KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK

Σχετικά έγγραφα
Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1

Funkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1

Zaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1

Odvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1

Definicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1

Diferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci

matrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):

1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja

Osnove matematične analize 2016/17

IZPIT IZ ANALIZE II Maribor,

Algebraične strukture

1 Fibonaccijeva stevila

V tem poglavju bomo vpeljali pojem determinante matrike, spoznali bomo njene lastnosti in nekaj metod za računanje determinant.

Preklopna vezja 1. poglavje: Številski sistemi in kode

SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK

Poliedri Ines Pogačar 27. oktober 2009

Tretja vaja iz matematike 1

Booleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke

Splošno o interpolaciji

Spoznajmo sedaj definicijo in nekaj osnovnih primerov zaporedij števil.

Linearne blokovne kode

Izpeljava Jensenove in Hölderjeve neenakosti ter neenakosti Minkowskega

Lastne vrednosti in lastni vektorji

Matematika 1. Gabrijel Tomšič Bojan Orel Neža Mramor Kosta

Gimnazija Krˇsko. vektorji - naloge

Matematika I (VS) Univerza v Ljubljani, FE. Melita Hajdinjak 2013/14. Pregled elementarnih funkcij. Potenčna funkcija. Korenska funkcija.

Numerično reševanje. diferencialnih enačb II

DISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA

Realne funkcije. Elementarne funkcije. Polinomi in racionalne funkcije. Eksponentna funkcija a x : R R + FKKT Matematika 1

Linearne preslikave. Poglavje VII. 1 Definicija linearne preslikave in osnovne lastnosti

Kontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.

Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev

Številski sistemi in kode

Osnovni primer. (Z, +,,, 0, 1) je komutativan prsten sa jedinicom: množenje je distributivno prema sabiranju

Kvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti

13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa

Univerza na Primorskem Pedagoška fakulteta Koper. Geometrija. Istvan Kovacs in Klavdija Kutnar

Domače naloge za 2. kolokvij iz ANALIZE 2b VEKTORSKA ANALIZA

Analiza I. (študijsko gradivo) Matija Cencelj

Podobnost matrik. Matematika II (FKKT Kemijsko inženirstvo) Diagonalizacija matrik

Dodatna poglavja iz linearne algebre za 1. letnik finančne matematike na FMF. Primož Moravec

Na pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12

Funkcije dveh in več spremenljivk

Integralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)

REˇSITVE. Naloga a. b. c. d Skupaj. FAKULTETA ZA MATEMATIKO IN FIZIKO Oddelek za matematiko Verjetnost 2. kolokvij 23.

MATEMATIKA 1 UNIVERZITETNI ŠTUDIJSKI PROGRAM BIOKEMIJA 1. LETNIK

Funkcije več spremenljivk

Teorija kodiranja. 19. poglavje

Kanonična oblika linearnega programa. Simpleksna metoda. Bazne rešitve kanoničnega linearnega programa.

PARCIJALNI IZVODI I DIFERENCIJALI. Sama definicija parcijalnog izvoda i diferencijala je malo teža, mi se njome ovde nećemo baviti a vi ćete je,

1. izpit iz Diskretnih struktur UNI Ljubljana, 17. januar 2006

Arjana Žitnik. Rešene naloge iz kolokvijev in izpitov pri predmetu

II. LIMITA IN ZVEZNOST FUNKCIJ

Univerza v Mariboru. Fakulteta za logistiko MATEMATIKA. Univerzitetni učbenik

Matematika 1. Jaka Cimprič

Postavitev hipotez NUJNO! Milena Kova. 10. januar 2013

Matematika 1. Gregor Dolinar. 2. januar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. Gregor Dolinar Matematika 1

Navadne diferencialne enačbe

Osnove linearne algebre

Matematično modeliranje. Simpleksna metoda.

22. Kdaj sta dva vektorja vzporedna? FGG geodezija UNI Matematika I, 2005/ Kdaj so vektorji a 1, a 2,..., a n linearno neodvisni?

10. poglavje. Kode za overjanje

p 1 ENTROPIJSKI ZAKON

Vektorski prostori s skalarnim produktom

MATEMATIKA ZA BIOLOGE

Kotne in krožne funkcije

Povezanost. Izbrana poglavja iz diskretne matematike. 17. maj Univerza v Ljubljani Fakulteta za matematiko in fiziko Finančna matematika

Matematika. BF Lesarstvo. Zapiski ob predavanjih v šolskem letu 2010/2011

Državni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA

M086 LA 1 M106 GRP. Tema: Baza vektorskog prostora. Koordinatni sustav. Norma. CSB nejednakost

8. Posplošeni problem lastnih vrednosti

Kotni funkciji sinus in kosinus

*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center

Linearna algebra. Bojan Orel Fakulteta za računalništvo in informatiko

8. Diskretni LTI sistemi

(Ne)rešljiva Rubikova kocka in grupe

Univerza v Mariboru. Uporaba matematičnih metod v logistiki 1 Priročnik

Vaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim

PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST

IZVODI ZADACI ( IV deo) Rešenje: Najpre ćemo logaritmovati ovu jednakost sa ln ( to beše prirodni logaritam za osnovu e) a zatim ćemo

AFINA IN PROJEKTIVNA GEOMETRIJA

Iterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013

D f, Z f. Lastnosti. Linearna funkcija. Definicija Linearna funkcija f : je definirana s predpisom f(x) = kx+n; k,

Univerza v Ljubljani Fakulteta za računalništvo in informatiko MATEMATIKA. Polona Oblak

TRANZITIVNI GRAFI. Katarina Jan ar. oktober 2008

NEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE

Inverzni problem lastnih vrednosti evklidsko razdaljnih matrik

2 tg x ctg x 1 = =, cos 2x Zbog četvrtog kvadranta rješenje je: 2 ctg x

IZVODI ZADACI (I deo)

UNIVERZA V LJUBLJANI PEDAGOŠKA FAKULTETA SANDRA BOLTA LASTNE VREDNOSTI GRAFA DIPLOMSKO DELO

PRAVA. Prava je u prostoru određena jednom svojom tačkom i vektorom paralelnim sa tom pravom ( vektor paralelnosti).

Uporabna matematika za naravoslovce

Funkcija je predpis, ki vsakemu elementu x iz definicijskega območja D R priredi neko število f (x) R.

UNIVERZA V MARIBORU FAKULTETA ZA KEMIJO IN KEMIJSKO TEHNOLOGIJO MATEMATIKA III

Sistemi veštačke inteligencije primer 1

Del 5. Vektorske funkcije in funkcije več spremenljivk

Transcript:

1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008

Phoenix 2 / 24

Phoenix 3 / 24

Phoenix 4 / 24

Črtna koda 5 / 24

Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24 8 014966 336563 1 8+3 0+1 1+3 4+1 9+3 6+1 6+3 3+1 3+3 6+1 5+3 6 = 107 107 mod 10 = 7 10 7 = 3

Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24 8 014966 336563 1 8+3 0+1 1+3 4+1 9+3 6+1 6+3 3+1 3+3 6+1 5+3 6 = 107 107 mod 10 = 7 10 7 = 3

Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24 8 014966 336563 1 8+3 0+1 1+3 4+1 9+3 6+1 6+3 3+1 3+3 6+1 5+3 6 = 107 107 mod 10 = 7 10 7 = 3

Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24 8 014966 336563 1 8+3 0+1 1+3 4+1 9+3 6+1 6+3 3+1 3+3 6+1 5+3 6 = 107 107 mod 10 = 7 10 7 = 3

Črtna koda - kontrolni bit 7 / 24 Vedno odkrije eno samo napako! Dveh ali več napak NE odkrije vedno! Ene same napake NE ZNA popraviti! Odvečnost (redundancy): 1 bit na 12 bitov!

Črtna koda - kontrolni bit 7 / 24 Vedno odkrije eno samo napako! Dveh ali več napak NE odkrije vedno! Ene same napake NE ZNA popraviti! Odvečnost (redundancy): 1 bit na 12 bitov!

Črtna koda - kontrolni bit 7 / 24 Vedno odkrije eno samo napako! Dveh ali več napak NE odkrije vedno! Ene same napake NE ZNA popraviti! Odvečnost (redundancy): 1 bit na 12 bitov!

Črtna koda - kontrolni bit 7 / 24 Vedno odkrije eno samo napako! Dveh ali več napak NE odkrije vedno! Ene same napake NE ZNA popraviti! Odvečnost (redundancy): 1 bit na 12 bitov!

Ponavljajoča koda (repetition code) 8 / 24 Recimo, da želimo poslati sporočilo 1011. Vsak bit ponovimo trikrat: 111 000 111 111. Prejemnik vsako trojico bitov dekodira v bit, ki se v tej trojici ponovi največkrat.

Ponavljajoča koda (repetition code) 8 / 24 Recimo, da želimo poslati sporočilo 1011. Vsak bit ponovimo trikrat: 111 000 111 111. Prejemnik vsako trojico bitov dekodira v bit, ki se v tej trojici ponovi največkrat.

Ponavljajoča koda (repetition code) 8 / 24 Recimo, da želimo poslati sporočilo 1011. Vsak bit ponovimo trikrat: 111 000 111 111. Prejemnik vsako trojico bitov dekodira v bit, ki se v tej trojici ponovi največkrat.

Ponavljajoča koda (repetition code) 9 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 2 bita na 1 bit!

Ponavljajoča koda (repetition code) 9 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 2 bita na 1 bit!

Ponavljajoča koda (repetition code) 9 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 2 bita na 1 bit!

Ponavljajoča koda (repetition code) 9 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 2 bita na 1 bit!

Ponavljajoča koda (repetition code) 9 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 2 bita na 1 bit!

Še en primer - Hammingova (7,4)-koda 10 / 24

Še en primer - Hammingova (7,4)-koda 11 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 3 bite na 4 bite!

Še en primer - Hammingova (7,4)-koda 11 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 3 bite na 4 bite!

Še en primer - Hammingova (7,4)-koda 11 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 3 bite na 4 bite!

Še en primer - Hammingova (7,4)-koda 11 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 3 bite na 4 bite!

Še en primer - Hammingova (7,4)-koda 11 / 24 Vedno odkrije eno ali dve napaki! Treh ali več napak NE odkrije vedno! Zna popraviti eno napako! Ne zna popraviti dveh ali več napak! Odvečnost (redundancy): 3 bite na 4 bite!

Hammingova (7,4) koda - malce drugače 12 / 24 Naj bo abcd sporočilo, ki ga hočemo poslati. Definirajmo sedmerico (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ) ničel in enic takole: x 3 = a, x 5 = b, x 6 = c, x 7 = d x 1 izberemo tako, da je x 1 + x 3 + x 5 + x 7 sodo število. x 2 izberemo tako, da je x 2 + x 3 + x 6 + x 7 sodo število. x 4 izberemo tako, da je x 4 + x 5 + x 6 + x 7 sodo število. Prejemniku pošljemo sedmerico (x 1, x 2, x 3, x 4, x 5, x 6, x 7 ).

Hammingova (7,4)-koda - malce drugače 13 / 24 Prejemnik prejme sedmerico (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) ničel in enic. Predpostavimo, da je pri prenosu prišlo do največ ene napake. α = y 4 + y 5 + y 6 + y 7 mod 2. β = y 2 + y 3 + y 6 + y 7 mod 2. γ = y 1 + y 3 + y 5 + y 7 mod 2. a = αβγ (2) a = 0 ni napake!!! a 0 bit y a je napačen!!!

Hammingova (7,4)-koda - malce drugače 13 / 24 Prejemnik prejme sedmerico (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) ničel in enic. Predpostavimo, da je pri prenosu prišlo do največ ene napake. α = y 4 + y 5 + y 6 + y 7 mod 2. β = y 2 + y 3 + y 6 + y 7 mod 2. γ = y 1 + y 3 + y 5 + y 7 mod 2. a = αβγ (2) a = 0 ni napake!!! a 0 bit y a je napačen!!!

Hammingova (7,4)-koda - malce drugače 13 / 24 Prejemnik prejme sedmerico (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) ničel in enic. Predpostavimo, da je pri prenosu prišlo do največ ene napake. α = y 4 + y 5 + y 6 + y 7 mod 2. β = y 2 + y 3 + y 6 + y 7 mod 2. γ = y 1 + y 3 + y 5 + y 7 mod 2. a = αβγ (2) a = 0 ni napake!!! a 0 bit y a je napačen!!!

Hammingova (7,4)-koda - malce drugače 13 / 24 Prejemnik prejme sedmerico (y 1, y 2, y 3, y 4, y 5, y 6, y 7 ) ničel in enic. Predpostavimo, da je pri prenosu prišlo do največ ene napake. α = y 4 + y 5 + y 6 + y 7 mod 2. β = y 2 + y 3 + y 6 + y 7 mod 2. γ = y 1 + y 3 + y 5 + y 7 mod 2. a = αβγ (2) a = 0 ni napake!!! a 0 bit y a je napačen!!!

Binarne kode - osnovne definicije 14 / 24 Naj bo n N in naj bo A n množica vseh zaporedij sestavljenih iz 0 in 1, ki imajo dolžino n. Definicija Koda C dolžine n je podmnožica v A n. Število elementov kode C se imenuje velikost kode C. Elementi množice A n se imenujejo besede. Elementi kode C se imenujejo kodne besede.

Binarne kode - osnovne definicije 14 / 24 Naj bo n N in naj bo A n množica vseh zaporedij sestavljenih iz 0 in 1, ki imajo dolžino n. Definicija Koda C dolžine n je podmnožica v A n. Število elementov kode C se imenuje velikost kode C. Elementi množice A n se imenujejo besede. Elementi kode C se imenujejo kodne besede.

Binarne kode - osnovne definicije 14 / 24 Naj bo n N in naj bo A n množica vseh zaporedij sestavljenih iz 0 in 1, ki imajo dolžino n. Definicija Koda C dolžine n je podmnožica v A n. Število elementov kode C se imenuje velikost kode C. Elementi množice A n se imenujejo besede. Elementi kode C se imenujejo kodne besede.

Binarne kode - osnovne definicije 14 / 24 Naj bo n N in naj bo A n množica vseh zaporedij sestavljenih iz 0 in 1, ki imajo dolžino n. Definicija Koda C dolžine n je podmnožica v A n. Število elementov kode C se imenuje velikost kode C. Elementi množice A n se imenujejo besede. Elementi kode C se imenujejo kodne besede.

Hammingova razdalja 15 / 24 Definicija Za poljubni dve zaporedji x in y iz A n definirajmo d H (x, y) = število mest, na katerih se x in y razlikujeta. Številu d H (x, y) pravimo Hammingova razdalja zaporedij x in y. Definicija Minimalna razdalja kode C je najmanjše izmed števil d H (x, y), kjer sta x in y različni kodni besedi kode C.

Dekodiranje 16 / 24 Recimo, da smo prejemniku poslali neko kodno besedo, prejemnik pa je prejel besedo y. V katero kodno besedo bo prejemnik dekodiral besedo y? Če obstaja natanko ena kodna beseda x, za katero je d H (x, y) < d H (z, y) za vsako drugo kodno besedo z, potem bo prejemnik besedo y dekodiral v besedo x. Če take besede ni, potem bo prejemnik javil, da je prišlo do napake.

Dekodiranje 16 / 24 Recimo, da smo prejemniku poslali neko kodno besedo, prejemnik pa je prejel besedo y. V katero kodno besedo bo prejemnik dekodiral besedo y? Če obstaja natanko ena kodna beseda x, za katero je d H (x, y) < d H (z, y) za vsako drugo kodno besedo z, potem bo prejemnik besedo y dekodiral v besedo x. Če take besede ni, potem bo prejemnik javil, da je prišlo do napake.

Dekodiranje 16 / 24 Recimo, da smo prejemniku poslali neko kodno besedo, prejemnik pa je prejel besedo y. V katero kodno besedo bo prejemnik dekodiral besedo y? Če obstaja natanko ena kodna beseda x, za katero je d H (x, y) < d H (z, y) za vsako drugo kodno besedo z, potem bo prejemnik besedo y dekodiral v besedo x. Če take besede ni, potem bo prejemnik javil, da je prišlo do napake.

Krogle 17 / 24 Definicija Naj bo x A n in naj bo r R +. Krogla s središčem v x in radijem r je množica S r (x) = {y A n d H (x, y) r}.

Kode, ki popravijo e napak (e-error-correcting-codes) 18 / 24 Naj bo C koda dolžine n in naj bo e poljubno naravno število. Potem koda C vedno poravi e napak natanko tedaj, ko je S e (x) S e (y) = za poljubni različni kodni besedi x in y.

Popolne kode (perfect codes) 19 / 24 Definicija Naj bo C koda, ki popravi e napak. Potem je C popolna, če velja S e (x) = A n. x C Primer: Hammingova (7, 4)-koda

Linearne kode 20 / 24 Definition Koda C je linearna, če velja x, y C = x + y C.

Linearne kode - primeri 21 / 24 Ponavljajoča se koda je linearna koda. Hammingova (7, 4)-koda je linearna koda.

Linearne kode - primeri 21 / 24 Ponavljajoča se koda je linearna koda. Hammingova (7, 4)-koda je linearna koda.

Hammingova teža 22 / 24 Definicija Naj bo C linearna koda. Hammingova teža besede x je število enic v zaporedju x. Oznaka: w H (X). Minimalna teža kode C je najmanjša teža neničelne kodne bedsede kode C.

Hammingova teža 22 / 24 Definicija Naj bo C linearna koda. Hammingova teža besede x je število enic v zaporedju x. Oznaka: w H (X). Minimalna teža kode C je najmanjša teža neničelne kodne bedsede kode C.

Hammingova teža 23 / 24 Izrek Naj bo C linearna koda. Potem je minimalna teža kode C enaka minimalni razdalji kode C.

Generatorska matrika 24 / 24 Baza linearne kode C. Generatorska matrika kode C Dualna koda

Generatorska matrika 24 / 24 Baza linearne kode C. Generatorska matrika kode C Dualna koda

Generatorska matrika 24 / 24 Baza linearne kode C. Generatorska matrika kode C Dualna koda

HVALA! 25 / 24