προς το μετασχηματισμό Laplace του σήματος (της μεταβλητής) εισόδου X(s), θεωρώντας μηδενικές αρχικές συνθήκες: Η συνάρτηση μεταφοράς ορίζεται μόνο στην περίπτωση γραμμικών συστημάτων με σταθερούς συντελεστές. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος μπορεί να προσδιοριστεί από τη διαφορική εξίσωση που το περιγράφει, λαμβάνοντας το μετασχηματισμό Laplace και παραλείποντας όλους τους όρους που αφορούν στις αρχικές συνθήκες. Η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης, δηλαδή της απόκρισης του συστήματος όταν η είσοδός του είναι η μοναδιαία κρουστική συνάρτηση δ(), αφού στην περίπτωση αυτή X(s) = L[δ()] = 1. Ο παρανομαστής της συνάρτησης μεταφοράς είναι το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος, ενώ το πολυώνυμο του αριθμητή είναι το πολυώνυμο εισόδου. Οι ρίζες του παρονομαστή είναι οι πόλοι του συστήματος και η φυσική τους σημασία είναι ότι εκφράζουν τις συχνότητες συντονισμού. Αν δηλαδή το σήμα εισόδου περιέχει συχνότητες ίδιες με τους πόλους, τότε η έξοδος του συστήματος απειρίζεται με την πάροδο του χρόνου. Οι ρίζες του αριθμητή είναι τα μηδενικά του συστήματος και η φυσική τους σημασία είναι ότι περιγράφουν τις νεκρές ή αποκόπτουσες συχνότητες. Αν δηλαδή το σήμα εισόδου περιέχει συχνότητες ίδιες με τα μηδενικά, τότε οι συχνότητες αυτές αποκόπτονται και δεν υπάρχουν στο σήμα εξόδου. Για τον προσδιορισμό της χρονικής απόκρισης ενός συστήματος αρκεί να πάρουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace της εξόδου του, που είναι το γινόμενο της συνάρτησης μεταφοράς με το μετασχηματισμό Laplace της εισόδου του συστήματος. Απολαβή συνεχούς ενός συστήματος είναι η τιμή της συνάρτησης μεταφοράς για s= και η φυσική σημασία της είναι ότι για σύστημα του οποίου δεν απειρίζεται η μόνιμη τιμή της απόκρισης σε μοναδιαία βηματική συνάρτηση (απόκριση βαθμίδας) εκφράζεται από την απολαβή συνεχούς. Αρμονική απόκριση ενός συστήματος είναι η μόνιμη τιμή της απόκρισης αυτού σε μια ημιτονοειδή είσοδο. Χαρακτηριστικές παράμετροι της αρμονικής απόκρισης σε ημιτονοειδή είσοδο συχνότητας ω είναι το μέτρο και η φάση του συστήματος στην εν λόγω συχνότητα, με την προϋπόθεση ότι η έξοδος δεν απειρίζεται. 15

Με βάση τα παραπάνω προκύπτει ότι η έννοια της συνάρτησης μεταφοράς περιορίζεται μόνο στη μελέτη των σταθερών γραμμικών δυναμικών συστημάτων που περιγράφονται με γραμμικές διαφορικές εξισώσεις και ισχύουν τα παρακάτω: Η συνάρτηση μεταφοράς είναι ένα μαθηματικό μοντέλο που σχετίζεται άμεσα με τη διαφορική εξίσωση που περιγράφει τη δυναμική συμπεριφορά του συστήματος και δίνει πλήρη περιγραφή των δυναμικών χαρακτηριστικών του. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι στην ουσία ιδιότητα του συστήματος και είναι ανεξάρτητη από το μέτρο και τη φάση της εισόδου που εφαρμόζεται στο σύστημα. Η συνάρτηση μεταφοράς εκφράζει τη σχέση εισόδου εξόδου του συστήματος, περιγράφει την εξωτερική συμπεριφορά του και δεν περιέχει καμία πληροφορία για την εσωτερική δομή του συστήματος. Είναι δυνατόν πολλά συστήματα να έχουν την ίδια συνάρτηση μεταφοράς, που σημαίνει ότι έχουν την ίδια συμπεριφορά για είσοδο ίδιας μορφής, αλλά προφανώς δεν είναι ίδια συστήματα. Τέτοια συστήματα ονομάζονται ανάλογα συστήματα. Αν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι γνωστή, η απόκριση του συστήματος μπορεί να μελετηθεί για διαφορετικές κατηγορίες εισόδων και να εξαχθούν χρήσιμα συμπεράσματα για τη φύση του συστήματος. Αν η συνάρτηση μεταφοράς ενός συστήματος είναι άγνωστη, μπορούμε να την υπολογίσουμε πειραματικά για δεδομένη συχνότητα εφαρμόζοντας γνωστά σήματα εισόδου και μελετώντας τα αντίστοιχα σήματα εξόδου. Όταν είναι γνωστή η διαφορική εξίσωση ενός συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες, μπορούμε να βρούμε της συνάρτηση μεταφοράς αντικαθιστώντας τον τελεστή παραγώγισης D=d/d με τη μιγαδική συχνότητα s και τις χρονικές συναρτήσεις με τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς Laplace. Παράδειγμα 1: Να προσδιοριστεί η κρουστική απόκριση h() ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος που περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: όπου v() η είσοδος του συστήματος και, y () = και y() =. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης και δεδομένου ότι οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές, έχουμε: ή Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: 16

Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): Το πολυώνυμο του παρανομαστή έχει δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες και μπορούμε να εφαρμόσουμε τη μέθοδο της ανάπτυξης σε δύο απλά κλάσματα προκειμένου να προσδιορίσουμε τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace. Όμως παρατηρούμε ότι που είναι της μορφής με ω = 1 και α = 1. Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace: Παράδειγμα 2: Η συμπεριφορά ενός γραμμικού χρονικά αμετάβλητου συστήματος περιγράφεται από τη διαφορική εξίσωση: όπου v() και y() η είσοδος και η έξοδος αντίστοιχα του συστήματος. Να προσδιοριστούν: i. Η συνάρτηση μεταφοράς και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο του συστήματος. ii. Η κρουστική απόκριση του συστήματος. iii. Η βηματική απόκριση του συστήματος με αρχικές συνθήκες y () = 1 και y() =. i. Παίρνοντας το μετασχηματισμό Laplace της διαφορικής εξίσωσης έχουμε: ή 17

Επομένως, η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος είναι: και το χαρακτηριστικό πολυώνυμο είναι: Η χαρακτηριστική εξίσωση του συστήματος είναι: ii. Επιλύοντας το τριώνυμο, προκύπτουν οι πόλοι του συστήματος: Επομένως η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος μπορεί να εκφραστεί ως ακολούθως: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα έχουμε: Από τη σχέση αυτή προκύπτουν τα ακόλουθα: Επομένως: Γνωρίζουμε ότι η συνάρτηση μεταφοράς ενός σταθερού γραμμικού συστήματος με μηδενικές αρχικές συνθήκες ταυτίζεται με το μετασχηματισμό Laplace της κρουστικής απόκρισης αυτού. Άρα η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συνάρτησης μεταφοράς H(s): Επομένως, όπως προκύπτει από τους πίνακες μετασχηματισμού Laplace, η κρουστική απόκριση του συστήματος θα είναι: 18

iii. Η διαφορική εξίσωση του συστήματος για βηματική είσοδο είναι η εξής: και οι αρχικές συνθήκες που δίνονται είναι: Εφαρμόζοντας μετασχηματισμό Laplace θα έχουμε: και αντικαθιστώντας τις αρχικές τιμές: ή Άρα η Y(s) θα είναι: Αναπτύσσοντας σε απλά κλάσματα θα έχουμε: όπου: Επομένως: και εφαρμόζοντας τον αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace, η βηματική απόκριση είναι: 19

Πηγές: Για τη σύνθεση αυτών των σημειώσεων χρησιμοποιήθηκε υλικό από την παρακάτω βιβλιογραφία: Θεωρία και Προβλήματα στα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου Αναλογικών και Ψηφιακών Συστημάτων, Joshef J. Disefano III, Allen R. Subberud, Ivan J. Williams Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου - Θεωρία και προβλήματα, Πακτίτης Σπύρος Α. Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Τρ. Ποιμενίδης Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Δ. Καλλιγερόπουλος Εισαγωγή στον Αυτόματο Έλεγχο, Π. Ν. Παρασκευόπουλος Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου ΙΙ Θεωρία, Κ. Λουκάς Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Benjamin C. Kuo, Farid Golnaraghi Σύγχρονα Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου, Richard C. Dorf, Rober H. Bishop Συστήματα Αυτομάτου Ελέγχου - Θεωρία και Εφαρμογές με το MATLAB, Ogaa K. 2