PLĂCI ŞI STRUCTURI DIN PLĂCI

8. PLĂCI ŞI STRUCTURI DIN PLĂCI 8.. Generalităţi O placă este un corp solid care are una dintre dimensiuni (grosimea) mai mică decât celelalte două şi poate fi privit ca materialiarea unei suprafeţe, aşa cum o bară este materialiarea unei linii. O placă se defineşte, în general, prin forma şi dimensiunile suprafeţei mediane, iar în fiecare punct al acesteia, se consideră o normală pe care se defineşte grosimea,, de o parte şi de alta a suprafeţei mediane, prin valorile /. Plăcile au o importanţă deosebită în ingineria mecanică, deoarece numeroase structuri au în componenţa lor plăci de o foarte mare varietate de forme şi dimensiuni. Este caul ecipamentelor energetice, cimice, siderurgice, al maşinilor unelte şi de lucru, veiculelor auto, navale şi feroviare, al unor cupole şi acoperişuri etc. Structurile mecanice se realieaă prin asamblarea diverselor plăci componente prin sudură, turnare, nituire etc, sau prin combinaţii ale acestor procedee. Calculul plăcilor şi structurilor din plăci este dificil, deoarece se ajunge la sisteme de ecuaţii cu derivate parţiale, greu de integrat. Ciar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este foarte mare. De asemenea, trebuie făcut calcul static, dinamic, de vibraţii, de stabilitate etc. Ciar la începuturile teoriei elasticităţii şi reistenţei materialelor s-a ajuns la concluia că pentru plăci trebuie elaborată o teorie proprie, deoarece nu este posibilă utiliarea ecuaţiilor generale (5.0) ale teoriei elasticităţii (din nou se poate face o paralelă cu barele). Teoria plăcilor face o serie de ipotee simplificatoare, unele generale, de principiu şi altele de calcul, prin care se neglijeaă unii termeni din ecuaţiile sau soluţiile respective. Din aceste motive s-a ajuns în situaţia de fapt că se utilieaă mai multe variante ale teoriei 9

plăcilor, fiecare având delimitările, preciia, avantajele şi deavantajele sale. Încercările de a elabora o teorie generală a plăcilor au fost abandonate datorită dificultăţilor de calcul. Prin urmare, în preent, din considerente practice, se folosesc în inginerie teorii distincte pentru, cel puţin, următoarele categorii de plăci: - plăci subţiri (cu grosime mică), cu deformaţii şi deplasări mici; - plăci subţiri, cu deplasări mari; - plăci groase. De asemenea, s-au elaborat teorii şi relaţii de calcul pentru plăcile curbe şi pentru cele plane, care, la rândul lor, se împart în plăci de rotaţie (în general), cilindrice, sferice, conice, toroidale etc, respectiv plăci plane dreptungiulare, circulare etc. O placă plană poate fi privită ca un ca particular al unei plăci curbe şi anume o placă curbă cu curbură nulă. Conceptul de grosime mică sau mare a plăcii, determină posibilităţile de neglijare a unor termeni din ecuaţiile sau relaţiile de calcul pentru plăcile subţiri. Placă subţire se consideră cea pentru care grosimea este relativ mică în comparaţie cu raa de curbură sau cu dimensiunile plăcii şi anume: - dacă placa este curbă, raportul dintre grosimea şi raa de curbură principală R trebuie să satisfacă condiţia /R < 0 0; - dacă placa este plană, raportul dintre grosimea şi lungimea (sau lăţimea plăcii) l trebuie să satisfacă condiţia /l < 0 0. Deplasarea a plăcii pe direcţia normalei la suprafaţa mediană se consideră mică, dacă / < 5 0, iar placa se consideră cu deplasări mici. În cadrul categoriilor menţionate, de obicei, se consideră că plăcile sunt elastice, calculul în regim elasto-plastic de solicitare fiind foarte dificil. S-au impus, de asemenea, teorii şi relaţii de calcul distincte pentru plăci plane şi pentru plăci curbe (învelişuri), deoarece eistă o diferenţă esenţială în privinţa efectului sarcinilor eterioare asupra plăcilor curbe, comparativ cu cele plane:. Ecilibrul static al unui element de placă plană, încărcat cu o sarcină transversală, este posibil numai datorită apariţiei 9

momentelor încovoietoare şi de răsucire, însoţite, de obicei şi de forţe tăietoare.. O placă curbă, în general, transmite sarcinile eterioare către reaeme prin solicitările de membrană, care acţioneaă paralel cu planul tangent la suprafaţa mediană a plăci, din punctul considerat, tensiunile (normale, σ, de întindere sau compresiune) fiind constante pe grosime, studiul acestei probleme făcând obiectul teoriei de membrană a plăcilor. Această proprietate a plăcilor curbe subţiri le face, de regulă, să fie mult mai rigide şi mai eficiente decât plăcile plane, în aceleaşi condiţii de solicitare, de reemare şi de material (aspectele tenologice nu se comenteaă aici). În principiu, solicitările de membrană sunt independente de deformaţiile produse de solicitările de încovoiere, răsucire şi forfecare (când acestea sunt mici). Reacţiunile şi deplasările obţinute cu teoria de membrană în onele de margine sunt, de regulă, incompatibile cu condiţiile reale de pe frontieră (contur, margine), motiv pentru care, trebuie avută în vedere şi încovoierea în aceste one, care, în general, are efecte locale. Pentru studiul tensiunilor în vecinătatea sarcinilor concentrate aplicate plăcilor, trebuie folosite teorii speciale, specifice problemelor spaţiale ale teoriei elasticităţii. Calculul structurilor din plăci se poate face numai cu ajutorul calculatoarelor, fie pentru cauri particulare, ca cel al structurilor aial simetrice (de rotaţie), pentru care s-au elaborat algoritmi şi programe adecvate, fie, în caul general, cu metode numerice, ca metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite sau metoda elementelor de frontieră. Din considerente didactice, în continuare, se vor preenta doar câteva probleme (relativ simple) ale plăcilor subţiri, elastice, cu deplasări mici. Ipoteele care se au în vedere în teoria plăcilor subţiri, elastice, cu deplasări mici sunt următoarele: - suprafaţa mediană a plăcii este inetensibilă, adică în ea nu se produc deformaţii de întindere sau compresiune: suprafaţa mediană 95

rămâne neutră la încovoierea plăci, ceea ce se realieaă dacă suprafaţa este desfăşurabilă; - o normală rectilinie la suprafaţa mediană, nedeformată a plăcii, rămâne rectilinie şi normală la suprafaţa mediană, deformată, a plăcii; - tensiunile normale σ, pe direcţia normalei la suprafaţa mediană a plăcii sunt mici şi se neglijeaă. De asemenea, se face preciarea că, pentru plăci, eforturile se definesc pe unitatea de lungime în planul median, adică forţele aiale şi cele tăietoare au unităţile de măsură N/mm, iar momentele Nm/mm, sau variante ale acestora. 8.. Plăci curbe subţiri elastice O placă curbă subţire este definită de o suprafaţă mediană curbă. După forma suprafeţei mediane, plăcile se clasifică în plăci cu curbură simplă şi plăci cu dublă curbură. În geometria diferenţială a suprafeţelor se demonstreaă că eistă totdeauna două secţiuni realiate cu plane care conţin normala, perpendiculare între ele, în care raele de curbură au valori etreme, ρ şi ρ. Curburile corespunătore, cea maimă, /ρ, respectiv, /ρ, minimă, se numesc curburile principale ale plăcii. Raa de curbură, ρ, într-un plan care face ungiul υ cu planul principal I (relaţia lui Euler), este: cos sin. (8.) În geometria suprafeţelor (şi în teoria plăcilor curbe) se folosesc şi mărimile: -curbura totală sau curbura lui Gauss: K=/ρ ρ ; (8.) -curbura medie: H = /ρ + /ρ. (8.) a b c Figura 8. 96

Când curbura lui Gauss este poitivă (K>0), curburile principale au acelaşi semn, suprafaţa este conveă şi se numeşte sinclastică (elipsoidul, sfera, paraboloidul de rotaţie), ca în figura 8..a, iar când K<0, curburile principale au semne contrare, suprafaţa are forma de şa şi se numeşte anticlastică (iperboloidul de rotaţie, paraboloidul iperbolic, elicoiii, fig. 8..b). Dacă una dintre curburile principale este nulă (K=0), suprafaţa este cu simplă curbură (cilindrul, conul, fig. 8..c), iar când ambele curburi sunt nule, placa este plană. Cele mai utiliate plăci curbe în inginerie au suprafeţe mediane care sunt de următoarele tipuri: - de rotaţie: generate de drepte sau curbe plane care se rotesc în jurul unei ae conţinută în planul respectiv; - cilindrice: generate de o dreaptă care se deplaseaă rămânând paralelă cu ea însăşi şi se sprijină pe o curbă directoare; - suprafeţe riglate: generate de o dreaptă care se deplaseaă după o anumită lege; - suprafeţe oarecare: generate în moduri diferite de cele de mai sus, prin diverse combinaţii ale modalităţilor preentate sau prin îmbinarea unor fragmente de suprafeţe clasice. Din cele de mai sus reultă marea varietate a formelor geometrice ale plăcilor curbe, la care trebuie adăugate şi gama dimensiunilor, materialelor, tenologiilor de fabricaţie etc. Eforturi şi tensiuni. Se consideră un element cu dimensiuni infinit mici, d şi d, detaşat dintr-o placă curbă subţire, cu două pereci de plane paralele, normale între ele, ca în figura 8..a, pe care s-a notat şi grosimea şi raele de curbură ρ şi ρ ale suprafeţei mediane în planele secţiunilor. Se presupune curbura totală K >0. Într-un punct situat la distanţa de suprafaţa mediană starea de tensiuni este definită de componentele σ, σ, τ = τ şi τ, τ (v. fig. 8..a). Se observă că arcele situate la distanţa de suprafaţa mediană au lungimile d+(/ρ )d, respectiv d +(/ρ )d. Efortul circumferenţial N este: N d d d d, 97

98 care se simplifică cu d, deoarece nu variaă cu şi reultă relaţia de ecivalenţă mecanică dintre tensiunea σ şi efortul N d N. Analog, se obţine şi efortul aial d N. (8..a) Procedând asemănător reultă şi epresiile pentru celelalte eforturi: - eforturile tangenţiale d T ; d T ; (8..b) - eforturile de forfecare d T ; d T ; (8..c) - momentele încovoietoare d M ; d M ; (8..d) a b Figura 8.

- momentele de răsucire M d ; M d. (8..e) În figura 8..b s-au repreentat eforturile definite prin relaţiile (8.), momentele fiind repreentate prin săgeţi duble. Observaţii:. Conform principiului dualităţii tensiunilor tangenţiale τ = τ, dar, având în vedere că, în general, ρ ρ, reultă că (a se vedea relaţiile (8..b) şi (8..e)) pentru eforturile tangenţiale şi pentru cele de răsucire principiul dualităţii nu mai este valabil, adică T T şi M M. (8.). Notaţiile şi sensurile (poitive) ale tensiunilor şi eforturilor din figura 8. sunt cele mai des utiliate, dar se folosesc, de diverşi autori şi diverse variante ale acestora.. Relaţiile (8.) se mai numesc şi relaţiile de ecivalenţă mecanică dintre tensiuni şi eforturi. Pentru determinarea tensiunilor într-un punct al plăcii trebuie determinate cele ece eforturi din relaţiile (8.), dar nu sunt disponibile decât şase ecuaţii de ecilibru, adică problema este de patru ori static nedeterminată. Cele patru ecuaţii suplimentare necesare se pot obţine prin studiul deformaţiilor elementului de placă avut în vedere. Dacă grosimea a plăcii este relativ mică în raport cu raele de curbură ρ şi ρ, se pot neglija rapoartele /ρ şi /ρ în relaţiile (8.) şi epresiile celor ece eforturi devin: N d; N d; T T d; T d; T d; (8.) M d; M d; M M d. Numărul eforturilor necunoscute a scăut la opt. Pentru sistemul spaţial de forţe şi momente din figura 8..b se pot scrie şase ecuaţii 99

de ecilibru mecanic. Trebuie, deci, să se scrie două ecuaţii de deformaţii. Rigiditatea la încovoiere a plăcii. Ca urmare a ipoteelor enunţate, într-o placă subţire, solicitată numai la încovoiere, starea de tensiuni este plană (s-a făcut ipotea că σ = 0), deci - deformaţiile specifice sunt: ε = (σ υσ ) / E şi ε = (σ υσ ) / E; (8..a) - tensiunile normale sunt: E E ( ), ( ). (8..b) Se consideră o secţiune a plăcii în planul O, ca în figura 8. şi se au în vedere punctele A şi P, înainte ca placa să se deformee (punctul P se află la distanţa faţă de suprafaţa mediană a plăcii). După deformarea plăcii punctele Figura 8. ajung în A, respectiv P. Deplasarea u a punctului P este u -θ, în care θ = d/d, este panta tangentei dusă în punctul A la suprafaţa deformată, adică u - d/d. (8.5.a) Procedând asemănător şi în planul O, se obţine v - d/d. (8.5.b) Se scriu succesiv: -deformaţiile specifice: ε = du / d = - d /d ; ε = dv / d = - d /d ; -tensiunile: E d d E d d,. (8.6) d d d d Momentele încovoietoare se calculeaă cu relaţiile (8.) corespunătoare: 00

E d d E d d M d d, d d ( ) d d în care se noteaă rigiditatea la încovoiere a plăcii: D = E / [(-υ )], (8.7) forma finală a epresiilor celor două momente încovoietoare, în funcţie de deplasări fiind: d d d d M D, M D. (8.8) d d d d Starea de ecilibru de membrană. Pentru numeroase probleme inginereşti se pot accepta următoarele ipotee simplificatoare: - tensiunile σ, σ, τ = τ sunt constante pe grosimea plăcii; - tensiunile τ şi τ sunt nule (sau neglijabile). În acest ca particular sunt trei eforturi necunoscute: N, N şi N =N, ca în figura 8., pentru care se pot scrie doar trei ecuaţii de ecilibru, pentru forţe (pe direcţia normalei la suprafaţa mediană şi pe două direcţii din planul tangent), ecuaţiile de momente fiind identic satisfăcute. Starea de solicitare a unei plăci curbe, caracteriată numai prin eforturile N, N şi N =N, se numeşte stare de ecilibru de membrană. Plăcile curbe aflate într-o astfel Figura 8. de stare de solicitare sunt, în general, static determinate, deoarece numărul eforturilor este egal cu cel al ecuaţiilor de ecilibru care se pot scrie, adică, eforturile pot fi determinate doar din ecuaţiile de ecilibru, condiţii de deformare a plăcii ne fiind necesare. Observaţii:. Starea de solicitare de membrană într-o placă curbă nu se poate realia pentru orice condiţii de încărcare şi reemare. De eemplu, pentru o sarcină concentrată, cel puţin în ona din vecinătatea punctului de aplicaţie, trebuie să se ţină seama de efectele de încovoiere, deoarece ele nu pot fi neglijate.. Reemarea plăcii trebuie să se facă astfel încât reacţiunile să acţionee în planul tangent la suprafaţa mediană. În general această condiţie este greu de îndeplinit din caua deformaţiilor plăcii sau din caua 0

deplasărilor reaemului. Prin urmare, foarte frecvent în onele de reemare apar solicitări de încovoiere locale, valorile lor scăând foarte repede la distanţe relativ mici de reaem. 8.. Metodologia generală de analiă a plăcilor subţiri elastice Pentru a stabili ecuaţiile diferenţiale ale plăcilor (curbe sau plane) de regulă, primele trei etape metodologice sunt aceleaşi cu cele care s-au preentat în 5., intitulat Sistemul de ecuaţii al teoriei elasticităţii şi anume:. Se scriu ecuaţiile de ecilibru pentru elementul de placă considerat, sub acţiunea eforturilor (v. fig. 8..b) şi a unei sarcini aplicată în centrul elementului, acesta repreentând aspectul mecanic al problemei. Pentru aceasta trebuie să se facă ipotee asupra tensiunilor care se au în vedere şi a eforturilor corespunătoare.. Se scriu relaţiile între deplasări şi deformaţii specifice, denumite şi relaţii de compatibilitate geometrică, care repreentă aspectul geometric al problemei. Aceasta este, de regulă, etapa cea mai dificilă a demersului. Pentru scrierea acestor relaţii se consideră modul în care se deformeaă placa, se aleg componentele deplasărilor care urmeaă să se considere în calcul şi care sunt deformaţiile specifice pe care le produc.. Se scriu relaţiile dintre tensiuni şi deformaţiile specifice (lege lui Hooke), ceea ce repreintă aspectul fiic al problemei.. Se fac diverse operaţii de calcul asupra ecuaţiilor obţinute, cu scopul de a le aduce la forme mai simple, de eemplu: se neglijeaă unii termeni, se fac înlocuiri ale unor epresii în altele, cu scopul eliminării unora dintre necunoscute etc. În final se ajunge la una sau mai multe ecuaţii diferenţiale în care, cel mai frecvent, necunoscutele sunt componente ale deplasărilor unui punct al suprafeţei mediane a plăcii, adică ecuaţiile obţinute sunt scrise în funcţie de deplasări şi pot fi omogene sau neomogene, lineare sau nelineare, cu sau fără derivate parţiale. 5. Se integreaă ecuaţia diferenţială (sau sistemul) şi se determină o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (dacă este caul). Soluţiile pot fi încise, pentru probleme mai simple, sau pot fi de forma unor devoltări în serie, cu un număr oarecare de 0

termeni, pentru probleme mai complicate, ca în care preciia soluţiei depinde de numărul termenilor luaţi în calcul. Metodele de calcul folosite pentru integrarea ecuaţiilor plăcilor sunt de o mare diverse: analitice, cu funcţii de variabile complee, numerice etc. Soluţiile găsite conţin un număr de constante de integrare, pentru aflarea cărora se pot utilia alte metode de calcul: a colocaţiei, a celor mai mici pătrate etc. 6. Pentru calculul unei plăci date trebuie scrise condiţiile la limită şi de reemare, pentru determinarea constantelor de integrare, ale căror valori se înlocuiesc în soluţia ecuaţiei. 7. Relaţiile de calcul obţinute permit determinarea valorilor deplasărilor şi tensiunilor în punctele de interes ale plăcii. În numeroase situaţii starea de tensiuni din placă este spaţială, ceea ce implică utiliarea unei teorii de stare limită, pentru a verifica dacă placa reistă în bune condiţii. Ciar pentru probleme relativ simple volumul calculelor este considerabil, motiv pentru care, în preent, plăcile şi structurile din plăci se calculeaă cu metode şi programe adecvate, pe calculator. 8.. Plăci curbe subţiri de rotaţie, în stare de solicitare şi de ecilibru de membrană Plăcile curbe de rotaţie se definesc prin suprafeţe mediane generate prin rotirea unei curbe plane, C, denumită meridian, în jurul unei drepte, Δ, din planul ei, care este aa plăcii, ca în figura 8.5. Figura 8.5 Un punct A de pe curbă descrie un cerc de raă r, denumit cerc paralel. Fie raa de curbură, ρ = O A, în punctul A. A doua secţiune principală este perpendiculară pe prima şi conţine normala din 0

punctul A. Raa ei de curbură se obţine prin aplicarea teoremei lui Meusnier şi are valoarea O A = ρ = r sin υ. Ca o consecinţă a simetriei, poiţia unui punct pe suprafaţa mediană a plăcii este foarte simplu de definit prin două ungiuri (fig. 8.6.a): - υ ungiul dintre aa de rotaţie şi normala la suprafaţă; - θ ungiul dintre un plan meridian oarecare şi planul meridian de referinţă, de eemplu, cel care trece prin punctul A. Pentru a determina eforturile din placa curbă considerată, se defineşte un patrulater curbiliniu, infinit mic ABCD, ca în figura 8.6.a, cu laturile: AD = BC = ρ dυ, AB = r dθ şi CD = [r + (dr/dυ) dυ]. Pe suprafeţele laterale ale elementului acţioneaă eforturile de membrană repreentate în figura 8.6.b. De asemenea, s-a considerat şi o sarcină distribuită, p, cu componentele p, p şi p. Eforturile se consideră poitive când: a b Figura 8.6 - N θ şi N υ - produc solicitări de întindere; - T θυ şi T υθ - au sensurile inverse acelora de creştere a ungiurilor θ şi υ. Pentru forţele care acţioneaă asupra elementului de placă din figura 8.6.b se scriu trei ecuaţii de ecilibru.. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la cercul paralel, O, (fig. 8.6.b şi 8.7) duce la o relaţie stufoasă, care se simplifică foarte mult după ce se fac următoarele operaţii: - sin dε/ dε/ şi cos dε/ ; - se neglijeaă infiniţii mici de ordin superior; 0

- se are în vedere că dε = cos υ - ecuaţia se împarte cu dθ.dυ. Figura 8.7 Forma finală a ecuaţiei este: N r T T r T cos r p 0. (8.9). Ecuaţia de proiecţie pe direcţia tangentei la meridian, O, (fig. 8.6.b şi 8.8) se obţine procedând asemănător ca pentru ecuaţia (8.9) şi reultă: r N T N r N cos r p 0. (8.0) Figura 8.8 Figura 8.9. Ecuaţia de proiecţie pe direcţia normalei la suprafaţa mediană, O, (fig. 8.6.b şi 8.9) se obţine, procedând asemănător ca pentru ecuaţiile (8.9) şi (8.0) şi reultă: N N p, (8..a) 05

sau, prin împărţirea cu grosimea (având în vedere că tensiunile sunt constante pe grosime), se obţine ecuaţia lui Laplace p. (8..b) Observaţie: În figurile 8.7, 8.8 şi 8.9 s-au repreentat numai eforturile care intervin în ecuaţia la care se referă fiecare figură. Relaţiile (8.9), (8.0) şi (8.) constituie un sistem de trei ecuaţii având ca necunoscute funcţiile N θ, N υ şi T θυ =T υθ eforturile de membrană din placă. Se observă că relaţia (8.) nu este diferenţială, ceea ce permite eliminarea unuia dintre eforturile N θ sau N υ şi astfel sistemul de ecuaţii rămas are două ecuaţii cu două necunoscute. Integrarea acestui sistem de ecuaţii este, în general, dificilă. În cauri particulare, ca, de eemplu, pentru plăci cu încărcare simetrică faţă de aa de rotaţie, ecuaţiile se simplifică şi integrarea lor devine posibilă. 8.5. Plăci cilindrice subţiri Se consideră o placă cilindrică (cu secţiune inelară), cu raa, r, a suprafeţei mediane, grosimea,, constantă, încărcată cu o sarcină, p, simetric distribuită în raport cu aa cilindrului (o presiune). În placă s-a definit un element infinit mic, ca în figura 8.0, pentru care se vor scrie ecuaţiile de ecilibru. Figura 8.0 Datorită simetriei aiale, eforturile din placă sunt: - forţele tăietore de membrană T υ =T υ şi momentele de răsucire M υ =M υ sunt nule; 06

- forţele normale N υ şi momentele încovoietoare M υ sunt constante de-a lungul circumferinţei. În aceste condiţii se pot scrie numai trei ecuaţii de ecilibru pentru eforturile care acţioneaă asupra plăcii: - proiecţia forţelor după direcţia dn r d d 0 ; (8.) d - proiecţia forţelor după direcţia dt r d d N d d pr d d 0 ; (8.) d - suma momentelor după direcţia dm r d d T r d d0. (8.) d Din relaţia (8.) reultă că efortul aial N este constant. Se va considera că N = 0. În caul în care eistă efort aial, deformaţiile şi tensiunile produse de acesta se pot calcula foarte simplu şi se însumeaă cu celelalte. Ecuaţiile (8.) şi (8.) se simplifică şi devin dt dm N p şi T 0, (8.5) d r d pentru integrarea cărora trebuie avut în vedere şi modul de deformare al plăcii. Deformaţiile specifice sunt (fig. 8.0): du (r )d r d şi. (8.6) d r d r Ca urmare a simetriei aiale, deplasarea v în direcţie circumferenţială este nulă. Cu legea lui Hooke se determină tensiunile E E du ( ) ; ( ) ( ) d r (8.7) E E du ( ), ( ) ( ) r d care permit calculul eforturilor, cu relaţiile (8.), având în vedere că tensiunile sunt constante pe grosimea,, a plăcii: 07

E du E du N ; N. (8.8) ( ) d r ( ) r d Aplicând condiţia N = 0 primei relaţii (8.8), se obţine du/d = ν /r, care, înlocuit în a doua dintre relaţiile (8.8) duce la reultatul N υ = - E / r. (8.9) Din relaţiile (8.5) se elimină forţa tăietore T şi se obţine ecuaţia d M E p. (8.0) d r Datorită simetriei aiale, deplasarea este constantă în direcţie circumferenţială, adică d/dυ=0 şi relaţiile (8.8) devin: d d M D, M D M. (8.) d d În aceste condiţii ecuaţia (8.0) devine d M E D p, (8.) d r care capătă o formă mai simplă dacă se introduce notaţia E ( ) (8.) r D r şi anume d p, (8.) d D în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii definită prin relaţia (8.7). Soluţia generală a ecuaţiei (8.) este =e β (C cosβ+c sinβ)+e -β (C cosβ+c sinβ)+f(), (8.5) în care f () este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene (8.5), iar C,,C sunt constante de integrare, care se determină din condiţiile de la cele două capete ale cilindrului (pentru = 0 şi = l), considerat de lungime l. Aceste condiţii pot avea în vedere: - deplasările: săgeata radială şi rotirea normalei d/d; - eforturile: momentele încovoietoare, M υ şi M υ, care se calculeaă cu relaţiile (8.); forţa tăietore, care se determină din cea de a doua relaţie (8.5) şi anume T =dm /d şi forţa circumferenţială N υ = -E/r din relaţia (8.9). 08

8.6. Plăci plane subţiri Se consideră o placă plană, dreptungiulară, de grosime constantă,, solicitată cu sarcini transversale şi oriontale, raportată la sistemule de coordonate O, ca în figura 8.. Mare parte din procedurile şi relaţiile de calcul preentate rămân valabile, având în vedere Figura 8. 09 că o placă plană este un ca particular al unei plăci curbe: are curburile ero (raele de curbură infinite). Se reiau relaţiile (8.6) ale tensiunilor scrise în funcţie de deplasări, care se completeaă cu tensiunile tangenţiale, având în v u E vedere (8.5) şi ;. ( ) Forma completă a relaţiilor (8.6) este: E, E, (8.6) E Figura 8.. Din observarea relaţiilor (8.6) se constată că tensiunile σ, σ şi τ variaă linear pe grosimea plăcii, aşa cum se vede în figura 8.. În caul general de solicitare a plăcii mai eistă şi tensiuni tangenţiale τ şi τ, paralele cu direcţia O, normală la suprafaţa mediană, ca în figura 8..a. Pentru determinarea acestor tensiuni se folosesc relaţiile de ecilibru Cauc (5.), fără sarcini masice, din care se obţine: E,. (8.7) E Ecuaţiile (8.7) se integreaă în raport cu şi reultă:

0 ) (, E, ) (, E, (8.8) în care υ (,) şi υ (,) sunt funcţii arbitrare, care se determină din condiţia ca tensiunile tangenţiale τ şi τ să aibă valori nule pe suprafeţele plăcii, adică pentru = ± / şi se obţine:. ) 8( E ) (,, ) 8( E ) (, (8.9) Se înlocuiesc epresiile (8.9) în (8.8) 8 E, 8 E (8.0) şi reultă că tensiunile τ şi τ variaă parabolic pe grosimea plăcii, ca în figura 8. (la fel ca în caul barelor drepte). Se detaşeaă din placă un element paralelipipedic, cu laturile d, d şi, ca în figura 8., încărcat cu o sarcină uniform distribuită p. Se are în vedere, pe feţele laterale, o fâşie de înălţime d, pe care acţioneaă tensiunile tangenţiale τ şi τ, după direcţia O (fig. 8.). Celelalte tensiuni nu se menţioneaă, nefiind implicate în demersul care urmeaă. Ecuaţia de ecilibru a forţelor, în direcţia O, care acţioneaă asupra elementului considerat (după efectuarea reducerilor şi simplificărilor) Figura 8. Figura 8.

este: p d. (8.) Se introduc relaţiile (8.0) în ecuaţia (8.) şi se are în vedere că integrarea se face numai în raport cu. După efectuarea calculelor reultă succesiv: p d 8 E şi (8..a) D p, în care D este rigiditatea la încovoiere a plăcii (8.7). Ecuaţia (8.) este cunoscută cu numele ecuaţia Sopie Germain a plăcilor plane. Ea are o formă mai simplă dacă se foloseşte operatorul lui Laplace şi ecuaţia devine D p. (8..b) Epresiile eforturilor din placă, în funcţie de deplasarea, se obţin înlocuind valorile tensiunilor (8.6) şi (8.0) în relaţiile (8.); calculele sunt simple, deoarece integralele se calculeaă în raport cu şi deci: În calculul plăcilor sunt adeseori utile relaţiile diferenţiale dintre eforturi şi sarcini. Pentru a stabili astfel de relaţii, pentru plăcile plane s-a considerat un element paralelipipedic, cu laturile d, d şi, ca în figura 8.5, încărcat cu o sarcină uniform distribuită p, (8.) D T ; D T. ; )D ( M ; D M ; D M

pentru care se scriu ecuaţiile de ecilibru (momentele s-au figurat cu săgeţi duble), care, după reduceri şi simplificări, duc la relaţiile: Figura 8.5 - ecuaţia de proiecţie a forţelor pe direcţia O T T p ; (8.) - ecuaţia de momente în raport cu O M M T ; (8.5) - ecuaţia de momente în raport cu O M M T. (8.6) Dacă se elimină forţele tăietoare din relaţiile (8.), (8.5) şi (8.6) se obţine: M M M p. (8.7) Deoarece soluţia generală a ecuaţiei diferenţiale (8.) este foarte dificil de obţinut, s-au elaborat metode de integrare a ecuaţiei pentru diverse cauri particulare, care au importanţă inginerească, cel mai important fiind caul plăcilor dreptungiulare. 8.7. Plăci plane subţiri dreptungiulare Soluţia ecuaţiei (8.), este o funcţie (,), care trebuie să verifice ecuaţia =p/d şi condiţiile la limită. Pentru plăcile dreptungiulare, cea mai utiliată metodă de calcul este cea a seriilor

Fourier duble, când sarcina variaă după ambele variabile şi şi a seriilor Fourier simple, când sarcina este funcţie doar de o variabilă. Se presupune că placa are dimensiunile a şi b. Sarcina p(,) se devoltă în serie Fourier sub forma p (, ) a sin sin, (8.8) m n mn în care s-au folosit notaţiile α m = mπ / a şi β n = nπ / b. Se presupune că deplasarea (,) poate fi scrisă sub forma: (, ) A sin sin, (8.9) m n A mn fiind constante de integrare. Dacă placa este simplu reemată pe cele patru laturi ale sale, se verifică faptul că soluţia (8.9) satisface condiţiile: - pentru = 0 şi = a, = 0 şi σ = M = / d = 0, - pentru = 0 şi = b, = 0 şi σ = M = / d = 0. Soluţia căutată (8.9) trebuie să satisfacă ecuaţia = p/d a plăcii, deci înlocuind funcţia (,) se obţine: ( m mn n)amn sin msin n a mn sin msin n m n D m n Din identificarea coeficienţilor termenilor sin α m sin β n reultă: mn Amn, (8.0) D( m n ) iar deplasarea este: mn (, ) sin m sin n. (8.) m n D( m n ) Eemplu. Pentru o placă dreptungiulară, simplu reemată pe toate laturile, încărcată cu sarcina uniform distribuită p, se obţine a mn =6p/π mn şi 6p sin msin n (, ). (8.) D m n,,5,.. mn( m n ) Săgeata maimă este la mijlocul plăcii ( = a/, = b/) şi are valoarea: (m n) / 6p ( ) ma. (8.) D mn( ) mn m n,,5,.. m m m n n n

8.8. Plăci plane subţiri circulare O altă categorie de plăci subţiri care preintă interes practic este cel al plăcilor circulare, studierea acestora fiind mai convenabilă în coordonate polare, ceea ce implică următoarele transformări: - operatorul lui Laplace devine ; (8.) r r r r - ecuaţia (8.) va avea forma: p r r r r r r r r. (8.5) D Pentru determinarea relaţiilor de legătură dintre eforturile M, M, şi M, definite în raport cu coordonatele carteiene O şi M r, M θ, M rθ, definite în raport cu coordonatele polare Orθ, se scriu Figura 8.6 ecuaţiile de ecilibru pentru un element de placă cu forma unei prisme triungiulare, ca în figura 8.6 şi se obţin următoarele relaţii: M r = M cos θ + M sin θ - M sinθ cosθ; M θ = M sin θ + M cos θ + M sinθ cosθ; (8.6) M rθ = (M - M )sinθ cosθ + M (cos θ - sin θ). Prin calcule simple, utiliând relaţiile obţinute anterior, se obţin epresiile eforturilor în funcţie de deplasarea : M D ; r r r r r M D ; r r r M r ( )D. r r (8.7)

T D r r r r r r 5 ; (8.8) T D. r r r r r Dacă încărcarea plăcii este aial simetrică, toate derivatele parţiale în raport cu variabila θ sunt nule şi relaţiile de mai sus se simplifică iar ecuaţia cu derivate parţiale (8.5) devine ecuaţia ordinară d d d d p, dr r dr dr r dr D. (8.9) d d d d p sau dr r dr r dr r dr D Ecuaţia (8.9) este lineară, de tip Euler, neomogenă, a cărei soluţie este = C + C r + C ln r + C r ln r + *, (8.50) în care * este o soluţie particulară a ecuaţiei neomogene. Pentru caurile în care sarcina p este un polinom în r, de forma p n A r k k, (8.5) D k 0 se încearcă soluţii particulare de tipul Σb i r i şi se obţine soluţia particulară * n Ak k r. (8.5) k 0(k ) (k ) De asemenea şi epresiile (8.7) şi (8.8) ale eforturilor se simplifică şi devin d M D r dr d ;M r dr d d D ; r dr dr M r 0; (8.5) d d d T D ; T 0. r dr dr r dr Condiţiile la limită pentru plăcile circulare (inelare), încărcate simetric, se scriu astfel pentru: - margine încastrată: = 0 şi d/dr = 0; - margine reemată: = 0 şi M r = 0; - margine liberă: M r = 0 şi T r = 0;

- pentru plăcile circulare pline (fără orificii centrale), pentru r = 0 (în centrul plăcii), deplasarea şi momentul încovoietor M r trebuie să aibă valori finite, ceea ce implică absenţa din epresiile respective a termenilor care conţin log r şi duce la C = 0 şi C = 0. Eemplu. Pentru o placă circulară, încastrată pe contur, încărcată cu sarcină uniform distribuită p, se scriu succesiv relaţiile: - deplasarea: = C + C r + C ln r + C r ln r + pr /6D; - rotirea: d/dr = C r + C /r + C (r ln r +r) + pr /6D. Condiţia ca în centrul plăcii (pentru r =0) şi M r să aibă valori finite duce la reultatele C = C =0, iar relaţiile anterioare devin: - deplasarea: = C + C r + pr /6D; - rotirea: d/dr = C r + pr /6D. Condiţiile pe conturul eterior, încastrat, al plăcii sunt: = d/dr = 0, pentru r = R şi se obţine: C + C R + pr /6D = 0; C R + pr /6D = 0 din care reultă: C = pr /6D ; C = - pr /D. Înlocuind aceste valori în epresiile anterioare, se obţin relaţiile de calcul pentru placa considerată: pr pr pr p(r r ) d p(r r ) ; ; 6D D 6D 6D dr D pr r pr r pr M ( ) ( ) ; M ( ) ( ) ; T. r r 6 R 6 R 8.9. Structuri din plăci Numeroase structuri mecanice sunt realiate din table care se asambleaă, de regulă, prin sudură. Avantajele practice ale acestor tipuri de structuri decurg din faptul că pot avea forme oricât de complicate, sunt relativ uşoare, iar tenologiile de fabricaţie sunt ieftine şi foarte bine puse la punct, cu un înalt grad de mecaniare şi automatiare. Calculul acestor ecipamente, maşini, instalaţii, veicule etc trebuie făcut pe modele de structuri din plăci. Având în vedere compleitatea formelor geometrice ale acestor structuri şi eigenţele calculului care poate fi de reistenţă, rigiditate, stabilitate, dinamic 6

etc se impune utiliarea unor algoritmi, metode şi programe de calcul generale şi utiliarea calculatoarelor. Deci calculul se face fie, în caul general, cu metode numerice generale, ca metoda elementelor finite, metoda diferenţelor finite sau metoda elementelor de frontieră (v. cap 9), fie, pentru cauri particulare, ca cel al structurilor aial simetrice (de rotaţie), cu algoritmi şi programe 7 adecvate. Un eemplu ilustrativ, Figura 8.7 este preentat în figura (8.7), pentru un utilaj siderurgic, care a fost modelat şi calculat cu metoda elementelor finite. Programele cu elemente finite oferă utiliatorilor eci de tipuri de elemente finite pentru plăci, pentru a se putea elabora, cu ele, modele de calcul care să satisfacă cele mai diverse eigenţe inginereşti. Pentru o categorie mai restrânsă de structuri din plăci şi anume a celor de rotaţie (aial simetrice), s-au elaborat algoritmi care descompun structura în componente simple, pentru care se cunosc relaţiile de calcul, ca, de eemplu, plăci plane circulare, plăci cilindrice, conice, sferice, toroidale etc. Apoi, pe contururile de asamblare ale componentelor, care sunt nişte cercuri, se scriu condiţiile de egalitate ale deplasărilor şi de ecilibru ale Figura 8.8 eforturilor, care duc la obţinerea unui sistem de ecuaţii din care se determină constantele de integrare

din soluţiile componentelor structurii. Odată cunoscute valorile constantelor de integrare, în fiecare componentă a structurii se pot calcula, în oricare punct al său, deplasările, tensiunile, eforturile etc. În figura 8.8 se preintă, ca eemplu, un buncăr care a fost realiat din 9 componente şi anume: - plăci inelare (componentele, 5, 6, 9); - plăci cilindrice (componentele,, 8); - plăci conice (componentele, 7). Numărul circumferinţelor de legătură (de asamblare) este 6. Fiecare din cele 9 componente ale structurii are o soluţie care conţine constante de integrare, deci în total *9=6 necunoscute. Pentru fiecare din cele 6 circumferinţe se scriu următoarele ecuaţii: - condiţii de egalitate (continuitate) a deplasărilor radiale, ale componentelor conectate pe conturul respectiv; - condiţii de egalitate a rotirilor normalelor la suprafeţele mediane ale componentelor conectate pe conturul respectiv; - condiţia de ecilibru (suma să fie ero) a momentelor aiale, pentru componentele conectate pe conturul respectiv; - condiţia de ecilibru (suma să fie ero) a forţelor pe direcţie radială, pentru componentele conectate pe conturul respectiv. Bibliografie. Constantinescu, I.N., Tacu, T., Calcule de reistenţă pentru utilaje tenologice, Structuri iotrope, aial simetrice, Editura tenică, Bucureşti, 979.. Constantinescu, I.N., Picu, C., Hadăr, A., Georgiu, H., Reistenţa materialelor pentru ingineria mecanică, Editura BREN, Bucureşti, 006.. Timosenko, S., Woinosk-Krieger, S., Teoria plăcilor plane şi curbe, Editura tenică, Bucureşti, 968.. Voinea, R., Voiculescu, D., Simion, F.P., Introducere în mecanica solidului cu aplicaţii în inginerie, Editura Academiei, Bucureşti, 989. 8