6. Πολυκριτηριακός Προγραμματισμός Βασικές αρχές Παράδειγμα Μέθοδοι με έκφραση προτίμησης πριν την επίλυση Συντελεστές βαρύτητας Προγραμματισμός στόχων Μέθοδοι με έκφραση προτίμησης μετά την επίλυση Παραγωγή αντιπροσωπευτικών λύσεων Μέθοδος σταθμισμένου αθροίσματος Μέθοδος περιορισμών Παραγωγή συνόλου των ικανών λύσεων Μέθοδοι με έκφραση προτίμησης κατά την επίλυση Αλληλεπιδραστική μέθοδος Tchebyscheff
Υποστήριξη αποφάσεων με πολλαπλά κριτήρια Διακριτό σύνολο επιλογών ΥΠΟΣΤΗΡΙΞΗ ΑΠΟΦΑΣΕΩΝ ΜΕ ΠΟΛΛΑΠΛΑ ΚΡΙΤΗΡΙΑ Συνεχές σύνολο επιλογών ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ (Electre, Promethee, AHP κλπ) ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ Μη-γραμμικές συναρτήσεις Γραμμικές συναρτήσεις ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΜΗ-ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ ΠΟΛΥΚΡΙΤΗΡΙΑΚΟΣ ΓΡΑΜΜΙΚΟΣ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑΤΙΣΜΟΣ
Μαθηματικός προγραμματισμός Ìáèçìáôéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÌÐ) Eðßëõóç ðñïâëçìüôùí âýëôéóôçò êáôáíïìþò ðåñéïñéóìýíùí ðüñùí óå áíáôáãùíéóôéêýò äñáóôçñéüôçôåò ìå âüóç ìßá áíôéêåéìåíéêþ óõíüñôçóç Áñéóôç ëýóç (optimal solution) Ðïëõêñéôçñéáêüò Ìáèçìáôéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÐÊÌÐ) Eðßëõóç ðñïâëçìüôùí âýëôéóôçò êáôáíïìþò ðåñéïñéóìýíùí ðüñùí óå áíáôáãùíéóôéêýò äñáóôçñéüôçôåò ìå âüóç ðåñéóóüôåñåò áðü ìßá áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò (äéáíõóìáôéêþ âåëôéóôïðïßçóç) IêáíÝò Þ áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò (non-dominated solutions, efficient solutions).
Εφαρμογές Åíåñãåéáêüò ó åäéáóìüò (energy planning) Ðñïãñáììáôéóìüò åðýêôáóç óõóôþìáôïò çëåêôñïðáñáãùãþò (power generation expansion planning) Äéá åßñçóç õäüôéíùí ðüñùí (Water management) Äéá åßñçóç äáóéêþí ðüñùí (Forest management) Êáôáìåñéóìüò äéáöçìéóôéêþò äáðüíçò (media selection) ÅðïëïãÞ áñôïöõëáêßïõ (portfolio selection) Ðñüâëçìá äßáéôáò-äéáôñïöþò (Diet problem) Äéá åßñéóç áâåâáéüôçôáò óå ðñïâëþìáôá ÌÐ (uncertainty)
Χαρακτηριστικά Πολυκριτηριακού Γραμμικού Προγραμματισμού (ΠΚΓΠ) Ãñáììéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÃÐ) (Linear Programming) Ðïëõêñéôçñéáêüò Ãñáììéêüò Ðñïãñáììáôéóìüò (ÐÊÃÐ) (Multi-Objective Linear Programming) Ìßá áíôéêåéìåíéêþ óõíüñôçóç ÌïíïäéÜóôáôç áñéóôïðïßçóç Áñéóôç ëýóç (optimal solution) ÐïëëÝò áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò (êñéôþñéá) ÄéáíõóìáôéêÞ áñéóôïðïßçóç ÉêáíÝò Þ áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò (non dominated, efficient, Pareto optimal solutions) ÁíáæÞôçóç ôçò ó åôéêü âýëôéóôçò ëýóçò áðü ôï óýíïëï ôùí éêáíþí ëýóåùí
Ορισμός προβλήματος ΠΚΓΠ Ôï ãåíéêü ðñüâëçìá ÐKÃÐ ïñßæåôáé ùò åîþò: max { c 1 x = z 1, \ x S } max { c 2 x = z 2, \ x S }... max { c p x = z p, \ x S } üðïõ S = { x R n \ A x <=,=,>= b, x >= 0, b R m } n, m: ï áñéèìüò ôùí ìåôáâëçôþí êáé ðåñéïñéóìþí áíôßóôïé á p: ï áñéèìüò ôùí áíôéêåéìåíéêþí óõíáñôþóåùí c i : ôï äéüíõóìá 1 x n ôùí óõíôåëåóôþí ôçò i áíôéêåéìåíéêþò óõíüñôçóçò x: ôï äéüíõóìá n x 1 ôùí ìåôáâëçôþí áðüöáóçò z i : ç ôéìþ ôçò i áíôéêåéìåíéêþò óõíüñôçóçò S: ôï åöéêôü ùñßï Á: ï ðßíáêáò m x n ôùí ôå íïëïãéêþí óõíôåëåóôþí b: ôï äéüíõóìá m x 1 ôùí óôáèåñþí üñùí
Ικανή λύση Åóôù Ýíá ðñüâëçìá ÐÌÐ ìå p áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò êáé S ôï åöéêôü ùñßï ôùí ðåñéïñéóìþí: max {z 1 (x), z 2 (x),..., z p (x) \ x S} Ìßá ëýóç x ôïõ ðáñáðüíù ðñïâëþìáôïò ëýãåôáé éêáíþ (Þ êáôü Pareto Üñéóôç) üôáí äåí õðüñ åé Üëëç ëýóç x ôýôïéáþóôå: z i (x ) >= z i (x) i=1...p êáé z i (x ) > z i (x) ãéá ôïõëü éóôïí Ýíá i. ÉêáíÞ ëýóç: êüèå ëýóç ãéá ôçí ïðïßá ç âåëôßùóç ìéáò áíôéêåéìåíéêþò óõíüñôçóçò óõíåðüãåôáé ôç åéñïôýñåõóç ôïõëü éóôïí ìßáò Üëëçò (efficient solution, non dominated solution).
Aπεικόνιση στο χώρο των κριτηρίων max (f1,f2) = max(x2, 3X1 X2) s.t. -1.5 X1 + X2 1-0.5 X1 + X2 2 0.5 X1 + 1.5 X2 5.5 1.5 X1 + 0.5 X2 6.5 X1 - X2 3 (α) Χώρος μεταβλητών απόφασης (β) Χώρος αντικειμενικών συναρτήσεων 4 3 B C f 1 D 12 10 8 F E D IP x 2 2 f 2 f 2 6 4 C 1 A E 2 O B 0 O 0 1 2 3 4 5 x 1 F 0-2 0 1A 2 3 4 f 1
Aλλες βασικές έννοιες Ιδανικό σημείο: το μη εφικτό σημείο που προσδιορίζεται από το βέλτιστο όλων των αντικειμενικών συναρτήσεων (IP) Ικανό σύνορο: το σύνολο των ικανών λύσεων (C-D-E) Ικανή ακραία λύση: Η ικανή λύση που αποτελεί κορυφή του εφικτού χωρίου (C, D και Ε) Πίνακας τιμών (payoff table): Ο πίνακας με τις τιμές που προκύπτουν από την ανεξάρτητη αριστοποίηση κάθε αντικειμενικής συνάρτησης Στη διαγώνιο διαβάζουμε f1 το ιδανικό σημείο max f1 3 f2 3 max f2 1 11
Παράδειγμα Πρόβλημα ηλεκτροπαραγωγής Κριτήρια Κόστος Εκπομπές CO 2 Ενεργειακές μορφές: λιγνίτης, πετρέλαιο, ΦΑ, ανανεώσιμες Ζήτηση: φορτίο βάσης, ενδιάμεσο, αιχμής
Μοντέλο ΠΚΓΠ! LIGN, OIL, NG, REN in GWh, Cost in thousand MIN 30 LIGN + 75 OIL + 60 NG + 90 REN! CO2 in kt MIN 1.44 LIGN + 0.72 OIL + 0.45 NG ST LIGN1 + LIGN2 - LIGN = 0 OIL2 + OIL3 - OIL = 0 NG1 + NG2 + NG3 - NG = 0 REN1 + REN3 - REN = 0! demand=58000 GWh = 58000/0.9=64000 production! base load 60%, medium load 30%, peak load 10% LIGN1 + NG1 + REN1 >= 38400 LIGN2 + NG2 + OIL2 >= 19200 OIL3 + NG3 + REN3 >= 6400 LIGN <= 31000 OIL <= 15000 NG <= 22000 REN <= 20000
Ικανό σύνορο - Γράφημα 65000 60000 55000 CO2 (kt) 50000 45000 40000 35000 30000 3000 3500 4000 4500 Kόστος (M )
Ικανές λύσεις Payoff table Κόστος CO2 min κόστος 3075 62460 min CO2 4455 30780 Ικανές ακραίες λύσεις Kόστος CO2 1 3075 62460 2 3144 59148 3 3171 57852 4 3186 57132 5 3240 54540 6 3780 41580 7 3906 39564 8 3942 38988 9 4068 36972 10 4455 30780
Χαρακτηριστικά και ταξινόμηση μεθόδων ΠΚΓΠ Η επίλυση προβλημάτων ΠΚΓΠ έχει δύο φάσεις: Εύρεση ικανών λύσεων Επιλογή από τον αποφασίζοντα της προτιμότερης από τις ικανές λύσεις (σχετικά βέλτιστη λύση). Ταξινόμηση μεθόδων ΠΚΓΠ (Hwang and Masud, 1979) Εκφραση προτίμησης πρίν τη διαδικασία εύρεσης των ικανών λύσεων (συνάρτηση χρησιμότητας - utility functions, προγραμματισμός στόχων - goal programming) Εκφραση προτίμησης μετά τη διαδικασία εύρεσης των ικανών λύσεων (μέθοδοι παραγωγής, generation methods) Εκφραση προτίμησης κατά τη διάρκεια της διαδικασία εύρεσης των ικανών λύσεων (αλληλεπιδραστικές μέθοδοι, interactive methods)
Εκφραση προτίμησης πριν τη διαδικασία επίλυσης Συντελεστές βαρύτητας στις αντικειμενικές συναρτήσεις (weighted sum) H πιο απλή μέθοδος Προγραμματισμός στόχων (Goal Programming) H περισσότερο διαδεδομένη μέθοδος ΠΚΓΠ (White, 1990)
Μέθοδος συντελεστών βαρύτητας Επίλυση του προβλήματος ΓΠ max Σ λ i c i (x) x S, λ i > 0 (1) Θεώρημα: H άριστη λύση του προβλήματος (1) είναι ικανή λύση για το αντίστοιχο πρόβλημα ΠΚΓΠ Μεταβάλλοντας τα λ i παίρνουμε διαφορετικές ικανές λύσεις Προσοχή: Οι αντικειμενικές συναρτήσεις πρέπει να έχουν την ίδια τάξη μεγέθους (scaling). Διαίρεση με την κατάλληλη δύναμη του 10 των συντελεστών των αντικειμενικών συναρτήσεων Η μέθοδος των συντελεστών βαρύτητας χρησιμοποιείται συνήθως ως κομμάτι άλλων μεθόδων
Προγραμματισμός στόχων Charnes-Cooper 1961, Lee 1972, Ignizio 1976 Οαποφασίζωνεισάγειτιμές-στόχους για τις αντικειμενικές συναρτήσεις (g i i=1..p) Προσδιορίζει συντελεστές βαρύτητας (προτεραιότητας) για κάθε στόχο (w i ) Εισαγωγή μεταβλητών απόκλισης από κάθε στόχο Ελαχιστοποίηση του σταθμισμένου αθροίσματος των μεταβλητών απόκλισης
Mεταβλητές απόκλισης Εξαρτώνται από τον τύπο του στόχου Παράδειγμα Η c 1 (x) τουλάχιστον g 1 : c 1 (x) + d 1- >= g 1 Η c 2 (x) το πολύ g 2 : c 2 (x) d 2+ <= g 2 Η c 3 (x) ίση με g 3 : c 3 (x) + d 3- -d 3+ = g 3 Η c 4 (x) μεταξύ [gl 4, gu 4 ]: c 4 (x) + d 4- >= gl 4 c 4 (x) - d + 4 <= gu 4 Αντικειμενική συνάρτηση min w 1 d 1- + w 2 d 2+ + w 3 d 3- + w 3 d 3+ + w 4 d 4- + w 4 d + 4
Προτεραιότητες Προγραμματισμός στόχων με προτεραιότητες (preemptive programming) Συντελεστές βαρύτητας με διαφορά στην τάξη μεγέθους Π.x. αν θέλουμε να ικανοποιηθεί πρώτα ο στόχος 1 μετά ο στόχος 2 κ.ο.κ w1 >> w2 (w1=1000, w2=1) Παρατήρηση: Η λύση του προβλήματος με τον προγραμματισμό στόχων δεν εγγυάται ότι θα είναι και ικανή λύση. Αυτό εξαρτάται από τους στόχους που έχουν τεθεί.
Προγραμματισμός στόχων στο παράδειγμα Στόχος: Κόστος 3500 Μ και εκπομπές CO 2 45000 kt Συντελεστές βαρύτητας κόστος 70%, CΟ 2 30% min 0.7 d 1+ +0.3 (100 d 2+ ) st 30 LIGN + 75 OIL + 60 NG + 90 REN + d 1- -d 1+ =3500000 1.44 LIGN + 0.72 OIL + 0.45 NG + d 2- -d 2+ =45000 (υπόλοιποι περιορισμοί) Σημείωση: Η απόκλιση των εκπομπών πολλαπλασιάζεται επί 100 για να έρθει στην ίδια τάξη μεγέθους με την απόκλιση του κόστους
Προγραμματισμός στόχων στο παράδειγμα 65000 60000 CO2 (kt) 55000 50000 45000 40000 Στόχος Σχετικά βέλτιστη λύση 35000 30000 3000 3500 4000 4500 Kόστος (M )
Παραγωγή αντιπροσωπευτικού υποσυνόλου ικανών λύσεων Μέθοδος σταθμισμένου αθροίσματος (weighting sum method) max Σ i λ i (c i x i ), x S i=1 p, λ i (0,1) Παράγει μόνο ικανές ακραίες λύσεις Ομογενοποίηση κλίμακας (scaling) Μέθοδος των περιορισμών (constraint method ή e-con method) max Σ j c 1j x 1j s.t. Σ j c 2j x 2j e 2 Σ j c pj x pj e p x S Παράγει και μη-ακραίες ικανές λύσεις Παράγει ικανές λύσεις μόνο όταν οι περιορισμοί των p-1 αντικειμενικών συναρτήσεων είναι ενεργοί-δεσμευτικοί
Μέθοδος σταθμισμένου αθροίσματος στο παράδειγμα Scaling: Διαίρεση της πρώτης αντ. συνάρτησης με 10 Παραγωγή 11 τυχαίων συνδυασμών (λ 1, λ 2 ) 0.000 1.000 0.196 0.425 0.539 0.487 0.888 0.389 0.674 0.295 0.801 1.000 0.000 0.804 0.575 0.461 0.513 0.112 0.611 0.326 0.705 0.199 Επίλυση 11 προβλημάτων ΓΠ Προκύπτουν 4 διαφορετικές ικανές λύσεις Για να προκύψουν περισσότερες λύσεις πρέπει να πυκνώσει το πλέγμα (περισσότεροι συνδυασμοί βαρών)
Ικανές λύσεις από τη μέθοδο του σταθμισμένου αθροίσματος παράδειγμα 65000 60000 55000 (συνδυασμοί: 2, 7 (συνδυασμός: 11) CO2 (kt) 50000 45000 40000 (συνδυασμός: 9) 35000 (συνδυασμοί: 1,3,4,5,6,8,10) 30000 3000 3500 4000 4500 Kόστος (M )
Μέθοδος περιορισμών στο παράδειγμα Χωρίζεται το εύρος της δεύτερης αντικειμενικής συνάρτησης όπως προκύπτει από τον πίνακα τιμών σε 10 ίσα διαστήματα με 11 σημεία πλέγματος (e i ). Επιλύονται 11 προβλήματα ΓΠ της μορφής MIN 30 LIGN + 75 OIL + 60 NG + 90 REN ST 1.44 LIGN + 0.72 OIL + 0.45 NG <= e i (υπόλοιποι περιορισμοί) Για περισσότερες από 2 αντικειμενικές συναρτήσεις δυσκολεύει
Μέθοδος περιορισμών στο παράδειγμα 65000 60000 55000 CO2 (kt) 50000 45000 40000 35000 30000 3000 3500 4000 4500 Kόστος (M )
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΜΕΘΟΔΩΝ ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΟΥ ΣΥΝΟΛΟΥ ΤΩΝ ΙΚΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ Οι μέθοδοι παραγωγής υπολογίζουν αρχικά το σύνολο των ικανών ακραίων λύσεων, δηλ. των κορυφών του πολυέδρου των ικανών λύσεων (ικανό πολύεδρο). Βασίζονται στην ιδιότητα του διασυνεδεμένου συνόλου των ικανών ακραίων λύσεων. Μερικές μέθοδοι παραγωγής προχωρούν και στον προσδιορισμό των εδρών του ικανού πολυέδρου ώστε να προκύψουν και οι μη-ακραίες ικανές λύσεις. Οι μέθοδοι παραγωγής διαφοροποιούνται κυρίως στα εξής: Στον αλγόριθμο επίλυσης των υποπροβλημάτων ΓΠ Στον τρόπο ελέγχου της ικανότητας των λύσεων Στον τρόπο δημιουργίας και ενημέρωσης της λίστας των ικανών λύσεων Στο αν υπολογίζουν και μη-ακραίες ικανές λύσεις Μέθοδος ADBASE (Steuer, 1975, 1995)
ÅÎÁÍÔËÇÔÉÊÇ ÁÍÁÆÇÔÇÓÇ ÁÐÏÔÅËÅÓÌÁÔÉÊÙÍ ËÕÓÅÙÍ Ôï óýíïëï ôùí áðïôåëåóìáôéêþí ëýóåùí åßíáé äéáóõíåäåìýíï (äçë. êüèå áðïôåëåóìáôéêþ ëýóç Ý åé ôïõëü éóôïí ìßá ãåéôïíéêþ áðïôåëåóìáôéêþ ëýóç). ÃåíéêÜ âþìáôá áëãïñßèìïõ 1.Åýñåóç ôçò ðñþôçò áðïôåëåóìáôéêþò ëýóçò áñéóôïðïéþíôáò ìßá áðü ôéò áíôéêåéìåíéêýò óõíáñôþóåéò 2.ÅîÝôáóç ôùí ãåéôïíéêþí ëýóåùí áí åßíáé áðïôåëåóìáôéêýò 3.ÁðïèÞêåõóç ôùí íýùí áðïôåëåóìáôéêþí ëýóåùí ðïõ ðñïêýðôïõí 4.ÌåôáöïñÜ óå êüðïéá áðü ôéò íýåò áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò ðïõ äåí Ý ïõí åîåôáóèåß êáé åðáíüëçøç ôùí âçìüôùí 2 êáé 3. Ï áëãüñéèìïò ôåñìáôßæåé üôáí äåí ðñïêýðôïõí íýåò ãåéôïíéêýò áðïôåëåóìáôéêýò ëýóåéò óôï âþìá 3.
ΠΑΡΑΓΩΓΗΣ ΤΩΝ ΙΚΑΝΩΝ ΛΥΣΕΩΝ ΜΕ ΤΗ ΜΕΘΟΔΟ EFFTREE 1. Ευρεση της πρώτης ικανής ακραίας λύσης 2. Ευρεση των γειτονικών της ικανών ακραίων λύσεων 3. Σύγκριση με τις υπάρχουσες και αποθήκευση των νέων ικανών ακραίων λύσεων 4. Μετάβαση σε μια νέα ικανή ακραία λύση και επανάληψη των 2-4 5. Τερματισμός όταν δεν υπάρχουν νέες ικανές ακραίες λύσεις 1 Επίπεδο 0 f2 11 6 7 5 2 1 2 3 Επίπεδο 1 9 5 4 Επίπεδο 2 10 8 4 3 6 7 8 Επίπεδο 3 f3 f1 11 10 9 Επίπεδο 4
Επιλογή προτιμότερης (σχετικά βέλτιστης) ικανής λύσης Αφού παραχθεί το σύνολο των ικανών ακραίων λύσεωνπροχωράμεστηνεύρεσητηςσχετικά βέλτιστης λύσης Μέθοδοι Πολυκριτηριακής ανάλυσης επί των διακριτών πλέον λύσεων (ικανών λύσεων) Αλληλεπιδραστική διύλιση (Steuer)
Αλληλεπιδραστική διύλιση ικανών λύσεων 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 1ηεπανάληψη 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 4ηεπανάληψη 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 3ηεπανάληψη 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 2ηεπανάληψη
Εκφραση προτίμησης κατά τη διάρκεια επίλυσης Αλληλεπιδραστικές μέθοδοι Δεν υπολογίζουν το σύνολο των ικανών λύσεων Ο αποφασίζων κατευθύνει τη διαδικασία αναζήτησης της προτιμότερης λύσεις από δείγματα ικανών λύσεων που εξετάζει Επαναληπτική διαδικασία. Φάσεις υπολογισμού εναλλάσσονται με φάσεις διαλόγου με τον αποφασίζοντα Αντιπροσωπευτικές μέθοδοι Stem (1971) Geoffrion-Dyer-Feinberg (1972) Zionts-Wallenius (1976,1983) Interactive Tchebyscheff (Steuer, 1983)
Mέθοδος Τchebyscheff Οι ικανές λύσεις προκύπτουν ελαχιστοποιώντας τη σταθμισμένη απόσταση Tchebyscheff του εφικτού χωρίου από το ιδανικό σημείο Σταθμισμένη απόσταση Tchebyscheff z*-z λ = max i=1 k {λ i z i *-z i } Επαυξημένη σταθμισμένη απόσταση Τchebyscheff (Augmented weighted Tchebyscheff) z*-z λ = max i=1 k {λ i z i *-z i } + ρ Σ z i *-z i (ρ [0.0001, 0.01]) Υπάρχουν επίσης: Ευκλείδια απόσταση z*-z λ 2 = (Σ λ i (z i *-z i )2 ) 1/2 Απόλυτη απόσταση z*-z λ 1 = (Σ λ i z i *-z i
Μοντέλο Τchebyscheff - μοντελοποίηση Eστω το πρόβλημα πολυκριτηριακού προγραμματισμού: max {f 1 (x), f 2 (x) f k (x) x S } (Α) z i *=max f i (x)+ε (z 1 *, z 2 *, z k *) = ιδανικό σημείο Ελαχιστοποίηση απόστασης Τchebyscheff min (max i {λ i (z i *- f i (x))}) x S Ισοδύναμο μοντέλο min a St a >= λ i (z i *- f i (x)) i=1 k x S *Πολλές φορές χρησιμοποιείται η επαυξημένη απόστασηtchebyscheff
Mέθοδος Τchebyscheff Πλεονέκτηματα μεθόδου Μπορεί να παράγει και μη ακραίες ικανές λύσεις Μπορεί να χρησιμοποιηθεί για προβλήματα ακέραιου και μη γραμμικού πολυκριτηριακού προγραμματισμού Μπορεί να χρησιμοποιηθεί με συμβατικά προγράμματα επίλυσης προβλημάτων μαθηματικού προγραμματισμού (γραμμικού, μη γραμμικού, ακέραιου προγραμματισμού) Η μέθοδος Tchebyscheff για την παραγωγή ικανών λύσεων χρησιμοποιείται ως μέρος μιας αλληλεπιδραστικής διαδικασίας για τον προσδιορισμό της προτιμότερης ικανής λύσης
Aλληλεπιδραστική μέθοδος Tchebyscheff Προσδιορισμός Payoff table (z**) h=h+1 Παραγωγή 50 k λ-διανυσμάτων από Λ h k: αριθμός αντικειμενικών συναρτήσεων P: αριθμός στοιχείων δείγματος t: αριθμός επαναλήψεων Φιλτράρισμα σε 2 P Επίλυση 2 P προβλημάτων Tchebyscheff Επιλογή των P πιο διαφορετικών λύσεων Ο αποφασίζων επιλέγει την προτιμότερη από τις P λύσεις Υπολογισμός νέων ορίων στο Λ h με βάση την απάντηση του αποφασίζοντα h < t Τέλος (z=z h, x=x h )
Συρρίκνωση χώρου Λ h Σε κάθε επανάληψη συρρικνώνεται το πεδίο Λ h από το οποίο παίρνουν τιμές οι συντελεστές βαρύτητας. Η συρρίκνωση γίνεται γύρω από την επιλογή του αποφασίζοντα σε κάθε επανάληψη. Eστω ότι ο αποφασίζων στην h-επανάληψη επιλέγει το σημείο z h από τα P σημεία του δείγματος, το οποίο αντιστοιχεί στο διάνυασμα λ (h) i των συντελεστών βαρύτητας Ο χώρος από τον οποίο θα παραχθούν τα λ στην επόμενη επανάληψη υπολογίζεται ως εξής (r ο συντελεστής συρρίκνωσης r < 1) : [0, r h ] αν λ (h) i r h /2 <= 0 [l (h+1) i, μ (h+1) i ]= [1-r h, 1] αν λ (h) i + r h /2 >= 1 [λ (h) i r h /2, λ (h) i + r h /2] στις άλλες περιπτώσεις
Παράδειγμα Στο παράδειγμα της ηλεκτροπαραγωγής θέτουμε r=0.5 και t=4 επαναλήψεις και P=5 (στοιχεία δείγματος). Το ιδανικό σημείο είναι (z 1 *, z 2 *)=(3000, 3000) μετά από το ομογενοποίηση της κλίμακας (βλ. oρισμό COST, CO2) Το πρόβλημα που λύνεται είναι το εξής: MIN A + 0.001 COST + 0.001 CO2 ST -A + λ 1 COST <= λ 1 *3000 -A + λ 2 CO2 <= λ 2 * 3000 (Τ) 0.030 LIGN + 0.075 OIL + 0.060 NG + 0.090 REN - COST = 0 0.144 LIGN + 0.072 OIL + 0.045 NG - CO2 = 0 (υπόλοιποι περιορισμοί) Τα λ 1 και λ 2 είναι οι παράμετροι των συντελεστών βαρύτητας. Είναι τα μόνα που αλλάζουν από μοντέλο σε μοντέλο.
Παράδειγμα (1) 1η επανάληψη: Λ (1) =[0,1] για λ 1 και [0,1] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 1 1η λ 1 0.69 λ 2 0.31 COST 3640 CO2 4494 Επιλογή αποφασίζοντα 2 0.51 0.49 3920 3930 3 0.29 0.71 4186 3508 4 0.94 0.06 3151 5879 5 0.04 0.96 4455 3078
Παράδειγμα (2) 2η επανάληψη: Συρρίκνωση χώρου συντελεστών βαρύτητας Λ (2) =[0.69-0.25,0.69+0.25] για λ 1 και [0.31-0.25,0.31+0.25] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 2η λ 1 λ 2 COST CO2 1 0.94 0.06 3151 5879 2 0.75 0.25 3561 4683 Επιλογή αποφασίζοντα 3 0.60 0.40 3777 4165 4 0.51 0.49 3924 3927 5 0.81 0.19 3473 4894
Παράδειγμα (3) 3η επανάληψη: Συρρίκνωση χώρου συντελεστών βαρύτητας Λ (3) =[0.75-0.5 2 /2, 0.75+0.5 2 /2] για λ 1 και [0.25-0.5 2 /2,0.25+0.5 2 /2] για λ 2 Λ (3) =[0.875, 0.625] για λ 1 και [0.125, 0.375] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 3η λ 1 λ 2 COST CO2 1 0.65 0.35 3711 4322 2 3 0.76 0.70 0.24 0.30 3561 3640 4683 4494 Επιλογή αποφασίζοντα 4 0.81 0.19 3473 4894 5 0.85 0.15 3375 5128
Παράδειγμα (4) 4η επανάληψη: Συρρίκνωση χώρου συντελεστών βαρύτητας Λ (4) =[0.70-0.5 3 /2, 0.70+0.5 3 /2] για λ 1 και [0.30-0.5 3 /2,0.30+0.5 3 /2] για λ 2 Λ (4) =[0.6375, 0.7625] για λ 1 και [0.2475, 0.3625] για λ 2 Παράγονται 50 διανύσματα (λ 1, λ 2 ) τα οποία φιλτράρονται και προκύπτουν τα 10 πιο διαφορετικά. Λύνονται τα 10 προβλήματα τύπου (Τ) και με φιλτράρισμα παίρνουμε τις 5 πιο διαφορετικές ικανές λύσεις: 4η λ 1 λ 2 COST CO2 1 0.65 0.35 3711 4322 2 0.70 0.30 3640 4494 3 0.75 0.25 3561 4683 4 5 0.68 0.72 0.32 0.28 3699 3609 4423 4567 Επιλογή αποφασίζοντα
Παράδειγμα - Γράφημα 65000 60000 CO2 (kt) 55000 50000 45000 40000 35000 Προτιμότερη λύση 30000 3000 3500 4000 4500 Kόστος (M )
Βιβλιογραφία Belton, V., Stewart, T. (2002), Multiple Criteria Decision Analysis. An Integrated Approach. Kluwer Academic Publishers, Chankong, V., Haimes, Y.Y. (1983). Multiobjective Decision Making: Theory and Methodology. North- Holland, New York. Cohon, J.L. (1978). Multiobjective Programming and Planning. Academic Press, New York. Ehrgott, M. Gandibleux, X. (2002) Multiple Criteria Optimization. State of the Art Annotated Bibliographic Surveys. Kluwer Academic Publishers Goicoechea, A., Hansen, D.R., Duckstein, L. (1982). Multiobjective Decisison Analysis with Engineering and Business Applications. John Wiley & Sons. Hwang, C.L., Masud, A. (1979). Multiple Objective Decision Making. Methods and Applications: A state of the art survey. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems Vol. 164. Springer- Verlag, Berlin. Ignizio, J.P. (1982). Linear Programming in Single- & Multiple- Objective Systems. Englewood Cliffs, Prentice Hall, New Jersey. Murtagh, B. A. (1981). Advanced Linear Programming: Computation and Practice. McGraw-Hill Steuer, R.E. (1989). Multiple Criteria Optimization-Theory, Computation and Application. 2nd edition, Krieger, Malabar FL. Williams, H.P. (1985). Model Building in Mathematical Programming. John Wiley & Sons Zeleny, M. (1982). Multiple Criteria Decision Making. McGraw-Hill.